導(dǎo)數(shù)必考經(jīng)典壓軸解答題匯編

【新高考專(zhuān)用】

導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是高考必考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，在解答題中試

題的難度較大，主要涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題、函數(shù)的極值和最值問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、

不等式恒成立與存在性問(wèn)題以及不等式的證明等內(nèi)容，考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，屬綜合性問(wèn)題,

解題時(shí)要靈活求解.

其中，對(duì)于不等式證明中極值點(diǎn)偏移、隱零點(diǎn)問(wèn)題和不等式的放縮應(yīng)用這三類(lèi)問(wèn)題是目前高考導(dǎo)數(shù)壓

軸題的熱點(diǎn)方向.

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1切線方程的求法】

1.求曲線“在“某點(diǎn)的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)產(chǎn)於)在尤=尤0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線產(chǎn)/(無(wú))在點(diǎn)(無(wú)0<尤0))處切線的斜率；

②在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f(X0)(x-x0).

2.求曲線“過(guò)”某點(diǎn)的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)T(xo)/(xo))(不出現(xiàn)約)；

②利用切點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出切線方程：y=J[xo)+f(xo)(x-xo)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識(shí)點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的解題策略】

1.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類(lèi)討論.

(2)若導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負(fù)，二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：產(chǎn)/⑴在Q6)上單調(diào)，則區(qū)間3,6)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2求x)為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的xG(a力)都有/(x)>0(/(x)<0),且在他力)內(nèi)的任一非空子區(qū)間

上，了(無(wú))不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.

(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題.

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的極值與最值問(wèn)題的解題思路】

1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/U)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)兀0的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)/(x)；

(3)解方程/(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗(yàn)/(尤)在/(x)=0的根xo左右兩側(cè)值的符號(hào)；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)/(尤)在句上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值五a),fib)；

③將函數(shù)五功的各極值與/(。)，人力比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(2)求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和

極值情況，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識(shí)點(diǎn)4導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/U)的最值，轉(zhuǎn)化為/U)圖象與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，主要是應(yīng)用分類(lèi)討論思想解決.

(2)分離參變量，即由y(x)=O分離參變量，得―g(?,研究尸。與尸g(x)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

2.導(dǎo)數(shù)中的不等式證明

(1)一般地，要證y(x)＞g(x)在區(qū)間(。，上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=/(x)—g(x),通過(guò)分析F(x)在端點(diǎn)

處的函數(shù)值來(lái)證明不等式.若F(a)=O,只需證明尸(x)在(a,6)上單調(diào)遞增即可；若F(b)=O,只需證明尸(x)

在(a,b)上單調(diào)遞減即可.

(2)在證明不等式中，若無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題.

3.導(dǎo)數(shù)中的恒(能)成立問(wèn)題

解決不等式恒(能)成立問(wèn)題有兩種思路：

(1)分離參數(shù)法解決恒(能)成立問(wèn)題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另

一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，即可解決問(wèn)題.

(2)分類(lèi)討論法解決恒(能)成立問(wèn)題，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分

類(lèi)討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿(mǎn)足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.

4.導(dǎo)數(shù)中的雙變量問(wèn)題

破解雙參數(shù)不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿(mǎn)足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

【知識(shí)點(diǎn)5極值點(diǎn)偏移問(wèn)題及其解題策略】

1.極值點(diǎn)偏移

極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。力)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)方程/(%)的解分別為

再、%2,且a＜玉＜%＜匕.

(1)若七迤wX。,則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(x15x2)上極值點(diǎn)X。偏移；

(2)若：Ax。,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(王,々)上極值點(diǎn)與左偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)與左偏；

(3)若與迤＜%,則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(%,％)上極值點(diǎn)/右偏，簡(jiǎn)稱(chēng)極值點(diǎn)X。右偏.

2.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式

(1)函數(shù)抵%)存在兩個(gè)零點(diǎn)Xl，X2且%1W%2，求證：Xl+X2>2xo(xo為函數(shù)?￥)的極值點(diǎn))；

(2)函數(shù)?￥)中存在％I，%2且X1WX2，滿(mǎn)足/(X1)書(shū)X2)，求證：%1+%2>2%0(%0為函數(shù)月%)的極值點(diǎn))；

(3)函數(shù)大犬)存在兩個(gè)零點(diǎn)XI,無(wú)2且無(wú)1#尤2,令X。=:,求證：/(尤0)>0；

(4)函數(shù)式X)中存在尤1，X2且X1WX2，滿(mǎn)足y(xi)=式X2),令Xo=%,求證：/(XQ)>O.

3.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的常見(jiàn)解法

(1)(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)：構(gòu)造輔助函數(shù)：

①對(duì)結(jié)論尤1+X2>2xo型，構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-/(2x0-X).

②對(duì)結(jié)論為當(dāng)〉而型，方法一是構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)(x)=/(x)—/(*),通過(guò)研究尸(X)的單調(diào)性獲得不

等式；方法二是兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化成hui+hM2>21nAo，再把瓜打，瓜也看成兩變量即可.

(2)(比值代換法)：通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用

函數(shù)單調(diào)性證明.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的切線問(wèn)題】

【例1】(2024?廣東?二模)已知函數(shù)f(%)=ex-1—xlnx.

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)證明：/(x)>0.

【變式1-1](2024.四川雅安.一模)已知函數(shù)/(%)=詈，其中aCR,

(1)當(dāng)。<0時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)(-1,租)可以作3條直線與曲線y=/(%)相切，求相的取值范圍.

【變式1-2](2024?湖北黃岡?一模)已知函數(shù)/(%)=2a\nx+^%2—(a+3)%,(aeR)

(1)若曲線y=/(久)在點(diǎn)處的切線方程為/(久)=-x+b,求。和6的值;

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

【變式1-3](2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/0)=6。，+}(。20).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(1))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=f'(x)-x2,求函數(shù)g(x)的極大值.

【題型2(含參)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題】

【例2】(2024?浙江金華?一模)已知函數(shù)/(%)=—a?%+(1—a)久，(a>0).

(1)若a=1,求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(久)2—求a的取值范圍.

【變式2-1](2024?上海靜安?一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x+(-8,0)u(0,+8).

(1)求函數(shù)y=/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求不等式/(%)<2%的解集.

【變式2-2](2024.廣東.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%3+|(a—3)%2—ax+4.

(1)當(dāng)a=6時(shí)，求f(%)的極值；

⑵討論/(%)的單調(diào)性.

【變式2-3](2024.貴州六盤(pán)水.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=e%-a%+l(aGR).

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若V%20,/。)2+2,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【題型3函數(shù)的極值與最值問(wèn)題】

【例3】(2024?云南大理?一模)已知函數(shù)/(%)=ln%+?—l.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，證明：/(x)>0；

(2)若函數(shù)/(%)有極小值，且/(%)的極小值小于a-求a的取值范圍.

【變式3-1](2024?廣東肇慶.一模)已知函數(shù)/(無(wú))=等+ax+5.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(x)的最大值;

(2)若/。)存在極大值，求a的取值范圍.

【變式3-2](2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=。%-ln(%+1)+1.

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，求/(%)的最小值；

(2)求/(%)的極值；

(3)當(dāng)a<2時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，/(%)>ex.

【變式3-3](2024.河南.二模)已知函數(shù)/(%)=%2+2(a-3)x+2alnx(aeR)在定義域內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)

xlfx2.

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

-

(2)證明:/(%!)+/(%2)>1°-

【題型4導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點(diǎn)(方程根)問(wèn)題】

【例4】(2024?貴州黔南?一模)已知函數(shù)/(%)=ae%—%+ER).

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式4-1](2024?山東煙臺(tái)?三模)已知函數(shù)/(%)=%+ae%(a€R).

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=3時(shí)，若方程齊+*=爪+1有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

fM-x/(x)

【變式4-2](2024?四川?一模)設(shè)/(%)=e%3T_ax

(1)若a=0,求/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)討論/(%)的零點(diǎn)數(shù)量.

【變式4-3](2024?甘肅白銀?一模)已知函數(shù)f(%)=垃2一21n%-1.

(1)若曲線y=/(%)在％=2處的切線的斜率為3,求心

(2)已知/(%)恰有兩個(gè)零點(diǎn)%<%2).

①求力的取值范圍；

②證明：久+三<上駟.

X2%1t

【題型5導(dǎo)數(shù)中不等式的證明】

【例5】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=e%-Ze/一%.

⑴若k=｝求證：當(dāng)％>0時(shí)，/(%)>1；

(2)若％=0是/(%)的極大值點(diǎn)，求k的取值范圍.

【變式5-1](2024?四川?一模)已知函數(shù)/(%)=xln%-a/+1.

(1)若f(%)在(o,+8)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍;

(2)若aVO證明：/(%)>0.

【變式5-2](2024.山西.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=Inx+^x2—x+2(aGR).

⑴若函數(shù)/(%)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

AQX—2

(2)若a=0；求證：/(x)<

(3)設(shè)%i，%2(%1<%2)是函數(shù)/(%)的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：/(%1)-/(%2)<一3(%i一%2).

【變式5-3](2024.安徽安慶.三模)已知函數(shù)f(x)=(ln|x|)2-(%+，+2,記尸(久)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)求尸(1)的值；

(2)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(3)證明:當(dāng)x>1時(shí)，(X-1)[e-x+xln^1+>Inx-ln(x+1).

【題型6利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題】

[例6](2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ex—2elnx+ax+lna(a>0).

(1)若Q=1,證明：/(%)>|%；

(2)若f(%)>2e+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式6-1](2024.福建.三模)函數(shù)/(%)=(1-％比。%-%-1,其中。為整數(shù).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)/(%)在％=1處的切線方程；

(2)當(dāng)％6(0,+8)時(shí)，/(%)V0恒成立,求a的最大值.

【變式6-2](2024?浙江臺(tái)州?一模)已知函數(shù)/(黑)=婷+4/一5%.

⑴求函數(shù)y=/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若不等式^^-61nx<a(x-對(duì)任意％E[1,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式6-3](2024.四川德陽(yáng).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ln%+?.

(1)若曲線y=/(%)在點(diǎn)處的切線為久+y+b=0,求實(shí)數(shù)b的值；

2

(2)已知函數(shù)g(%)=/O)+%,且對(duì)于任意%€(0,+8),g(x)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【題型7利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題】

【例7】(2024?四川樂(lè)山?三模)已知函數(shù)/(%)=ax+ln%,g(%)=aQ—%—1^+1—%

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)令”(久)=f(x)+g。)，若存在久06(1,+8),使得〈上爰1成立，求整數(shù)a的最小值.

【變式7-1](2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=xlnx—ax2,g(%)=ax2—ax+1,/i(x)=f(x)+

g(%)?

⑴討論：當(dāng)。€(-8,0]U住,+8)時(shí)，/(%)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，3%G(l,+oo),使得九(%)<(e-1)。一3e+3,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【變式7-2](2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=In%,g(%)=￡-1其中a為常數(shù).

⑴過(guò)原點(diǎn)作/(%)圖象的切線求直線/的方程；

(2)若士G(0,+8),使/(%)<g(%)成立,求a的最小值.

【變式7-3](2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(ax—l)ex+1+3(aW0).

⑴求/(%)的極值；

(2)設(shè)a=l,若關(guān)于久的不等式/(%)<(b-l)e%+i-汽在區(qū)間[一1,+8)內(nèi)有解，求b的取值范圍.

【題型8雙變量問(wèn)題】

【例8】(2024.江蘇鹽城.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/。)=捺，其中a〉0.

(1)若f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，若%]+&=4且0<X1<2,比較/'01)與/(右)的大小，并說(shuō)明理由

【變式8-1](2024.河南商丘.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)的定義域?yàn)?0,+8),其導(dǎo)函數(shù)/(久)=2支+：—

2a(aeR),/⑴=1-2a.

(1)求曲線y=/(久)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線/的方程，并判斷/是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

(2)若三%1，%2，滿(mǎn)足OV%1<%2，且/(%1)=/(%2)=。，求2/(%1)-/(%2)的取值范圍.

【變式8-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=詈一7n,%￡(0m).

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若第1<%2，滿(mǎn)足/(%1)=/(%2)=。.

(i)求ni的取值范圍；

(ii)證明：/+%2V1T.

【變式8-3](2024?安徽阜陽(yáng)?一模)已知函數(shù)f(%)=31nx—ax.

⑴討論f(%)的單調(diào)性.

(2)已知是函數(shù)/(久)的兩個(gè)零點(diǎn)(第1V%2)?

(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(ii)2e(0,|),廣(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明：+<0.

【題型9導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題】

【例9】(2024.江西.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=%+學(xué)

(1)討論f(%)的單調(diào)性；

(2)若%1。%2，且/(%i)=/(%2)=2,證明：0Vm<e,且％1+&<2.

【變式9-1】(2024?云南?二模)已知常數(shù)a>0,函數(shù)/(%)=一一2a2]口%.

(1)若V%>0/(%)>-4a2,求a的取值范圍;

(2)若%1、不是/(%)的零點(diǎn)，且%1。％2，證明:％i+%2>4a.

【變式9-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=1—In%—ER).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)%i，到，且%1<%2，求證：%i%2<e-a.

【變式9-3](2024?湖北武漢?三模)已知函數(shù)/(%)=a%+(a-l)ln%+：,aER.

⑴討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于％的方程/(%)=xex-Inx+:有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根%]、%

(i)求實(shí)數(shù)〃的取值范圍;

/一、十、/eX1,eX2、2a

(11)求證：一H--X->——.

%21

【題型10導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題】

【例10](2024?江蘇南通?三模)已知函數(shù)/(久)=(1+x)fc-/ex-l(fc>1).

()若X>-1,求/(X)的最小值;

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝前項(xiàng)和%,若0n=(1+藪)，求證：Sn-n>2-等.

【變式10-11(24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=In久的圖象與函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線y=

-x+1對(duì)稱(chēng).

(1)求函數(shù)g(x)的解析式；

⑵證明:VxG(1,+oo),/(x)-g(x)>0;

(3)若圓M:(x—1)2+丫2=產(chǎn)">0)與曲線丫=|/(為|相交于43兩點(diǎn)，證明：NAMB為銳角.

【變式10-2](2024.重慶?二模)已知函數(shù)/■(>)=總]

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)OV%<1時(shí)，/(%)>-^-+a,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

%—1

(3)已知數(shù)列{&J滿(mǎn)足：Gli=且廝=f(an+i).證明：<an<-^.

【變式10-3】(2024?江蘇?一模)已知a>0,函數(shù)/(%)=axsin%+cosa%—1,0<%<-.

4

⑴若a=2,證明：/(%)>0；

(2)若求4的取值范圍；

(3)設(shè)集合尸={a\a=〉cos,幾6N*},對(duì)于正整數(shù)m,集合={x\m<x<2m},記Pn中

nnk=l2/C(/：t+l)

元素的個(gè)數(shù)為力句求數(shù)列物加}的通項(xiàng)公式.

【題型11導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題】

【例11】(2024.河南新鄉(xiāng).模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=。0+%%+g/+…+其中…，%I不

71

全為0,并約定an+i=0,設(shè)瓦=(k+1)以+1-耿，稱(chēng)g(%)=為+瓦%+歷/+…+b九%為/(%)的“伴生

函數(shù)

(1)若/(%)=5x4+3x2+3%+1,求g(%)；

(2)若f(%)>0恒成立，且曲線y=>0)上任意一點(diǎn)處的切線斜率均不小于2,證明：當(dāng)1>0時(shí)，

gM>/(%)；

(3)若劭=0，證明：對(duì)于任意的租e(0,+8),均存在te(o,7n),使得g(t)<3黑.

【變式11-1](2024四川成者回模擬預(yù)測(cè))定義運(yùn)算：|；；|=mq-np,已知函數(shù)/(x)=「竽”—1

?“q??1CL

--1.

X

(1)若函數(shù)f(x)的最大值為0,求實(shí)數(shù)。的值；

(2)證明：(1+襄)(1+*)(1+*)…(1++)<e.

(3)若函數(shù)無(wú)(久)=/(x)+g(K)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%1，刀2，證明：_a+2<0.

%1一不

【變式11-2】(2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))定義：如果函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)，存在極大值f(/)和極小值/(%2)

且存在一個(gè)常數(shù)鼠使/(%)-/(>2)=k(xi-右)成立，則稱(chēng)函數(shù)/(X)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)k稱(chēng)為該函數(shù)

的極值差比系數(shù).已知函數(shù)/(X)=x-1-alnx.

(1)當(dāng)a=]時(shí)，判斷/(久)是否為極值可差比函數(shù)，并說(shuō)明理由；

(2)是否存在a使/(久)的極值差比系數(shù)為2-a?若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若乎<a<|,求/(%)的極值差比系數(shù)的取值范圍.

【變式11-3](2024.上海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=f(x),xGD,如果存在常數(shù)M,對(duì)任意滿(mǎn)足/<x2<■■■<

久nT<f的實(shí)數(shù)與，久2,…，久n-1,與1，其中無(wú)1，久2,…，久n-l，Xn6。，都有不等式￡上2"(%)-/■(陽(yáng)-1)14M恒成

立，則稱(chēng)函數(shù)y=/(%),%e。是“絕對(duì)差有界函數(shù)”

(1)函數(shù)/(*)=等,x>:是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；

(2)對(duì)于函數(shù)y=/(%),%e[a,b],存在常數(shù)匕對(duì)任意的%力亞e[見(jiàn)句，有l(wèi)f(%i)一/(犯)14《久i一]2I恒成立，

求證：函數(shù)y=/(%),%e&用為“絕對(duì)差有界函數(shù)”

⑶判斷函數(shù)，⑺=/北｝°、'”不是，，絕對(duì)差有界函數(shù)，，？說(shuō)明理由

A課后提升練(19題7

一、解答題

1.(2024.海南省直轄縣級(jí)單位.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=%-In%-2.

(1)求曲線y=/(%)在(e,e-3)處的切線方程；

(2)若a20,g(x)=ax2-2(ax+1)-/(x),討論函數(shù)g(%)的單調(diào)性.

2.(2024?湖北?一模)已知/(%)=(ax2+%+l)ex.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程;

(2)若f(%)在區(qū)間內(nèi)存在極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.

3.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))設(shè)aGR,已知函數(shù)/(%)=Inx+ax—a2+2.

(1)當(dāng)函數(shù)/(%)在點(diǎn)(2/(2))處的切線m與直線/:3%-2y-1=0平行時(shí)，求切線m的方程;

(2)若函數(shù)/(%)的圖象總是在久軸的下方，求a的取值范圍.

4.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(x)=/+ax(aeR)的一個(gè)極值點(diǎn)為x=1.

⑴求a的值:

(2)若過(guò)點(diǎn)(3,機(jī))可作曲線y=f(x)的三條不同的切線，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

5.(2024?西藏拉薩?一模)已知函數(shù)/(%)-x2—(A+3)x+Zlnx.

(1)若4=-3,求/'(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)既有極大值，又有極小值，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

6.(2024?廣東.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=x—1-alnx,aeR.

(1)判斷函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)若/'(X)＞。恒成立，求a的值.

7.(2024?四川成都?二模)已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)一千件需另投入2.7

萬(wàn)元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完，銷(xiāo)售收入為R(x)萬(wàn)元，且R(x)=

(注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年總成本)

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)加(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量無(wú)(千件)的函數(shù)解析式；

(2)求公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大時(shí)的年產(chǎn)量.

8.(2024?江蘇?二模)已知函數(shù)/(%)=%—■Falnx(aeR).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，證明:/(x)>1;

(2)若/(%)在區(qū)間(1,+8)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

9.(2024?新疆?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=(%-l)emx.

(1)當(dāng)m=1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間及最值；

(2)若不等式f(%)>X2-%在［1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)771的取值范圍.

10.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=>。)?

⑴證明：0</(x)<|；

(2)證明：W"高<皿"+1)<W"三，nEN*.

11.(2024?四川內(nèi)江?一模)已知函數(shù)/'(x)=a(￡+a)—ln(x+1),aER.

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若f(x)>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

12.(2024?河北邯鄲