專題4.2平面向量的概念及線性運(yùn)算

【新高考專用】

題型基礎(chǔ)練

題型一平面面基的基本概念

1.（23-24高二下.山東荷澤?階段練習(xí)）下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程;

⑦密度.其中是向量的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解題思路】由向量的概念即既有大小又有方向的量即可求解.

【解答過程】是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度；是數(shù)量的有①質(zhì)量；⑥路程；⑦密度.

故選：C.

2.（24-25高一?江蘇?課后作業(yè)）下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①溫度含零上和零下，所以溫度是向量;

②向量的模是一個正實數(shù)；

③若向量4與3不共線，貝展與石都是非零向量；

④若|a|>\b\,則外>b.

A.0B.1

C.2D.3

【解題思路】①根據(jù)向量的概念可判斷；②根據(jù)向量模的概念可判斷；③根據(jù)零向量與任何向量共線可判

斷；④根據(jù)向量的性質(zhì)可判斷.

【解答過程】①錯，溫度只有大小，沒有方向，是數(shù)量不是向量；

②錯，6的模等于o；

③正確，根據(jù)零向量與任何向量共線可以判斷正確；

④錯，向量不能比較大小.

故選：B.

3.（23-24高一下?海南僧州?階段練習(xí)）下列各量中，向量有：③⑤⑥.（填寫序號）

①濃度；②年齡；③風(fēng)力；④面積；⑤位移；⑥加速度.

【解題思路】根據(jù)向量的概念判斷即可.

【解答過程】向量是有大小有方向的量，故符合的有：風(fēng)力，位移，加速度.

故答案為：③⑤⑥.

4.（2024高一?全國?專題練習(xí)）給出下列命題:

①若切厄為/F,則到力；

②若單位向量的起點相同，則終點相同；

③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；

④向量荏與而是共線向量，則A,B,C,。四點必在同一直線上.

其中正確命題的序號是③.

【解題思路】①考慮B=6的情況；②根據(jù)單位向量的定義判斷.③根據(jù)相等向量的定義判斷.④共線向量即平

行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直線可能平行也可能重合.

【解答過程】①錯誤.若3=6,則①不成立；

②錯誤.起點相同的單位向量，終點未必相同；

③正確.對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；

④錯誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量國與而必須在同一直線上.

故答案為：③.

題型二[向量的幾何表示與向量的模。|

5.（23-24高一下?全國?課后作業(yè)）如圖所示，在正六邊形4BCDEF中，若AB=1,則|屈+而+而|=（）

AB

A.1B.2C.3D.2V3

【解題思路】由正六邊形性質(zhì)可得質(zhì)=阮，進(jìn)而由向量的加法法則求解即可

【解答過程】由題,可知而=BC,

所以I而+而+而I\AB+BC+CD\|AD|=2,

故選:B.

6.（23-24高一上.河北保定.期末）若平面向量2,3,^兩兩所成的角相等，且?=2,|山=2,|c|=6,貝帆+3+

c|=（）

A.4B.8C.4或10D.10或8

【解題思路】討論Hb,共線時和不共線時，分別求出口+3+4的值.

【解答過程】解：當(dāng)五，b,F兩兩所成的角為0。時，五，b,乙共線，怔+B+4=|五|+向+隨|=10；

當(dāng)五，b,乙不共線時，???平面向量出b,兩兩所成的角相等，兩兩所成的角應(yīng)為120。,

如圖所示:

\a+b\=2,且五+B與0共線，但方向相反,

|a+K+c|=|c|—|a+b|=4.

綜上，怔+:+目的值是10或4.

故選：C.

7.(23-24高一下.全國?課后作業(yè))如圖，在正六邊形ABCDEF中，若AB=1,則1屈+而+而1=2.

【解題思路】由向量的加法原則求解即可.

【解答過程】因為而+而+而=前+說+麗=詬，

因為正六邊形ABCQE尸是由6個全等的等邊三角形構(gòu)成，所以|而|=2,

所以|方+屈+而|=|前|=2.

8.(23-24高一下?全國?課后作業(yè))在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊

出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對岸，則經(jīng)過lh,該船的實際航程是誓km.

【解題思路】根據(jù)實際航線是垂直于河岸，作出圖形，求得實際速度后可得結(jié)論.

【解答過程】如圖，而是水流方向，而是垂直于河岸的方向，是船的實際航線，因此而是船在靜水中的

航行方向，|外行=20m/min,\vAB\=10m/min,則=30°,

|詬|=20xcos300=10V3(m/min),故該船lh行駛的航程為10bx60=600V3(m)=言(km).

故答案為：言.

題型三N向量加、減法的幾何意義

9.（2024.廣東湛江.一模）在平行四邊形2BCD中，E為邊BC的中點，記方=出DB=b,則荏=（）

A.—CL—bB.-a4—b

2433

ubb

C.H—2D.-45H—4

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，求得荏=?-）,結(jié)合族=前+而=前+|方，即可求解.

【解答過程】如圖所示，可得而=4-而=3而-1前=轉(zhuǎn)-扣,

所以標(biāo)=芯+麗=前+工荏=日+工仁3—工2）^-a+-b.

22\22/44

故選：D.

10.（24-25高三上?甘肅天水?階段練習(xí)）已知AABC,點。為邊BC上一點，且滿足前=2反，則向量同=

1112

+

----

AC.3333

B.

21D.22

+

----

3333

【解題思路】利用向量的加法和減法運(yùn)算法則即可求解.

【解答過程】AD=AC+CD=AC+-CB=Zc+|（Zfi-XC）=|XB+|XC,

另解：AD^AB+~BD=AB+|BC=AB+1（AC-AB"）=+|尼.

故選：B.

11.（23-24高一下.海南?階段練習(xí)）設(shè)。為四邊形ABC。的對角線AC與3。的交點，若荏=五，AD=b,

OD=c,貝!JOB=d—b+c.

【解題思路】在4。4。與4。4B中利用向量加法和減法法則即可作答.

【解答過程】依題意，在Aoao中，OA-OD+DA^c-b；

在AOAB中，OB=OA+AB=c-b+d,

所以。8=（I—b+C.

故答案為：a—b+c.

12.（2024高一?全國?課后作業(yè)）如圖，D、E、尸分別是△ZBC邊A3、BC、CA上的中點，則等式:

①而+DA-AF=0②而+DE-EF=0③屁+DA-BE=0@AD+JE-AF=0

其中正確的題號是③④.

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算逐項分析判斷.

【解答過程】對于①：FD+DA-AF^FA+FA^2FA^0,故①錯誤；

對于②：FD+^E-~EF=7E+7E=2FE0,故②錯誤；

對于③：DE+DA-JE=DE-~DB-~BE=JE-~BE=0,故③正確；

對于④：AD+BE-AF^AD+DF-AF^AF-AF^0,故④正確；

故答案為：③④.

題型四1向量的線性運(yùn)算

13.（2024高一下.全國?專題練習(xí)）化簡：3伍+3）+3—40—3）=（）

A.2b—CLB.—aC.6a-bD.8b-a

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則計算即可得到答案.

【解答過程】原式=3d+3b+b-4d+4b=8b-a.

故選：D.

14.（23-24高一下.北京.階段練習(xí)）在梯形A8C0中，AB//CD,AB=2CD,AC與8。相交于點。，則下列

結(jié)論錯誤的是（）

A.AC-AD=^ABB.\0A+20C\=0

--------->9--------->-1--------->--------->--------->--------->--------->—>

C.071=-CD+-CBD.AB+BC+CD=0

33

【解題思路】

結(jié)合題意，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義逐項判斷即可得.

【解答過程】對A：JC-AD=DC故A正確；

對B：由力B〃CD,故言=累=/故初=—2反，

貝+20C\=\-20C+20C\=0,故B正確；

對C：由方=-2元，故示=|方=|（而+或）=|（屈+2而）=［而+|而,

故C錯誤；

對D：AB+BC+CD+DA=AC+CA=AC-AC=0,故D正確.

故選：C.

15.（23-24高一下?吉林白城?階段練習(xí)）化簡4伍-3b）-6（-2fo-a）=10a.

【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接求解即可.

【解答過程】4（a-36）-6（-23-a）=4a-12b+12b+6a=10a.

故答案為:10五.

16.（2024高一.全國?課后作業(yè)）若向量2=3"41，b=5t+4f,則—3）—30+|9+（2石—2）=

-16『+壬.

【解題思路】根據(jù)向量的加減與數(shù)乘，可得答案.

【解答過程】：d-3=式32-鶴-（5?+4方=一4了一日了；

2+|3=（3?-4j）+|（5i+4J）=￡7一］；

2b-a=2（5i+47）-（3i-4￡）=7i+12j；

-3（d+0）+（2b—a）

=（-4l-y；）-3（yl-3）+（7l+12j）

=-16l+yJ.

故答案為：—16『+日工

題型五上根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)

17.（24-25高三上?河南許昌?期中）已知E為△ABC所在平面內(nèi)的點，且瓦？+［就=2就.若麗=小屈+

nAC,則已=（）

m

11

A.-3B.3C.-D.--

33

【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理將近,通用方，而表示，求得犯幾，即可得出答

案.

【解答過程】

因為籥=屁+荏，

則瓦?+［阮=2BE=2（BC+CE）,

所以2而=-AB-|fiC=-AB-|（4C-/IF）=^AB-|Jc,

所以方=三前一三前，

44

所以mn=-

44

故巴=-3.

m

故選：A.

18.（24-25高三上?浙江?期中）在△ABC中，。是3C上一點，滿足麗=2反，M是AO的中點，若前二

XBA+［1BC9貝！+〃=（）

【解題思路】利用平面向量線性運(yùn)算相關(guān)計算方式計算即可.

【解答過程】由題可知，AM=^AD2BM-2BA=^D-BA^>BM=^BA+|BD,~BD=2DC=

2面-前）n麗=|近，

所以有前=3瓦5+工麗=三瓦？+工阮，所以2=工,〃=三，得4+〃=±

2223236

故選：C.

19.（2024?貴州?模擬預(yù)測）在△力BC中，點D為邊BC中點，若而+近=4荏+〃而，則?=一、.

〃3-

【解題思路】利用平面向量的加減法法則運(yùn)算即可.

【解答過程】因為點D為邊BC中點，所以而+炭=式而+前）+（左-夠）=一]前+日旅，

所以％=一a〃=￡：=_'

故答案為：

20.（2024?全國?模擬預(yù)測）在平行四邊形48c。中，點G在AC上，且滿足元=3AG,若麗=m通+n而,

貝Urn一幾=1.

【解題思路】

利用向量線性運(yùn)算求得而=I荏-|而，與題干對照即可求解.

【解答過程】

DG—AG—AD——AC-AD——（AB+4D）—AD——AB—AD,則zn—,n=—,

33、73333

所以TH—n=1.

故答案為：1.

題型六a向量共線定理及其應(yīng)用。?

21.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知向量匕另不共線，AB=Ad+b,AC=a+11b,其中4>0,〃>0,若

4B,C三點共線，貝1]4+4〃的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【解題思路】根據(jù)向量共線定理和基本不等式即可求解.

【解答過程】因為45C三點共線，

所以存在實數(shù)匕使荏=k左，即+B=+

又向量江石不共線，所以=加=1,

由2>0,">0,所以4+4〃22J42,=4,

當(dāng)且僅當(dāng)4=4〃時，取“=”號，

故選：B.

22.（2024.安徽馬鞍山.三模）己知平面向量西，/不共線，N=（2k-1）瓦+2/，3=可一心且力/3,

則k=（）

13

A.-B.0C.1D.-

【解題思路】依題意可得江=石，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.

【解答過程】因為江=（2k-1）京+2石，3=瓦-石且江〃丸

所以巨=正，即（2k-1*7+2^=t⑸一孩），

又耳，互不共線，

所以代U，解得「二?

故選：A.

23.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知向量沅，元不共線，a=Am+n,b=^-l）m-2n,若石〃3,貝奴=二

【解題思路】借助平面向量共線定理與平面向量基本定理計算即可得.

【解答過程】由勿區(qū)范元不共線，故存在實數(shù)kRO,使2=以，

即有2記+n=k（A-l）m-2kn,即有f"=叢'二帖，

I1=-2k

解得13「

k=—

I2

故答案為：

24.（2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測）在A4BC中，BD=^BC,P是線段上的動點（與端點不重合），

設(shè)而=xCA+yCB,則上的最小值是4+2芋.

xy

【解題思路】由麗=IBC,得到荏=3CD,從而有方=xCA+3yCD,再根據(jù)2,P,。三點共線,得到x+3y=

1,然后利用基本不等式求解.

【解答過程】解：因為在A48C中，BD=^BC,

所以而=3CD,

又因為方=萬方+丫而，則而=江^+3yz方，

因為4P,D三點共線，貝阮+3y=l,結(jié)合題意知x>0,y>0,

所以也=工+2.=（工+工）（x+3y）,

xyyx\yxj

=-+—+4>2尼?亞+4=2V3+4,

yxylyx

（'=型（x=理二

當(dāng)且僅當(dāng)y-%，即時，等號成立,

1%+3y=10=平

故答案為：4+28.

模擬提升練（19題）

一、單選題

1.（23-24高一下?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）給出下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時間.其中不是向量的有（）

A.①⑥B.⑦⑧⑨C.①⑧⑨D.①⑥⑦⑧⑨

【解題思路】根據(jù)向量的定義可得正確的選項.

【解答過程】速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，故它們?yōu)橄蛄浚?/p>

余下皆不為向量，

故選：D.

2.（23-24高一下?河南許昌?期末）已知點。在△力BC所在平面內(nèi)，滿足|刀|=\0B\=\0C\,貝U點。是△ABC

的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【解題思路】根據(jù)點。到4B,C的距離相等可得答案.

【解答過程】因為|市|=\0B\=|0C|,即點。到的距離相等，

所以點。是AABC的外心.

故選：A.

3.（2024?甘肅白銀?一模）南+阮+2而一而=（）

A.ADB.AEC.AD+CDD.AD+~ED

【解題思路】由向量的線性運(yùn)算求出即可；

【解答過程】AB+BC+2CD-~CE=AC+CD+CD-CE^AD+^D.

故選：D.

4.（2024高三.全國.專題練習(xí)）在AABC中，AB=AC,D、E分另ij是AB、4c的中點，貝”（）

A

B（：

A.說與前共線B.尻與方共線

C.而與荏相等D.而與麗相等

【解題思路】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即可.

【解答過程】由題意可知，而與就不共線，A錯；

因為。、E分別是4B、4C的中點，所以，DE//BC,故爐與方共線，B對；

因為CD與4E不平行，所以而與族不相等，C錯；

因為前=麗=-BD,D錯.

故選：B.

5.（2024?四川南充?一模）已知正方形ZBCD的邊長為1,貝”屈+阮一方|=（）

A.0B.V2C.2V2D.4

【解題思路】利用向量運(yùn)算法則得到|航+配-刀|=2\AC\=2V2.

【解答過程］\AB+BC-CA\=\AC-~CA\=2\AC\,

因為正方形ABCD的邊長為1,所以ac=Vm=VL

故廓+前-西=2V2.

故選：C.

6.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）在平行四邊形ABC。中，AE=2EC,EF=FB,貝！|（）

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

>q>1>>C>O>

C.AF=-AB+-ADD.AF=-AB+-AD

6363

【解題思路】運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，結(jié)合線性運(yùn)算法則解題即可.

【解答過程】如圖，由題意版=2前,可知荏=|北=|（而+而），尸是BE的中點,

所以而=［而+（荏=?荏+|（AB+XD）=|AB+|XD.

7.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知平面向量2與3不共線，向量訪=久之+另,元=^+（3%-2）式若沅〃元,

則實數(shù)x的值為（）

A.1B.C.1或D.-1或3

【解題思路】根據(jù)平面共線定理，由向量平行，求得x滿足滿足的方程，求解即可.

【解答過程】由萬〃元，且小刀均不為零向量，則藍(lán)=應(yīng)=4a+4（3x—2）瓦2eR,

可得｛1=2”則然3%-2）-1=0,

整理得3--2x-1=0,解得x=1或x=-1.

故選：C.

8.（2024.全國?二模）點O,P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足加=瓦5+而+前，則直線OP經(jīng)過

△28C的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【解題思路】根據(jù)向量的運(yùn)算，并結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析，即可判斷.

【解答過程】設(shè)BC的中點為點D,所以礪+泥=2而，

則而-市=Q=2OD,

若4P,。,。四點共線時，即點O,P都在中線AD上，所以O(shè)P經(jīng)過三角形的重心，

若4P,。,。四點不共線時，AP//OD,且4P=2。。，連結(jié)2D,OP,交于點G,

如圖，

綜上可知，0P經(jīng)過△力BC的重心.

故選：A.

二、多選題

9.（24-25高一下?全國?課后作業(yè)）如圖，在菱形ABC。中，乙84。=120。，則以下說法正確的是（）

A.與屈相等的向量只有1個（不含通）

B.與荏的模相等的向量有9個（不含方）

C.麗的模恰為瓦5的模的百倍

D.而與瓦5不相等

【解題思路】根據(jù)相等向量以及模長定義，結(jié)合結(jié)合圖形求解ABD,根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解C.

【解答過程】由于同=尻，因此與方相等的向量只有反，而與荏的模相等的向量有DC,AC,CB,

AD,CD,CA,~BC,BA,故A,B正確；

而在RtAAOD中，???^ADO=30°,|DO|=^-\DA\,故|礪|=百|(zhì)瓦?故C正確；

由于施=市，因此而與瓦?是相等的，故D錯誤.

故選：ABC.

10.（2024?遼寧?二模）A/IBC的重心為點G,點。，P是△ABC所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足加=瓦？+

4+反，貝！I（）

A.O,P,G三點共線B.OP=20G

C.20P=AP+JP+CPD.點P在△ABC的內(nèi)部

【解題思路】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷.

【解答過程】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+0G+GC

=30G+GA+~GB+GC,

因為點G為AABC的重心，

所以襦+弱+次=6,所以市=3而，

所以。,P,G三點共線，故A正確，B錯誤；

AP+BP+CP=AO+OP+BO+OP+CO+OP

=（AO+B0+CO）+3OP,

因為^^OA+OB+OC,

所以（而+月5+而）+3而=一而+3而=2都，^2OP=AP+BP+~CP,故C正確；

因為赤=30G,

所以點P的位置隨著點。位置的變化而變化，故點P不一定在AaBC的內(nèi)部，故D錯誤；

故選：AC.

11.（2024.山西晉中?模擬預(yù)測）在ANBC中，。為邊4C上一點且滿足而=［反，若P為邊BD上一點，且滿

足族=4萬+4近，A,4為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.加的最小值為1B.加的最大值為2

C.:；的最大值為12D.；+；的最小值為4

【解題思路】根據(jù)8,D,P三點公式求得2+34=1,結(jié)合基本不等式判斷即可.

【解答過程】因為前比，所以就=3而，

又喬=XAB+iiAC=AAB+3/zAD,

因為P、B、。三點共線，所以4+3/z=L

又入〃為正實數(shù)，所以加=：4乂3〃工3'（等）2=*,

當(dāng)且僅當(dāng)入=3〃，即4=3〃=：時取等號，故A錯誤，B正確；

26

+=G+^）（A+3/z）=2+T+^-2+2Jf^l=4,

當(dāng)且僅當(dāng)?=；,即；1=；,〃=%寸取等號，故C錯誤，D正確.

A3〃26

故選：BD.

三、填空題

12.（2024.河南.二模）已知瓦?，互不共線，向量2=3瓦—2孩，B=k瓦＞+6豆，且切"，則k=—9.

【解題思路】根據(jù)向量共線定理可知k^+6瓦=32瓦-24名成立，列出方程組，即可得出答案.

【解答過程】因為d〃丸所以UeR,使得3=然成立，即k可+6名=34/一224

因為司局不共線，所以㈢二%，解得［二］；?

故答案為：-9.

13.（2025高三?全國?專題練習(xí)）給出下列命題：

①若向量汨武bIIc,則2IIc；

②若平面上所有單位向量的起點移到同一個點，則其終點在同一個圓上；

③在菱形48CD中，一定有同=DC.

其中是真命題的為②③.（填序號）

【解題思路】根據(jù)平行向量的概念可判斷①；根據(jù)單位向量的概念可判斷②；根據(jù)相等向量的概念可判斷

③.

【解答過程】若3=6,則向量a不一定與向量1平行，故①不正確；

單位向量的長度為1,當(dāng)所有單位向量的起點在同一點。時，

終點都在以。為圓心，1為半徑的圓上，故②正確；

在菱形2BCD中，|荏|=|反荏與反方向相同，故荏=虎，故③正確.

故答案為：②③.

14.（2024.山西太原.三模）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》

一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽

弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角

形，S.DF=AF,點P在上，BP=2AP,點Q在△DEF內(nèi)（含邊界）一點，若麗=4萬+麗，貝。2的最

大值為

【解題思路】先利用向量線性運(yùn)算得到而=4萬，作出輔助線，得到DP〃4H,且喘=|，從而得到答案.

An3

【解答過程】PQ=XPD+PA^>PQ-PA=APDn而=APD,

取DE的中點H,連接2H,

又BP=24P,所以冷券=|，故DP//AH,且.=|,

所以4的最大值為|,此時點Q與點H重合.

故答案為：|.

四、解答題

15.(24-25高一下?全國?課前預(yù)習(xí))如圖，在矩形4FDC中，AC=2AF,B,E分別為邊AC,OF的中點,

在以A,B,C,D,E,尸為起點和終點的所有有向線段表示的向量中：

(1)分別找出與羽，荏相反的向量；

(2)分別找出與衣，族相等的向量.

【解題思路】運(yùn)用相等向量，相反向量概念可解.

【解答過程】(1)方向相反，大小相等的向量互為相反向量.

與肝相反的向量有前，~EB,DC；與族相反的向量有瓦5,DB.

(2)方向相同，大小相等的向量是相等向量.

則胡，而與屈方向相同，且長度相等，故與前相等的向量為南，C