第3課時(shí)二次根式的應(yīng)用1．要焊接一個(gè)如圖1－3－4所示的鋼架，需要的鋼材長(zhǎng)度是(單位：m)(A)圖1－3－4A．3eq\r(5)＋7B．5eq\r(3)＋7C．7eq\r(5)＋3 D．3eq\r(7)＋5【解析】由題意得AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(42＋22)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴AB＋BC＋AC＋BD＝2eq\r(5)＋eq\r(5)＋5＋2＝3eq\r(5)＋7.2．[2013·聊城]河堤橫斷面如圖1－3－5所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比為1∶eq\r(3)，則AB的長(zhǎng)為()米 (A)圖1－3－5A．12 B．4eq\r(3)C．5eq\r(3) D．6eq\r(3)3．[2013·山西]如圖1－3－6，某地修建高速公路，要從B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，為了測(cè)量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發(fā)，垂直上升100m到達(dá)A處，在A處觀察B地的俯角為30°，則B、C兩地之間的距離為 (A)圖1－3－6A．100eq\r(3)m B．50eq\r(2)mC．50eq\r(3)m D.eq\f(100\r(3),3)m4．圖1－3－7是市民廣場(chǎng)到解百地下通道的手扶電梯示意圖，其中AB，CD分別表示地下通道、市民廣場(chǎng)電梯口處地面的水平線(xiàn)，∠ABC＝135°，BC的長(zhǎng)約是5eq\r(2)m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是__5__m.圖1－3－7【解析】過(guò)C作CE⊥AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則∠CBE＝45°，∴CE＝BE，設(shè)CE＝x，則x2＋x2＝(5eq\r(2))2，∴x＝5.5．[2013·湘西]釣魚(yú)島自古以來(lái)就是中國(guó)的神圣領(lǐng)土，為宣誓主權(quán)，我海監(jiān)船編隊(duì)奉命在釣魚(yú)島附近海域進(jìn)行維權(quán)活動(dòng)，如圖1－3－8，一艘海監(jiān)船以30海里/小時(shí)的速度向正北方向航行，海監(jiān)船在A處時(shí)，測(cè)得釣魚(yú)島C在該船的北偏東30°方向上，航行半小時(shí)后，該船到達(dá)點(diǎn)B處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)釣魚(yú)島C與該船距離最短．圖1－3－8(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出該船在點(diǎn)B處的位置；(2)求釣魚(yú)島C到B處的距離(結(jié)果保留根號(hào))．解：(1)如圖所示：第5題答圖(2)在Rt△ABC中，AB＝30×0.5＝15，∠BAC＝30°，AC＝2BC，由勾股定理可得BC＝5eq\r(3)(海里)．答：釣魚(yú)島C到B處的距離為5eq\r(3)海里．6．某廠房屋頂呈人字架形(等腰三角形)，如圖1－3－9所示，已知AC＝BC＝8m，∠A＝30°，CD⊥AB于點(diǎn)D.圖1－3－9(1)求∠ACB的大??；(2)求AB的長(zhǎng)度．解：(1)∵AC＝BC，∠A＝30°，∴∠B＝30°.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－30°＝120°.(2)∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AB＝2AD.在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝8，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4，∴AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\r(82－42)＝4eq\r(3)，∴AB＝2AD＝8eq\r(3)(m)．7．[2013·呼和浩特]如圖1－3－10，A、B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地經(jīng)過(guò)C地沿折線(xiàn)A→C→B行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線(xiàn)AB行駛．已知AC＝10千米，∠A＝30°，∠B＝45°.則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？(結(jié)果保留根號(hào))圖1－3－10解：如圖，作CD⊥AB，垂足為D.在Rt△ACD中，第7題答圖∵∠A＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝5，∴AD＝5eq\r(3).∵∠B＝45°，∴BD＝CD＝5，BC＝5eq\r(2).∴AC＋BC－AB＝10＋5eq\r(2)－(5eq\r(3)＋5)＝(5＋5eq\r(2)－5eq\r(3))千米．答：汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走(5＋5eq\r(2)－5eq\r(3))千米．8．如圖1－3－11，四邊形ABCD中，∠ABC＝120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝4，CD＝5，則該四邊形的面積是__eq\f(9\r(3),2)__．圖1－3－11【解析】如圖，延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)E，第8題答圖則∠ABE＝60°，∴∠E＝30°.∵AB＝4，∴BE＝8，∴AE＝4eq\r(3).在Rt△DEC中，∠E＝30°，∴CE＝eq\r(3)CD＝5eq\r(3)，∴S△ABE＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3)，S△CDE＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),2)，∴該四邊形的面積為eq\f(25\r(3),2)－8eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),2).9．如圖1－3－12所示，在一次課外實(shí)踐活動(dòng)中，同學(xué)們要測(cè)量某公園人工湖兩側(cè)A，B兩個(gè)涼亭之間的距離，現(xiàn)測(cè)得AC＝30m，BC＝70m，∠CAB＝120°，請(qǐng)計(jì)算A，B兩個(gè)涼亭之間的距離．圖1－3－12解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥直線(xiàn)AB，垂足為D，∵AC＝30m，∠CAB＝120°，∴∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝15m，CD＝15eq\r(3)m.在Rt△BDC中，BD＝eq\r(BC2－CD2)＝eq\r(702－（15\r(3)）2)＝65(m)，∴AB＝BD－AD＝65－15＝50(m)．答：A，B兩個(gè)涼亭之間的距離為50m圖1－3－1310．如圖1－3－13所示，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P，并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米/時(shí)，受影響區(qū)域的半徑為200千米，B市位于點(diǎn)P的北偏東75°方向上，距離P點(diǎn)320千米處．(1)說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市；(2)求這次臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間．解：(1)如答圖所示，作BH⊥PQ于點(diǎn)H，在Rt△BHP中，由條件知，PB＝320，∠BPQ＝30°，第10題答圖∴BH＝eq\f(1,2)PB＝160＜200，∴本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市．(2)如答圖所示，若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P1時(shí)，臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響B(tài)市，臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到P2時(shí)，臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束．由(1)，得BH＝160，由已知條件，得BP1＝BP2＝200，∴P1P2＝2eq\r(2002－1602)＝240，∴臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間t＝eq\f(240,30)＝8(時(shí))．11．如圖1－3－14所示，某防洪指揮部發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)江邊一處長(zhǎng)500米，高10米，背水坡角為45°的防洪大堤(橫斷面為梯形ABCD)急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專(zhuān)家組制定的加固方案是：沿背水坡面用土石進(jìn)行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶eq\r(3).圖1－3－14(1)求加固后壩底增加的寬度AF；(2)求完成這項(xiàng)工程需要土石多少立方米．(結(jié)果保留根號(hào))解：(1)如圖，分別過(guò)點(diǎn)E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，交點(diǎn)分別為G，H.∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴HD綊EG，故四邊形EGHD是長(zhǎng)方形，∴ED＝GH.在△DHA中，∠DAH＝∠ADH＝45°，∴AH＝DH＝10.在△EFG中，i＝1∶eq\r(3)＝eq\f(EG,FG)，∴FG＝eq\r(3)EG＝10eq\r(3)，∴AF＝FG＋GH－AH＝10eq\r(3)＋3－10＝10