：題型必刷?小題限時卷

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小題限時卷01（A組+B組+C組）

（模式：12+4滿分：72分限時：50分鐘）

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、填空題

1.已知全集{7={1,2,3,4,6,9},/={x|xeU且,則7=.

【答案】{2,3,6}

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.

【解析】全集U={123,4,6,9},則/=且?eU}={l,4,9},

故工={2,3,6}.

故答案為：{2,3,6}

2.若復(fù)數(shù)z=V^+i，則其共軌復(fù)數(shù)I的虛部為.

【答案】-1

【分析】寫出共朝復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)定義求解.

【解析】由已知三=血-3虛部為-1,

故答案為：-1.

3.不等式|x-l|>x+l的解集為.

【答案】{雜<0}

【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為（x-l）2>（x+l）2,結(jié)合一元二次不等式的解法計算即可求解.

【解析】原不等式可變?yōu)椤?1）2>（無+1）2,

整理得4x<0,解得x<0,

即原不等式的解集為{x|x<0}.

故答案為：{x|x<0}

4.已知向量Z=（2,0）,6=（1,1）,貝￡在3方向上的數(shù)量投影是.

【答案】V2

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量投影的定義計算即可.

【解析】由向量口=（2,0）,6=（1,1）,

則鼠B=1X2+1X0=2，|^|=#+12=V2,

又Z在B方向上的數(shù)量投影為同cos扇B4=*=及，

故答案為：41.

5.函數(shù)y=igW1的定義域是.

【答案】(-8,-2)U(1,+S)

【分析】由真數(shù)大于零得不等式，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解即可得到結(jié)果.

【解析】由王二>0得，(x-l)(x+2)>0,不等式解集為(-8,-2)」(1,+e),

即函數(shù)定義域為+8).

故答案為：(-漢-2)51,+(?).

6.班級4名學(xué)生報名參加兩項區(qū)學(xué)科競賽，每人至少報一項，每項比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結(jié)

果有種.(結(jié)果用具體數(shù)字表示)

【答案】81

【分析】由分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理即可求解.

【解析】每名學(xué)生可報一項或兩項，所以有C；+C；=3,

所以4名學(xué)生共有3x3x3x3=81種.

故答案為：81

7.某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布N(115,〃),若尸(105WX4125)=g,則從參加這次考試的學(xué)

生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績高于125的概率是.

【答案】《

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，求得P(X>125)=1,設(shè)選中的學(xué)生的成績高于125分的

4

人數(shù)為y~8(3,；),結(jié)論重復(fù)試驗的概率計算公式，即可求解.

【解析】由題意，學(xué)生成績X服從正態(tài)分布N(115,〃)，若尸(105WXW125)=g,

則尸(115VXW125)=/X尸(1054X4125)=]xg=；,

所以尸(X>125)=；-尸(115<X<125)=

從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，設(shè)選中的學(xué)生的成績高于125分的人數(shù)為Y,

可得變量/~8(3,：),

所以至少有2名學(xué)生的成績高于125分的概率為C；（；）2x（l-l）+（；）3=A

故答案為：卷.

8.已知ae[O,兀],且2cos2c-3cosc=5,則"=.

【答案】兀

【分析】由倍角公式化簡方程，解出cosa,得a的值.

【解析】已知2cos2a-3cosc=5,由倍角公式得4?）$%-385&-7=（4??&-7）（€0$1+1）=0,

由ae[0,兀],cosae[-1,1],解得cosa=-l,則a=Jt.

故答案為：兀.

9.已知拋物線「：廿=4x的焦點為尸，準(zhǔn)線為/,點M在：T上，MNLl/NFM=30。,則點M的橫坐標(biāo)

為.

【答案】|

【分析】過點尸作于點”，由拋物線定義以及三角函數(shù)可用含M的橫坐標(biāo)X”的式子表示

\NM\,\HM\,注意到pW|+|MH|=|NH卜1-（-1）=2,由此即可列方程求解.

【解析】如圖所示：

過點尸作切于點a,

顯然拋物線r：/=4x的焦點為F(1,O),準(zhǔn)線為/:x=-l,

由拋物線定義有|斷|=|禰,結(jié)合NNW=30°得NNAa=180°-2x30°=120°,

而|心|==XM+1,=\MF\COS60°=1(XM+1),

所以|ACV|+pWH|=XM+l+g(x〃+1)=1-(-1)=2OX"=1.

故答案為：—.

10.對24小時內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)進(jìn)行如下定義:

0-1010~2525-5050-100

①小雨②中雨③大雨④暴雨

小明用了一個圓錐形容器接了24小時的雨水，則這一天的雨水屬于等級.(只填入雨水等級所對

【分析】由圓錐的體積公式，求出雨水的體積，再除以圓的面積，即可求解.

2r150

【解析】設(shè)圓錐形容器中積水水面半徑為〃，則麗=而，解得，=50，

所以積水厚度為-171X502X150所以12.5e(10,25).

—=--------；=iZ.jmm

STtxlOO2

所以一天的雨水屬于中雨.

故答案為：中雨.

11.已知函數(shù)ynV+hu-ax在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則。的取值范圍是.

【答案】1,+°°

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為了40在(g,2)恒成立，且不恒為0,求解即可.

【解析】因為函數(shù)了=/+12-"在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù),

所以"2芯+：-“40在上恒成立，且不恒為0,

所以2x+：W“在恒成立，

設(shè)〃X)=2X+L》€(wěn)佶,21，貝U/，(x)=2-3=

令/3=0,解得x=變或x=-巫(舍去)，

22

因為工《多時，r（x）<0,.（字2）時,/V）>0,

所以〃x）在（g,等）單調(diào)遞減，在（1,2）單調(diào)遞增，

19

又因為/弓）=3,"2）=5，

所以當(dāng)時，/（x）<|,

所以。巧9，

故答案為：?+°01

12.已知數(shù)列｛叫是等差數(shù)列，若才同=￡|%+1|=￡|4+2|=力《+3|=￡|%+4|=2023,則數(shù)列｛%｝的

Z=1Z=1Z=1Z=1Z=1

項數(shù)"的最大值是.

【答案】44

【分析】構(gòu)造函數(shù)，"）=力卜-回，則/（x）的圖像與直線y=2023至少有5個公共點，確定

1=1

/1]“=2023,d>4,得到“2V2023,得到答案.

【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為1，構(gòu)造函數(shù)/"）=丑卜-訓(xùn)，

Z=1

則/（X）的圖像與直線y=2023至少有5個公共點，

橫坐標(biāo)分別為〃〃+d,an+\+d,a〃+2+d,%+3+d,a〃+4+d,

根據(jù)絕對值函數(shù)的性質(zhì)知：

當(dāng)"為奇數(shù)時，函數(shù)圖像關(guān)于》=半1對稱，時有最小值，

此時最多有2個交點，不滿足題意，

ww+2

當(dāng)〃為偶數(shù)時，函數(shù)圖像在Qd,一^d上是一條水平的線段，可以有5個交點，

5dWa"+d<Q"+l+d<a〃+2+d<a〃+3+d<Q〃+4+dV——-d,

且/僅）=/（等"）=2023,

故—]d=d*+4+d—d=4,即屋4,

f（-d]=—d=2023,故/=4x2023W2023,故〃v44.

UJ4d

故答案為：44.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了等差數(shù)列，數(shù)列的絕對值求和，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜

合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)/（x）=￡|x-訓(xùn)，再根據(jù)其性質(zhì)得到"W2023是解題的關(guān)鍵.

i=l

二、單選題

13.在中,“sin/>sin3”是“4>8”的（）

A.充分非必要條件B.充要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

【答案】B

【分析】利用正弦定理，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解析】在△“BC中，令角42,C所對邊分別為a,b,c,

由正弦定理得sin/>sinB=a>b=A>B,

所以“sin/>sin8”是“4>8”的充要條件

故選：B

14.下列命題錯誤的是（）

A.兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1

B.設(shè)&?若E?=30,。0=20,則”=90

C.線性回歸直線了=公+6一定經(jīng)過樣本點的中心叵，歹）

D.一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球、60個白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個球

作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個數(shù)，則X服從二項分布，且E（x）=8

【答案】D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義、二項分布的有關(guān)性質(zhì)、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選

項即可.

【解析】A：兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,故A正確；

[zw=30

B：由4~5（七夕）,以9=30,。?=20,得V1解得〃=90,故B正確；

[np（l-p）=20

c：線性回歸直線》=%+，一定經(jīng)過樣本點的中心丘5）,故c正確；

D：由于是不放回地隨機(jī)摸出20個球作為樣本，

40x?0

所以由超幾何分布的定義知X服從超幾何分布，得E（x）=z^_=8,故D錯誤；

故選：D

15.若直線尸/垂直于以48為直徑的圓所在的平面，C為圓周上異于45的一點，下列說法錯誤的是（）

A.AC1PBB.PCIBC

C.PAIBCD.2C_L平面尸4c

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理，對各選項分析判斷，即可求解.

【解析】因為直線力垂直于以為直徑的圓所在的平面N3C,

又BCu面4BC,所以尸/L8C,故選項C正確，

又NC_L2C,PA^AC=A,P/,/Cu面P4C,所以BC_L平面尸/C,

又尸Cu面尸/C,所以尸CL3C,故選項B和D正確，

對于選項A,若/C_LP8,又/C_L8C,BCCPB=B,BC,PB-PBC,

則/。_1面尸2。，又尸Cu面尸3C,所以/C_LPC,與尸/_L/C相矛盾

故選：A.

16.考慮這樣的等腰三角形：它的三個頂點都在橢圓。：?+/=1（°>1）上，且其中恰有兩個頂點為橢圓C

的頂點.關(guān)于這樣的等腰三角形有多少個，有兩個命題：命題①：滿足條件的三角形至少有12個.命題②:

滿足條件的三角形最多有20個.關(guān)于這兩個命題的真假有如下判斷，正確的是（）

A.命題①正確；命題②錯誤.B.命題①錯誤；命題②正確.

C.命題①，②均正確.D.命題①，②均錯誤.

【答案】C

【分析】分別以橢圓頂點連線為等腰三角形的腰或底，進(jìn)行分類討論，得到答案.

【解析】不妨設(shè)4（一見0）,《（。，1），

如圖1,連接4當(dāng)，

當(dāng)4以為等腰三角形的底時，作4與的垂直平分線交橢圓于己。兩點，

連接04，。％尸4，尸與，則為等腰三角形，滿足題意,

圖1

同理當(dāng)4名,AR,4月為等腰三角形的底時，

也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個;

如圖2,當(dāng)4以為等腰三角形的腰時，以外為圓心，4層為半徑作圓,

圖2

則圓的方程為V+5-1)2=1+1,[(1-/

x2+(y-1)2-a1+\

聯(lián)立一,消x得(1-/)/一2了=0,

—+y=1

2

解得…或卜=中

當(dāng)y=0時，x=±2,則交點有4,4,

2

當(dāng)-1<;-7<0，即時，

\-a

則圓與橢圓相交于點4,4,連接MA，NA，MBL，

其中△加^當(dāng)二帖也滿足要求，△44星三個頂點均為橢圓頂點，不合題意,

同理當(dāng)4層,均4,4烏為等腰三角形的腰時，

也可以各作出2個滿足要求的等腰三角形，共有8個;

2

當(dāng);~r=-L即"百時，

\—a

則圓與橢圓相交于點4,4,4三點,

2

當(dāng)■；~r>-i,即1<a<6時，則圓與橢圓相交于點4,4兩點，

1-Q

綜上，當(dāng)4旦為等腰三角形的腰時，符合題意的三角形的個數(shù)可能是8個或0個;

如圖3,以鳥為圓心，4層為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點瓦,S,7,

圖3

連接期,S%冉，地，此時AS4%△俎為等腰三角形，滿足題意，共有2個，

如圖4,以用為圓心，片鳥為半徑作圓，此時圓與橢圓相交于點風(fēng),

連接UBL叫,％,此時△以也,鳥為等腰三角形，滿足題意，共有2個,

圖4

由橢圓性質(zhì)可知，44為橢圓中的最長弦，所以不能作為等腰三角形的腰，

而作為底時，剛好等腰三角形的頂點為上頂點或下頂點，不合要求，

綜上所述，滿足要求的等腰三角形個數(shù)為8+8+2+2=20或8+0+2+2=12,

所以滿足條件的三角形至少有12個，最多有20個，

所以命題①，②均正確.

故選：C.

【點睛】方法點睛：兩圓一線，是平面幾何中等腰三角形存在性問題的通用解法，這里以橢圓為背景進(jìn)行

考察，基本思路沒有變化，但要注意兩圓一線所得到的等腰三角形有不滿足要求的，要舍去.

.B組?能力強(qiáng)化?>

一、填空題

1.已知集合/=[4,+s),8={2,4,6,8},則/口8=.

【答案】{4,6,8}

【分析】找出集合/與集合2的公共元素，即可確定出交集.

【解析】因為集合4=[4,+s),3={2,4,6,8},

所以/口8={4,6,8}.

故答案為：{4,6,8}.

2.在平面向量中，已知￡是單位向量，向量辦滿足歸-q=3,則W的最大值為.

【答案】4

【分析】由|a-司=3可得(a-])?=9,進(jìn)而可得|-2向cos<>=8,再結(jié)合cos<>e[-1,1]即可得

24|否區(qū)4即可.

【解析】因為|a-加=3,所以(°-5了=-2a?否=1+1g『_21glcos<a,b>=9，

即|Z1-215|cos<a,5>=8,

又因為cos<a,b>e[-1,1],

所以一2111cos

同_2|K|<8

所以__，解得24年區(qū)4,

|6「+2$8

故⑸的最大值為4.

故答案為：4.

3.已知直線1過點尸(2,3),且它的一個法向量方=(1,-2),則該直線的一般式方程為

【答案】x-2y+4=0

【分析】由直線的法向量可求得直線的斜率，再由點斜式方程可得解.

【解析】直線/的一個法向量亢=(1,-2),則該直線的斜率為右直線過P(2,3),

由點斜式得到直線方程為j-3=1(x-2)，化簡得到一般方程：x-2y+4=0.

故答案為：x-2y+4=Q.

4.設(shè)等比數(shù)列{%}的前"項和為S"，若%=2,$2=3,則岬.

【答案】4

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)得出，再利用等比數(shù)列的定義求得公比4,進(jìn)而求得S.，即可求解.

【解析】?.?等比數(shù)列{%}的前〃項和為邑，％=2,$2=3,

a?1

a2=S2—ax=3—2=1,:?q=—二-

2

X，-l<x<0

5.函數(shù)y的值域為

0<x<2

【答案】0（

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得函數(shù)的值域.

【解析】當(dāng)-IWXWO時，x2e[0,l],

當(dāng)0K2時，吟

所以函數(shù)的值域為O,y.

故答案為：0,—

6.已知。>0,b>0,4a+/>=1,貝!J2叱的最大值為______.

a+b

【答案】I2

112ab2

----=-----

【分析】先求出一+工的最小值，再將化為a+b11,即可求得答案.

ab-十7

ab

【解析】因為a〉0,6>0,4a+6=l,

1,11z11、,，7、b4a「小[b~~4^^

故一+—=（一+—）（4。+b）=4+l+—H>5+2./—x——=9,

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2=半，即a（時等號成立，

ab63

2ab_2<2、卜c

所以K?一『一5,即』，的最大值是

―+―a+b9

ab

2

故答案為：

7.在一次為期30天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），并繪制了莖葉圖（如圖）,

其中“莖”表示十位，“葉”表示個位，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是.

211368

302244559

4111336789

502455889

【答案】50

【分析】分析可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù)，結(jié)合莖葉圖即可得結(jié)果.

【解析】因為30x0.75=22.5,可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù),

結(jié)合莖葉圖可知第23位數(shù)是50,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是50.

故答案為：50.

8.已知一個圓錐的高是2,側(cè)面展開圖是半圓，則它的側(cè)面積是.

?小今、87r,8

【答案】—

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為〃，母線長為/,根據(jù)側(cè)面展開圖是半圓解得力=/,再由產(chǎn)+4=/求出乙/可

得答案.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,

1.

則無"=,兀/，解得2廠=/,

又由嚴(yán)+4=尸=4r2，可得r=,I=生^

33

所以圓錐的側(cè)面積是加/=及、迪兀=§兀

333

故答案為：y.

(IK

9.隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)/(%)=—=

e(I€R)其圖象如圖所示，設(shè)尸(XN2)=0.15,則

c/2兀

圖中陰影部分的面積為

7

【答案】0.35/—

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.

【解析】由題意可知則P(XW0)=尸(XW2)=0.15,

1-0.15x2

故圖中陰影部分的面積為=0.35

2

故答案為：0.35.

10.在△/SC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.若2=彳，b=6,a2+c2=2y/2ac>貝！1△48C

的面積為.

【答案】3

【分析】利用余弦定理，結(jié)合已知求出因，再利用三角形面積公式計算即得.

【解析】在△48C中，由余弦定理，W/?2=a2+c2-2accosB,貝U36=/+/—2ac(———),

于是3y/?.ac=36，解得ac=6^2!

所以△/BC的面積為S=：—acsinB=—x6^2x=3.

222

故答案為：3

11.已知函數(shù)/(x)=cos2x-ssiiw(加>1),若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,河)上恰有2024個零點,則所有可能

的正整數(shù)〃的值組成的集合為—.

【答案】{2023,2024}

【分析】化簡函數(shù)得/(x)=-2sin。一加sinx+1,令f=sinx,換元得g(f)=-2產(chǎn)-加+1,根據(jù)二次函數(shù)零

點可得：原題意等價于sinx=qe(0,1)在區(qū)間(0,"兀)上恰有2024個零點，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)分析求

解.

【解析]/(x)=cos2x—機(jī)sinx=—2sin?x-機(jī)sinx+1,

令/usinx,te[-1,1],可得g(f)=-2/—,而+1,A=ZM2+8>0,

記g(0=-2/-加+1的兩零點為"、t2,

貝！JV2=_g<0，不妨設(shè).<0<，2，

且機(jī)>1,則g(-l)=_l+m>0,g(0)=l>0,g(l)=-m-l<0,

可知，<T(舍去)，0<?2<1,

原題意等價于sinx=f2e(O,l)在區(qū)間(0,"兀)上恰有2024個零點，

可知sinxf在(O,2E)和(0,(2"1)兀)(左為正整數(shù))內(nèi)不同根的個數(shù)均為2人，

所以"={2023,2024}.

故答案為：{2023,2024).

12.若曲線C的圖象上任意不同的兩點河(再,必)，N(%,%),坐標(biāo)都滿足關(guān)系

I------I---------1丫2

|士力-無2%|<收+了；.+貢，則在①y=2x；②j=sinx；?y=x+-；(4)------/=]中，不可能是曲線

x4

。的方程的序號為(填上所有正確答案的序號).

【答案】①②

【分析】由W%-<舊+y；-泥+乂將兩邊平方可得（再馬+為yj>0,即可得到OM-ON^O恒成立,

利用特殊值判斷①②，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷③④.

【解析】因為M（xi，%）,/V（x2,y2）,

所以（W=（xQ］）,OJV=（x2,y2）,則。Af?0可=平2+VM，

由|再當(dāng)一》2%汴斤.泥+貨,

所以（X-工2%丫<A；+「J?出+貨），

即w%—2再％工2%+x2y1<X）x2+x2y1+Xjy2+yxy2,

所以xfxf+2網(wǎng)%々必+y；￡>0

所以（再3+/弘）>0，

所以（"/而『>o,

依題意可得麗:.礪w0恒成立，

對于①：7=2%,取“（0,0）,N不為（0,0）時加=（0,0）,此時恒有而.函=0,故①錯誤；

對于②：y=sinx,取M（0,0）,N不為（0,0）時而=（0,0）,此時恒有面.而=0，故②錯誤；

對于③：y=x+-,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在（0,1）,（-1,0）上單調(diào)遞減，

X

在（1,+8）,上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x〉0時y>0,當(dāng)x<0時y<0,

JT__

當(dāng)M、N在同一支時，顯然0</MON<5，所以南.麗>0；

JT_______

當(dāng)M、N在不同支時，顯然兀，所以麗.而<0；

綜上可得麗.而片0恒成立，故③正確；

2

r11

對于④：y-/=l,雙曲線的漸近線方程為丁=±萬x，設(shè)直線y=的傾斜角為0,

2tan。4

則tan<9=；,所以tan26=所以:<2。苫，

1-tan20

TT

即兩漸近線的夾角小于5,

JT_

所以當(dāng)“、N在雙曲線的同一支時，QvNMONJ，所以而?麗>0；

TT___

當(dāng)〃、N在雙曲線的不同支時，顯然3<4MONMn,所以血.礪<0;

綜上可得麗.而片0恒成立，故④正確；

故不可能是曲線C的方程的序號為①②.

故答案為：①②

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是推導(dǎo)出(國工2>0,從而得到的".而片。.

二、單選題

13.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

A.y=x--B.y=x3-xC.y=siiu-lD.y=ex+e~x

X

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可.

【解析】選項A,令/(x)=x-L,定義域為{X|XH0},

X

1111

且f(-x)=(一幻----=-x+-=-(x__)=/(x),即y=x—_為奇函數(shù)，

-XXXX

選項B,令g(x)=x3—x,定義域為R,g(-x)=(-X)3-(-x)=-X3+X=-(x3-x)=g(x),

即y=X為奇函數(shù)；

選項C,令〃(x)=sinx-1,〃(5)=sin]-l=0,=sin(-^-)-l=一2w0,

故歹二sinx-l不是偶函數(shù)；

選項D,m(x)=ex+e~x,定義域為R,Mm(-x)=e-x+=m(x),則歹=e*+?一”為偶函數(shù),

故選：D.

14.已知兩條不同的直線加，n,兩個不同的平面"，刀，則（）

A.若a〃4，"iua,7?u￡,則小〃力

B.若加utz,nu。,mLn,則

C.若?M_La,n,則"〃a

D.若夕。6=〃，mua,m//p,則加〃"

【答案】D

【分析】對于A,由題意可得根,〃可能平行，也可能異面，即可判斷；對于B,由題意可得能有a，尸,

也可能有々〃），也可能平面a,4相交，即可判斷；對于C,由題意可得有可能是“〃a,也可能〃ua,

即可判斷；對于D,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可判斷.

【解析】解：對于A,若a〃），mua,〃u￡,則加，〃可能平行，也可能異面，故A錯誤；

對于B,若mua,nuB,mln,則可能有aJ■方，也可能有"〃刀，也可能平面"，4相交，故B錯

誤；

對于C,若加_Ltz,nlm,則有可能是"〃a,也可能"ua,故C錯誤，

對于D,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若="zua,m//13,則m〃"，故D正確，

故選：D.

15.拋擲三枚硬幣，若記“出現(xiàn)三個正面”、“兩個正面一個反面”和“兩個反面一個正面”分別為事件“、8和

C,則下列說法錯誤的是（）

7

A.事件/、8和C兩兩互斥B.尸（4）+P（8）+P（C）=—

8

C.事件/與事件BuC是對立事件D.事件/UB與BuC相互獨(dú)立

【答案】C

【分析】利用互斥事件的定義判斷A,；利用互斥事件概率加法公式求解判斷B；利用對立事件的定義判斷

C；利用相互獨(dú)立事件判斷D.

【解析】拋擲三枚硬幣，樣本空間"=｛（正，正，正）,（正，正，反）,（正，反，正）,（反，正,正），

（正，反，反）,（反，正，反）,（反，反，正）,（反，反,反）｝）共8個樣本點,

事件/=｛（正，正,正）｝,B=｛（正，正，反）,（正，反，正）,（反，正,正）｝,C=｛（正，反，反）,（反，正，反）,（反，反,正）｝,

對于A,事件4B,C中任何兩個事件都不能同時發(fā)生，事件。兩兩互斥，A正確：

1337

對于B,P（A）+P（B）+P（Q=-+-+-=B正確；

OOOO

對于C,事件A與BuC可以同時不發(fā)生，事件/與事件BuC不是對立事件，C錯誤；

131333

對于D,P（A+B）=P（A）+P（B）=-+-=-,P（B+Q=P（B）+P（C）=-+-=-,

oo2oo4

P[｛AU5）n（5uC）]=P（5）=-=UB）P（BuC）,則事件/UB,8uC相互獨(dú)立，D正確.

8

故選：c

16.設(shè)函數(shù)>=〃x)在區(qū)間/上有導(dǎo)函數(shù)y=/'(x),且/'(尤)<0在區(qū)間/上恒成立，對任意的xe/,有

/(x)e/.對于各項均不相同的數(shù)列｛?！埃?a^I,a?+l=f(a?),下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列｛出1｝與｛%“｝均是嚴(yán)格增數(shù)列

B.數(shù)列｛電“T｝與｛的“｝均是嚴(yán)格減數(shù)列

C.數(shù)列｛g"/與｛g/中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列

D.數(shù)列｛%-｝與｛々“｝均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列

【答案】C

【分析】由條件易知函數(shù)y=f(x)在/上嚴(yán)格遞減，構(gòu)造%+2-2"=/(%+1)-/(%_)，因數(shù)列｛%｝的各項

均不相同，由出"+1，。2.一1的大小比較，利用函數(shù)單調(diào)性可得%"+2,%”的大小關(guān)系，即得結(jié)論.

【解析】依題意，因r(x)<0在區(qū)間/上恒成立，則函數(shù)y=/(x)在/上嚴(yán)格遞減，

由。2"+2-。2.=/(。2"+1)-/(。2"一1)，"CN*,因數(shù)列｛%｝的各項均不相同，且為€，，

若a2n+l〉。2所1,則/(。2.+1)</(“2"-1),即a2n+2<a2n，即此時數(shù)列｛。2-｝嚴(yán)格遞增，數(shù)列｛的"｝嚴(yán)格遞減；

若%+1<。21，則/(a2“+l)>/(a2“T)，即出"+2>。2”，即此時數(shù)列｛。2”1｝嚴(yán)格遞減，數(shù)列｛/“｝嚴(yán)格遞增.

綜上所述，數(shù)列｛4,-J與｛%,｝中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列.

故選：C.

【點睛】思路點睛：本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.

解題思路在于根據(jù)選項信息，考慮數(shù)列中連續(xù)偶數(shù)項的差，通過對應(yīng)的連續(xù)奇數(shù)項的大小比較，借助于函

數(shù)單調(diào)性得出偶數(shù)項的大小關(guān)系.

o-----------c組?高分突破-----------*

一、填空題

1.若集合/=｛-l,0,l,5,10,20｝,5=｛_v|lgkVl｝,則/口8=.

【答案】｛1,5｝

【分析】解對數(shù)不等式得出集合B,然后再根據(jù)交集的定義即可得出答案.

【解析】5=｛x|lgx<l｝=｛x|0<x<10｝,所以/C8=｛1,5｝.

故答案為：｛1,5｝

22

2.橢圓土+匕=1的焦點坐標(biāo)為

210

【答案】(0,±2也)

【分析】由橢圓的性質(zhì)求出即可；

【解析】由題意可得/=10萬=2,所以‘2=/_廿=8,且焦點在y軸上，

所以焦點坐標(biāo)為(o,±2也)，

故答案為：(0,±20).

3.已知點尸(3,-4)是角a終邊上一點，則cos2a=.

7

【答案】一石/一°28

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.

【解析】因為點尸(3,-4)是角a終邊上一點，，

7

故答案為：一石.

4.已知函數(shù)y=/(x),若(⑴=2,則欣〃"？一/⑴二

【答案】2

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計算可得.

【解析】因為/'⑴=2,所以廛+尸(1)=2.

故答案為：2

5.不等式3"+lgxW3的解集是

【答案】(0』

【分析】設(shè)/(x)=3"+lgx,判斷其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式.的解集.

【解析】由題意可設(shè)〃x)=3'+lgx,定義域為(0,+oo),

由于y=3'/=1g無在(0,+8)都單調(diào)遞增，

故/(x)=3、+1gx在(0,+oo)上單調(diào)遞增,且/0)=3,

故不等式3，+lgx<3的解集是(0』，

故答案為：(。川

6.在(3/-2］的二項展開式中，常數(shù)項為

【答案】405

【分析】由二項式展開式的通項中令2(10-。-；廠=0,再求出即可;

【解析】展開式的通項為1包二加。。/)?]-/],

令2(10一r)_gr=O,解得r=8,

所以常數(shù)項為C：032X(-1)8=405,

故答案為：405.

7.若函數(shù)/(x)=x+：在區(qū)間(。,+00)上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[1,+8)

【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的知識求得正確答案.

【解析】由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，/(X)在(1,+8)上是嚴(yán)格增函數(shù)，

所以(。,+8)=1,+8)

所以ae[l,+8).

故答案為：口,+°0)

8.已知i為虛數(shù)單位，設(shè)加eR.若2+i是實系數(shù)一元二次方程/-加x+5=0的一個虛根，則加=.

【答案】4

【分析】將2+i代入方程計算即可求解出加的值.

【解析】因為2+i是/-必+5=0的一個虛根，所以(2+葉-加(2+i)+5=0,

化筒可得8—2加+(4—加)i=0,所以＜，即加=4,

[4—加=0

故答案為：4.

9.已知隨機(jī)變量x的方差。(x)=i,則隨機(jī)變量y=3x+2的方差。(丫)=

【答案】9

【分析】利用方差的性質(zhì)直接計算求解即可.

【解析】因為隨機(jī)變量X的方差。(x)=l,隨機(jī)變量y=3X+2,

所以。(y)=D(3X+2)=32￡?(X)=9

故答案為：9

10.二面角[-/-4的半平面a上有一點A,到直線/的距離為4,到平面方的距離為2,則二面角[-/-6

的大小是.

【答案】g或篙

66

【分析】作出圖像，根據(jù)二面角定義求解即可.

【解析】①如圖，過點A作/C，/于點C,4DL平面?于點。，則二面角a7—4是4CD

an-i兀

/C=4,AD=2,則sin/AZ7=—=—,/.ZACD=-,

AC26

①如圖，過點A作于點C,4。_1平面分于點。，則二面角a-/一4是的補(bǔ)角

AHijr

AC=4,AD=2,貝!Jsin/ND=—=—,：./ACD=一,二面角cc—l-13

AC26

%5%

為不

，二面角的大小是：濤?

故答案為:港青

11.如圖，探測機(jī)器人從。點出發(fā),準(zhǔn)備探測道路0A和0B所圍的三角危險區(qū)域.已知機(jī)器人在道路0A和0B

上探測速度可達(dá)每分鐘2米，ZAOB=60°,在N/O8內(nèi)為危險區(qū)域，探測速度為每分鐘1米.假設(shè)機(jī)器人

可隨時從道路進(jìn)入危險區(qū)域且可在危險區(qū)域各方向自由行動（不考慮轉(zhuǎn)向耗時），則理論上，5分鐘內(nèi)機(jī)器

人可達(dá)到探測的所有危險區(qū)域內(nèi)的點組成的區(qū)域面積為

OL-----------------------B

【答案】迎m

3

【分析】討論機(jī)器人探測的路線，結(jié)合直線與圓的關(guān)系計算三角形面積即可.

【解析】如圖所示，機(jī)器人只在道路上前進(jìn)可到達(dá)N3點，則。/=。=10米,

作N/O8的角平分線OC,過工作4DLOB,垂足為。點，交0c于C點，

設(shè)機(jī)器人先在道路OA上前進(jìn)f分鐘到達(dá)P點，

此時OP=27,AP=10-2f,后進(jìn)入危險區(qū)域，

其能探測到達(dá)的點組成以P為圓心，以（5-。為半徑的圓弧武，

y1

由題意可知：—=-=sinZCMD,即40與該圓弧相切，設(shè)切點為E,

故隨P點從。移動到/,機(jī)器人可探測的區(qū)域為△04。，

結(jié)合對稱性，機(jī)器人5分鐘能到達(dá)的點圍成區(qū)域有△04。與人05尸，即圖中陰影部分,

其面積為2s.OAC'

易知AO/C為含120。的等腰三角形，所以區(qū)域面積為：2x」xCM2xsinl2（r=旦亞.

23

故答案為：也叵

3

【點睛】本題關(guān)鍵在于對題意的理解，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，利用角的對稱性得出區(qū)域形狀，再

解三角形求區(qū)域面積，極容易出錯，需要仔細(xì)審題.

12.已知集合〃={々送,5,…2,〃eN是由函數(shù)〉=8次廣€[0,2可的圖象上兩兩不相同的點構(gòu)成的

點集，集合S={a|a=麗?玩「=0,1,2,…,％〃N2,〃eN},其中《（0,1）、6（私-1）.若集合S中的元素按照

從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，當(dāng)時，則符合條件的點集M的個數(shù)為.

【答案】60

【分析】確定數(shù)列中最大值為1,最小值為-1,然后根據(jù)d分類得出等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的項確定點？

的橫坐標(biāo)的值，然后由M中對應(yīng)點的情形確定集合個數(shù).

【解析】由已知%=砒?函=1,%=函?西=一1,

設(shè)月（4％），則生=西-斯=%,顯然

若d=l,貝”={-1,0,1},因此有％=0,

由cosX,.=0,X,.e[0,2利得玉、TT或三47r，對應(yīng)0亨7T0）,&（三37r,0）,

同理。3（2兀,1）對應(yīng)4，

集合“中已經(jīng)含有點乙，4，

因此產(chǎn)生S={-1,0,1}的集合M中，點口可有也可沒有，2,2至少有一個，

所以M的個數(shù)為2x3=6,

若d=；,則5={一1,一；,0,；,1},

1271T4兀1?！?兀

cosx.=——,%=:-或x二-,cos=—,苞=7或不"，

233233

i,>.1八/兀1、八/5兀1、八/2兀1、八,4兀1、

對應(yīng)點。4（5，5）,。5（”-，不入以仆-「/方與"廠不）,

產(chǎn)生｛-1,-；。；」｝的集合M中，點。3可有也可沒有，0,2至少有一個，

。4，以中至少有一個，以，。7中至少有一個，〃■的個數(shù)為2x3x3x3=54,

綜上，集合新的個數(shù)為6+54=60.

故答案為：60.

【點睛】方法點睛：確定集合的個數(shù)即為確定集合中元素的可能性，本題中首先確定出最終等差數(shù)列的最

大值和最小值，從而根據(jù)公差得出等差數(shù)列，由等差數(shù)列確定可能含有的點，從而得出集合個數(shù).

二、單選題

13.已知直線加，平面則“直線是“"〃a”的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】結(jié)合空間線面位置關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.

【解析】若直線加，平面a,nlm,則直線”u平面a或〃//&；

若直線加_L平面a,直線〃〃a,則〃L",

所以“力1m”是“nHa”的必要不充分條件.

故選：B.

14.某校期中考試后，為分析100名高三學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，整理他們的數(shù)學(xué)成績得到如圖所示的頻率

分布直方圖.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.估計數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)為75B.a—0.05

C.估計數(shù)學(xué)成績的7