熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題05圓錐曲線(十二大題型)

?>----------題型歸納?定方向-----------?>

題型01定點(diǎn)問題...............................................................................2

題型02定直線問題.............................................................................6

題型03定值問題..............................................................................11

題型04最值問題..............................................................................15

題型05取值范圍問題..........................................................................18

題型06向量問題.............................................................................23

題型07弦長、焦點(diǎn)弦問題......................................................................24

題型08數(shù)列在圓錐曲線的應(yīng)用..................................................................28

題型09軌跡問題..............................................................................30

題型10新定義題..............................................................................34

題型11三角形的“心”在圓錐曲線的應(yīng)用..........................................................38

題型12證明恒等式...........................................................................42

?>----------題型探析?明規(guī)律-----------檢

【解題規(guī)律?提分快招】

工一束麗靈雙而瞬藏恿落

(1)把直線或曲線方程中的變量X,y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要

對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于X,y的方程組，這個(gè)方程組的

解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).

(2)由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式y(tǒng)—y0=k(x—x0),則直線必過定點(diǎn)(xO,yO)；

若得到了直線方程的斜截式y(tǒng)=kx+m,則直線必過定點(diǎn)(0,m).

2、圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略

(1)求代數(shù)式為定值.依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值.

(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值.利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求

得.

(3)求某線段長度為定值.利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得.

3、圓錐曲線中最值的求法

(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決.

(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，

求函數(shù)最值的常用方法有配方法、判別式法、基本不等式法及函數(shù)的單調(diào)性法等.

4、圓錐曲線中取值范圍問題的五種常用解法

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

5、存在性問題的解題策略

存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.

(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論.

(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件.

(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時(shí)，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.

頻亞01莫麗顧

22

【典例1-1].(2024?上海寶山一模)已知橢圓「:土+匕=1,直線/經(jīng)過橢圓「的右頂點(diǎn)P且與橢圓交于

93

另一點(diǎn)A,設(shè)線段4P的中點(diǎn)為

⑴求橢圓「的焦距和離心率；

(2)若后.=-；，求直線/尸的方程；

⑶過點(diǎn)尸再作一條直線與橢圓「交于點(diǎn)3,線段2尸的中點(diǎn)為N.若。則直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？

若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)2跖如

3

(2)x-y-3=0

(3)直線AB經(jīng)過定點(diǎn)C.

【分析】(1)根據(jù)橢圓方程確定。、b,利用c："7奇解出c即可求解；

(2)設(shè)直線AP的方程x=(y+3,直曲聯(lián)立根據(jù)韋達(dá)定理得：刈+%=岸，結(jié)合M為4尸中點(diǎn)解出“坐

標(biāo)，再利用自.=-；，解出f=1，即可求解;

(3)分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，斜率存在時(shí)，設(shè)出N8方程，直曲聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)

合已知條件，求出直線過定點(diǎn)；斜率不存在時(shí)，設(shè)出A、5兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出M、N坐

標(biāo)，結(jié)合已知條件，求出直線過定點(diǎn)，兩種情況綜合即可求解.

【解析】（1）由a=3,b=G得c=J/-/=6，所以焦距2c=2幾，離心率e=￡=.

a3

(2)

因?yàn)辄c(diǎn)M與點(diǎn)尸不重合，M為/尸中點(diǎn)，所以九二江產(chǎn)二言，

一3產(chǎn)9（9-3/

代入方程、=卬+3,解得“=—+3=3,所以可得點(diǎn)

t+3t+3+3t+3

-3t1

于是由得=1,直線，尸的方程：工-尸3=0.

(3)

22

①當(dāng)直線48斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：y=kx+m,與橢圓「：土+匕=1,

93

y=kx+m

X2+(丘+加J_]

聯(lián)立x2y2]，得:

---F—=1~93―

[93

整理得：（3左之+1）、2+6左加x+3機(jī)2一鄉(xiāng)二o,

_-6km

再+x

2-3尸+1

設(shè)/（孫月）四%2，、2），由韋達(dá)定理得

3m2-9

xx=

123/+1

且A=36k2m2-4（3F+1）（3/M2-9）>0,化簡得〃/-9/_3<0,

又尸（3,0）,從而可皇,?，川宇外

由OM_LQV可得的.礪=0，從而（國+3）@2+3）+%%=0,

又因?yàn)楸?京1+加,y2=kx2+m,

所以上式化為：（再+3）（々+3）+（句+加）（62+加）=。

2

整理得：（左之+1卜1%2+（6+3）（X]+x2）+m+9=0,

韋達(dá)定理代入：1+m3?-9）+一64?（加+3）+/+9=0,

3左2十13左2+1

化簡得：9人2—9加2+2加2=0.

3

（3左一2加）（3左一加）=0,所以加=3左或加=]■左

當(dāng)加=3左時(shí)，直線45為：歹=履+3左=左（％+3）,

直線45經(jīng)過點(diǎn)（-3,0）,舍去；

當(dāng)機(jī)=。左時(shí)，直線48為：y=kx+^-k=k\x+1-\,

2212）

此時(shí);《2一9/一3<0成立，直線48經(jīng)過定點(diǎn)\|,o]

②當(dāng)直線48斜率不存在時(shí),設(shè)/（九”）,,

則0一加+3M亍冽+3，。7加TT7=（丁加+30n\,7TT7（m+3）

代入麗?而=0，得"2=（%+3）2

22?

與3~+（=1聯(lián)立得：2加2+9加+9=0解得加=一]

此時(shí)直線48也經(jīng)過點(diǎn)[go]

綜上，直線43經(jīng)過定點(diǎn)]|,o].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

本題關(guān)鍵在于設(shè)分斜率存在與不存在兩種情況設(shè)出直線AB方程，

利用直曲聯(lián)立得到方程，結(jié)合韋達(dá)定理解決問題.

【變式1-1】.（2024?上海?三模）阿基米德（公元前287年一公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、

物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓面積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長

22

的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C:\+[=l(a>6>0)的面積等于2兀，且橢圓C的焦距為2vL點(diǎn)尸(4,0)、

ab

。(。,2)分別為x軸、y軸上的定點(diǎn).

(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)及為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形尸0R面積的最小值，并求此時(shí)及點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)4、B,已知A關(guān)于V軸的對(duì)稱點(diǎn)為8點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為N,已

知尸、M,N三點(diǎn)共線，試探究直線/是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)9+/=1

(2)4-2V2,RV2,——

I2)

⑶直線/恒過定點(diǎn)(-1,0)

22

【分析】(1)根據(jù)橢圓C的焦距可求出2c,由橢圓C：1+2=1(。>6>0)的面積等于2兀得gi=2兀，求出,

ab

即可求出橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)K(2cosasin。)(。為參數(shù))，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出H到直線。。的距離為

20sin(6+a)-4,由正弦函數(shù)的性質(zhì)確定的最小值，即可求解；

a=------尸-----------

V5

(3)設(shè)直線/：x=my+f,/(匹,弘),//，％)，進(jìn)而寫出為M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，將直線/：x=w?y+f與橢圓C的方

程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求必+為，弘?%，由P、M、N三點(diǎn)共線可知勺必=左而，將%+外，%?了2代入并化

簡，得到機(jī)1的關(guān)系式，分析可知/經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】(1)由題意知，橢圓的面積知°阮=2%得ab=2,

ab=2

t—\a=2

又2c=26，所以=6,解得，,,

\b-\

[a2=b2+c21

丫2

所以橢圓C的方程為?+必=1：

(2)由題意得，直線尸。方程為：+呆1即x+2y-4=0,設(shè)&(2cos&sine)(6為參數(shù)),

則點(diǎn)&到直線尸。的距離為八|2cosO+sin6>-4|_2應(yīng)sin(e+R-4,

忑=忑

當(dāng)sin3+2)=l即e+S=g即時(shí)，"取得最小值，且最小值為宅I,

4424V5

所以&PQR的面積的最小值為￡m=!力尸。卜L與巫.2君=4-2行，

2112V5

止匕時(shí)尺(后,孝).

(3)設(shè)直線/：x=〃9+乙4(西,必),/%,%),則N(-x2,-y2),

."、M、N三點(diǎn)共線，得G叫一小%

%2+4

...弘(x2+4)+%(玉+4)=0,

直線l.x=my+t與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，xx=myl+t,x2=my2+1,

弘(即2+/+4)+y2(my1+/+4)=0,2加必為+。+4)(弘+%)=0,

2mt

%+%=一_

機(jī)F+T74

x=my+1

x2,得(加之+4)>2+2/w+/_4=0,,r—4

由-切片亦

—+y=1

[4J

A>0

2mt

必+歹2=一

m2+4

t2—4

???‘yry2=~~-，代入2加必%+1+4)(必+%)=。中,

m+4

m2+4>t2

2m\彳+,+4)(——2Tt]=0,2m(t2-4)+(/+4)(-2加==0,

m'+4，(m+4J''

8m(?+1)=0

當(dāng)機(jī)=0,直線/方程為x=/,則重合，不符合題意；

當(dāng)」=-1時(shí),直線/：」=叼-1,所以直線/恒過定點(diǎn)(T,。).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消

元得到關(guān)于x或了的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,

該關(guān)系中含有再%,再+X2或乂/，乂+%，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程(或函數(shù))，從

而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.

題型02定直線問題

【典例2-1】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知A、8是橢圓E:1r+的左、右頂點(diǎn)，橢圓石

的長軸長是短軸長的2倍，點(diǎn)”（〃?,0）（加＞0）與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.

（1）求橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)初作直線/交橢圓E于C、。兩點(diǎn)（與A、3不重合），連接NC、8。交于點(diǎn)G.證明：點(diǎn)G在定

直線上；

【答案】（1）離心率為*,標(biāo)準(zhǔn)方程為:+/=1

⑵M（3,0）

（3）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求出。的值，進(jìn)而可求得。的值，由此可得出橢圓￡的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)

方程；

（2）設(shè)P（*o,yo）,利用兩點(diǎn)間距離公式得戶叫=占卜一加,然后根據(jù)0〈機(jī)45、加分類

討論求解即可；

（3）設(shè)直線/的方程為x=（y+3,C（X”M）、D（x2,y2）,與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得

%+為=-"|仍為，寫出直線NC、2。的方程，進(jìn)而求解即可;

【解析】（1）由題意可知，橢圓的長軸長為2%短軸長為2,

由題意可得〃=2,則°=y/a2-1=y/3，

因此，橢圓E的離心率為e=g=且，其標(biāo)準(zhǔn)方程為X+/=i.

a24

（2）設(shè)P（%o,yo）是橢圓上一點(diǎn)，貝1」片+4訴=4,

因?yàn)閈PM\=不(m_x0)2=jx：-2fnx0+m2+1-^-=x；-2加+加2+1

解得加=0（舍去），

=1,解得冽=1（舍去）或加=3,

所以〃點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）.

（3）設(shè)直線/的方程為無=）+3,。（國,必）、D（x2,y2）,

x=ty+3

由-2,，得“2+4），+6川+5=0,所以必+%=-&，%%

----FV=1t+4t+4

14'

由A=16?—80〉0,得店或，<一5

易知直線/C的方程為>=2(X+2),②

直線8Z)的方程為了==三(》-2),③

X?—Z

x+2(再+2)%儂+5）%%%+5%

聯(lián)立②③，消去九得一④

(%-2)弘（仇+1）乂+外

x+2必+%)+5%

聯(lián)立①④，消去多辦,則一7=^------------------=-5,

7-2R+%

0

44

解得x=§,即點(diǎn)G在直線x=§上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

【變式2-1].(23-24高三下?上海?開學(xué)考試)已知橢圓r：W+《=l(a>6>0)的離心率為:，左右焦點(diǎn)分

ab2

別為M是橢圓上一點(diǎn)，I"同=2,/耳1%=60。.

(1)求橢圓的方程；

⑵過點(diǎn)N(l,l)的直線與橢圓交于P,。兩點(diǎn)，R為線段尸。中點(diǎn).

⑴求證：五點(diǎn)軌跡方程為早+用=。;

(ii)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線。尺與橢圓交于點(diǎn)S,點(diǎn)G為直線。尺上一動(dòng)點(diǎn)，且礪.加=2萬、求證：點(diǎn)G

在定直線上.

【答案】（1）［+?=1;

⑵（i）證明見解析；（ii）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)三角形，即可結(jié)合余弦定理求解a=2,

（4左（左一1）3（1—左）、

（2）（i）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得K，從而

14左2+34^+3J

即可得證；（ii）進(jìn)一步根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得證.

【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為:，所以上=解得。=2c.

2a2

因?yàn)閨孫|=2,ZFtMF2=60°,\MF^2a-\MF^2a-2.

在△孫乃中，由余弦定理得（Ze）?=2?+（2a-2）2-2x2（2a-2）cos60°,

解得a=2,則"=/一,2=3,故橢圓的方程為二+片=1；

43

當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為0時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為y=曲尤-1）+1,

「22

土+匕=1

聯(lián)立彳43得（4后2+3）工2一8左（左—1）工+4（左一12二0.

y=k^x-1^+1

因N（l,l）在橢圓內(nèi)，所以直線尸。必與橢圓相交.

設(shè)尸（XQJ,。（乙,%）,由韋達(dá)定理得再+%=,

以M+%=人（%一1）+左（x?-1）+2=4七—?

因?yàn)镽為線段尸。中點(diǎn)，

"4k(k-l)30-左)、此時(shí)小￡=」，則==-%

所以R

、4左2+3'4左2+3,

要證正D+也二1L。，只需證明”=一滬飛

43XR4（^-1）

2四I）；

而3國T）=__婕+3=_J_="，

4（"T）4「3（1-左）,14kxj

4^71一1

所以尺點(diǎn)軌跡方程為止二D+也二D=o；

43

二十匚］

16k29

(ii)聯(lián)立＜43得X2則「二E

4k2+3

尸一戰(zhàn)“

16k29

不妨設(shè)S（xs，%）,所以片=

4k2+34左2+3

不妨設(shè)G（XG/G），由礪.加=2萬2得

尤.竺0+y,止亞2(金+」-]

G4后2+3%4廿+314左2+34/+37

2

即4左2%—3kyG+3yG-4kxG=2^16k+9).

34k

因?yàn)閹?-/%，%=--不丹，

4k3

234k/2、

所以4kxG+3kxG+3yG+4kyG=2(i6k+9).

4k3v7

,?,16左2+9〉0,所以+即3%+4歹6=24,

貝4G點(diǎn)在定直線3x+4y—24=0上.

當(dāng)直線尸。斜率為0時(shí)，尸。//X軸，此時(shí)R（O,1）,S僅,有）.

因?yàn)榈Z.礪=2麗+所以|西=6,則,

故G點(diǎn)在定直線3x+4尸24=0上；

當(dāng)直線尸。無斜率時(shí)，此時(shí)直線P。方程為x=l,易知P01軸，

所以點(diǎn)R在x軸上，則5（2,0）.

,-OROG=2OS2>所以I網(wǎng)=8,即G（8,0）,則G點(diǎn)在定直線3x+4y-24=0上.

綜上可得：G點(diǎn)在定直線3x+4y-24=0上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法

(1)引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)

系，找到定點(diǎn).

(2)特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).

技巧：若直線方程為則直線過定點(diǎn)(X。,%)；若直線方程為丁=履+6(6為定值)，則直線過

定點(diǎn)(0涉).

題型03定值問題

【典例3-11.(2024?上海徐匯一模)已知過點(diǎn)尸(3,&)的雙曲線C的漸近線方程為工士島=0.如圖所示,

過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線/交C的右支于48兩點(diǎn).

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知點(diǎn)求證：NW=NBQF；

(3)若以N3為直徑的圓被直線x截得的劣弧為而，則疝所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出

該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】

(2)證明見解析

(3)是，定值為三

【分析】(1)利用雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線的方程，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可求解；

(2)要證ZAQF=ZBQF,只需證幻°=-kBQ即可；

(3)構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)即可求出定值.

【解析】(1)因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為》±?=0,

所以設(shè)雙曲線方程為V-3/=2(2*0),又雙曲線過點(diǎn)P(3,V2),

貝IM=9-3X2=3,

丫2

所以雙曲線的方程為/-3/=3,即(一/=1

(2)由⑴可知尸(2,0),/的斜率存在且不為0,所以設(shè)/的方程為l=Mx-2),

::k^-3，消去歹得(1一3〃)/+12左2、一12左2—3=0,

聯(lián)立

1-3左2wo

A>0

-12產(chǎn)

設(shè)/（國，必），5（%2，%），由題意得＜x=----->0

121一3左2

-12k2-3

>0

1—3左2

-12k2

Xi+X9=--------7

6Fx121-3左2

所以左￡(-GO,-)U(^-,+°O)，且<

~12k2-3

3二口^

%左(七一2)左(馬一？)

=+2

y23~--3

3X\~~X2

22

77

k一5($+%)+6k2(-12^2-3)+-x12A;2+6(1-3k2)

2

二0,

、

3(9,3,92,2

再了2-](再+%2)+^-1-3+-x12A:+-(1-3A:)

24

所以e°=-kBQ,即AAQF=NBQF得證.

-12左2

(3)由(2)可知A=12/+12>0恒成立，再+%=

1-3/

36k23左2+3

所以圓心到X=；的距離d=2

3r-122(3--1)'

半徑/=網(wǎng)=。+12712^+12頻+r)

22"3燈一|3^2-1|

設(shè)而所對(duì)圓心角為6,

(2

e9d__3^+1)3上'-I=在

則cos萬=

r2(3二_1)F，

因?yàn)槎鵀榱踊?，所以?！辏ā?，兀?

所以所以。=g,即疝所對(duì)圓心角的大小為定值R

2633

2

【變式3-1].（2024?上海嘉定?一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓「二?=1,耳心是其左、右焦

5

點(diǎn)，過橢圓「右焦點(diǎn)鳥的直線PQ交橢圓于R0兩點(diǎn).

（1）若圖?再[=3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（2）若A片尸。的面積為言，求直線尸。的方程；

⑶設(shè)直線/與橢圓r交于48兩點(diǎn)，M為線段N8的中點(diǎn).當(dāng)自/心=%?L時(shí)，△048的面積是否為定值？

如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴尸（0,2）或P（0,-2）；

⑵無_2yT=0或x+2y_l=0；

（3）△048的面積為定值，該定值為6.

【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得“0,2）或尸（0,-2）；

（2）設(shè)直線尸。的方程為無=叼+1,聯(lián)立直線尸。與橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算可得

S=8底而巨=竺,可得直線P。的方程；

"F'P@4加2+521

4

（3）利用點(diǎn)差法計(jì)算可得自小心8=-1，設(shè)直線45的方程為＞=區(qū)+6,聯(lián)立橢圓方程并根據(jù)韋達(dá)定理可

得2b2=5r+4,再根據(jù)弦長公式以及點(diǎn)到直線距離可得snAR=Lx應(yīng)平也竺丁性==V5.

—25r+4行記

【解析】（1）易知耳（TO）,另（1,0）,設(shè)點(diǎn)Pg,yo）,

可得鳥+4=1，可得需=4，-條],

則麗=（一1一工0，-%）,電=（1一%,一外）,

所以西?朋=年一1+＞；=￥-1+4[1-￡]=]+3=3,解得無。=0,

可得％=±2，

即尸（0,2）或尸（0,-2）

（2）設(shè)直線P。的方程為x=%y+l,尸隆,力卜0（%,%）

聯(lián)立54并整理可得（47〃2+5）＞2+8叼-16=0,

x=my+1

-8m_-16

所以外+為4/+5'"坨4m2+5

易知△耳po的面積為山區(qū)=J尸內(nèi)回-jH處一總卜J（與+yJ一4孫坨=小石筌]+元鼻

_8底//+140

4m2+5-21

解得m2=4,即加=±2；

所以直線尸。的方程為工一2〉一1=0或%+2夕一1=0.

（3）根據(jù)題意可知直線的斜率存在,

設(shè)直線的方程為昨息+人4（卬月）山（久242），則M（空，空）如下圖所示:

2

%2

-+

241_1

5

易

如，兩式相減可得之==一萼」4;

2

2

W%5（%一%）

-+一x,+x

42

5=1

由后

玉+x2再一馬

即左0加也3=-0，又七河/=自4/，可得自4，%=??§=￥■=-：；

即（京1+6）（玄2+6）左+助（項(xiàng)+工2）+〃_4

-5

x{x2XxX2

二+J

聯(lián)立54整理可得（5左2+4）x?+10左6x+56?-20=0,

y=kx+b

A=（10肋）f-4（512+4）（5〃-20）=400*-80戶+320>0,可得從<5r+4；

-10kb5b2-20

可得玉+%=5/+45-5二+4

k34+kb

-10kb+/

所以左2再工2+kb（占+%2）+〃5左2+45左2+4___4

2一?

4了25b-20

5左2+4

4仿2_5左2）

整理可得立刁24

即2/=5左2+4；

2

—10必?45b-20

易知\AB\=Jl+上[再+7）2-4X]%=V1+F-4x--——

5左2+4I5左2+4

“00?一80b2+320

=Vl+k2

5左2+4

\b\

原點(diǎn)0（0,0）到直線AB的距離為d=比/

4+4

所以AOAB的面積為S0B=-H</=-x7i7Fx-^L=同，干=小；

皿AB2112^°5k2y+4^71+F12b°

所以△048的面積為定值，該定值為行.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)弦中點(diǎn)問題利用點(diǎn)差法表示出斜率關(guān)系，再根據(jù)弦長公式和韋達(dá)

定理表示出面積公式，化簡即可得出結(jié)論.

題型04最值問題

【典例4-1].(24-25高三上?上海奉賢?期中)已知點(diǎn)G是圓T:(x+1『+/=16上一動(dòng)點(diǎn)(T為圓心)，點(diǎn)、H

的坐標(biāo)為(1,0),線段GH的垂直平分線交線段7G于點(diǎn)尺動(dòng)點(diǎn)R的軌跡為曲線C

⑴求曲線C的方程；

3

(2)M,N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、ON的斜率分別為匕和與，且桃2=-“則△M9N

的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

⑶設(shè)P為曲線C上任意一點(diǎn)，延長OP至。，使麗=3礪，點(diǎn)0的軌跡為曲線E,過點(diǎn)尸的直線/交曲線

E于/、3兩點(diǎn)，求A/QB面積的最大值.

22

【答案】⑴C:二+匕=1

43

⑵為定值，V3

(3)876

【分析】(1)由已知得，可得動(dòng)點(diǎn)尺的軌跡為橢圓，|RT|+WM=|RT|+|RG卜|G7|=4>[7H|=2然后求出

即可得解；

(2)設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出△MON的面積，利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的運(yùn)算，求AMON

的面積；

(3)求出點(diǎn)。的軌跡方程曲線E,S.AQB=2S.A°B，分類討論設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理表示邑，3，由直

線與曲線C有交點(diǎn)確定參數(shù)范圍，求面積最大值.

【解析】(1)|財(cái)=|"|,則p?r|+|RM=|RT|+|RG|=|GT|=4>|陽|=2,

則曲線C是以(-1,0)和(1,0)為焦點(diǎn)，4為長軸的橢圓；

2222

設(shè)橢圓方程為二+==1,則。=2,c=l,b2=a2-c2=3,曲線C:二+匕=1.

a2b之43

(2)設(shè)A/(2cosa,Gsina),N(2cosP，VJsin竹

y/isina7V3sin/3

所以左=,左2=

2cosa2cosfi

J5smay/3sinp_3

則kk--9

x22coscos24

化簡得：cos（a—夕）=0,貝Ij卜in（a_/7）］=1,

“2cosa）2+（石sina）,

又(W=

直線OM:2cosax-V3sinay=0

|A/3sina2cosZ7-2cosay［isind\|2A/3sin（a—￡）|

則N到直線0"的距離"=

J（百sina）+（2cosa）2'（百sina）+（2cosa『

b?2|2V3sin（6r-/7）l

所以邑MON=JN3sina）+（2cos?）x?——----------）=百$也（"閉=Q為定值;

V3sincr1+（2cosa）

‘Ki代入橢圓方程得到曲線E：二+且=1；

(3)設(shè)點(diǎn)。(x/),則點(diǎn)P

（33）3627

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)：設(shè)/:x=￡［-2,2］）,

2,

代入E中有「=27-4〃則S.AQB=2S^AOB=2M-卜W8在

<>

當(dāng)直線/斜率存在時(shí)：設(shè)/:了=依+加,4(久1,月)，8(X272)，

代入E的方程：（4左2+3）f+8mkx+4m2-108=0,

?一8km4m2-108

則芭+/=/,2r，陽工2-------5-------，

124左2+3124左2+3

2,2、2

S.AQB-2S.AOB-\m\\xi引一小1［（玉+X2）4*七］一9mIm

^2+314左2+3）'

而/與橢圓c有公共點(diǎn)，代入得：（4廿+3產(chǎn)+8.x+4---12=0,

由AN0有4左+32加，t己￡一?，貝!］—4一<876,

4左+3

綜上，A/QB面積的最大值為8面.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)而不求結(jié)合換元是解決圓錐曲線解答題最常用的方法，也是本題核心解題思路.

2

【變式4-1】.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓「三+必=1的左，右焦點(diǎn)外

別為片，鳥，設(shè)尸是第一象限內(nèi)r上的一點(diǎn)，尸耳、陰的延長線分別交「于點(diǎn)9、Q2.

⑴求△尸耳2的周長；

⑵求△尸42面積的取值范圍；

⑶求一s△%0]的最大值.

【答案】（1）40;

⑵（0,回；

⑶平.

【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的定義即可得到△尸2月的周長為4%從而得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線P2與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；

（3）根據(jù)題意，聯(lián)立直線片P的方程與橢圓方程，代入計(jì)算，即可得到點(diǎn)。的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)&的坐標(biāo),

然后表示出S叢PF&_S/\PF必，結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.

【解析】（1）TK，8為橢圓。的兩焦點(diǎn)，且P,Q為橢圓上的點(diǎn)，

PF,+PF『2E+Q2F2=2a,從而4PQE的周長為4a.

由題意，得4a=4后，即△尸片&的周長為4夜.

（2）由題意可設(shè)過P02的直線方程為芯=加y+1,2（/,比）,。2（%2，為）,（尤0>0,%>0）

聯(lián)立消去X得（/+2獷+2沖7=0,

[x+2y=2'7

因?yàn)橹本€尸。2所過定點(diǎn)0,0）在橢圓內(nèi)，則直線與橢圓必有兩交點(diǎn)，

2m1

則nil.％+%=一而百%.%=一可'

=/2丫+」,4-8,

+2Jm2+2Jm2+2+2^2

則尻_%|=心（"）（當(dāng),=1■時(shí)等號(hào)成立，即加=0時(shí)）

所以其唳=；|五0||%-%|=32.尻一刃=|%-%區(qū)收，

故△W面積的取值范圍為（0,回.

（3）設(shè)。"W,必），直線片尸的方程為：＞=/（x+l）,將其代入橢圓「的方程可得

N）+1

(%+1)2=1,

2

整理可得(2%+3)x+4y^x—3XQ—4X0=0,

—j40—r4■Y人o得玉=一部,％=^11黑+1]=

貝ij/%］二%

2x+3

02XQ+3

3x0+4%

故。

2x0+32%+3,

當(dāng)％Hl時(shí)，直線工尸的方程為：y=^-（x-1）,將其代入橢圓方程并整理可得

%—1

(-2%+3)x?—4JVQX_3XQ+4XQ=0,

"3x0-4y0

同理，可得Q

、2x°—32x0-3,

所以S”F&-SJF血=；x2.（-力）一gx2.（-凹）

==九為8xo-81廣82應(yīng)

1

一2-2XO+32無。一3一嫣+1電2-&+丑12耳叵一3

%%,y0x0

當(dāng)且僅當(dāng)x0=半,%=嚕時(shí)，等號(hào)成立.

（V2、V2V2

若尸匕_Lx軸時(shí)，易知P1,半

，%=