第2節(jié)弦圖的構造

前言：在證明勾股定理的時候，我們認識了“外弦圖"以此為起點，可作進??步的探究.

知識導航

弦圖的構造

如圖，有4AED^ABFA^ACGB^DHC.

稍作變形，若DE_LAF,貝?。菘傻茫篈DAE絲Z:\ABF.

一般地，在正方形ABCD中若MNLPQ,則必有MN=PQ.

思路1：分別將PQ、MN平移至AF、DE位置（作平行線）證明AF=DE即可.

思路2:過點P作PEXBC,過點N作NF_LAB交AB于點F,可證△PEQ0Z\NFM.

反之,若已知PQ=MN,但不一定存在PQXMN.

如下：EF=PQ=MN,但EF不與MN垂直.

由位置關系可推數(shù)量關系，

但由數(shù)量關系未必可推位置關系.

引例1：如圖，已知正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在AD、DC±.AE=DF=2,BE與AF相交于點G,點

H為BF的中點，連接GH,則GH的長為.

解析：：AE=DF,/.ABAE^AADF,ZABE=ZDAF,

ZDAF+ZBAG=90°,Z.ZABE+ZBAG=90°,

/.ZAGB=90°.VDF=2,.\CF=3,

???BF=y/CF2+BC2=后，

模型變式

(1)弦圖與對稱：對稱點連線被對稱軸垂直且平分.

沿MN折疊，則AA'=MN且AA'XMN.

(2)弦圖與輔助圓：垂足H軌跡是個圓弧(定邊對直角)

以AD中點M為圓心，MA為半徑的圓弧，點A、O為圓弧兩端點.

(3)弦圖與四點共圓：C、D、H、F四點共圓.

連接DF,取DF中點N,以點N為圓心，DN為半徑作圓，C、D、H、F四點共圓.

特別地，若E、F分別是AB、BC中點，連接CH則CH=CD.

證明：?.?/CHD=NCFD=NAED=/CDE,/.CH=CD.

⑷矩形中的弦圖構造：

在矩形ABCD在E、F分別是AB、BC上的點,且AFLDE,則會=黑.

證明：由題意得：△ABF^ADAE,???黃=笫

引例2:如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,若點E是邊CD的中點，連接AE,過點B作BFLAE交AE于點

F,貝UBF的長為()

A3V10D3V10710N3A/5

A.---D.---C.u.

2555

解析：VAD=3,DE=1,/.AE=V10

可得：AADES^BFA,.?.也=空

BFBA

代入解得：手=。，

ZDr

解得：BF=^°,

.?.選B.

引例3:在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE.

【感知】如圖L過點A作AFLBE交BC于點F.易證△ABF0Z\BCE.（不需要證明）

【探究】如圖2,取BE的中點M,過點M作FG_LBE交BC于點F,交AD于點G

(1)求證：BE=FG.

⑵連結CM,若CM=1,則FG的長為.

【應用】如圖3,取BE的中點M,連結CM.過點C作CGJ_BE交AD于點G,連結EG、MG.若CM=3,則

四邊形GMCE的面積為.

解析:⑴過點A作AP〃GF廁四邊形APFG是平行四邊形，，AP=FG,又：GFJ_BE,；.AP，BE,由題意得△A

BP^ABCE,.\AP=BE,；.BE=FG.

(2)如圖，若CM=1,貝!]BE=2CM=2,；.FG=BE=2.

(3)若CM=3,BE=6,：CG，BE,；.CG=6,考慮四邊形GMCE對角線互相垂直，

11

.??Sme=-ME-CG=-x3x6=9.

四邊碗MCE22

故四邊形GMCE是面積為9.

真題演練

1.如圖，正方形紙片ABCD邊長為12,E是邊CD上一點，連接AE、折疊該紙片，使點A落在AE上的G點，

并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BF,點F在AD上，若DE=5,則GE的長為.

2.如圖,E是矩形ABCD的邊CB上的一點AFJ_DE于點F,AB=3,AD=2,CE=1,求DF的長度.

3.如圖，正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE,過B點作BHXAE,垂足為點H,延長BH交CD于點

F,連接AF.

(1)求證：AE=BF.

(2)若正方形邊長是5,BE=2,求AF的長.

4.如圖，正方形ABCD中，G為BC邊上一點，BE12G于E,DF12G于F,連接DE.

(1)求證：△ABE=ADAF;

⑵若AF=1,四邊形ABED的面積為6,求EF的長.

5.已知：如圖,正方形ABCD中，P是邊BC上一點，BE1AP,DF14P,垂足分別是點E、F.

⑴求證：EF=AE-BE;

(2)連接BF,如果蕓=整.求證：EF=EP.

6.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,點G在邊BC上，連接AG作DE14G于點E,BF_LAG于點F,連接BE、

DF,設乙EDF=a/EBF=0,聯(lián)=k.

(1)求證：AE=BF;

(2)求證：tana=k-tang;

(3)若點G從點B沿BC邊運動至點C停止,求點E、F所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積.

7.如圖1,在正方形ABCD中，點E是AB邊上的一個動點(點E與點A、B不重合),連接CE,過點B作BF

_LCE于點G,交AD于點F.

(1)求證：AABF^ABCE;

(2)如圖2,當點E運動到AB中點時，連接DG,求證：DC=DG;

(3)如圖3,在⑵的條件下，過點C作CMLDG于點H,分別交AD、BF于點M、N,求黑的值.

圖3

8.如圖.在正方形ABCD中，點G在邊BC上(不與點B、C重合)，連結AG,作DELAG于點E,BF_LAG于點F,

、八BG,

設——=k.

BC

(1)求證：AE=BF.

(2)連結BE,DF,設NEDF=a,ZEBF-p.

求證：tana=k-tanp.

⑶設線段AG與對角線BD交于點H,AAHD和四邊形CDHG的面積分別為Sx和S2,求苦勺最大值.

9.(1)證明推斷：如圖1,在正方形ABCD中，點E、Q分別在邊BC、AB上，DQLAE于點0,點G、F分別

在邊CD、AB上，GF_LAE.

①求證：DQ=AE;

②推斷：喘的值為________；

AE

⑵類比探究：如圖⑵在矩形ABCD中，篇=楸為常數(shù)）.將矩形ABCD沿GF折疊.使點A落在BC邊上的

點E處得到四邊形FEPG,EP交CD于點H,連接AE交GF于點0.試探究GF與AE之間的數(shù)量關系，并說明

理由；

⑶拓展應用：在⑵的條件下，連接CP,當k=|時，若tanzCGP=\,GF=2所,求CP的長.

10.如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點K在AD上，連接BK,過點A,C作BK的垂線，垂足分別為M,N,

點O是正方形ABCD的中心，連接OM,ON.

(1)求證：AM=BN.

（2）請判定△OMN的形狀，并說明理由.

（3）若點K在線段AD上運動（不包括端點），設AK=X,AOMN的面積為y,求y關于x的函數(shù)關系式（寫出x

的范圍）；若點K在射線AD上運動，目4OMN的面積為專,請直接寫出AK長.

展

解析：易證△ADEgABAF,；.AF=DE=5,BF=13,

記AE與BF交點為H,SABF=^AB-XF=|x12X5=30,又SABF=|?BF-XH=|X13-=30,AH=

60.—120ztyc12049_i_￡_14A[./、]49

—AG=一,??.GE=13------=—.故GE的1長為一..

1313'131313

2.解析：ZCDE+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,.\ZCDE=ZDAF.XZC=ZAFD=90°,AAAFD^ADCE,

ZDCE=ZDDE,VDC=3,CE=1,/.DE=Vl2+32=VIU代入得：竽=島,二。昨半.

3.解析：(1)易證：AABE^ABCF,.\AE=BF.

(2)CF=BE=2,DF=3,/.AF=V52+33=V34

4.解析:(1)證明略；

(2)設AE=x,則DF=x,

^ABED=^ABE+^ADE=21X21%7=

解得:%1=3,X2=一4(舍)，

；.AE=3,又AF=1,；.EF=2.

5.解析：(1)易證△DFAgZkAEB,，AF=BE,

,--EF=AE-AF,.,.EF=AE-BE.

(2)VADFA^AAEB,.*.AF=BE,BF=AFF=DFAD,

.?.△BEFs^DFA,易證△BEPszXDFA,；.ZkBEFs/\BEP,又BE是公共邊..?.△BEFdBEP,；.EF=EP.

6解析：(1)易證△DEA04AFB,，AE=BF.

⑵啜=*警=小呼點

BFEFEF

???k?tan￡=—?—=—=tana,即tana=k-tanp.

(3)由題意可得E點軌跡是以AD中點為圓心、AD為直徑的圓弧，F(xiàn)點軌跡是以AB中點為圓心、AB為直

徑的圓弧，如圖所示，與AB邊圍成的圖形面積等于4AOB的面積(點O為對角線交點),--AB=4,SA0B=|x4

X2=4,即點E、F所經(jīng)過的路徑與邊AB圍成的圖形的面積為4.

7解析：(1)VZABF+ZCBG=90°,NBCE+NCBG=90。,；.NABF=NBCE,

在小ABF和4BCE中,

ZABF=ZBCE

■AB=BC，

ZBAF=ZCBE

：.AABF^ABCE(ASA).

(2)???/CDF=NCGF=90。，故C、D、F、G四點共圓，連接CF,取中點O,點O即為圓半徑.

/DGF=/DCF,：點F是AD邊中點,，ZFCD=ZFBA=ZBCE,ZDGF=ZBCE,

ZDGC=ZDCG,.\DG=DC.

(3)tanZDGC=tanZDCG=2,/.tanZGCN=［不妨設BC=小口,貝!］.BG=a,CG=2a,；.NG=a,CN=V5a,XCH=

4>/5nrTTVs曰X-I-,ncn.3CRa5"\/5n〃“rV5MH5

—u,NH=—a.勿證tanZ.DCM=CM=—CL,MN=—CL.—=—.

55444NH4

8解析：(1)易證AAED0ZkBFA,/.AE=BF.

FF(l-fc)ayinEF(1—Zc)a1—k.i

AE=BF=a-tanZBAG=ak,EF=a-ak=(1-k)a.tancr=—=1—k,tan/?=—=-------=——,..tana=kta

a尸BFakk

np.

(3)設正方形邊長為單彳立1,貝！］BG=k,CG=l-k,易證△BHGs/XDHA,；.MH=BGAD=k,

連接DG,則=k又SAGD=力=?即S/HO=T~T'~=77?,￡=2左+2,又^DGC=3,

->DHANH73形ABC,DZ1+KZZK+ZI+KZZK+ZZ

(1-k)?1=—,

ck,1-k一次2+/+1

?'?Do=------------1----------=

z2k+222k+2'

會=+k+1,當k=5時，取到最大值3

2>1z4

.?.當k=9時，的最大值為;

Zo14

9.(1)①易證△DAQ^AABE,;.DQ=AE.

②易證四邊形DGFQ是平行四邊形，

.\FG=DQ,；.FG=AE,/.GFEE=1.

(2)如圖，過點F作FM,CD交CD邊于M點

I~?x—1-廠n,—aclFGFMBC,

勿證FMG=ABE,—=—=—=k.

AEABAB

⑶???GF=2VT0,^|=l，-.AE=3V10.

^.^PG〃EF,CG〃BF,易證/CFP=/BFE,.^.tan/BFE=-

4

；.BF=4,AF=EF=5,BE=3過點P作PQ±BC交BC延長線于點Q,易證△FBEs^EQP,

噎噂