第6講面積比分析

前言：除了三角形、四邊形面積計(jì)算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結(jié)論，且比求面積要復(fù)雜得多，

常見面積比處理策咯⑴計(jì)算；⑵轉(zhuǎn)化.

知識(shí)導(dǎo)航

化比例為計(jì)算

探究?jī)蓚€(gè)三角形之間比例關(guān)系時(shí)，若已知其中一個(gè)面積，則可通過(guò)比值求出另一三角形面積，即可將比例問(wèn)題

轉(zhuǎn)化為定值問(wèn)題.

弓I例1：綜合與探究：如圖，拋物線yax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D

是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m(l<m<4).連接AC、BC、DB、DC.

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)ABCD的面積等于△AOC的面積的|時(shí)，求m的值；

解析：(1)設(shè)解析式為交點(diǎn)式：y=a(x+2)(x-4),

展開得：y=ctx2—2ax—8a,

常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等，-8a=6,

解得：a=

4

???拋物線解析式為：y=-；%2+|%+6.

(2)考慮△AOC和小BCD在位置上無(wú)明顯關(guān)系，且^AOC是確定的三角形，可通過(guò)面積比推導(dǎo)△BCD的面積.

由題意得S40C=5*2x6=6,

過(guò)點(diǎn)D作DQLx軸交BC于點(diǎn)Q,

則SBCD=SCDQ+SBDQ=$08,DQ,

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(m，-+|m+6)

由題意得直線BC解析式為y=-1%+6,

???點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m，-|m+6)

37

DQ=--m+3m,

SBCD=j><4-(-|m2+3m)=1

解得:m1=l(舍),m2=3,

綜上，m的值為3.

2化面積比為線段比

化面積比為底邊比：SABD'ACD=BD:CD.

推廣：對(duì)于共邊的兩三角形△ABD和4ACD,連接BC交AD于點(diǎn)E,則SAABD:SAACD=BM:CN=BE:CE.

引例2：已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋

物線上的動(dòng)點(diǎn).

⑴拋物線的解析式為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；

(2)如圖，連接OP交BC于點(diǎn)D,當(dāng)SCPD0PD=1：2時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析：(⑴y=-X2-2x+3;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4).

⑵根據(jù)SCPD：SBPD=1：2,可得CD:BD=1:2,

D點(diǎn)是線段BC靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，

又..項(xiàng)々,。)、C(0,3),

過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線構(gòu)造相似，

可得D點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2).

3構(gòu)造相似轉(zhuǎn)化比例

在坐標(biāo)系中，若三角形底或高與坐標(biāo)軸不平行，可構(gòu)造相似，將底或高之比轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平行線段的比值.

2+2x+c(a<0)

與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,OB=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)如圖，連接BC,點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接OD、CD.0D交BC于點(diǎn)F,當(dāng)SC0F:SCDF=3:2

時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

解析：⑴解析式：y=-久2+2%+3.

⑵考慮△COF和4CDF共高，將面積之比化為底邊之比.OF:DF=SC0F-.SCDF=3:2.

思路1:轉(zhuǎn)化底邊比為“A”字型線段比

在y軸上取點(diǎn)E(0,5),過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交x軸于G點(diǎn)，EG與拋物線交點(diǎn)即為所求D點(diǎn),

根據(jù)平行線分線段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直線EG解析式為：y=-x+5,

與拋物線聯(lián)立方程，得：—/+2x+3=—%+5,

解得：%1=1,%2=2.

.?.D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)或(2,3).

思路2:轉(zhuǎn)化底邊比為“8”字型線段比

過(guò)點(diǎn)D作DG//y軸交BC邊于點(diǎn)G,則￡=號(hào)又0C=3,/.點(diǎn)G滿足DG=2即可.設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)可解.答案

同思路1.

弓例4:如圖.在矩形ABCD中,AB=4,AD=3以點(diǎn)C為圓心作。C與直線BD相切，點(diǎn)P是。C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

連接AP交BD于點(diǎn)T,則空的最大值是______.

；?當(dāng)PN最大時(shí)，得的值最大.如

圖，當(dāng)PN過(guò)點(diǎn)C時(shí)，PN取到最大值2x￡=k

此時(shí)上="=2,絲=3,

ATAM1AT

.?寫的最大值為3.

真題演練

1.把兩個(gè)含30。角的直角三角板按如圖所示拼接在一起點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)連結(jié)BE交AC于點(diǎn)F.則蕓=

2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,ZABC=ZDAC=90°,tanZACB=B-D=&則皿=

203SCBD

3.如圖，拋物線.y=ax2+bx{aH0)過(guò)點(diǎn)4(,，-3)和點(diǎn)B(3臼，0)..過(guò)點(diǎn)A作直線AC〃x軸，交y軸于點(diǎn)

(1)求拋物線的解析式；

⑵拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S40c=^SAOQ?若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4.如圖拋物線經(jīng)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-l,0)、點(diǎn)C(0,3),且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，連接CP,直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

5.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A

(3,4)的拋物線y=a久2+6%+4與x軸交于點(diǎn)B(-1,O),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作ADLx軸于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖，點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD交AB于點(diǎn)Q,連接AP,當(dāng)SAQD=ZS叱Q時(shí),

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.如圖，拋物線y=ax2-3ax-4a的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2),交x軸于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，連接BC,直

線y=kx+l(k>0)與y軸交于點(diǎn)D,與BC上方的拋物線交于點(diǎn)E,與BC交于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

(2)黑是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出其最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

DF

7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+版+。與x軸交于A(-l,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,

-2).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接AD,BC交于點(diǎn)E,連接BD,記4BDE的面積為Sx,AABE

的面積為S2,求金的最大值.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=a/+次+。過(guò)點(diǎn)人(-1,0).B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC、BC,

將△OBC沿BC所在的直線翻折，得到△DBC,連接OD.

(1)用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo).

⑵設(shè)AOB。的面積為SM04C的面積為S2,若||=|,求a的值

9.如圖，二次函數(shù)y^-x2+bx+3的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)D

為OC的中點(diǎn)點(diǎn)P在拋物線上.

(1)b=;

(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于3,過(guò)點(diǎn)P作PQ1BD,垂足為Q,直線PQ與x軸交于點(diǎn)R,且.SPQB=2SQRB，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

10.如圖,已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,

3).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)試問(wèn)在該二次函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)G，使得△ADG的面積是4BDG的面積的|?若存在，求出點(diǎn)G的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第6講面積比分析

解析：分別過(guò)點(diǎn)B、E作BM、ENXAC,設(shè)CD=2a,

貝！IAC=2V3a,BC=V3a,EN=a,BM=ma,CM=ga,

*MN*a,易證BMF,ENF?翳NE2

MB3

?4F—ga+如a?—逋a竺一整—三即

1

-VJa+2a5-5a”?.2b-5'即AC~s

32

解析：過(guò)點(diǎn)B作BH±AC交AC于H點(diǎn)

則翳哪噎，又CH=2BH,BH=2AH,

.：AO=^BH,CO=^BH,.：S"BD_A03

ScBDCO32’

???比值為I

3.解析：⑴將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得解析式：y=|久2一學(xué)久;

⑵取點(diǎn)M（0,9）,連接AM,則S40c=]SM°M，過(guò)點(diǎn)M作MN〃OA,與拋物線交點(diǎn)即為所求Q點(diǎn).

由題意可知直線MN解析式：y=-V3x+9,

聯(lián)立方程：|x2=-V3x+9,

_

解得：%!=3V3,X2=2V3,

故Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3百,0）或（-2次,15）.

取點(diǎn)N(0,-9),過(guò)點(diǎn)N作OA的平行線，顯然與拋物線無(wú)交點(diǎn)，故這種情況不存在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q.

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3遮,0)或(-2V3,15).

4.解析：⑴解析式為y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸為直線x=l.

(2)連接CP,可將四邊形CBPA分為△CAP和4CBP.

即SCAP：SCBP=3:5或SCAP:SCBP=5:3.

考慮△CAP和4CBP共底邊CP,記CP與x軸交于點(diǎn)M廁SCAP-.SCBP=AM-.BM.

①AM:BM=5:3,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,0),

根據(jù)C、M坐標(biāo)求解直線CM解析式：y=-2x+3,聯(lián)立方程：+2%+3=—2x+3,解得：x[=0倍法=4.

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-5).

②AM:BM=3:5,點(diǎn)M坐標(biāo)為|(.0).

根據(jù)C、M坐標(biāo)求解直線CM解析式為：y=-6x+3,聯(lián)立方程：一支,+2x+3=-6%+3,解得：打=0(舍)，%2

=8.故P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,-45).

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

5.解析：(1)拋物線解析式為y=-x2+3x+4

(2)轉(zhuǎn)化面積比為底邊比:Q：PQ=SAQD-.SAPQ=2：1,考慮P、Q均為動(dòng)點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化底邊之比為“A”字型線段比：

?；BD=4,...取E(-3,0)滿足BE=2,

過(guò)點(diǎn)E作AB平行線，由題意得解析式為：y=x+2,

聯(lián)立方程得：一/+3x+4=x+2,

解得：*1=1+V2,x2=1—V2,

代入得點(diǎn)P坐標(biāo)為(1+V2-4+夜)或(1-V2-4-V2).

6.解析:⑴將點(diǎn)C(0,2)代入，得：—4a=2,a=—

...拋物線解析式為y=-|x2+|x+2,令一+|%+2=0,

導(dǎo)：=—1,乂2=4,

.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0);

(2)過(guò)點(diǎn)E作EHJ_x軸交BC于點(diǎn)H,則EH〃CD,

△CFDsaHFE,；.EF=HHD,：CD=1,二當(dāng)EH最大時(shí),一最大,設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為+^m+2),由

B、C坐標(biāo)可得直線BC解析式為y=-1%+2,

點(diǎn)H坐標(biāo)為(zn，-如+2),￡7/=-如2+2m,當(dāng)m=2時(shí)，EH取到最大值2,(?,?的最大值為2此時(shí)點(diǎn)

E坐標(biāo)為(2,3).

7.解析：⑴設(shè)拋物線解析式為y=a(x+l)(x-4),將點(diǎn)C(0,-2)代入得：a=*

拋物線的函數(shù)解析式為y=jx2-|x-2;

(2)由題意可得：=器過(guò)點(diǎn)D作DN±x軸交BC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)A作AM±x軸交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,.\AM

S2AE

〃DN,???△AEMs/XDEN,???DEAE=DN,由題意得直線BC解析式為y=1—2,又點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),?,?點(diǎn)M坐

標(biāo)為(-1，-|)即AM=|,???若要.§1S2取到最大值，DN最大即可，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(6彳/_1nl-2)

則點(diǎn)N坐標(biāo)為(加弓6-2),DN=-1m2+2m,當(dāng)m=2時(shí)DN取到最大值2,??.興嘮=柴=4=1

\2/2SaAEAM±5

2

?1?SS的最大值是i

8.解析：⑴設(shè)解析式為y=a(x+l)(x-3),

化簡(jiǎn)得y=ax2—2ax—3a,即c=-3a.；.C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3a).

(2)S2=|XXOXOC=10C過(guò)點(diǎn)D作DM_Lx軸交x軸于M點(diǎn)，S[=:xOBxDM=-DM,

若^=1，即迦=2,也=2,

$23Loc30C9

2

接下來(lái)的問(wèn)題便是如何將DM與0C聯(lián)系起來(lái)？考慮對(duì)稱的性質(zhì)，記AD與BC交于點(diǎn)E,E為0D中點(diǎn)且E為垂

足，過(guò)點(diǎn)E作ENLx軸交x軸于點(diǎn)N.

轉(zhuǎn)化DM:EN=?M,故"

BN=l，ON=/射影定理可求：EN=等

0C=9EN=6A/2,a=-2A/2.

9.解析：(1)將A(-1,0)代入得:b=2；

(2)SPQB=2SQRB轉(zhuǎn)化為PQ=2QR,但這里PQ與QR均不易表示，所以繼續(xù)轉(zhuǎn)化線段比.

過(guò)P點(diǎn)作PF±x軸，交BD于E點(diǎn)交x軸于F點(diǎn)

即gpE?爭(zhēng)F=2:3,

APF:PE=6:5,解得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí)，同理，過(guò)點(diǎn)P作PMLx軸分別交x軸、BD延長(zhǎng)線于M、N兩點(diǎn)，此時(shí).

PR，32磊冷,券=專9M*PN=1:2,

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)或

10解析：(1)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a{x-I)2+3,代點(diǎn)B(5,0),解得：a=-方故拋物線解析式為

1O

y=一2(x-1)2+3.

(2)當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，如圖所示，記DG與x軸交點(diǎn)為M點(diǎn)，化面積比為線段比：SADG:SBDG=AM-BM考

慮AM=8,當(dāng)AM:BM=3:5時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)又D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),故直線DM解析式為：y=3x,

與拋物線聯(lián)立方程：-+竟+普=3%

loolo

解得.Xi=-15,x2=1(舍)

故第1個(gè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(-15,-45).

當(dāng)點(diǎn)G在x軸上方時(shí)，如圖所示，此時(shí)△ADG和4BDG共底邊DG，但高并不易求，可用鉛垂法分別算兩三

角形面積.

過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線分別交AD、BD延長(zhǎng)線于M、N兩點(diǎn),SADG=1x4xGM2GM(A、D兩點(diǎn)之間水平

距離為4）,SBDG=^X4XGN=2GN（B、D兩點(diǎn)之間的水平距離為4）,SADG-.SBDG=3:5,即GM:GN=3:5,

設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(加一看小+孤+1|),

AD解析式為：y=：x+：,BD解析式為：y=-|