中線相關的輔助線

典例精析

【典型題1】★★如圖CB是AAEC的中線,CD是AABC的中線，且AB=AC.

求證:①CE=2CD;②CB平分/DCE.

【思路分析】從結論分析①，顯然沒有直接關系證明CE=2CD,必須進行“等量轉化”可構造出一條明顯等于

2CD的線段，因此需要做輔助線來實現(xiàn).我們可通過添加輔助線，構造全等三角形來實現(xiàn)“等量轉化”.

【答案解析】證明：如圖，延長CD到F，使DF=CD,連接BF可得CF=2CD.

CDBAABC的中線/.BD=AD

,BD=AD

在ABDF和AADC中，AADC=乙BDF

DF=DC

：.ABDF^AADC(SAS)BF=AC,Z1=ZF,

???CB是AAEC的中線,BE=AB,

：AC=AB,：.BE=BF,：Z1=ZF,

.,.BF^AC,.*.Zl+Z2+Z5+Z6=180°

又：AC=AB,；.Z1+Z2=Z5,

又：Z4+Z5=180°,.\/4=N5+N6即NCBE=NCBF,

?CB=CB

在ACBE和ACBF中，zCBE=4CBF

.BE=BF

：.ACBE^ACBF(SAS),

；.CE=CF,/2=/3,

；.CE=2CD,CB平分NDCE.

【規(guī)律總結】輔助線作法：倍長中線或類中線(與中點有關的線段)構造全等三角形.

如圖①,AD是AABC的中線，延長AD至點E使DE=AD,易證:AADC0AEDB(SAS).

如圖②,D是BC中點.延長FD至點E使DE=FD,易證:AFDB注△EDC(SAS).

當遇見中線或者中點時，可以嘗試倍長中線或類中線，構造全等三角形，目的是對已知條件中的線段進行轉

移.

【典型題2]★★★如圖，在AABC中,D是BC的中點,E是AD上一點,BE=AC,BE的延長線交AC于點F.求證:

ZAEF=ZEAF.

【思路分析】從題目條件分析，D是BC的中點，可考慮延長中線構造全等三角形來推出結論.

【答案解析】證明：如圖，延長AD到M,使DM=AD,連接BM.

D是BC邊的中點,BD=CD

CD=BD

在AADC和AMDB中UADC=AMDB

.AD=MD

：.AADC^AMDB(SAS),

/.Z1=ZM,AC=MB,

VBE=AC,；.BE=MB,

ZM=Z3,.\Z1=Z3,

VZ3=Z2,

/I=/2,即/AEF=/EAF.

【規(guī)律總結】輔助線作法：倍長中線或類中線（與中點有關的線段）構造全等三角形.

【典型題3】★★★如圖.在四邊形ABCD中.AD〃:BC,點E在BC上點F是CD的中點且AFJ_AB,已知

AD=2.7,AE=BE=5,求CE的長.

【思路分析】從已知條件入手分析.注意到F為中點，因此延長AF構造全等三角形.

【答案解析】解:如圖，延長AF交BC的延長線于點G.

,.,AD〃BC,；.N3=NG,

點F是CD的中點,DF=CF,

-Z3=NG

在AADF和AGCFcf3.\z.AFD=/.GFC,

.DF=CF

△ADFgAGCF(AAS),/.AD=CG,

VAD=2.7,.\CG=2.7,

VAE=BE,.\Z1=ZB//AB±AF,

Zl+Z2=90°,ZB+ZG=90°,

N2=NG,；.EG=AE=5,

.\CE=EG-CG=5-2.7=2.3.

【規(guī)律總結】輔助線是延長中點所在的線段，構造全等三角形，也可理解為倍長中線法的變形.

【典型題4]★★★如圖.在正方形ABCD中CD=BC點E在CB的延長線上，過點E作EFLBE,且EF=BE.連

接BF、FD,取FD的中點G,連接EG、CG.

求證:EG=CG且EGXCG.

【思路分析】從已知條件入手分析.注意到G為中點，因此延長EG構造全等三角形.

【答案解析】證明：如圖，延長EG交CD的延長線于點M.

由題意得/FEB=9(r,/DCB=90。,

ZDCB+ZFEB=180°,EF//CD,

ZFEG=ZDMG,

點G為FD的中點,，F(xiàn)G=DG,

_Z1=乙DMG

在aFGE和ADGM中\(zhòng)z_FGE=乙DGM

.FG=DG

：.AFGE^ADGM(AAS),

；.EF=MD,EG=MG,

EF=BE,.\BE=MD,在正方形ABCD中,BC=CD,BE+BC=MD+CD,即EC=MC,

?*.ECM是等腰直角三角形，

,/EG=MG,EG±CG,Z3=/4=45°,；.Z2=Z3=45°.\EG=CG.

【典型題5】★如圖在AABC中,/B=2NC,AD，BC于D,M為BC的中點,AB=10,求DM的長度.

【思路分析】我們綜合分析，先從題目結論入手，需要將DM放到三角形中求值，因此需要作輔助線，再從

已知條件入手分析，注意到RSADB,M為中點，因此可以考慮取AB的中點N,分別連接DN和MN,就有了直角

三角形的斜邊中線和中位線定理可以應用.詳見本題的規(guī)律總結.

【答案解析】解:取AB中點N,連接DN,MN在RtAADB中,N是斜邊AB上的中點.

1

DN=-AB==5.乙NDB=Z.B.

2

在4ABC中,M,N分別是BC,AB的中點,「.MN"ACJZNMB=ZC,

又???NNDB是ANDM的外角，

:.ZNDB=ZNMD+ZDNM.

即/B=ZNMD+ZDNM=ZC+/DNM.又：ZB=2ZC,.\ZDNM=ZC=ZNMD.ADM=DN.DM=5.

【規(guī)律總結】輔助線作法：

(1)已知直角三角形斜邊中點，可以考慮構造斜邊中線.

在直角三角形中，當遇見斜邊中點時，經常會作斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半，即CD=|48,來證明線段間的數(shù)量關系，而且可以得到兩個等腰三角形：AACD和ABCD,該模型經常會與中

位線定理一起綜合應用.

(2)已知三角形一邊的中點，可考慮中位線定理.

在三角形中，如果有中點，可構造三角形的中位線，利用三角形中位線的性質定理：

DE〃:BC,.且DE=^BC來解題.中位線定理中既有線段之間的位置關系又有數(shù)量關系，該模型可以解決角問題,

線段之間的倍半、相等及平行問題.

(3)另外關于中線的輔助線還有：已知等腰三角形底邊中點，可以考慮與頂點連接用“三線合一”.我們到等腰三

角形專題再進行分析.

等腰三角形中有底邊中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形“三線合一”的性質得到角相等，為解題創(chuàng)造

更多的條件，當看見等腰三角形的時候，就應想到：“邊等、角等、三線合一

【總結升華】到此同學們應該再次總結：我們前面分析過的輔助線作法(垂直平分線、角平分線、截長補短等),

最終都是在構造全等三角形或者特殊三角形，我們可稱為：具備全等(或特殊)條件，構造全等(或特殊)三角形的輔

助線作法.

利用三角形全等或“構造三角形全等”實現(xiàn)“等量代換”，實現(xiàn)等量代換的方法是多方面的，而利用三角形全等或

構造全等三角形來實現(xiàn)等量代化是其中基本的也是非常重要的方法.而構造全等三角形是靠“具有部分全等條件”為

基礎再添加輔助線來完成的.那么有哪些是屬于“具有部分全等條件”可引輔助線構造全等三角形的呢？

⑴有角平分線（或作角平分線）時，利用角平分線作公共邊，在角的兩邊上截取對應相等線段，構造全等三角形;

（2）有以線段中點為端點的線段時，常倍長該線段并借助對頂角構造全等三角形（其中分“倍長中線法”與“倍長中

點法”）.

鞏固練習

【鞏固練習11★

已知AABC中,AB=AC,CE是AB邊上的中線，延長AB到D,使BD=AB,求證:CD=2CE.

【鞏固練習2]

如圖，在△4BC中,AD交BC于點D,點E是BC的中點,EF〃AD交CA的延長線于點F,交EF于點G,若BG=

CF,求證:AD為AABC的角平分線.

【鞏固練習3]

如圖,AD為AABC的中線,/ADB和NADC的平分線分別交AB、AC于點E、F,求證:BE+CF>EF.

【鞏固練習4]

在RtAABC中,NA=90。,點D為BC的中點，點E,F分別為AB,AC上的點，且ED_LFD,以線段BE,EF,FC為邊能

否構成一個三角形？若能，請判斷三角形的形狀?

【鞏固練習5]

如圖，在RtAABC中,/ACB=90°,AC=8,BC=6,點P是平面內一個動點，且AP=3,Q為BP的中點，在P點運動過

程中，設線段CQ的長度為m,則m的取值范圍是—.

【鞏固練習6]

如圖①在AABC中點D,E,F分別在邊AB,BC,AC上,BE=CE,點G在線段CD±,CG=CA,GF=DE,ZAFG=Z

CDE.

⑴填空與NCAG相等的角是

(2)用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關系，并證明；

⑶如圖②，若/BAC=90°,ZABC=2/ACD,求小的值.

【鞏固練習7]

在等腰AABC中,AC=BC,AADE是直角三角形，/-DAE=90°,^ADE=|Z71CB,連接BD,BE,點F是BD的中

點，連接CF.

⑴當NCAB=45。時.

①如圖①，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出/EAB與/CBA的數(shù)量關系是—;線段BE與線段CF的數(shù)

量關系是；

②如圖②,當頂點D在邊AB上時，⑴中線段BE與線段CF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請給予證明，

若不成立，請說明理由；

學生經過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一：作等腰AABC底邊上的高CM,并取BE的中點N,再利用三角形全等或相似有關知識來解決問題；

思路二:取DE的中點G,連接AG,CG,并把ACAG繞點C逆時針旋轉90°,再利用旋轉性質、三角形全等或相似

有關知識來解決問題.

(2)當ZCAB=30。時，如圖③,當頂點D在邊AC上時,寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關系，并說明理由.

CC

E

圖①圖②

4

E

圖③

1.證明:⑴延長CE到F,使EF=CE,,連接BF.

C

?「CE是AB邊上的中線，

AE=EBAEBF△EAC,

BF=AC=BD,kE；/BD

乙EBF=Z.EAC,//

Z.FBC=Z-FBE+Z-EBC=Z-A+Z-ACB=Z-DBC,.,

△CBF△CBDfCD=CF=2CE.F

2.【證明】如圖，延長FE,截取EH=EG,連接CH.

是BC的中點,BE=CE.

在ABEG和ACEH中,

，BE=CE,

<ZBEG=ZCEH,

GE=HE,

△BEG△CEH(SAS).

???乙BGE=乙H,BG=CH./.乙BGE=^FGA=乙H

??.CF=BGf..?CH=CF./.zF=ZH=^FGA.

??.EF\\ADf^4F=/LCAD^BAD=^FGA.

：.ZCAD=ZBAD.AAD平分ABAC.

即AD為△ABC的角平分線.H

3證明：

延長ED至IJH,使DE=DH,連接CH,FH,

：AD是AABC的中線，

/.BD=DC,

,/DE、DF分別為ZADB和ZADC的平分線，

11

??.Z1=z4=^ADB,^.3=Z5=^ADCf

??.zl+z3=z4+z5=-Z.ADB+-/-ADC=工x180°=90°

222

VZ1=Z2,

.*.Z3+Z2=90°,

即NEDF=NFDH,

在AEFD和AllFD中，

(DE=DH

<NFDE=ZFDH,

[DF=DF

：.AEFD^AHFD(SAS),

.*.EF=FH,

在△8DE和△CD”中，

DE=DH

<Z1=Z2,

、BD=DC

△BDE△CDH^SASy

BE=CH,

在△CF〃中，由三角形三邊關系定理得：("+CH>FHf

???CH=BE=EFf

??.BE+CF>EF.

以線段BE,EF,FC為邊能構成三角形，該三角形是直角三角形.

4.延長FD到點G,使DG=FD,連接EG,BG.

A

ABD=CD

在21BDG和z\CDF中

BD=CD

<Z.BDG=ACDF

、DG=DF

：.ABDG^ACDF(SAS)

：.BG=FC,ZDBG=ZDCF,

ABG//AC

JZEBG+ZBAC=180°,

???ZBAC=90°

???ZEBG=90°,

??.EG2=BE2+BG2

??.EG2=BE2+CF2

VEDXFD,DG=DF,

?,?DE垂直平分FG

AEF=EG

???EF2=BE2+CF2

???以線段BE,EF,FC為邊能構成三角形，且該三角形是直角三角形.

5.如圖,取AB的中點M,連接QM,CM,

B

o

在Rt△ABC中，^ACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=10,

:點M是AB的中點，

：.AM=BM=CM=\AB=S,

點Q是PB的中點，點M是AB的中點，

；.QM是aAPB的中位線，

13

??.QM=^AP=

在△CMQ中，CM-MQ<CQ<CM+MQ,

713

---<m<——.

22

;點c,點M是定點，點Q是動點，且點Q以點M為圓心，QM長為半徑的圓上運動,

當點C,M,Q三點共線，目點Q在線段CM上時，m取得最小值

當點C,M,Q三點共線，且點Q在射線CM上時，m取得最大值？，

綜上,m的取值范圍為：(WmW[2.

故答案為：

6.解:(1)VCG=CA,AZCAG=ZCGA.故答案為NCGA;

(2)AD=三BD.

證明:在CG上取一點M,使GM=AF,連接AM,EM,如圖1.

ZCAG=ZCGA,且AG=AG,AFAG^AMGA.

ZAFG=ZGMA,GF=AM.又：GF=DE,，AM=DE.

VZAFG=ZCDE,AZGMA=ZCDE./.DE^AM.

/.四邊形DEMA是平行四邊形.；.EM〃AD,EM=AD.

：BE=CE,；.EM為ABDC的中位線.

：■EM^-BD.：.AD=-BD-,

22

A

圖1

（3）在CG上取一點M.使GM=AF,連接AM,EM,如圖2.由⑵可得四邊形DEMA是平行四邊形，（CM=DM.

：.ZBDE=ZDAM,DE=AM.”

???^BAC=90°,AM=CM.

：.ZAMD=2ZACD.

Z.ABC=2乙ACD,

：./AMD=NABC.

.ABDEAM40

AMAD

圖2

由（2）可知AD

ADE=AM=42AD.設AD=1,則AM=V2,CD=2vxAB=3.；.AC=V7..

AB3

7.(1)①如圖1,連接BE,設DE交AB于T,

???ZCAB=ZABC=45°,

???ZACB=90°,

??.AADE=^ACBf

：.ZADE=45°,

ZDAE=90°,

JZADE=ZAED=