專題2-6雙曲線離心率取值專題十九大題型匯總

。?？碱}型目錄

題型1直接法....................................................................3

題型2通徑法....................................................................8

題型3運(yùn)用漸近線求離心率.......................................................13

題型4坐標(biāo)法...................................................................18

題型5焦點(diǎn)弦已知底角...........................................................24

題型6焦點(diǎn)弦定比點(diǎn)差...........................................................28

題型7焦點(diǎn)三角形定義法.........................................................34

題型8焦點(diǎn)三角形已知頂角.......................................................40

題型9焦點(diǎn)雙曲線雙余弦定理.....................................................44

題型10焦點(diǎn)三角形面積相關(guān)......................................................49

題型11點(diǎn)差法..................................................................51

題型12由題目條件求離心率......................................................59

題型13利用圖形求離心率........................................................63

題型14雙曲線的對(duì)稱性..........................................................68

題型15角平分線相關(guān)............................................................76

題型16向量相關(guān)................................................................81

題型17雙曲線與圓相關(guān)..........................................................85

題型18內(nèi)切圓相關(guān)..............................................................92

題型19雙曲線與和差最值........................................................96

口知識(shí)梳理

已知雙曲線方程為5=l(a>0,b>0)兩焦點(diǎn)分別為片，為，設(shè)焦點(diǎn)三角

sin(a+。)

形PF/。,NPFE=a,NPF2K=，，則e=

sina-sin/3\

證明：N尸居工=a,/PF?F]=1

|明」尸工|

由正弦定理得：

公式3sin(l800-a-/3)sinorsin0

|F,F|IPFJ-IPFJ

由等比定理得：2

sin(a+0sincr-sin^

2c2acsin(a+/?)

即,「.e二一

sin(a+P)sina-sinQa|sina-sin/?|0

22

以雙曲吟-2=g?！?的兩個(gè)焦點(diǎn)小工及雙曲線上任意一點(diǎn)p

(除實(shí)軸上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的△耳「工-々KF2=a

.B-\-a

sin-------

ZP工片=P，則離心率e=--^―(ew/?)

.p-a

sin--------

2

證明：由正弦定理，有叫=㈣=上四=陽可

公式4

sin[3sinasin。sin((7+/3)

???sin”sino,J^l-KL1^1

sin/3-sinasin(cr+P)

a

即cosi.sin匹i.B+aP+a

sin——?cos

2222

.(3+a

sin--------

V7o0C+(3c=2

又O<a+p<肛cos-w0,/.e

a.B-a

sin—

2

點(diǎn)尸是雙曲線焦點(diǎn)，過尸弦Z8與雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為e%(0(),攵為直

線Z6斜率，且互=4麗；1>0),貝！]e=Vl+k22-1

1+1

公式5

當(dāng)曲線焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=J+g圖

注："盛或者”笫而不是會(huì)或者答

但題型分類

題型1直接法

【方法總結(jié)】

C

e=a'

【例題1](2023秋?江西吉安?高二寧岡中學(xué)?？计谥?雙曲線*-2/=1的離心率

是.

【答案】L

【分析】直接利用雙曲線方程求出a,c,然后求解離心率.

【詳解】由雙曲線必-2x2=1可知：a=='，

所以c=Va2+b2=Jl+|=y,

所以雙曲線必-2/=1的離心率為：e=(=孚

故答案為：當(dāng)

【變式1-1]1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已雙曲線C：y-y2=Z(2<0),雙曲線C

的離心率為

【答案】V3

22

【分析】整理得到白-％=1(2<0),直接計(jì)算離心率得到答案.

—/I-ZA

222

【詳解】由曲線—y2=2(2<0),整理可得—一看=1(2<0),

離心率e=(=J]+*=V1+2=百為定值.

故答案為：V3.

【變式1-1J2.(2023?全國?高二隨堂練習(xí))求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長、頂點(diǎn)的坐標(biāo)、

離心率和漸近線方程，并畫出雙曲線的草圖:

r2“2

(1)-—匕=1;

'/49

*4=1.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)分別求解即可.

【詳解】(1)由雙曲線方程?-卷=1，

知雙曲線焦點(diǎn)在x軸，且a=2,6=3,c=V13,

則雙曲線的實(shí)軸長2a=4,虛軸長26=6,

頂點(diǎn)的坐標(biāo)(-2,0),(2,0),

離心率e=￡=等，

a2

由3=［得漸近線方程丫=±弓乂，

畫出雙曲線草圖(如圖).

22

(2)由雙曲線方程《一亍=1,

知雙曲線焦點(diǎn)在y軸，且a=3,b=2,c=V13,

則雙曲線的實(shí)軸長2a=6,虛軸長26=4,

頂點(diǎn)的坐標(biāo)(0,-3),(0,3),

離心率e=?=手，

由?=|,得漸近線方程y=±|x,

畫出雙曲線草圖(如圖).

【變式1-1]3.(2023?全國?高二隨堂練習(xí))求下列雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、

頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率.

此子=】；

瑤4=1；

⑶8/-8y2=32；

(4)9y2-x2=81.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析；

(3)答案見解析；

(4)答案見解析；

【分析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定焦點(diǎn)所在位置，求出a”,c,即可求出實(shí)軸長、

虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程和離心率.

【詳解】(1)雙曲線1—《=1,

loZU

則焦點(diǎn)在%軸上,且仇之=16,b2=20,c2=36,

即a=4,b=2A/5,c=6,

所以實(shí)軸長為2a=8,

虛軸長為2b=4V5,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±6,0),

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0),

漸近線方程為y=土裂，

離心率為￡=：=1.

a42

(2)雙曲線"—戲=1,

則焦點(diǎn)在y軸上，且=16,b2=20,c2=36,

即a=4,6=2V5,c=6,

所以實(shí)軸長為2a=8,

虛軸長為2b=4V5,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±6),

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±4),

漸近線方程為y=土當(dāng)久，

離心率為￡=：=1.

a42

(3)雙曲線8/一8V=32化為標(biāo)準(zhǔn)式1-1=1,

則焦點(diǎn)在X軸上,且=4,fa2=4,c2=8,

即a=2,6=2,c=2-/2,

所以實(shí)軸長為2a=4,

虛軸長為2b=4,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±2奩,0),

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±2,0),

漸近線方程為y=±x,

離心率為￡=乎=魚.

a2

22

（4）雙曲線9y2—/=81化為標(biāo)準(zhǔn)式？—高=1,

yoi

則焦點(diǎn)在y軸上,且=9,爐=81,c2=90,

即a=3,b=9,c=3-/10,

所以實(shí)軸長為2a=6,

虛軸長為2b=18,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±3同）,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±3）,

漸近線方程為y=±|%,

離心率為￡=第=同.

a3

【變式1-1]4.（多選）（2022秋?新疆昌吉?高二統(tǒng)考期中）關(guān)于雙曲線=-1=1,下列

416

說法正確的有（）

A.實(shí)軸長為4B.焦點(diǎn)為（±2舊,0）

C.右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為4D.離心率為百

【答案】AC

【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得a=2,6=4,c=2近，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，

即可求解.

【詳解】由雙曲線？-77=1,可得a=2,6=4,則。=Va2+b2=2V5,

所以雙曲線的實(shí)軸長為2a=4,所以A正確；

焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2有,0）,所以B錯(cuò)誤；

又由雙曲線的右焦點(diǎn)為6（2四,0）,其中一條漸近線的方程為y=-2%,即2x+y=0,

所以尸2到漸近線的距離為黑=4,所以C正確；

由雙曲線的離心率的定義，可得雙曲線的離心率為e==遍，所以錯(cuò)誤.

￡aD

故選：AC.

題型2通徑法

【方法總結(jié)】

雙曲線的通徑為空

a

【例題2］（2023春?新疆巴音郭楞?高二校考開學(xué)考試）設(shè)0、尸2分別是雙曲線C：/-9=1

的左、右焦點(diǎn)，過尸2作%軸的垂線與C相交于4B兩點(diǎn)，若△力為正三角形，則C的離心

率為（）

A.V2B*C.2V2D.V3

【答案】D

【分析】求出乙電6=30。，利用雙曲線的定義求出因&1，進(jìn)而可求得I4&I,利用勾股定

理可求出2c的值，由此可得出雙曲線C的離心率的值.

【詳解】設(shè)伏引=t,因?yàn)?B±比軸,則點(diǎn)人B關(guān)于久軸對(duì)稱,則％為線段48的中點(diǎn),

因?yàn)椤?86為等邊三角形，貝上46尸2=30°,所以，=2RF2|=2t,

所以，|4F11-1=M&l=t=2a=2,則=2|4&|=2t=4,

所以，2c=I&&I=皿6|2一|%|2=742-22=2百，則c=百，

因此，該雙曲線C的離心率為e=￡=g.

a

故選：D.

【變式2-1]1.（2023春?云南曲靖?高二會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知F為雙

曲線C：攝-《=1（。>0,°>0）的右焦點(diǎn)，/為雙曲線的一條漸近線尸到直線/的距離為通，

過F且垂直于x軸的直線交雙曲線C于4B兩點(diǎn)，若MB|長為10，貝!]C的離心率為（）

A.2B.V6C.4D.6

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件求得a,c,由此求得雙曲線的離心率.

【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為族-ay^0,

所以焦點(diǎn)尸（c,0）到漸近線版-ay=0的距離為忑等==b=甚.

由會(huì)？=1令％=c得捺一？=1,產(chǎn)5圖—l）=5x普=5x/=,

所以±-,所以

y=aa|4B|=U=i0,a=l,

所以C="+5二e,

所以離心率6=合詬

故選：B

【變式2-1]2.（2021春云南昭通?高二校考期中）已知雙曲線C：/-5=l（a>0,b>0）

的右頂點(diǎn)為力，左焦點(diǎn)為尸動(dòng)點(diǎn)B在C上.當(dāng)4F1BF時(shí)，有|”|=||BF|,則C的離心率是（）

A.&B.jC.V3D.|

【答案】D

【分析】首先判斷B在左支上，求得|BF|,由|4尸|=|由日，可得a+c=羽，再由a,b,c和

e的關(guān)系，化簡可得答案.

【詳解】如圖，由動(dòng)點(diǎn)B在C上,當(dāng)8F14F時(shí)，|4"=|\BF\,

可得B在左支上，令x=-c,可得0-g=l,

解得y=土b后一1=±—,即有|BF|=彳,則a+。=姜，

即2a(a+c)=3b2=3(c2—a2)=3(c—a)(a+c),

可得2a=3(c—a),即3c=5a,e=-=

a3

故選：D.

【變式2-1】3.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知雙曲線C5―3=15>0/>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為&,F2，過點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線I與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，若墨=|,

則雙曲線C的離心率為（）

A.V5B.—C.-D.四

923

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性結(jié)合已知可得SI=5\AF2\,設(shè)|伍|=m,然后利用雙曲線

的定義可得爪=la,從而得,|461=|a,再利用勾股定理列方程化簡可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)尸2且與x軸垂直的直線I與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn)，

所以碗|=2\AF2\,

因?yàn)槔?|,所以揣=|,所以1*1=5|福|,

設(shè)伏以=mI則14尸11=5m,所以-lAFzl=4m=2a，得m=|a,

所以=|a,I"/=|a,

2

因?yàn)橐?&n=90。，所以|4&|2=\AF2\+|F/2『,

所以Fa?=^a2+4c2,

44

所以6a2=4c2,所以=2c,

所以離心率e=￡=當(dāng),

a2

【變式2-1]4.（2023秋?寧夏吳忠?高三吳忠中學(xué)校考開學(xué)考試）已知A,B分別是雙曲

22

線-金=l（a〉。，6>0）的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的右支上位于第一

象限的點(diǎn)，且PF1x軸.若直線PB與直線PA的斜率之比為3,則C的離心率為（）

A.y/2B.V3C.2D.3

【答案】C

【分析】由已知可得4B,P的坐標(biāo)，求得P4PB所在直線的斜率，再由直線P8與直線P4的斜

率之比為3列式求雙曲線C的離心率.

【詳解】由題意可得,X（-a,0）,B（a,0）,

P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，代入0—《=1,又yp>0,所以P（c,叱）,

b2b2

則運(yùn)=上=3,可得￡=2.

kp^c—aa

即雙曲線的離心率為2.

故選：C.

【變式2-1]5.(2023秋?高二單元測(cè)試)已知雙曲線C：捻-《=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)

為F(c,0),直線=c與雙曲線C交于4B兩點(diǎn)，與雙曲線C的漸近線交于兩點(diǎn)，若|。引=

2\AB\,則雙曲線。的離心率是

【答案】^/|V3

【分析】利用雙曲線通徑長和與漸近線交點(diǎn)情況可得由|DE|=21ABi和a,b,c關(guān)系

可求得c=2b,a=y/3b,由此可求得離心率.

【詳解】由雙曲線方程可得其漸近線方程為：y=±￡x，

丁直線/：%=c

.??|4例為雙曲線的通徑，貝u

由(上』X=C同(=X士=C〉則明=力2

由|y=±"得]y=土%則1網(wǎng)=笠

由|D￡|=2|4B|得：生="

aa

即C=2b

所以a=Vc2—b2=V36,

所以離心率e=￡=第

a3

故答案為：學(xué)

【變式2-1]6.(2023河北保定統(tǒng)考二模)已知雙曲線C：?-5=l(a>0,b>0)的右焦

點(diǎn)為F,B為虛軸上端點(diǎn)，M是BF中點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM交雙曲線右支于N,若FN垂直于久

軸，則雙曲線C的離心率為()

A.V2B.2C.V3D.竽

【答案】A

【分析】作出圖象，根據(jù)幾何性質(zhì)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合麗II而可得a=b,進(jìn)而求出

離心率.

【詳解】由題意，在雙曲線C：5—，=l(a>0,6>0)中，右焦點(diǎn)為F,FN垂直于x軸，

由題意可知：F(c,0),B(0,6),N七,景),

因?yàn)镸是BF中點(diǎn)，則M,可得而=(f,=卜,9)，

且。,M,N三點(diǎn)共線，則日而，可得卜合cx,即a=b,

所以6=?=厚=/.

故選：A.

題型3運(yùn)用漸近線求離心率

【方法總結(jié)】

【例題3-1](2023秋?北京豐臺(tái)?高三北京豐臺(tái)二中開學(xué)考試)已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)

和(2,0),一條漸近線的方程為y=V3x,則C離心率為,貝北的方程

為

2

【答案】2/一9=i

【分析】根據(jù)題意設(shè)出雙曲線方程可解得a=\,b=相,即可求出離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為m-g=l(a>0,fo>0),

由焦點(diǎn)為(—2,0)和(2,0)可得a?+62=4,

一條漸近線的方程為y=V5x可得子=V3,解得a=1,b=百；

所以離心率e=-=2,雙曲線方程為/一q=1.

a3

故答案為：2；y2一9=1.

【變式3-1】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線C：g-g=l(a>0,b>0)的一

條漸近線的傾斜角為40°,則C的離心率為()

1

A.2sin40°B.2cos400C.焉D.

cos50°

【答案】C

【分析】雙曲線c的一條漸近線的傾斜角為40。，所以2=tan40°,再由號(hào)=可

aazaz

taM4。。=瑞親從而可求出即求出e=嬴1

sin500

【詳解】因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=土"，雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為40°,

所以￡=tan40°（直線傾斜角的正切值即該直線的斜率），

記雙曲線C的離心率為e,則9=黑=e2—1=tan240°,

所以e2=1+tan240°=1+s，，”=—\—,

COS240°COS240°

所以e=_J—=_J_.

cos40°sin50°

故選：c.

【變式3-1]2.(2023秋?河南三門峽?高二統(tǒng)考期末)設(shè)雙曲線C：5-3=1的一條漸近

線為y=V2x,則C的離心率為

【答案】聲或手

【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線方程與離心率公式分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于橫軸時(shí)，則有爪>0,n>0,

因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為y=V2X,

所以有半=或=二=2=巴+1=3今吧=3=率=百，

yjmmmm'm

即此時(shí)雙曲線的離心率為次;

當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于縱軸時(shí)，則有巾<0,n<0,

因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為y=V2x,

1-m-n3y/-m-nV6

所以有昔=V2=>——=2=>——-=>--------

-m-n2-n22

即此時(shí)雙曲線的離心率為手,

故答案為：g或半

【變式3-1]3.（2023秋?廣東江門?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：?-《=l（a>

0,b>0）一條漸近線的斜率為2或,貝北的離心率為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【分析】由離心率與漸近線斜率關(guān)系即可得.

【詳解】由題可知=2V2,

a

則C的離心率6=?=/學(xué)=J1+（"=J1+（2夜）2=3.

故選：A.

【變式3-1]4.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知雙曲線5=l（a>0,b>0）的一條

漸近線與直線x-2y-1=0垂直,貝北的離心率為（）

A.V6B.V5C.V3D.V2

【答案】B

【分析】由題意可得!=2,結(jié)合離心率定義推得e=J1+，，即可求得答案.

【詳解】由題意雙曲線C：捻—g=l(a>O,h>0)的一條漸近線與直線x-2y-l=。垂直，

得-(=-2,艮%=2,則e="=?7f=倔，

故選：B.

【例題3-2](2023春?陜西咸陽?高二統(tǒng)考期末)已知F是雙曲線C：5—《=l(a>0,b>0)

的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P(0,&a),直線PF與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率

為

【答案】V3

【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得直線與雙曲線漸近線平行,結(jié)合雙曲線離心率的定義求解即可.

【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±3%，

又已知F(—c,0)是雙曲線C：^-^=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，P(0,V6a),

直線PF與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以直線PF與雙曲線C的漸近線平行,

則kpF=~<即，^=/,BPV6a2=be,即6a4=(c2—a2)c2,

即c4—a2c2—6a4=0=>(c2—3a2)(c2+2a2)=0,

即c2=3a2,即=8，

￡a

則雙曲線c的離心率為8.

故答案為：V3.

【變式3-2]1.(2021秋?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末)已知雙曲線C：/-5=l(b>0)的左、

右焦點(diǎn)分別為6、F2,過F2的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)M、N.若點(diǎn)M是線段

產(chǎn)2%的中點(diǎn)，且NF11NF2,則雙曲線C的離心率為()

A.V3B.2V3C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形中位線得OM〃N&,又M是線段F?N的中點(diǎn)，又可得?！?NF2,則可

得漸近線y="的傾斜角為60。，從而求得。的值，即可得雙曲線離心率.

【詳解】雙曲線C：/一，=1（》＞0）的漸近線方程為y=+bx,

因?yàn)镺是線段6/2的中點(diǎn)，M是線段尸2可的中點(diǎn)，所以。M〃N6

又NF11NF2,所以。M1NF2,所以|ON|=|。七|,

所以NN。6=ZMOF2=4MON=60°

所以漸近線y=bx的傾斜角為60。，則b=tan60°=V3,又a=1,

所以2b2則離心率

c=Va+=2,e=-a=2.

故選：c.

【變式3-2]2.（2022秋河南溪河?高二?？计谀┰O(shè)尸是雙曲線=1的右焦點(diǎn)，雙

曲線兩條漸近線分別為k,12，過F作直線I1的垂線，分別交44于A,B兩點(diǎn).若OA,AB,OB

成等差數(shù)列,且向量而與方同向，則雙曲線離心率e的大小為（）.

A.-SC.-D.姮

2322

【答案】A

【分析】由題意直線4的傾斜角為aG（0,》，根據(jù)。41AB，得到|。川2+\AB\2=\OB\2,

再由O44B,08成等差數(shù)列，得到2|4列=\OA\+\OB\,求得|。川:|OB|:10cl=3:4:5,得

至！Jtan乙40B=￡利用正切的倍角公式得到tan乙40B=tan2a=[求得?=|,進(jìn)而求得雙

曲線的離心率.

【詳解】解：如圖所示，因?yàn)橄蛄糠脚c而同向，可得直線人的傾斜角為a6(0,今,

即k=2<1,所以號(hào)=4=e2—1<1,所以1<e2<2,

aa"a"

又由。41AB,所以|。川2+明2=\OB\2,

又因?yàn)椤?AB,OB成等差數(shù)列，所以2網(wǎng)=\OA\+\OB\,

聯(lián)立方程組，可得|。川=：|4B|,|OB|=J|4B|,所以|0川:|OB|:|OC|=3:4:5,

44

在直角△04B中，可得tan/AOB=1,

又由雙曲線/-§=1的漸近線方程為y=±5%,可得tana=g,

即tanZJlOB=tan2a=2tan：=2xa_1,解得a=2b,即,

l-tan2al-(-)23a2

'a，

可得當(dāng)=^=e2—l=)即e2=,所以e=^.

故選：A.

題型4坐標(biāo)法

【方法總結(jié)】

方法：求出點(diǎn)的坐標(biāo)帶入雙曲線方程建立等式

22

【例題4】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線C+-色=l(a>0]>0)的左右焦點(diǎn)&,

F2，點(diǎn)Fz關(guān)于一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率是()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】C

【分析】利用雙曲線的漸近線方程及點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求

解.

【詳解】雙曲線。9―'=l(a>0/>0)的右焦點(diǎn)約匕,0),

設(shè)點(diǎn)尸2關(guān)于一條漸近線y=-5%的對(duì)稱點(diǎn)為(63爪)，

由題意知，一汴/巾+功二]義/，解得小=—|.

又知工=m，解得爐=3a2,

m—cb

所以c?=a2+b2=4a2,即。=2a,

所以雙曲線C的離心率是e=-=2.

a

故選：C.

【變式4-1]1.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知雙曲線C:5=l(a>0,6>0)的右

焦點(diǎn)為尸,過F分別作C的兩條漸近線的平行線與C交于4,B兩點(diǎn)，若|4B|=2回,貝北的

離心率為

【答案】V3+2/2+V3

【分析】設(shè)直線方程為y=￡(x-c)與雙曲線方程9-冬=l(a>0,b>0)聯(lián)立，根據(jù)=

2gb求解.

【詳解】解：如圖所示：

設(shè)直線方程為y=￡0-c)與雙曲線方程9-，=1(。>0,b>0)聯(lián)立，

解得x=嚶,y=一盤

因?yàn)閨4B|=2例,

所以2x=2-73b,

2ac

即=2y[3ac,即c?—2V3ac—a2-0,

解得e=?=E+2,

故答案為：V3+2

【變式4-1]2.(2023春?云南曲靖?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線C:捺-蕓=

l(a>0,b>0)虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為。，直線x=3a與C交于4,B兩點(diǎn)，若A的垂心在C的

一條漸近線上，貝力的離心率為

【答案】等

【分析】結(jié)合圖形，利用垂心的定義，以及兩直線垂直與斜率的關(guān)系可得9=搟，再利用離

心率公式求解.

【詳解】如圖，設(shè)MB。的垂心為H,則有。H1AB,

不妨設(shè)。(0,b),則H(x,b),

因?yàn)镠在漸近線y=上，所以,

直線％=3a與C交于/zB兩點(diǎn),

所以與-9=1，解得y=±2&b,

az

所以A(3a,2&b),B(3a,—2&b),

又因?yàn)?。1BH,

所以心。XMH=^X^^=—1,

整理得，好。所以e=手，

故答案為：?.

2

【變式4-1】3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知坐標(biāo)平面xOy中，點(diǎn)出為雙曲線-V=

l(a>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線C的左支上，“尸2與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)。，且。為

MF2的中點(diǎn)，點(diǎn)/為40M&的外心，若。、/、。三點(diǎn)共線，則雙曲線C的離心率為()

A.V2B.3C.V5D.5

【答案】C

【分析】設(shè),根據(jù)題意可知。。垂直平分MF2,利用兩直線垂直斜率之積為-1和中

點(diǎn)坐標(biāo)公式可得二二=-a且:?n=匕噂，求出小、n，得出點(diǎn)M坐標(biāo)，代入雙曲線方程得

到關(guān)于a、c的方程，結(jié)合離心率的定義化簡即可求解.

【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±^X,F2(C,0),

不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，貝味,

“TTL—C

由。為MB的中點(diǎn)，0、I、。三點(diǎn)共線知直線。。垂直平分,

則。D:y=,有白=—a,且:f=/等，

解得血=寧，n=$所以叭哼1,9，

將M（哼1勺，即（『勺，代入雙曲線的方程,

得吟?—與=1,化簡可得c2=5a2,即e=4，

azczcz

當(dāng)點(diǎn)M在第三象限時(shí)，同理可得e=V5.

故選：C.

【變式4-1]4.（2023秋河南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：《-盤=l（a>0,b>0）,

過其上焦點(diǎn)尸的直線與圓光2+*=a?相切于點(diǎn)A,并與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)B（A,B

不重合）.若2而=5FA,則雙曲線C的離心率為

【答案】^/|V30

【分析】設(shè)出過上焦點(diǎn)F的直線方程為y-c=kx,由圓心到直線距離等于半徑得到k=土，

再分別聯(lián)立直線與圓，直線與漸近線，求出馬=-,xB=-f^,根據(jù)比例關(guān)系得到方程,

得到a”,c的關(guān)系式，求出離心率.

【詳解】由題意得F（0,c）,漸近線方程y=±1x,

設(shè)過其上焦點(diǎn)F的直線方程為y—c=kx,

則圓心。到直線y—c=kx的距離為一=a,解得k=±（,不妨取負(fù)值，

如圖所示，故過其上焦點(diǎn)F的直線方程為y-c=-豪，

聯(lián)立y—c=_，與%2+y2=@2可得，￡-x2——x+b2=0,

aaza

解得當(dāng)=?,

聯(lián)立y-C=—2與y=三X,可得4=y,此時(shí),48重合，舍去，

聯(lián)立y-C=-4與”-電，可得徹=■,此時(shí)4B不重合，滿足要求，

ClD0—CL

因?yàn)?而=5FX,所以2次=5以,故急條=等,

化簡得2c2=5b2—5a2,

22

又力2=_Q2,故2c2=5c2—10a,即3c2=10a,

【變式4-1】5.(2023秋?湖南長沙?高三周南中學(xué)校考開學(xué)考試)已知直線/：V3x-3y+m=

0與圓G：(x-A)2+y2-A.2(A.>0)相切于點(diǎn)E,直線1與雙曲線。2橐-羽=1(?>0,b>0)

的兩條漸近線分別相交于4B兩點(diǎn)，且E為4B的中點(diǎn)，則雙曲線。2的離心率為.

【答案】V2

【分析】聯(lián)立直線I與雙曲線的漸近線求出4B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用小、a、匕表示出中點(diǎn)E

的坐標(biāo)，由直線1與圓G相切可得m=V32,再聯(lián)立直線，與圓G,即可用4表示出E的坐標(biāo),

再消入即可得出2的值，再利用e=Jl+3求出答案.

aya2

【詳解】雙曲線。2：白一5=l(a>0,b>0)的兩條漸近線為y=,

V3x—3y+m=0_V3%-3y+m=0__

由b解得4（二「rnan，二b）,由、mamb

-y-..*y/3u+3bV^a+3by=^x解付B（南與，痂與），

，,a

線段4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為E(離;，盛寒)，設(shè)點(diǎn)E3/E),即有瑟=誓>。，

又4>0,則犯>0,即點(diǎn)E在第一象限，直線/的縱截距為正，即血>0,

又直線/與圓的相切，則有嚓4=2,解得m=V3A,則直線1:%-V3y+2=0,

2

由‘I%解得肥，與），有氏=百，于是V3fc=V3,解得勺=1,

a2

=vm=V2.

故答案為：V2

題型5焦點(diǎn)弦已知底角

【方法總結(jié)】

_c_sina+sinf3

e——

a\sina-sinf3\

22

【例題5】2023秋?江西吉安?高三吉安一中校考開學(xué)考試）點(diǎn)P是雙曲線Ci：京-￡=1（a>

0,b>0）和圓C2：x2+y2=a2+爐的一個(gè)交點(diǎn)，且2NPFF2="尸26，其中&,尸2是

雙曲線G的兩個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線G的離心率為

【答案】V3+1/1+V3

【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，貝！U&PF2=/

??/PF1F2=30°,/.PF2F1=60°=A/3|PF2I=仍61，2|PF2|=|^^2|,

e=三=|尸聞=皿=-_=舊+1

2a\PF1\-\PF2\61P尸2HPF2IV3-1

故答案為：+1

【變式（2023春?四川成都?高二校考階段練習(xí)）已知小尸2為雙曲線E的左，右焦

點(diǎn)，點(diǎn)M在E的右支上，△6MF2為等腰三角形，目NMF26=120°,則E的離心率為（）

A.V3+1B.V5-1C.—D.

22

【答案】D

【分析】由題意求得M點(diǎn)坐標(biāo)，再將之代入雙曲線方程，求得a與。的關(guān)系，最后利用雙曲線

的離心率公式即可求得E的離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線方程為馬―5=l（a>0,b>0）,設(shè)M在第一象限，

如下圖所示：過時(shí)做“。163交支軸于點(diǎn)。，

由A&aM為等腰三角形，且=120。,

貝！kMB。=60°,\MF2\=仍1尸21=2c,

IMDI=V3c,\F2D\=c,

M點(diǎn)坐標(biāo)為（2C,VM

又“在雙曲線上，則寫-（退爐

=1,

b2

即4e?---j-=1，化簡得4e4—8e2+1=0,

「葭

解得e2=l+弓或e2=l（舍去）,

解得e=等.

故選：D.

【變式5-1]2.（2008?全國?高考真題）ABC是等腰三角形，乙4BC=120°,貝以4,B

為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（）

A.1+立B.C.1+V2D.1+V3

22

【答案】B

【解析】根據(jù)題設(shè)條件可知2c==\BC\,由正弦定理可得|4C|,再由雙曲線的定義可

得2a,最后由離心率公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為4,B,則|4B|=2c,

△ABC是等月要三角形，NABC=120°,

\BC\=2c,Z.ACB=30°,

由正弦定理」即上塵=，解得|"|=2V3C,

山今正sinNABCsin^ACB'sinl20°sin30。'用十卬1，

雙曲線過點(diǎn)c,由雙曲線的定義可得MQ—陽陰=2V3C-2c=2a,

解得離心率e.=^=萼，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、離心率以及解三角形問題，屬于中檔題.求雙曲線離

心率，一般可由下面兩個(gè)方面著手：

（1）根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系，然后把匕用a,c代換，求那值；

（2）已知條件構(gòu)造出a,b,c的等式或不等式，結(jié)合。2=口2+爐化出關(guān)于。，0的式子，再

利用e=-a，化成關(guān)于e的等式或不等式，從而解出e的值或范圍.

【變式5-1]3.（2020秋?天津紅橋高二統(tǒng)考期末）已知Fl,F2是雙曲線=1（a

>0,b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2,若線段MF1的中點(diǎn)在此雙

曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.V3+1B.4+2V5

C.dD91

2

【答案】A

【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而可求得三角形的高，則點(diǎn)M的坐標(biāo)

可得，進(jìn)而求得邊Ma的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得a，/口。的關(guān)系式化簡整理求

得關(guān)于e的方程求得e.

【詳解】解：依題意可知雙曲線的焦點(diǎn)為6(-c,0),F2(C,0),\FrF2\=2c,

三角形高是gc,M(0,V3c),

??邊MF】的中點(diǎn)NJ］，當(dāng)c),代入雙曲線方程得：條一第=1,

整理得：b2c2-3a2c2=4a2b2,

???b2—c2—a2,c4—a2c2—3a2c2—4a2c2—4a4,

整理得e，-8e2+4=0,求得e?=4±2g,

e>1,?1?e=V3+1.

故選：A.

【變式5-1］4.(2023秋?湖南衡陽?高三衡陽市八中校考階段練習(xí))已知a，/2分別是雙曲

22

線。京-標(biāo)=1Q>。，6>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線。的右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過點(diǎn)4且斜率為

學(xué)的直線上，△P06為等腰三角形，“尸2&=120。，則雙曲線的離心率為.

【答案】I

【分析】作出輔助線，得到|PM|=V3c,\AM\=2c—a,求出黑=產(chǎn)=苧，求出離心率.

\AM\2c—a4

【詳解】由題知I&&I=l^2l=2c,過P作PM1x軸于M,貝［kPF2M=60°,

|PM|=V3c,\F2M\=c,\AM\=\AF2\+\F2M\=c—a+c=2c—a,

震=產(chǎn)