第08講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：直線與圓錐曲線的位置判斷..............................................4

知識點2：弦長公式..............................................................4

知識點3：點差法................................................................5

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系...............................................6

題型二：求中點弦所在直線方程問題...............................................7

題型三：求弦中點的軌跡方程問題.................................................7

題型四：利用點差法解決對稱問題.................................................8

題型五：利用點差法解決斜率之積問題............................................10

題型六：弦長問題..............................................................11

題型七：三角形面積問題........................................................13

題型八：四邊形面積問題........................................................16

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................18

05課本典例高考素材............................................................19

06易錯分析?答題模板............................................................21

答題模板：求直線與圓錐曲線相交的弦長..........................................21

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

從近五年的全國卷的考查情況來看，本

2024年北京卷第13題，5分

節(jié)是高考的熱點，特別是解答題中，更是經(jīng)

2024年甲卷（理）第20題，12分

（1）直線與圓錐曲線的常出現(xiàn).直線與圓錐曲線綜合問題是高考的

2023年I卷第22題，12分

位置關(guān)系熱點，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系中的求弦

2023年II卷第21題，12分

（2）弦長問題長、面積及弦中點、定點、定值、參數(shù)取值

2023年甲卷（理）第20題，12分

（3）中點弦問題范圍和最值等問題.多屬于解答中的綜合問

2022年I卷第21題，12分

題.近兩年難度上有上升的趨勢，但更趨于

2022年II卷第21題，12分

靈活.

復(fù)習(xí)目標：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.

（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義'標準方程及簡單幾何性質(zhì).

（3）了解拋物線與雙曲線的定義'幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì).

（4）通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

㈤2

〃聞g導(dǎo)昆第引敝

直線與圓錐曲線

老占空砒?廉刑摩需

----WM-u

知識JJ

知識點1:直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去M或y),得到關(guān)于y(或x)的一元二次方程，則

(1)直線與圓錐曲線相交qA>0；

(2)直線與圓錐曲線相切QA=O；

(3)直線與圓錐曲線相離oA<0.

【診斷自測】3.已知橢圓C：土+上=1,直線/：(，〃+2)x-(〃z+4)y+2-7"=0Q〃eR),則直線/與橢圓

259

C的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

知識點2：弦長公式

設(shè)，乂)，N(x2,%)根據(jù)兩點距離公式IMN|=+(%-％)2?

⑴若M、N在直線y=fcc+加上，代入化簡，得|腦7|="/歸—司.

(2)若V、N所在直線方程為x=(y+加，代入化簡，得|肱引=廬$|乂-為]

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長，|肱V|A2fI=1%-乂1.其中k為直線MN斜率，a為直線傾斜

|cosa||sin11

角.

【診斷自測】已知橢圓C:￡+[=l(a>b>0)的離心率為e,且過點(Le)和(坐，除.

abI22,

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C上有兩個不同點A,2關(guān)于直線y=x+g對稱，求|AB|.

知識點3：點差法

（1）AB是橢圓^+%二可心^。）的一條弦，中點加（%0，、0），則的斜率為--廣■，

運用點差法求的斜率；設(shè)A（X[,y），夕（工2,'2）（玉W%2），4，B都在橢圓上,

〃2〃22222

所以22，兩式相減得江/=0

%"2-4〃

U2護

所以(占+1)(%-馬)+(%+%)(%-%)=0

a2b1

廬(石+(

點,故3-b'o

/(%+%)

22

（2）運用類似的方法可以推出；若AB是雙曲線1r-方=l（a>6.0）的弦，中點、（2°）,則

2

bx

%AB=W”；若曲線是拋物線V=2px（2>0），貝！J左Ab=3.

a%、0

【診斷自測】以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓C過點尸（0,1）和。（0,-0）,直線/與橢圓C相交于A8兩點,

M為線段杷的中點.

（1）求橢圓C的方程；

⑵若點M的坐標為[-jj,求直線/的方程;

「題型巡

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

【典例1-11直線3x-2y+6=0與曲線上一組=1的公共點的個數(shù)是（）.

94

A.1B.2C.3D.4

【典例1.21直線67+1=0（左eR）與橢圓片+匯=1恒有公共點，則實數(shù)根的取值范圍（）

4m

A.（L4]B.[1,4）C.[1,4）=（4,y）D.（4,-w）

【方法技巧】

（1）直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元

后得到一元二次方程，其中A〉。；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個不同的公共點，可通

過判定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

（2）直線與圓錐曲線只有一個公共點則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對稱軸

平行，或直線與圓錐曲線相切.

【變式1-1】已知拋物線方程V=4x,過點尸（0,2）的直線與拋物線只有一個交點，這樣的直線有

（）條

A.0B.1C.2D.3

【變式1-2】若直線/：》=履+2與曲線C：x2-V=6（無＞0）交于不同的兩點，則上的取值范圍是（）

【變式1-3】已知直線與曲線C:y=：正可恰有三個不同交點，則實數(shù)，”的取值范圍

是（）

A.（-72,0）U（0,V2）B.口詢C.（0,V2）D.

【變式14]（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測）已知雙曲線石：!-1=1,則過點（2,逐）與￡有且只有一個

公共點的直線共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

題型二：求中點弦所在直線方程問題

22

【典例2-1］若橢圓匕+土=1的弦AB恰好被點'(Li)平分，則細的直線方程為

43

22

【典例2-2】已知尸(2,1)為橢圓上+匕=1內(nèi)一點，經(jīng)過?作一條弦，使此弦被尸點平分，則此弦所在

1612

的直線方程為.

【方法技巧】

點差法

【變式2-1】已知雙曲線方程是彳2_亡=1,過定點p(2,l)作直線交雙曲線于6出兩點，并使P為

2

的中點，則此直線方程是.

【變式2-2】過點尸(2,2)作拋物線尸=4x的弦A3,恰好被尸平分，則弦AB所在的直線方程是

【變式2-3】拋物線療=2工的一條弦被A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程是.

題型三：求弦中點的軌跡方程問題

【典例3-1】已知橢圓/+4/=16內(nèi)有一點弦尸。過點A,則弦尸。中點M的軌跡方程是.

【典例3-2】斜率為2的平行直線截雙曲線--丁=1所得弦的中點的軌跡方程是

【方法技巧】

點差法

【變式3-1】直線-7一(“+5)=。(。是參數(shù))與拋物線/:y=(x+l)2的相交弦是孫則弦AB的

中點軌跡方程是

【變式3-2］已知橢圓與+V=l.

(1)求過點尸且被P點平分的弦所在直線的方程；

(2)過點“(2,1)引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程.

【變式3-3］已知橢圓］+V=1.

(1)過橢圓的左焦點F引橢圓的割線，求截得的弦的中點戶的軌跡方程;

(2)求斜率為2的平行弦的中點。的軌跡方程；

(3)求過點加且被M平分的弦所在直線的方程.

【變式34】已知尸為拋物線V=x的焦點，點A8在該拋物線上且位于，軸的兩側(cè)，OAOB=2(其

中0為坐標原點).直線AB在繞著定點轉(zhuǎn)動的過程中，求弦AB中點M的軌跡方程.

題型四：利用點差法解決對稱問題

【典例4-1］已知“uR,在拋物線V=4x上存在兩個不同的點關(guān)于直線＞=%+加對稱，則，〃的取值

范圍是.

22

【典例3已知雙曲線C

(I)若直線y="與雙曲線c有公共點，求實數(shù)上的取值范圍;

(2)若直線/與雙曲線C交于A,B兩點，且A,B關(guān)于點Q(Y，1)對稱，求直線/的方程.

【方法技巧】

點差法

【變式4-1］(2024?江西南昌?模擬預(yù)測)已知點7(2,-2)在拋物線C：產(chǎn)=2加上，也在斜率為1的直

線/上.

(1)求拋物線C和直線/的方程；

(2)若點”,N在拋物線C上，且關(guān)于直線/對稱，求直線的方程.

22

【變式4-2］已知橢圓E:=+與=l(a>10)的焦距為2c,左右焦點分別為名、F2,圓

ab

石：(x+c)2+V=l與圓B：(x-c)2+y2=9相交，且交點在橢圓E上，直線/：V=X+機與橢圓E交于A、B

兩點，且線段AB的中點為M,直線的斜率為-L

4

(1)求橢圓E的方程；

(2)若加=1,試問E上是否存在P、。兩點關(guān)于/對稱，若存在，求出直線P。的方程，若不存在，請說明

理由.

【變式4-3】已知。為坐標原點，點，半］在橢圓C：1+《=1(°>6>0)上，直線/：y=x+機與C

交于A,B兩點，且線段AB的中點為直線OM的斜率為二.

2

⑴求C的方程；

(2)若加=1,試問C上是否存在P,。兩點關(guān)于/對稱，若存在，求出P,。的坐標，若不存在，請說明理

由.

【變式44】雙曲線C的離心率為更，且與橢圓《+片=1有公共焦點.

294

(1)求雙曲線C的方程.

(2)雙曲線C上是否存在兩點A,B關(guān)于點(4,1)對稱？若存在，求出直線的方程；若不存在，說

明理由.

題型五：利用點差法解決斜率之積問題

22

【典例5-1】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C:=+==l（a>b>0）,過點加（%,%）作傾斜角為

ab

:的直線與C交于A,8兩點，當M為線段和的中點時，直線。M（0為坐標原點）的斜率為二，則C的離

43

心率為（）

A.正B.-C.好D.正

3333

7r2

【典例5-21（2024.甘肅張掖.模擬預(yù)測）已知傾斜角為：的直線/與橢圓C:二+y2=i交于A,8兩點，

44'

戶為AB中點，0為坐標原點，則直線0P的斜率為（）

,111

A.-1B.—C.—D.—

234

【方法技巧】

點差法

【變式5-1】橢圓如2+犯2=1與直線y=l-x交于N兩點，連接原點與線段MN中點所得直線的

斜率為更，則。的值是（）

2n

A6口2有「9&n2石

A.--15.------\-）.-----

23227

22

【變式5-2】已知點AB,C是離心率為2的雙曲線「\-今=1（穌0,6>0）上的三點，直線

cib

A3,AC,3C的斜率分別是點分別是線段ABAC,3c的中點，0為坐標原點，直線

111=

尸的斜率分別是勺&，/，若77+77+77=5,則匕+&+&=.

勺k2K3-----

【變式5-3】拋物線黃=2〃乂(。＞0)的焦點為尸，過尸的直線與該拋物線交于不同的兩點M、N,

若|代困=3〃，則線段的中點與原點連線的斜率為_.

22

【變式54］已知橢圓C:二+與=l(a＞6＞0),O為坐標原點，直線/交橢圓于A,8兩點，M為AB

ab

的中點.若直線/與OM的斜率之積為則C的離心率為()

D.&

3

題型六：弦長問題

22

【典例6-1】(2024.海南.模擬預(yù)測)已知雙曲線C：與-3=1(。＞0,~＞。)的實軸長為2后，點

ab

?(2,6)在雙曲線C上.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過點尸且斜率為2碗的直線與雙曲線C的另一個交點為Q,求I尸

【典例6-2】(云南省2024屆高三9月名校聯(lián)考數(shù)學(xué)卷)動圓M經(jīng)過原點，且與直線％=-2相切，記

圓心M的軌跡為C,直線y=3x與C交于A3兩點，則|"|=.

【方法技巧】

在弦長有關(guān)的問題中，一般有三類問題:

(1)弦長公式：|A8|=J1+a,=Jl+F-pr

(2)與焦點相關(guān)的弦長計算，利用定義;

(3)涉及到面積的計算問題.

【變式6-1］已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在無軸上，其中左焦點為尸卜6,0),長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線/：y=xT與橢圓C交于不同兩點P、Q,求弦長|尸Q|.

【變式6-2］在平面直角坐標系尤0y中，已知點川-石,0),乙(6,0)』加胤-眼磯=4,動點M的軌

跡為C.

⑴求C的方程；

⑵若直線/：y=—x+t交C于A3兩點，且網(wǎng)=2而，求直線/的方程.

【變式6-3】已知拋物線y2=6x,過點A(4,1)作一條直線交拋物線于B,c兩點，且點A為線段BC的

中點.

(1)求線段BC所在的直線方程.

(2)求線段BC的長.

【變式64］已知橢圓C：:+￥=l(a>b>0)的離心率為e=￥且橢圓經(jīng)過點(2,一虎).

(1)求橢圓C的方程；

⑵過橢圓C的左焦點片作斜率為1的直線/交橢圓于A、B兩點，求|4網(wǎng).

【變式6-5］(2024?四川德陽?二模)已知直線，〃與橢圓C:《+X=l相切于點尸直線，，的斜率

43k

為;，設(shè)直線〃與橢圓分別交于點A、B(異于點P),與直線，。交于點0.

(1)求直線相的方程：

(2)證明：1421,1尸0,1向21成等比數(shù)列

22

【變式6-6](2024.河南開封.二模)已知橢圓+的左，右焦點分別為不，

ab

上頂點為A,且花居=0.

(1)求C的離心率；

Q

(2)射線AE與C交于點8,且|A8|=g，求居的周長.

【變式6.71(2024.陜西寶雞.二模)已知點B是圓。:。-1)2+/=16上的任意一點，點R(-1,0),線

段8尸的垂直平分線交BC于點P.

(1)求動點尸的軌跡E的方程；

(2)直線/:y=2x+機與E交于點M,N,且MN|=4T求m的值.

題型七：三角形面積問題

22

【典例7-1】(2024?高三?河南焦作?開學(xué)考試)已知橢圓C：3+方=l(a>b>0)的焦距為20,離心

率為冬

2

（1）求C的標準方程；

⑵若人［-。。］,直線/：x=^+g（f>0）交橢圓C于E,尸兩點，且AAEF的面積為學(xué)，求,的值.

【典例7-2】（2024?陜西渭南.模擬預(yù)測）已知拋物線。:丁=2必（0>0）的頂點在原點0,焦點坐標為

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線l-.x=ty+\與拋物線C交于尸,Q兩點，求△OP。面積的最小值.

【方法技巧】

三角形的面積處理方法：以=上底?高（通常選弦長做底，點到直線的距離為高）

【變式7-1］（2024.福建泉州.二模）已知橢圓C:￡+A=l（a>b>。），離心率為坐，點P（-l,巫）在

ab22

橢圓c上.

（1）求橢圓c的標準方程；

（2）若耳（TQ）,瑪（1,0）,過耳直線/交橢圓C于M、N兩點，且直線/傾斜角為45。，求AgN的面

積.

【變式7-2］（2024遼寧.模擬預(yù)測）點N?,%）是曲線「:"2+"=1上任一點，已知曲線「在點

N（方,%）處的切線方程為aXoX+Z%y=l.如圖，點尸是橢圓C:］+y2=1上的動點，過點尸作橢圓C的切

線/交圓O：/+9=4于點A、B,過A、B作圓。的切線交于點

(1)求點M的軌跡方程；

(2)求AOPM面積的最大值.

2

【變式7-3](2024.上海.二模)已知雙曲線-方=1。＞0).

(1)若雙曲線C的一條漸近線方程為y=2x,求雙曲線C的標準方程；

(2)設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為片，與，點P在雙曲線C上，若尸的工尸工，且△尸片歹的面積為9,求

6的值.

【變式7-4](2024.全國.模擬預(yù)測)已知拋物線。：＞2=2"尤(0＞0)的焦點為b，直線/:尤=⑺+"與C

交于A,B兩點，且當根=2,"=-1時，|AB|=4jI?.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若求尸面積的最小值.

【變式7-5](2024?河南?三模)已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在V軸的正半軸上，圓

d+Cv-DJl經(jīng)過拋物線C的焦點.

⑴求C的方程；

(2)若直線/:〃■+y-4=0與拋物線C相交于48兩點，過A8兩點分別作拋物線C的切線，兩條切線相交

于點尸，求AAB尸面積的最小值.

題型八：四邊形面積問題

【典例8-1]已知A(-2,0),{1,||在橢圓C：J+/=ig>b>0)上，匕，尸2分別為C的左、右焦

點.

(1)求a,b的值及C的離心率；

(2)若動點P,。均在C上，且P,。在x軸的兩側(cè)，求四邊形尸耳。工的面積的取值范圍.

【典例8-2】已知拋物線。：丁=2「4°>0)的焦點為尸，拋物線C上的點A的橫坐標為1,且|&同=:

(1)求拋物線C的方程；

(2)過焦點/作兩條相互垂直的直線(斜率均存在)，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形

面積的最小值.

【方法技巧】

四邊形或多個圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(尤其是

有平行條件的時候)，可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計算量.特殊的，對角線互相垂直的四邊形，面積=對角

線長度乘積的一半.

【變式8-1](2024?湖南.三模)己知橢圓工+±=1,A是橢圓的右頂點，8是橢圓的上頂點，直線

169

/:y="+b(左>0)與橢圓交于M、N兩點，且M點位于第一象限.

(1)若6=0,證明：直線AM和AN的斜率之積為定值；

3

(2)若左=:，求四邊形AMBN的面積的最大值.

4

22

【變式8-21(2024?江蘇鎮(zhèn)江?三模)如圖，橢圓C：0+4=1(。>6>0)的中心在原點。，右焦點產(chǎn)，

ab

橢圓與,軸交于AB兩點、，橢圓離心率為看,直線叱與橢圓C交于點M

(1)求橢圓C的方程;

(2)尸是橢圓C弧癡上動點，當四邊形的面積最大時，求P點坐標.

【變式8-3】已知定點尸(6,0),圓Q:(x+6)2+產(chǎn)=16,N為圓。上的動點，線段NP的垂直平分線

和半徑NQ相交于點

(1)求點M的軌跡「的方程；

(2)過戶的直線/與軌跡「交于A8兩點，若點。滿足詼=礪+?，求四邊形面積的最大值.

【變式8-4］已知橢圓W：工+且=1的長軸長為4,左、右頂點分別為A,B,經(jīng)過點P(LO)的動直

4mm

線與橢圓W相交于不同的兩點C,D(不與點A,3重合).

(1)求橢圓W的方程及離心率；

(2)求四邊形AC8D面積的最大值；

【變式8-5】已知點尸(0」)，點8為直線、=-1上的動點，過點8作直線丁=-1的垂線/,且線段FB

的中垂線與/交于點P.

(1)求點尸的軌跡「的方程；

(2)設(shè)FB與x軸交于點直線P尸與「交于點G(異于P),求四邊形OMFG面積的最小值.

2

1.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)A,2為雙曲線犬-三=1上兩點，下列四個點中，可為線段

AB中點的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(TT)

2.(2023年新課標全國H卷數(shù)學(xué)真題)已知橢圓C:：+V=i的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,直線

y=x+機與C交于A,8兩點，若面積是△用AB面積的2倍，則加=().

22

3.（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線二-斗=1（“>0*>0）的右焦點與拋物線;/=2px（p>0）的焦

ab

點重合，拋物線的準線交雙曲線于A,8兩點,交雙曲線的漸近線于C、。兩點，若=則雙曲

線的離心率為（）

A.72B.6C.2D.3

4.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)8是橢圓+的上頂點，點P在C上，則忖闿的最

大值為（）

A.-B.\/6C.#/D.2

5.（多選題）（2023年新課標全國II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)0為坐標原點，直線y=-若5-1）過拋物線

的焦點，且與C交于M,N兩點，/為C的準線，貝|（）.

Q

A.P=2