2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《與等腰（邊）三角形有關(guān)的線段相等問題》專項(xiàng)測試卷

含答案

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

知識(shí)與方法

1.角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形

2.角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形

3.等邊三角形的三邊相等

典例精析

例1如圖1-1-35,在矩形ABCD中,NABC的平分線BE與AD交于點(diǎn)E,ZBED的平分線EF與DC交于

點(diǎn)F若AB=12,DF=2FC,則BC的長是_______.

【簡析】解法一：角平分線+平行一等腰三角形如圖1-1-36,延長BC,EF交于點(diǎn)G設(shè)CG=a,

A____________ED

8憶----------------------

圖1-1-36

由ACGF^ADEF得DE=2a,??.AD=12+2a.由AD〃BC,EF平分/BED得BE=BG.

???12+2a+a=12A/2.

???a=4^2—4.

???BC=12+2a=12+8V2-8=8V2+4.

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解法二：角平分線+雙垂直

如圖1-1-37過點(diǎn)F作FGXBE于點(diǎn)G,連接BF.

圖1-1-37

設(shè)DE=a，等積法：SBEF=SR-S-S,X12應(yīng)x8=+12+a)X12-X8a-|x

四世彬BLDHBCFDEFZZNN

4(12+a),

a=8V2—8.BC=12+a=8V2+4.

解法三：角平分線+對(duì)稱兩邊一全等

如圖1-1-38,在AD的延長線上截取.EB,=BE,連接FB,FB：設(shè)DE=a.

2

(12+a)2+42=(12V2-a)+82.

解得a=8/—8.

BC=12+a=8V2+4.

解法四：倍半角

圖17-39

由圖1-1-39②易得tan22.5。=卷=/一1如圖1-1-39①，在RtADEF中，tan22.5。=署=等=魚一

1..-.DE=842-8.

BC=AD=12+(8&-8)=8V2+4.

例2已知AABC是等邊三角形，點(diǎn)D,E分別在直線BC,AC上.

⑴如圖1-1-40①，當(dāng)BD=CE時(shí)，連接AD與BE交于點(diǎn)P,則線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是;ZAPE

的度數(shù)是.

(2)如圖②，若“BD=CE"不變,AD與EB的延長線交于點(diǎn)P,那么⑴中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

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⑶如圖③，若AE=BD,連接DE與AB邊交于點(diǎn)M.求證:M是DE的中點(diǎn).

圖1-1-40

【簡析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知，證明AABD0ABCEISAS)即可解決問題.

⑵結(jié)論"AD=BE,/APE=60?！比匀怀闪⒗玫冗吶切蔚男再|(zhì)結(jié)合已知，證明△ABDgABCE(SAS)即可解決問

題.

(3)過點(diǎn)E作EF〃:BC交AB邊于點(diǎn)F.證明AMEF四△MDB即可解決問題.

解:(1)AD=BE60°

⑵結(jié)論"AD=BE,/APE=60?！比匀怀闪⒗碛扇缦?如圖1-1-410,

圖1-1-41

「△ABC是等邊三角形，

AB=BC,ZABC=ZACB=60°.

ZABD=ZBCE=120°.

又：BD=CE,

/.AABD^ABCE(SAS).

AD=BE,ZBAD=ZCBE,ZADB=ZBEC.

XZAPE=ZADB+ZDBP,ZACB=ZCBE+ZCEB=60°,ZDBP=ZCBE,

ZAPE=ZACB=60°.

(3)證明:「△ABC是等邊三角形，

ZA=ZABC=ZACB=60°.

如圖1一1一41②過點(diǎn)E作EF〃BC交AB邊于點(diǎn)F.

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A

圖1-1-41

/.ZAFE=ZABC=60°,ZAEF=ZACB=60°.

.?.△AEF是等邊三角形.

；.EF=AE.

VAE=BD,

/.EF=BD.

：EF〃BD,

ZEFM=ZDBM.

,/NEMF=NDMB,

AMEF^AMDB(AAS).

；.EM=DM,M是DE的中點(diǎn).

進(jìn)階訓(xùn)練

1.如圖1-1-42,在AABC中,AB=3AC,NBAC的平分線交BC于點(diǎn)D.過點(diǎn)B作8￡，人口,垂足為￡,求

證:AD=DE.

2.如圖1-1-43,AB〃CD.BE平分/ABC,CE平分/BCD,若E在AD上.

3.問題:如圖1-1-44,在nABCD中,AB=8,AD=5,/DAB,/ABC的平分線AE,BF分別與直線CD交于點(diǎn)E,F,求

EF的長.

答案:EF=2.

探究:⑴把“問題”中的條件“AB=8”去掉其余條件不受

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①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，求AB的長;

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長.

⑵把“問題”中的條件“AB=8,AD=5"去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C,D,E,F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求華的

值.

圖1-J.-44

4.如圖1-1-45,在AABC中,/ACB=2NB,/BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過H作直

線UAO于點(diǎn)H,分別交直線AB,AC,BC于點(diǎn)N,E,M.

⑴當(dāng)直線1經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)（如圖①）,求證:BN=CD;

（2）當(dāng)M是線段BC的中點(diǎn)時(shí)（如圖②），寫出線段CE和線段CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1-1-45

5.如圖1-1-46QABC是等邊三角形,CE是Z1ABC的外角/ACM的平分線，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)目/

ADE=ZABC,DE與CE相交于點(diǎn)E.

⑴如圖①,如果點(diǎn)D在邊BC上.求證:AD=DE.

⑵如圖②,如果點(diǎn)D在邊BC的延長線上那么⑴中的結(jié)論“AD=DE”還能成立嗎?請(qǐng)說明理由.

⑶如果AABC的邊長為4,且NDAC=30。,請(qǐng)直接寫出線段BD的長度（無需寫出解題過程）.

圖1-1-46

6.如圖1-1-47,在RtAABC中,NACB=9（F,/A=60o,M為AB中點(diǎn),D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，在CD右側(cè)作等邊

三角形CDE,直線DE與直線CB交于點(diǎn)F,連接BE.

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，求證:CE=BE.

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM（不包括端點(diǎn)A,M）上時(shí),CE=BE是否仍然成立？請(qǐng)說明理由.

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cE

DM

①②

圖1-1-47

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答案

進(jìn)階訓(xùn)練I

1.證明:如圖延長AC,BE交于點(diǎn)F,取CF的中點(diǎn)G,連接EG.

在z\ABE和2kAFE中，

NBAE=/FAE,

<AE=AE,

NBEA=NFEA=90°,

???AABE^AAFE(ASA).

???AB=AF,BE=FE.

又?.,AB=3AC,

???AF=3AC.

ACF=2AC.

又CG=FG,

AAC=CG=FG.

在ABCF中，

,.,CG=FG,BE=FE,

???EG〃BC.

又?.,AC=CG,

二?AD=DE.

2.解:解法一:如圖，在BC上取點(diǎn)F,使BF=BA,連接EF.

AB=FB,

在4ABE和4FBE中

BE=BE,

：.AABE^AFBE(SAS).

AZA=Z5.

???AB〃CD,

???NA+ND=180。.

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.\Z5+ZD=180.

VZ5+Z6=180°,

AZ6=ZD.

(Z6=乙D,

在ACFE和ACDE中.Z3=Z4,AACDE^ACFE(AAS).

ICE=CE,

ACF=CD.

?「BOBF+CF,

???BC二AB+CD.

BFC

解法二過點(diǎn)E作AB的平行線EF與BC交于點(diǎn)F,可知AB,EF,CD互相平行，由BE平分/ABC,易得BF=EF,

由CE平分/BCD易得CF二EF,所以BF二CF.根據(jù)平行線分線段成比例，可得EF是梯形ABCD的中位線，推出

AB+CD=2EF,進(jìn)而可得BC=AB+CD.

3.解:⑴①如圖①所示:

??.四邊形ABCD是平行四邊形，

CD=AB,BC=AD=5,AB//CD.

???ZDEA=ZBAE.

VAE平分NDAB,

???ZDAE=ZBAE.

???ZDEA=ZDAE.

二?DE二AD=5.

同理:BC=CF=5.丁點(diǎn)E與點(diǎn)F重合,

???AB=CD=DE+CF=10.

②如圖②所示：

___N。⑹

AB

②

'??點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,???DE=DC=5.

易得CF=BC=5,???點(diǎn)F與點(diǎn)D重合.

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，EF=DC=5.

⑵分三種情況：

①如圖③所示：

同(1)得:AD=DE,

VC,D,E,F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,

An1

.?.AD=DE=EF=CF.

AB3

②如圖④所示:

同(1)得:AD=DE=CF,

,/DF=FE=CE,

?_A_D.—_2■

''AB~3r

③如圖⑤所示：

同(1)得:AD=DE=CF,

VDF=DC=CE,/.ADB=2.

綜上所述，笫；的值為［或|或2.

4.解：(1)證明:連接ND,如圖①所示:

?

VAO平分NBAC,

ZBAD=ZCAD.

.直線1-LAO于點(diǎn)H,

ZAHN=ZAHE=90°.

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???NANH二NAEH.

AAN=AC.

.*.NH=CH.

???AH是線段NC的垂直平分線.

ADN=DC.

???ZDNH=ZDCH.

JZAND=ZACB.

ZAND=ZB+ZBDN,ZACB=2ZB,

???NB=NBDN.

???BN=DN.

二?BN=DC.

⑵當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí),CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系為CD=2CE理由如下：

過點(diǎn)C作CN'XAO交AB于N,過點(diǎn)C作CG/7AB交直線1于點(diǎn)G,如圖②所示.

VCG//AB,

:.NANE=NCGE,NB=NBCG.

易得AAHN也"明

ZANE=ZAEN.

???ZCGE=ZAEN.

.'.CG=CE.iSnNN^G中，NN'=CG,

??.NN'=CE.

???M是BC中點(diǎn)，

JBM=CM.

Z-B—Z-BCG,

在△BNM和^CGM中BM=CM,

/NMB=乙GMC,

：.ABNM^ACGM(ASA).

???BN=CG.

???BN=CE.

由(1)彳導(dǎo)BN'=CD,

???CD=BN'=NN'+BN=2CE.

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5.解:⑴證明:如圖①，在AC上截取CN=CD.連接DN.

①

:△ABC是等邊三角形，

.*.ZACB=ZB=60°.

???△CDN是等邊三角形.

???ND=CD=CN,ZCND=ZCDN=60°.

???ZAND=120°.

???ZADE=ZB=60°,

:.ZADE=ZNDC.

???ZADN=ZEDC.

VCE平分NACM,

JZACE=60°.

???乙DCE=120°=乙AND.

在4ADN和AEDC中，

ZADN=乙EDC,

DN=DC,

ZAND=乙ECD,

：.△ADNdEDC(ASA).

???AD=ED.

⑵結(jié)論仍然成立.理由如下：如圖②，在AC的延長線上截取CN二CD,連接DN.

②

VAABC是等邊三角形，

JZACB=60°.

JZDCN=60°.

.?.△CDN是等邊三角形.

.*.ND=CD=CN,ZCND=ZCDN=60°.

VCE平分NACM,

???ZACE=ZDCE=60°.

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???ZECD=ZAND.

ZADE=ZB=60°,

JZADE=ZCDN.

JZADN=ZEDC.

在2kADN和/kEDC中，

/ADN=/EDC,

JND=C。，

、/AND=/ECD,

???AADN^AEDC(ASA).

AAD=DE.

(3)BD的長度為2或8.

［解析］當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

VAABC是等邊三角形，