專題13等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型

維維亞尼定理fAeorewi）：在等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)尸到三邊的垂直距離之和，等于該等邊

三角形的高。這個定理可一般化為：等角多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)

的位置無關(guān)。它以溫琴佐?維維亞尼命名。

而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去

相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動，此時連

接點(diǎn)和底邊所對頂點(diǎn)，能江原圖分割成兩個底相等的三角形。

目錄導(dǎo)航

例題講模型

2

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型2

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

習(xí)題練模型

例題講模型］

模型1.等邊三角形中維維尼亞模型

模型解讀

條件：在等邊V/2C中，P是平面上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸PFLBC,PDLAB,過點(diǎn)/作

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)P在三角形/8C內(nèi)時，則PD+PE+PF=4M；

②如圖2,若動點(diǎn)P在三角形48c外時，則P0+PE-PF=/M。

（當(dāng)點(diǎn)尸在三角形/8C外時，受P的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)/尸，BP,CP。；丫48。是等邊三角形，，/2=8C=/C,

S“BC=ABPS.BCP；

AAiHASAD.I+△+△ASCA/2ACP=-BC-AMPD+PE+PF=AM.

②如圖3,連結(jié)4P,BP,CP。：VNBC是等邊三角形，：.AB=BC=CA,

則5/.=凡4砥+邑，3-兄80=3/3.尸0+!/0M一330.尸尸=；50（「。+M一尸尸）,

7

S"S.BP+S3；：

AS.ACP=BC".PD+PE-PF=AM.

模型運(yùn)用

例1.（2024?河北?二模）如圖，尸為邊長為2的等邊三角形N8C內(nèi)任意一點(diǎn)，連接B4、PB、PC,過尸點(diǎn)

分別作8C、AC、N2邊的垂線，垂足分別為。、E、F,貝!IPD+PE+P尸等于（）

A.—B.V3C.2D.2c

2

例2.（2024八年級?廣東?培優(yōu)）如圖，點(diǎn)P為等邊"BC外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到三邊的距離尸。=%,尸￡=%,P尸=%,

D.24G

例3.（23-24八年級上?浙江寧波?期中）如圖，尸是等邊三角形/8C內(nèi)一點(diǎn)，且尸4=4,尸8=2后，尸C=2,

以下3個結(jié)論：①/BPC=120。；②AB=2出；@SAABP=4y/3；④若點(diǎn)尸到V4BC三邊的距離分別為,

A

PF,PG,則有P￡+PF+PG=火/2,其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

例4.(23-24八年級上?云南昆明?期末)如圖(1),已知在V/8C中，AB=AC,^./8=60。,過N作AP1BC

于點(diǎn)P,點(diǎn)M是直線2C上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到V/BC兩邊/2、NC的距離分別為加，"，V48c的高為肌

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到什么位置時，m=n,并說明理由.

(2)如圖(2),試判斷加、〃、〃之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

22i2

(3)如圖(3),當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到5c的延長線上時，求證：=—+—

202220221011

模型2.等腰三角形中維維尼亞模型

條件：如圖，等腰V48c(48=/C)中，點(diǎn)尸在8C上運(yùn)動，過點(diǎn)尸作PHLAC,CELAB,

結(jié)論：①如圖1,若動點(diǎn)尸在邊3C上時，則尸E+P0=C尸。

②如圖2,若動點(diǎn)P在8c延長線上時，則尸產(chǎn)-PE|=CD。

圖1圖2

模型證明

證明：①如圖1,連結(jié)4P；是等邊三角形，.??/8=NC,

則S/BCMS/BP+S/CPML/BJD+L/C-PEMJ/BIPO+PE)，SABC=-ABCF.,.PE+PD=CFo

^ADCt^Abr^ACr?[2'AABC)

①如圖2,連結(jié)4P；：V/2C是等邊三角形，

則SJBC=S4BP-SJCP='/B-PF-L/C-PE=」AB-(PF-PE)，SABC=-AB-CD：.PF-PE=CD.

AABC△ADL△A\/△AbC

模型運(yùn)用

例1.（23-24八年級上?廣西百色?期末）如圖，已知△4BC是等腰三角形，/B=/C,點(diǎn)。是2C上任意一點(diǎn),

OELAB,OFLAC,等腰三角形的腰長為4,面積為4g,則OE+O尸的值為（）

A.1.5B.2百C.2.5D.3

例2.（23-24九年級下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，將矩形48CD沿昉折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)8處，尸為折

痕訪上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PGL8E,垂足分別為G,H,若/。=16,CF=6,貝1J尸G+/W=.

例3.（23-24八年級下?江西吉安?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰V/2C并標(biāo)注：AB=AC=10,

乙4=30。，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

（1）甲同學(xué)提出：NB=NC=度；（2）乙同學(xué)提出：V/3C的面積為:

(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，DE1AB,DF1AC,垂足為￡、F,請求出尸的值；

(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)。為邊3C上任一點(diǎn)，DE1AB,DF1AC,CHVAB,垂足為E、F、H,

則有DE+Z)尸=CH.請你為丁同學(xué)說明理由.

例4.(23-24山西八年級上期中)(1)如圖(1),已知在等腰三角形/3C中，=N。，點(diǎn)P是底邊3C上

的一點(diǎn)，PDLAB,垂足為點(diǎn)。，PE1AC,垂足為點(diǎn)E.求證：尸。+尸￡為定長.

(2)如圖(2),己知在等腰三角形中，=點(diǎn)尸是底邊8C的延長線上的一點(diǎn)，PDLAB,垂

足為點(diǎn)。，PEVAC,垂足為點(diǎn)E.求證：PD-PE為定長.⑶如圖(3),已知：點(diǎn)尸為等邊三角形4BC

內(nèi)任意一點(diǎn)，過P分別作三邊的垂線，分別交三邊與。、E、F.求證：PD+PE+PF為定長.

例5.（2024?江西?一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，NB

=NC,則四邊形N8CZ）為等鄰角四邊形.

圖1圖2

（1）定義理解：已知四邊形48。為等鄰角四邊形，且/N=130。，/8=120。，則度.

（2）變式應(yīng)用：如圖2,在五邊形/2CDE中，ED//BC,對角線AD平分2/2C.

①求證：四邊形4B0E為等鄰角四邊形；②若//+NC+/E=300。，NBDC=/C,請判斷小臺⑺的形狀，

并明理由.（3）深入探究：如圖3,在等鄰角四邊形/BCD中，NB=NBCD,CELAB,垂足為E,點(diǎn)尸為

邊上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PN-LCD,垂足分別為M,N.在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中，判斷PM+PN

與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.（4）遷移拓展：如圖4,是一個航模的截面示意圖.四邊形/BCD是等鄰角

四邊形，ZA=ZABC,￡為邊上的一點(diǎn)，EDLAD,ECLCB,垂足分別為。、C,48=2&§dm,AD

=3dm,BD=而dm.M、N分別為/￡、BE的中點(diǎn)，連接。A/、CN,求ADEN與ACEN的周長之和.

習(xí)題練模型

1.（23-24八年級上?浙江寧波?期末）如圖，在等腰A/BC中，AB=4C=5,BC=6,。是△48C外一點(diǎn),

。到三邊的垂線段分別為。。，OE,OF,且OD:OE:OF=1:4:4,則NO的長度為（）

2.（23-24九年級上?重慶?期中）如圖，在等腰AABC中，AB=AC,tanC=2,BD_LAC于點(diǎn)D,點(diǎn)G是底

邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F,若BD=4,GE=1.5,則BF的長度為（）

3.（23-24八年級下?福建泉州?期中）如圖，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD〃AB,PE〃BC,PF//AC,若

PD+PE+PF=6,且V4BC是等邊三角形，則V4BC的周長為（）

A.12B.18C.24D.30

4.（23-24八年級上?江蘇常州?階段練習(xí)）如圖，V4BC為等邊三角形，點(diǎn)。是8C邊上異于2,C的任意一

點(diǎn)，DE_L4B于■點(diǎn)、E.DFJ.AC于點(diǎn),F.若8c邊上的高線=6,則￡＞后+。廠=

5.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,C4=6,C5=8,點(diǎn)尸為此三角形內(nèi)部

（包含三角形的邊）的一點(diǎn)且尸到三角形三邊的距離和為7,則CP的最小值為.

6.（2024八年級?廣東?培優(yōu)）如圖，13C中，/C=5C,點(diǎn)尸是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)0是45延長線上

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別作尸。L/C于點(diǎn)。，PELBC于點(diǎn)、E,過點(diǎn)。分別作L/C于點(diǎn)RQG,3c于

點(diǎn)G,貝UPD+尸￡+QGFQ.（填或“="）

7.（23-24九年級上?山東青島?期末）如圖，將矩形/BCO沿跖折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)3上，點(diǎn)C落在點(diǎn)C

處，點(diǎn)尸為折痕EF上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作PG1BE、PH1BC,垂足分別為G、H,若4D=24cm,CF=9cm,

尸G=2cm則下列結(jié)論正確的有（填正確結(jié)論的序號）①。E=15cm②尸的面積是90cm2③

8.（2024八年級?廣東?培優(yōu)）如圖，在“3C中，線段ND為中線，點(diǎn)。為線段/。的中點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)

O,且8,C兩點(diǎn)在/的同側(cè)，過點(diǎn)瓦C,D,/作直線/的垂線，垂足分別為點(diǎn)￡,F,H,G.則下列說

法一定正確的有.

①②AG=DH；③2AG=BE+CF；④若點(diǎn)2,C位于/異側(cè)，有24G=BE-CF.

9.（2023?四川內(nèi)江?中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時期數(shù)學(xué)家劉

徽創(chuàng)建.“將一個幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的

面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形/BCD中，AB=5,AD=12,對角線/C與BZ）交于點(diǎn)

。，點(diǎn)￡為BC邊上的一個動點(diǎn)，EF1AC,EG1BD,垂足分別為點(diǎn)RG,貝!]M+￡G=.

10.（23-24九年級上?江蘇無錫?期末）如圖，已知等腰RtZ\/3C中，ZC=90°,AC=\,尸為三角形內(nèi)（含

邊）一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB>BC、AC的垂線，垂足分別為D、E、FEPD=PE=PF,則CE長為；

若PD=PE+PF,則點(diǎn)尸運(yùn)動的路徑長為.

11.（23-24八年級下?河南南陽?期中）在A/BC中，4B=/C,點(diǎn)P為△48C所在平面內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)尸分別作

PE〃NC交于點(diǎn)E,PF〃AB交BC于點(diǎn)、D,交NC于點(diǎn)尸.

（1）觀察猜想:如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在2C邊上時，此時點(diǎn)P、D重合,試猜想PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系:.

（2）類比探究:如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在A/BC內(nèi)時，過點(diǎn)尸作交于點(diǎn)交NC于點(diǎn)N,試寫出尸D,

PE,尸尸與N3的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（3）解決問題:如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸在AABC外時，若A8=6,PZ）=1,請直接寫出平行四邊形尸E/尸的周長.

AAA

E

B

P(D)

圖1

12.（23-24泰州八年級上期中）從特殊出發(fā)：如圖1,在中，AB=AC,點(diǎn)尸為邊3c上的任意一點(diǎn)，

過點(diǎn)P作尸。J_/2,PE工AC,垂足分別為。、E,過點(diǎn)C作CF_L42,垂足為R求證：PD+PE=CF.小明

的證明思路：如圖2,連接4P,由A/5?與“CP面積之和等于仙3。的面積可以證得尸。+P￡=CF（不需

寫出證明過程）.

變化一下：（1）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在2c的延長線上時，其余條件不變，請運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方

法，猜想PD、尸￡和C尸的關(guān)系，并證明.

3

從幾何到函數(shù)：如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線。、h,分別是函數(shù)乂=^工+3和%=-3x+3的圖

像，11、辦與x軸的交點(diǎn)分別為/、B.

（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點(diǎn)C,點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）說明A/3C是等腰三角形；

（4）若上的一點(diǎn)河到//的距離是1,運(yùn)用上面的結(jié)論，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

圖4

13.（23-24九年級上?四川成都?期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰中,

S“ABC=S.APB+S'APC'即|AB-DC=^AB-MP+^-ACPN,'：AB=AC,：.DC=MP+PN,MP+PN是個固

定值.

（1）如圖1,在矩形N3CD中，/C與。B交于O,48=3,40=4,P是4D上不與/和。重合的一個動點(diǎn),

過點(diǎn)P分別作/C和AD的垂線，垂足分別為￡,F,則尸E+Pb的值為

知識應(yīng)用：（2）如圖2,在矩形中，點(diǎn)N分別在邊8c上，將矩形/BCD沿直線折疊,

使點(diǎn)。恰好與點(diǎn)3重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處.點(diǎn)P為線段MN上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)"，N重合），過點(diǎn)尸分別

作直線9,8c的垂線，垂足分別為E和尸，以PE,尸尸為鄰邊作平行四邊形依。尸，若

0M=13,CN=5,口尸￡”的周長是否為定值？若是，請求出口尸EQF的周長；若不是，請說明理由.

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸是等邊.“8C外一點(diǎn)時，過點(diǎn)尸分別作直線N3、AC,3C的垂線、垂足分別為點(diǎn)￡、

D、F.若PE+PF-PD=3,請直接寫出AABC的面積.

14.（23-24八年級下?四川宜賓?階段練習(xí)）閱讀材料：如圖，“3C中，AB=AC,尸為底邊3C上任意一

點(diǎn)，點(diǎn)尸到兩腰的距離分別為4,2,腰上的高為/，，連接/P,則邑陋＞+5“°=豆"「即：

AB*rx+ACT2=AB'h,：.rx+r2=h（定值）.

（1）理解與應(yīng)用：如圖，在邊長為3的正方形4BCD中，點(diǎn)￡為對角線AD上的一點(diǎn)，且BE=BC,F為CE上

一點(diǎn)，F(xiàn)M_L8c于W,FN1BD千N,試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出W+網(wǎng)的長.

(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形"，那么尸的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在

三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊“3C內(nèi)任意一點(diǎn)尸到各邊的距離分別為？但%，等邊“3C的高為〃，

試證明外+馬+4=〃(定值).

(3)拓展與延伸：若正"邊形44…內(nèi)部任意一點(diǎn)尸到各邊的距離為彳4…/，請問4+2+…+〃是否為

15.(2022?黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題.

過

點(diǎn)C作CG_L4B于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

(2)如圖二，將矩形/8CD沿著E廠折疊，使點(diǎn)/與點(diǎn)。重合，點(diǎn)3落在十處，點(diǎn)G為折痕E尸上一點(diǎn)，過

點(diǎn)G作GM_L尸C于M,GNLBC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

AR4F

(3)如圖三，在四邊形48C。中，￡為線段上的一點(diǎn)，EALAB,EDLCD,連接AD,且忘="，

CDDE

BC=5,CD=3,BD=6,求ED+E4的長.

16.（2023?陜西渭南?二模）（1）【問題提出】

如圖1,在等腰小BC中，48=/C,尸是底邊8C上的任一點(diǎn)（不與8、C重合），尸于E,PFVAB

于R8O_LZC于。.求證：BD=PF+PE；

（2）【問題探究】如圖2,和ACDE是兩個含30。的直角三角形，其中N/C2=/DCE=90。,

ZABC-ZCED=30°,連接BE,BE=1G,求的長；

（3）【問題解決】如圖3,四邊形/BCD是某農(nóng)業(yè)觀光園的部分平面示意圖，2。是一條灌溉水渠，￡為入

口，E在線段3C上，管理人員計劃從入口E處沿笈4、由分別修兩條筆直的小路，將園區(qū)分割為

ABAp

△CDE和△/￡￡）三個區(qū)域，用來種植不同的農(nóng)作物.根據(jù)設(shè)計要求，E