泛涵分析考試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題2分，共10分）

1.泛涵分析中，若對(duì)于任意開(kāi)集U，有f(U)是開(kāi)集，則稱函數(shù)f(x)為：

A.連續(xù)函數(shù)

B.拓?fù)溥B續(xù)函數(shù)

C.拓?fù)溟_(kāi)函數(shù)

D.拓?fù)溟]函數(shù)

2.設(shè)X、Y為拓?fù)淇臻g，f:X→Y為映射，若對(duì)于X中的任意開(kāi)集U，有f(U)是Y中的開(kāi)集，則稱f為：

A.連續(xù)映射

B.拓?fù)溥B續(xù)映射

C.拓?fù)溟_(kāi)映射

D.拓?fù)溟]映射

3.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包都是X的閉集，則稱X為：

A.第一可數(shù)拓?fù)淇臻g

B.第二可數(shù)拓?fù)淇臻g

C.第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g

D.第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g

4.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的交集都是X的鄰域，則稱X為：

A.第一可數(shù)拓?fù)淇臻g

B.第二可數(shù)拓?fù)淇臻g

C.第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g

D.第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g

5.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的補(bǔ)集都是X的鄰域，則稱X為：

A.第一可數(shù)拓?fù)淇臻g

B.第二可數(shù)拓?fù)淇臻g

C.第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g

D.第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g

二、填空題（每題2分，共10分）

1.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X的子集A的補(bǔ)集的閉包是A，則稱A為X的__________子集。

2.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為X的__________子集。

3.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X的子集A的補(bǔ)集的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為X的__________子集。

4.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集的閉包是A，則稱A為X的__________子集。

5.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為X的__________子集。

三、判斷題（每題2分，共10分）

1.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包都是X的閉集，則X一定是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。（）

2.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的交集都是X的鄰域，則X一定是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。（）

3.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的補(bǔ)集都是X的鄰域，則X一定是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g。（）

4.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包的補(bǔ)集都是X的鄰域，則X一定是第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g。（）

5.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包的補(bǔ)集的閉包都是X的鄰域，則X一定是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。（）

四、計(jì)算題（每題10分，共20分）

1.設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和閉區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。證明X是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。

2.設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和半開(kāi)區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。證明X不是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。

五、證明題（每題10分，共20分）

1.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，證明：若X是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g，則X的任意子集都是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。

2.設(shè)X為拓?fù)淇臻g，證明：若X是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g，則X的任意子集都是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g。

六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和閉區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。證明X中的連續(xù)映射f(x)一定是有界的。

2.設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和半開(kāi)區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。證明X中的連續(xù)映射f(x)不一定是連續(xù)的。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.C.拓?fù)溟_(kāi)函數(shù)

解析思路：根據(jù)泛涵分析的定義，若對(duì)于任意開(kāi)集U，有f(U)是開(kāi)集，則稱函數(shù)f(x)為拓?fù)溟_(kāi)函數(shù)。

2.B.拓?fù)溥B續(xù)映射

解析思路：根據(jù)泛涵分析的定義，若對(duì)于X中的任意開(kāi)集U，有f(U)是Y中的開(kāi)集，則稱f為拓?fù)溥B續(xù)映射。

3.C.第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g

解析思路：根據(jù)第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包都是X的閉集。

4.A.第一可數(shù)拓?fù)淇臻g

解析思路：根據(jù)第一可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的交集都是X的鄰域。

5.D.第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g

解析思路：根據(jù)第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的補(bǔ)集都是X的鄰域。

二、填空題答案及解析思路：

1.閉

解析思路：根據(jù)閉包的定義，若X的子集A的補(bǔ)集的閉包是A，則稱A為閉集。

2.開(kāi)

解析思路：根據(jù)開(kāi)集的定義，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為開(kāi)集。

3.閉

解析思路：根據(jù)閉包的定義，若X的子集A的補(bǔ)集的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為閉集。

4.開(kāi)

解析思路：根據(jù)開(kāi)集的定義，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集的閉包是A，則稱A為開(kāi)集。

5.閉

解析思路：根據(jù)閉包的定義，若X的子集A的閉包的補(bǔ)集的閉包的補(bǔ)集是A，則稱A為閉集。

三、判斷題答案及解析思路：

1.×

解析思路：根據(jù)第二可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包都是X的閉集，但這并不意味著X一定是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。

2.×

解析思路：根據(jù)第一可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的交集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。

3.×

解析思路：根據(jù)第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的補(bǔ)集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g。

4.×

解析思路：根據(jù)第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包的補(bǔ)集都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第一不可數(shù)拓?fù)淇臻g。

5.×

解析思路：根據(jù)第二可數(shù)拓?fù)淇臻g的定義，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的閉包的補(bǔ)集的閉包都是X的鄰域，但這并不意味著X一定是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。

四、計(jì)算題答案及解析思路：

1.證明：設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和閉區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。由于實(shí)數(shù)集R是第一可數(shù)空間，因此存在一個(gè)可數(shù)基{B_n}，其中B_n為開(kāi)區(qū)間（a_n,b_n）。對(duì)于任意開(kāi)集U，U可以表示為若干開(kāi)區(qū)間（a,b）的并集，即U=∪(a,b)。因此，f(U)=∪(f(a,b))，其中f(a,b)為f在開(kāi)區(qū)間（a,b）上的值。由于f是連續(xù)的，對(duì)于任意開(kāi)區(qū)間（a,b），f(a,b)也是開(kāi)集，因此f(U)是開(kāi)集。所以X是第二可數(shù)拓?fù)淇臻g。

2.證明：設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和半開(kāi)區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。由于實(shí)數(shù)集R不是第一可數(shù)空間，因此不存在一個(gè)可數(shù)基{B_n}，使得對(duì)于任意開(kāi)集U，U可以表示為若干開(kāi)區(qū)間（a,b）的并集。因此，X不是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。

五、證明題答案及解析思路：

1.證明：設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g，則X的任意子集都是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。設(shè)A為X的任意子集，由于X是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g，存在一個(gè)可數(shù)基{B_n}，使得對(duì)于任意開(kāi)集U，U可以表示為若干開(kāi)區(qū)間（a,b）的并集。對(duì)于A中的任意一點(diǎn)x，存在一個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）包含x，因此A可以表示為若干開(kāi)區(qū)間（a,b）的并集。所以A是第一可數(shù)拓?fù)淇臻g。

2.證明：設(shè)X為拓?fù)淇臻g，若X是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g，則X的任意子集都是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g。設(shè)A為X的任意子集，由于X是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g，X中的任意一點(diǎn)x的鄰域的補(bǔ)集都是X的鄰域。對(duì)于A中的任意一點(diǎn)x，存在一個(gè)鄰域的補(bǔ)集包含x，因此A的補(bǔ)集也是X的鄰域。所以A的補(bǔ)集的閉包是X的閉集。因此A是第二不可數(shù)拓?fù)淇臻g。

六、應(yīng)用題答案及解析思路：

1.證明：設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a,b）和閉區(qū)間[a,b]的并集構(gòu)成。由于實(shí)數(shù)集R是第一可數(shù)空間，因此存在一個(gè)可數(shù)基{B_n}，其中B_n為開(kāi)區(qū)間（a_n,b_n）。對(duì)于任意連續(xù)映射f(x)，對(duì)于任意開(kāi)集U，f(U)可以表示為若干開(kāi)區(qū)間（a,b）的并集，即f(U)=∪(f(a,b))。由于f是連續(xù)的，對(duì)于任意開(kāi)區(qū)間（a,b），f(a,b)也是開(kāi)集，因此f(U)是開(kāi)集。由于f(U)是開(kāi)集，因此f(U)中的任意一點(diǎn)都有鄰域包含在該開(kāi)集中。因此f(x)是有界的。

2.證明：設(shè)X為實(shí)數(shù)集R上的拓?fù)淇臻g，其拓?fù)溆砷_(kāi)區(qū)間（a