2025中考數(shù)學專項復習勾股定理中的的最

短路徑模型含答案

勾股定理中的的最短路徑模型

勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活實踐

中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學中的最短路線問題可以分為兩大類：

第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方

案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構

造直角三角形，利用勾股定理求解。

目錄殖］

例題講模型|

........................................................................................................................................................1

模型1.圓柱中的最短路徑模型.................................................................1

模型2.長方體中的最短路徑模型..............................................................3

模型3.階梯中的最短路徑模型.................................................................5

模型4.將軍飲馬與空間最短路徑模型..........................................................7

習題練模型|

例題一模型|

【知識儲備】

模型1.圓柱中的最短路徑模型

模型解讀

模型證明

條件：如圖，圓柱的底面圓的周長是C厘米，高是九厘米，現(xiàn)在要從圓柱上點A沿表面把一條彩帶繞到點及

結論：彩帶最短需要厘米.

證明：如圖所示：沿過A點和過2點的母線剪開，展成平面，連接48,

根據(jù)兩點之間線段最短得這條絲線的最短長度是A8的長度，

由勾股定理得，則這條絲線的最短長度是厘米，

注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開一定點一連線一勾股定理的步驟進行計算；

2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

模型運用

例1.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）有一個圓柱形油罐，油罐的底面半徑是2米，高A8是5

米，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點B處，問梯子最短需米（兀取3）.

例2.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可

以看作是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為8m的半圓，其邊緣

AB=CD=20m,點E在C。上，CE=5m,一名滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為（）

m（邊緣部分的厚度可以忽略不計，）取3）

A.17B.3741C.4734D.3犧

變式1.（23-24八年級下.廣東廣州.期中）如圖，圓柱的高12厘米，底面周長10厘米，在圓柱下底面的A點

有一只螞蟻，它想吃到上底面5點處的食物，則螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是（）

A.2V6cmB.12.4cmC.13cmD.10cm

變式2.（23-24八年級上.山東青島.期末）如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方

的3點，已知圓柱底面周長是3m.高為16m,則所需彩帶最短是m.

模型2.長方體中的最短路徑模型

F

ADE

甲乙丙

模型證明

條件：如圖，一只螞蟻從長是。，寬是從高是打的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到2點，（其中：h>a>b）。

結論：螞蟻爬行的最短路程是+始+，+2仍

證明：如圖，當長方體的側面按圖甲展開時，AC=a+b；CF=h

貝!]AF=yjAC2+CF2=^a+b）2+h2=yja2+b2+h2+2ab；

如圖，當長方體的側面按圖乙展開時，AB=a；BF=h+b

貝UAF=yjAB2+BF2=5+僅+耳=yja2+b2+}r+2hb；

如圖，當長方體的側面按圖丙展開時，AE=a+h；EF=b

貝UAF=>]AE2+EF2=y/（h+a）2+b2=>Ja2+b2+h2+2ah;

h>a>b,ah>bh>ab,iksja2+b2+h2+2ah>Va2+b2+h2+2bh>y]a2+b2+h2+2ab

，螞蟻所行的最短路線長為+必+/+2ab,

注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三類情況進行討論；

2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。

模型運用

例1.（23-24八年級下.山東臨沂.階段練習）一只螞蟻從長是4,寬是3,高是5的長方體紙箱的A點沿紙箱

爬到8點，那么它所行的最短路線的長是（）

A.46B.774C.3V10D.3730

例2.（23-24八年級上?廣東深圳?期中）如圖，一大樓的外墻面ADE戶與地面ABC。垂直，點尸在墻面上,

已知AB_LA。，AF±AD,且PA=AB=5米，點P到AO的距離是3米，有一只螞蟻要從點P離到點B,

它的最短行程是米.

B

變式1.（23-24八年級下?遼寧大連?階段練習）如圖，桌面上的長方體長為8,寬為6,高為4,8為CD的

中點.一只螞蟻從A點出發(fā)沿長方體的表面到達8點，則它運動的最短路程為.

CBD

A8

變式2.（23-24八年級上.江蘇淮安?階段練習）如圖，長方體的底面是邊長1cm的正方形，高為6cm.如果

從點A開始經(jīng)過4個側面纏繞2圈到達B,那么所用細線最短需要cm.

模型3.階梯中的最短路徑模型

條件：如圖一個三級臺階，它的每一級的長是。，寬是6,高是九,A和3是這個臺階的兩個相對的端點,

點A上有一只螞蟻，想到點8去吃可口的食物。

結論：螞蟻沿著臺階面爬到點B的最短路程為J?+泌2+9》+18協(xié)

證明：如圖所示，三級臺階平面展開圖為長方形，寬為BC=a,長為AC=b+〃,

.??螞蟻從點A沿臺階面爬行到8點最短路程是此長方形的對角線的長，

則由勾股定理得AB=yjAC2+BC2=，［3他+6）,+谷=7a2+9Z?2+9/?2+18W1;

則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是+班+9/+18仍.

注意：展開一定點一連線一勾股定理

模型運用

例1.（23-24八年級下.河北廊坊?階段練習）如圖，學校實驗樓前一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高

分別為24dllI,3dm,3dm,點Af和點N是這個臺階上兩個相對的端點，M點有一只螞蟻，想到N點處去吃

可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程（）

A.10dmB.20dmC.30dmD.36dm

例2.（23-24八年級下?河北石家莊?階段練習）（1）問題情境一：如圖①，一只螞蟻在一個長為100cm,寬

為50cm的長方形地毯上爬行，則線段AC的長是螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路徑，依據(jù)

是.（2）問題情境二：如圖②，在情境一中的地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等

于地毯的寬AD,木塊從正面看是一個邊長為10cm的等邊三角形，則這只螞蟻從點A處出發(fā)，翻越木塊后

到達點C處需要走的最短路程是cm.

變式1.（2023春?四川成都?八年級?？茧A段練習）如圖所示，ABC。是長方形地面，長A8=20m,寬

AD=10m.中間豎有一堵磚墻高MN=2m.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走

的路程s取值范圍是.

變式2.（23-24八年級上?貴州貴陽?階段練習）棱長分別為3cm和2cm的兩個正方體如圖所示放置，點A,

B,E在同一直線上，頂點G在棱BC上，點尸是棱耳耳的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點A爬到

點P,它爬行的最短距離是

模型4.將軍飲馬與空間最短路徑模型

模型解讀

螞蟻/

模型證明

條件：如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為九厘米，底面周長為c厘米，在容器內(nèi)壁離

容器底部。厘米的點2處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿。厘米的點A處,

結論：螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程為：厘米。

證明：如圖，將容器側面展開，作A關于EC的對稱點A,過A作A'OIAA'交2的延長線于，

則四邊形?ECD是矩形，.?.AO=EC,A'E=AE=CD,連接A2,則A2即為最短距離,

；由題意得，A'D=h(cm),A'E=AE=CD=a(cm),BD=h—a+AE=h(cm),

在RtCA'BD中,A'B=y/A'D2+BD2=y/c2+h2(的).

注意：立體圖形中從外側到內(nèi)側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定

理求解。

模型運用

例1.（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離

杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點B

處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

變式1.（2024.山東荷澤.八年級階段練習）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是

一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣

48=。0=2001.小明要在48上選取一點區(qū)能夠使他從點。滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他

滑行的最短距離約為（）m.（兀取3）

A.30B.28C.25D.22

變式2.（23-24八年級上?貴州貴陽?期中）如圖是一個長方體透明玻璃魚缸,其中長A3=80cm,寬88=60cm,

高AD=60cm,水深AE=30cm,在魚缸內(nèi)水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線上，且EG=40cm.一

只小蟲想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)壁G處吃魚餌，小蟲爬行的最短路線長為cm.

，題練色型I

1.（23-24八年級下.黑龍江佳木斯.期末）如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm和3cm的長方體木塊，一

只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和頂點A相對的頂點B處吃食物，那

么它需要爬行的最短路徑的長是（）

B

/......f

4

A.（3+2Vo）cmB.^/97cmC.V85cmD.J109cm

2.（23-24八年級下.河北邢臺?期末）如圖，在學校工地的一根空心鋼管外表面距離左側管口2cm的點M處

有一只小蜘蛛，它要爬行到鋼管內(nèi)表面距離右側管口5cm的點N處覓食，已知鋼管橫截面的周長為18cm,

長為15cm,則小蜘蛛需要爬行的最短距離是（）

A.5cmB.4cmC.9亞cmD.15cm

3.（23-24七年級下?陜西西安?期末）如圖，長方體的長為12,寬為8,高為30,M是的中點，一只螞

蟻如果要沿長方體的表面從點A爬到點M,則爬行的最短距離是（）

A.V673B.V793C.25D.27

4.（23-24八年級下?廣西北海?期中）如圖，動點P從點A出發(fā),沿著圓柱的側面移動到的中點S,若BC=6,

點P移動的最短距離為5,則圓柱的底面周長為（）

5.（23-24八年級上?四川眉山?期末）如圖，在一個長為8cm,寬為5cm的長方形草地上，放著一根長方體

木塊，它較長的棱和草地的寬AO平行且棱長大于AO,木塊從正面看是邊長為2cm的正方形，一只螞蟻從

A.13B.屈C.V125D.V22T

6.（23-24八年級上?山東青島?期中）如圖，有一棱長為3dm的正方體盒子，現(xiàn)要按圖中箭頭所指方向從點A

到點。拉一條捆綁線繩，使線繩經(jīng)過A8EE、BCGF、EFGH、COHG四個面，則所需捆綁線繩的長至少

為（）dm.

c.3A/13D.5廂

7.（2023春?山西大同?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫

腺），一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.若AB=3,BC=4,CQ=5,則螞蟻爬行的最短路

程是（）

D.12

8.（2023春?湖北武漢?八年級?？茧A段練習）如圖，圓柱形玻璃杯高為16cm,底面周長為40cm,在杯內(nèi)

壁離杯底4cm的點8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm且與蜂蜜相對的點A處,

則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（）cm.（杯壁厚度不計）

tt*

A.20B.25C.30D.40

9.（23-24八年級上?陜西西安?期中）如圖，一個無蓋的半圓柱形容器，它的高為6°加，底面半圓直徑AC為

4cm,點A處有一只螞蟻沿如圖所示路線爬行，它想吃到上底面圓心B處的食物，則爬行的最短路程是多

少（兀取3）（）

B

B.8C.2屈D.10

10.（23-24八年級上?山西太原?期中）包裝紙箱是我們生活中常見的物品.如圖1,創(chuàng)意。"小組的同學將

一個10cmx30cmx40cm的長方體紙箱裁去一部分（虛線為裁剪線），得到圖2所示的簡易書架.若一只蜘

蛛從該書架的頂點A出發(fā)，沿書架內(nèi)壁爬行到頂點B處，則它爬行的最短距離為cm.

B

圖1圖2

11.（23-24八年級上?廣東清遠?期中）如圖，一個三級臺階，它的每一級長、寬和高分別為5dm、3dm、1dm,

臺階左下角A處有一只螞蟻要爬到右上角B處搬運食物，則它爬行的最短路程為.

12.（23-24八年級下?河南商丘?期末）如圖，若圓柱的底面周長是9cm,高是12cm,從圓柱底部A處沿側

面纏繞一圈絲線到頂部B處,則這條絲線的最小長度是cm.

13.（23-24八年級下?廣西防城港?期末）深受人們喜愛的蜘蛛俠代表了善良、正義且具備超能力的藝術形

象.如圖是某部動作電影中的一座長方體建筑，其底面為正方形ABC。，現(xiàn)已知A2=30m,A4，=50m,

蜘蛛俠欲從點A開始沿著該建筑的表面環(huán)繞長方體建筑1圈，最后到達點A處，則蜘蛛俠行走的最短距離

為m.

14.（23-24八年級下?湖北黃岡?期中）如圖，圓柱形容器杯高16cm,底面周長20cm,在杯外離杯底3cm的

點B處有一滴蜂蜜，此時螞蟻在杯內(nèi)離杯上沿2cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻從A處爬到B處的蜂蜜最短距

離為.

15.（23-24八年級上?廣東?期末）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個長方

體去掉一個半圓柱而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣A3=C￡?=20m,點￡在CZ）

上，CE=4m,一滑行愛好者從A點滑行到E點，則他滑行的最短距離為m（兀的值為3）.

16.（23-24八年級上.海南海口.期末）問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為100cm,寬為50cm的長方

形地毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等于寬AD,木塊從正面看是一個邊長

為20cm的等邊三角形，求一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程.

圖①圖②

（D數(shù)學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”，請在圖②中用虛線補全木塊的側面展

開圖，并用實線連接AC；

（2）線段AC的長即螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程，依據(jù)是；

（3）問題解決：求出這只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程.

17.（23-24八年級下.安徽蕪湖?階段練習）（1）如圖1,長方體的長為4cm,寬為3cm,高為12cm.求該

長方體中能放入木棒的最大長度；

（2）如圖2,長方體的長為4cm,寬為3cm,高為12cm.現(xiàn)有一只螞蟻從點A處沿長方體的表面爬到點G

處，求它爬行的最短路程；

（3）如圖3,若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為12cm,

在容器內(nèi)壁離底部5cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿1cm與飯粒相對的點

A處.求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？

18.（22-23八年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）十九世紀英國赫赫有名的謎題創(chuàng)作者在1903年的英國報紙上發(fā)表的“螞

蟻爬行”的問題.問題是：如圖1,在一個長、寬、高分別為8m,8m,4m的長方體房間內(nèi)，一只螞蟻在右面墻

的高度一半位置（即M點處），并且距離前面墻1m,蒼蠅正好在左面墻高度一半的位置（即N點處），并且

距離后面墻2m,螞蟻爬到蒼蠅處應該怎樣爬行所走路程最短，最短路程是多少m?這只螞蟻在長方體表面

爬行的問題，引起了當時很多數(shù)學愛好者的研究與討論，今天我們也一起來研究一下這個當時非常熱門的

數(shù)學問題！

【基礎研究】如圖2,在長、寬、高分別為a,b,c(a>6>c)的長方體一個頂點A處有一只螞蟻，欲從長

方體表面爬行去另一個頂點C處吃食物，探究哪種爬行路徑是最短的？

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：螞蟻從A點出發(fā)，為了走出最短路線，根據(jù)兩點之間線段最短的知識，并結合展開與折疊原

理，一共有3種不同的爬行路線，即圖3、圖4、圖5所示.

填空：圖5是由______面與_____面展開得到的平面圖形；(填“前”、“后”、“左”、“右”、“上"、“下”)

(2)推理驗證：如圖3,由勾股定理得，AC'2=(a+b]L+c2=cr+b1+(^+2^,

如圖4,由勾股定理得，AC'2=(b+c)2+a2=a2+b2+c2+2bc,

如圖5,AC'2=(a+c)2+b2=a2+b-+c2+2ac.要使得AC的值最小,

a>b>c...(請補全推理過程)ab>ac>be

...選擇如圖_____情況，此時AC”的值最小，則AC'的值最小，即這種爬行路徑是最短的.

(3)【簡單應用】如圖6,長方體的長，寬，高分別為24cm,12cm,40cm,點尸是FG的中點，一只螞蟻要沿

著長方體的表面從點A爬到點P,則爬行的最短路程長為cm.

(4)【問題回歸］最后讓我們再回到那道十九世紀英國報紙上發(fā)表的“螞蟻爬行”的問題(如圖1),那只螞蟻

所走的最短路程是m.

勾股定理中的的最短路徑模型

勾股定理中的最短路線問題通常是以“兩點之間，線段最短”為基本原理推出的。人們在生產(chǎn)、生活實踐

中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。對于數(shù)學中的最短路線問題可以分為兩大類：

第一類為在同一平面內(nèi)；第二類為空間幾何體中的最短路線問題，對于平面內(nèi)的最短路線問題可先畫出方

案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對于幾何題內(nèi)問題的關鍵是將立體圖形轉化為平面問題求解，然后構

造直角三角形，利用勾股定理求解。

目錄殖］

例題講模型I

...................................................................................................................1

模型1.圓柱中的最短路徑模型.................................................................1

模型2.長方體中的最短路徑模型..............................................................5

模型3.階梯中的最短路徑模型.................................................................9

模型4.將軍飲馬與空間最短路徑模型.........................................................12

習題練模里J

一-........................................................................................................................................................1

例題一模型I

【知識儲備】

模型1.圓柱中的最短路徑模型

模型解讀

模型證明

條件：如圖，圓柱的底面圓的周長是C厘米，高是九厘米，現(xiàn)在要從圓柱上點A沿表面把一條彩帶繞到點及

結論：彩帶最短需要7777厘米.

證明：如圖所示：沿過A點和過2點的母線剪開，展成平面，連接AB,

根據(jù)兩點之間線段最短得這條絲線的最短長度是AB的長度，

由勾股定理得，AB=VB,A2+5B2=V/?2+c2＞則這條絲線的最短長度是厘米，

注意：1）運用勾股定理計算最短路徑時，按照展開一定點一連線一勾股定理的步驟進行計算；

2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

模型運用

例1.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習）有一個圓柱形油罐，油罐的底面半徑是2米，高是5

米，要以A點環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點的正上方點8處，問梯子最短需米（兀取3）.

【分析】本題考查了勾股定理的應用-最短路徑問題，先將圓柱側面展開，得到長方形，再利用勾股定理求

出長方形的對角線，即為梯子的最短距離.

【詳解】如圖，油罐的側面展開圖為長方形ACBD,

?.?油罐的底面半徑是2米，AC=2TIX2=4兀它12米，

?高為5米，即8C=5,/.AB=7AC2+BC2=7122+52=13

梯子最短為13米，故答案為：13.

例2.（23-24八年級上?廣東深圳?期末）如圖，這是一個供滑板愛好者使用的。型池的示意圖，該U型池可

以看作是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為8m的半圓，其邊緣

A8=CD=20m,點E在C￡）上，C￡=5m,一名滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為（）

m（邊緣部分的厚度可以忽略不計，萬取3）

A.17B.3aC.4>/34D.3廂

【答案】B

【分析】此題考查了學生對問題簡單處理的能力；直接求是求不出的，所以要將半圓展開，利用已學的知

識來解決這個問題.滑行的距離最短，即是沿著AE的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展開后，

A、D、E三點構成直角三角形，AE為斜邊，A3和DE為直角邊，寫出AD和OE的長，根據(jù)題意，寫出

勾股定理等式，代入數(shù)據(jù)即可得出AE的距離.

【詳解】將半圓面展開可得：

AD=—=—x8=12米，DE=DC-CE=AB-CE=20-5=15^:,

22

在RtlAOE中，AE=辦h+立=JW+d=31米，即滑行的最短距離為3"［米，故選：8.

變式1.（23-24八年級下.廣東廣州?期中）如圖，圓柱的高12厘米，底面周長10厘米，在圓柱下底面的A點

有一只螞蟻，它想吃到上底面8點處的食物，則螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是（）

A.25/6cmB.12.4cmC.13cmD.10cm

【答案】C

【分析】本題主要考查對勾股定理，平面展開-最短路徑問題等知識點的理解和掌握，根據(jù)螞蟻沿圓柱側面

爬行的最短路程是指展開后線段AB的長，求出AC、BC,根據(jù)勾股定理即可求出答案.

【詳解】解：可把圓柱側面展開如圖所示，

由題意可得：螞蟻沿圓柱側面爬行的最短路程是指展開后線段AB的長，

AC=gxl0=5cm,BC=12cm,由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=13cm>故選：C.

變式2.（23-24八年級上.山東青島.期末）如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方

的B點，已知圓柱底面周長是3m.高為16m,則所需彩帶最短是m.

8a->

【答案】20

【分析】本題考查勾股定理與最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點之間線段最短，根據(jù)勾股

由勾股定理得，AC=V122+162=20m;故答案為：20.

模型2.長方體中的最短路徑模型

模型解讀

F

ADE

甲乙丙

模型證明

條件:如圖，一只螞蟻從長是。，寬是b,高是的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到2點，（其中：h>a>b）。

結論:螞蟻爬行的最短路程是yja2+b2+h2+2ab

證明:如圖，當長方體的側面按圖甲展開時，AC=a+6；CF=h

貝I]AF=A/AC2+CF2J(a++h~=+/?~+2ab;

如圖，當長方體的側面按圖乙展開時，AB=a；BF=h+b

則AF=^AB2+BF2=信+僅+姨=Na?+b?+*+2hb-

如圖，當長方體的側面按圖丙展開時，AE=a+h；EF=b

則AF=SJAE2+EF2=J(/z+a)2+廿=y/a2+b2+h2+2ah;

h>a>b,ah>bh>ab,+b2+h2+2ah>^cr+b2+Jr+2bh>^cr+b2+h2+2ab

螞蟻所行的最短路線長為6+廿+*+2ab,

注意：1）長方體展開圖分類討論時可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三類情況進行討論;

2）兩個端點中有一個不在定點時討論方法跟第一類相同。

模型運用

例1.（23-24八年級下?山東臨沂邛介段練習）一只螞蟻從長是4,寬是3,高是5的長方體紙箱的A點沿紙箱

爬到8點，那么它所行的最短路線的長是（）

B

A.475B.V74C.3A/10D.3廊

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理，最短路線問題，把長方體側面按照三種方式展開，分別求出最短路線的長

度，比較即可求解，正確找到螞蟻所行的最短路徑是解題的關鍵.

【詳解】解：當長方體的側面按圖1展開時，如圖，則AB=J(4+3)2+52=V^;

B

圖2

當長方體的側面按圖2展開時，如圖，則AB=j42+(5+3『=46,

當長方體的側面按圖3展開時，如圖，則A8=J(5+4y+32=3所,

:舊＜4后＜3而，.??螞蟻所行的最短路線長為"，故選：B.

例2.(23-24八年級上?廣東深圳?期中)如圖，一大樓的外墻面ADE尸與地面ABCD垂直，點尸在墻面上,

已知ABLA。，AFIAD,且PA=AB=5米，點P到AD的距離是3米，有一只螞蟻要從點P離到點8,

它的最短行程是米.

【答案】4百

【分析】本題考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉換為平面圖形的兩點間的

線段長來進行解決.可將教室的墻面ADEF與地面ABC。展開，連接尸、B,根據(jù)兩點之間線段最短，利用

勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，將教室的墻面ADEP與地面ABC。展成一個平面，過P作尸下于G,連接P8,

在RtdAPG中，AG=3米，AP=AB=5米，PG=盧二=療萬=4米，

在Rt^BPG中，PG=4米，BG=AG+A3=8米，：.PB=飛BG?+PG?=4不（米）.

故這只螞蟻的最短行程應該是4百米.故答案為：4遂.

變式1.（23-24八年級下?遼寧大連?階段練習）如圖，桌面上的長方體長為8,寬為6,高為4,B為C。的

中點.一只螞蟻從A點出發(fā)沿長方體的表面到達8點，則它運動的最短路程為.

CBD

/O

A8

【答案】10

【分析】本題考查了勾股定理求最短路徑問題，將立體圖形問題轉化成平面問題，作出長方體展開圖是求

解的關鍵；將長方體展開，分情況討論，第一種是螞蟻從A出發(fā)經(jīng)過左側面和上底面到達8點，連接展開

圖的AB點求出長度；第二種情況是，螞蟻從A出發(fā)，經(jīng)過正面和上底面到達8點，連接展開圖AB點，求

出長度，再對比最小距離即可求解.

【詳解】解：①如圖所示，螞蟻從A出發(fā)經(jīng)過左側面和上底面到達B點時：

CBD

/

CBD/

6/

6/'/

/—f------------

A''484/

最短路徑為：7（4+4）2+62=V100=10；

②如圖所示，螞蟻從A出發(fā)，經(jīng)過正面和上底面到達2點時：

最短路徑為：^/（4+6）2+42=V116=2729;

?.TO<2屈,最短路徑為10,故答案是：10.

變式2.（23-24八年級上.江蘇淮安?階段練習）如圖，長方體的底面是邊長1cm的正方形，高為6cm.如果

從點A開始經(jīng)過4個側面纏繞2圈到達8，那么所用細線最短需要cm.

【答案】10

【分析】本題考查勾股定理得實際應用一最短路徑問題，將長方體展開，利用勾股定理求出最短距離即可.

【詳解】解：將長方體展開如圖:

:點A開始經(jīng)過4個側面纏繞2圈到達8,.?.展開后：AC=1x8=8cm,BC=6cm,

由勾股定理得：AB=A/82+62=10cm;故答案為：10.

模型3.階梯中的最短路徑模型

條件：如圖一個三級臺階，它的每一級的長是d寬是6,高是/I,A和8是這個臺階的兩個相對的端點,

點A上有一只螞蟻，想到點8去吃可口的食物。

結論：螞蟻沿著臺階面爬到點B的最短路程為J”?+9/+9后+18劭

證明：如圖所示，三級臺階平面展開圖為長方形，寬為BC=a,長為AC=b+〃,

.??螞蟻從點A沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線的長，

則由勾股定理得AB=yjAC2+BC2=，［3他+6）］2+谷=sla2+9b2+9h2+lSbh;

則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是+助2+9/+18防.

注意：展開一定點一連線一勾股定理

模型運用

例1.（23-24八年級下.河北廊坊.階段練習）如圖，學校實驗樓前一個二級臺階，它的每一級的長、寬、高

分別為24dm,3dm,3dm,點M和點N是這個臺階上兩個相對的端點，M點有一只螞蟻，想到N點處去吃

可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程（）

【答案】C

【分析】本題考查的是平面展開-最短路線問題，根據(jù)題意畫出臺階的平面展開圖，再用勾股定理根據(jù)兩點

之間線段最短進行解答.

【詳解】解：如圖所示,

,/它的每一級的長寬高分別為24dm,3dm,3dm,MN=^242+（3x6）2=30dm

即：螞蟻沿著臺階面爬行到點N的最短路程是30dm,故選：C.

例2.（23-24八年級下.河北石家莊?階段練習）（1）問題情境一：如圖①，一只螞蟻在一個長為100cm,寬

為50cm的長方形地毯上爬行，則線段AC的長是螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路徑，依據(jù)

是.（2）問題情境二：如圖②，在情境一中的地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等

于地毯的寬AD,木塊從正面看是一個邊長為10cm的等邊三角形，則這只螞蟻從點A處出發(fā)，翻越木塊后

到達點C處需要走的最短路程是cm.

【答案】兩點之間，線段最短10^/146

【分析】本題考查平面展開一最短路徑問題，兩點之間線段最短，勾股定理，

（1）根據(jù)兩點之間線段最短連接AC即可；

（2）根據(jù)題意畫出三角錐木塊的平面展開圖，根據(jù)兩點之間線段最短連接AC即可.

【詳解】解：（1）如圖①，連接AC,線段AC即為螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路徑，依據(jù)是兩

點之間線段最短.

故答案為：兩點之間線段最短;

（2）如圖②，根據(jù)題意可得：展開圖中的AB=100+10=110（cm）,BC=50cm.

由題（1）可得：在Rt^ABC中，

由勾股定理可得：AC=7AB2+BC2=V1102+502=107146（cm）,

即這只螞蟻從點A處出發(fā)，翻越木塊后到達點C處需要走的最短路程為10&布cm

變式1.（2023春?四川成都?八年級?？茧A段練習）如圖所示，4BC。是長方形地面，長A3=20m,寬

AO=10m.中間豎有一堵磚墻高MN=2m.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它要走

的路程s取值范圍是.

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的長方形長度增加而寬度

不變，求出新長方形的對角線長即可得到范圍.

【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加4m,

原圖長度增加4m,則A8=20+4=24m,連接AC,

；四邊形43CD是長方形，AB=24m,寬AD=10m,AC=\IAB2+BC2=V242+102=26m,

，螞蚱從A點爬到C點，它要走的路程s226m.故答案為：s226m.

【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關鍵.

變式2.（23-24八年級上?貴州貴陽?階段練習）棱長分別為3cm和2cm的兩個正方體如圖所示放置，點A,

B,E在同一直線上，頂點G在棱3c上，點P是棱E山的中點.一只螞蟻要沿著正方體的表面從點4爬到

B

【答案】V34cm

【分析】本題考查了平面展開圖最短問題，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題.

求出兩種展開圖的PA的值，比較即可得出結論.

【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：PA=J(3+2)2+(2+獷=V§？cm,

方法二：PA=^(3+2+1)2+22=740=2V10cm,

?.?扃＜2&5,故需要爬行的最短距離是Acm.故答案為扃cm.

模型4.將軍飲馬與空間最短路徑模型

模型證明

條件：如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為//厘米，底面周長為c厘米，在容器內(nèi)壁離

容器底部a厘米的點8處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿。厘米的點A處，

結論：螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路程為：而十片厘米。

證明：如圖，將容器側面展開，作A關于EC的對稱點4,過A作A'。JLAA'交2的延長線于。，

則四邊形A'ECD是矩形，.?.4￡)=￡€：,A'E=AE=CD,連接AB,則A'B即為最短距離，

;由題意得，A'D=h(cm),A'E=AE=CD=a(cm),BD=h—a+AE=h(cm),

在Rt口A'BD中，A'B=yjA'D2+BD~=y/c2+h2（cm）.

注意：立體圖形中從外側到內(nèi)側最短路徑問題需要先作對稱，再運用兩點之間線段最短的原理結合勾股定

理求解。

模型運用

例1.（2023.四川廣安.統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離

杯底4cm的點A處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點B

處，則螞蟻從外壁8處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

【分析】如圖（見解析），將玻璃杯側面展開，作B關于EF的對稱點根據(jù)兩點之間線段最短可知AE的

長度即為所求，利用勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，將玻璃杯側面展開，作8關于所的對稱點夕，作夕交AE延長線于點。，

連接AE,

由題意得：DE=^BB'=lcm,AE=9-4=5（cm）,：.AD=AE+DE=6cm,

?.,底面周長為16cm,.,.B'￡）=gxl6=8（cm）,AB'=JAD。+=10cm，

由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB=10cm,故答案為：10.

【點睛】本題考查了平面展開一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是

解題的關鍵.同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力.

變式1.（2024?山東荷澤?八年級階段練習）如圖是一個供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是

一個長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣

AB=CD=20m.小明要在AB上選取一點E,能夠使他從點。滑到點E再滑到點C的滑行距離最短，則他

滑行的最短距離約為（）m.（兀取3）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出側面展開圖，作點C關于AB的對稱點孔連接。R根據(jù)半圓的周長求得BC,根據(jù)

對稱求得B=28C,在RtaCOb中，勾股定理求得。尸.

【詳解】其側面展開圖如圖：作點C關于的對稱點憶連接

D

V中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5cm的半圓，

/.5C=7rT?=2.57i=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,

在不中，DF=^CF2+CD-=V152+202=25cm,故他滑行的最短距離約為25cm.故選C.

【點睛】本題考查了勾股定理最短路徑問題，作出側面展開圖是解題的關鍵.

變式2.（23-24八年級上?貴州貴陽?期中）如圖是一個長方體透明玻璃魚缸,其中長=80cm,寬2H=60cm,

高45=60cm,水深AE=30cm,在魚缸內(nèi)水面上緊貼內(nèi)壁G處有一魚餌，G在水面線上，且PG=40cm.一

只小蟲想從魚缸外的A點沿魚缸壁爬進魚缸內(nèi)壁G處吃魚餌，小蟲爬行的最短路線長為cm.

AB

【答案】150

【分析】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，勾股定理的應用.作出A關于CQ的對稱點A,連接AG,與

C。交于點。，此時AQ+QG最短，AG為直角△4EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：作出A關于CD的對稱點A，，連接AG,與CD交于點Q,此時AQ+QG最短，

*.*AE=30cm,AAf=120cm,A'E=90cm,

又：EG=80+40=120（cm）,...AQ+QG=A'Q+QG