第4章相似三角形單元檢測基礎(chǔ)過關(guān)卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.下面四組線段中，成比例的是()

A.〃=2,b=3,c=4,d=5B.Z?=2,c~-2,d=4

C.〃=4,b=6,c=8,d=10D.a=\[2,c=3,d=y/3

2.如圖，已知直線/l,12,/3分別交直線/4于點A,B,a交直線/5于點0,E,F,且/i〃/2〃/3.若

A8=4,AC=6,DF=9,則所=()

C.4D.5

3.如圖，△ABC中，NA=76°,A3=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角

形與原三角形不相似的是()

4.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(1.5,0),D(4.5,0),△ABC與位似，原點O

是位似中心.若。(1,3),則點尸的坐標是()

(2.5,4.5)C.(3,9)D.(4,8)

5.把矩形ABC。對折，折痕為MN,且矩形OWNC與矩形ABC。相似，則矩形ABCD的長A。與寬

AB的比為（）

MD

A.1：V3B.1：V2C.V3：1D.V2：1

6.如圖，是著名畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形A8C。內(nèi)，點E是A8的

黃金分割點，BE>AE,若AB=2,則BE長為（）

A.V5+1B.V5-1C.3-V5D.V5-2

7.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板。EF測量樹的高度A3,他調(diào)整自己的位置，設法使斜

邊保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=40cm,EF=20cm,

測得邊。尸離地面的高度AC=L5〃z,CD=9m,則樹高48為（）

B

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

8.已知△ABC,。是AC上一點，尺規(guī)在AB上確定一點E,使則符合要求的作圖

痕跡是（)

9.如圖在△A3C中，D、E分別是邊A3、上的點，DE//AC,若S△瓦定：S^CDE=2：3,則弘

DOE:&4OC的值為（）

A.B.且C.AD._￡

2564925

10.如圖，在△ABC中，A8=AC=5,BC=8,。是BC邊上一動點（不與點8,C重合）,ZADE

=ZB=a,DE交AC于點,E,下列結(jié)論：?AD2=AE-AB-,?1.8^AE<5；③當AD=\/75時，△

ABD會4DCE；④為直角三角形時，3。=4或者6.25.其中正確的結(jié)論有（）個.

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分.

H.已知旦=2,則史也=.

b3b

12.已知線段6是線段a、c的比例中項，如果a=4,c=9,那么b=.

13.如圖，在△ABC中，點O,E分別在邊42,AC上，若DE〃BC,坦=2,DE=6cm,則BC的

DB3

長為cm.

A

14.如圖，在△ABC中，DE//BC,AD：DB=1：2,△ADE的面積為1,則△BCD的面積為

15.如圖，面積為12的正方形ABC。中，有一個小正方形￡"汨，其中E、F、G分別在A3、BC、

尸。上，若BF=LBC,則小正方形的邊長為.

16.如圖，在△ABC中，點。，E分別在邊AB,AC上，且坦=旦，3a」，射線E￡＞和CB的延長

DB2EC2

線交于點F,則配的值為.

三.解答題(共8小題，其中第17、18題每題6分，第19、20題每題8分，第21、22題每題10分,

第23、24題每題12分，共72分)

17.如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點，連接。E,S.ZADE=ZACB.

(1)求證：AADEsAACB；

(2)^AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的長.

E

D

18.如圖，在6X6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等，且每個小正方形的頂點稱為格點,

△042的頂點均在格點上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖.(保留作圖痕跡)

(1)如圖1,以點。為位似中心畫△。。后，使得△QDE與△O4B位似，且相似比為2：1,D,E

為格點.

(2)如圖2,在邊上找一點F,使得空用.

19.期《黑神話：悟空》正式在全球上線，游戲中選取了27處山西極具代表性的古建筑為場景，飛

虹塔就是其中之一.某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，過程見下表.

主題跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度

測量方案及示意圖

側(cè)量步驟步驟1：把長為3米的標桿垂直立于地面點D處，塔尖點A和標桿頂端C

確定的直線交水平3。于點Q,測得。。=4米

步驟2：將標桿沿著8。的方向平移到點月處，塔尖點A和標桿頂端E確

定的直線交直線8。于點P,測得PF=6米，陽=28米.(以上數(shù)據(jù)均

為近似值)

根據(jù)表格伯息，求飛虹塔的大致高度A8.

20.如圖，在△ABC中，。是上的點，E是4。上一點，且處望■,ZBAD^ZECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BOCD；

(2)若A。是△ABC的中線，求絲的值.

21.如圖，4B是的直徑，點。是菽的中點，C。與的延長線交于E,與AC交于點R

(1)求證：DC2=DF，DB；

(2)若AE=A。，CD=2,求即的長.

22.如圖，在RtzXABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm.點P從A點出發(fā)沿AC向C點運動，

速度為每秒2aw,同時點。從C點出發(fā)沿CB向8點運動，速度為每秒1cm當點尸到達頂點C

時，P、。同時停止運動，設P點運動時間為/秒.

(1)當/為何值時，△PQC的面積為5c/?

(2)當/為何值時，點尸、C、。組成的三角形與△ABC相似？

備用圖

23.如圖，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8c7w,點尸為BC邊上一動點(不與點8、C重合)，

過點P作射線交AC于點M,使

(1)求證：旭=坦；

PCCM

(2)當點尸為8c中點時，求CN的值;

(3)當MP_LBC時，求BP的值.

Af

BPC

24.如圖，在正方形ABC。中，點石為邊CD上一動點，AE交BD于點凡過點尸作/GLAE交8C

于G點，點H為尸G的中點.

(1)求證：AF=FG；

(2)若DE=DF,求證：FCP=CE?CD：

(3)若DE=CE,求證：CG=2BG.

答案與解析

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.下面四組線段中，成比例的是（）

A.a=2,b=3,c=4,d—5B.1?b=2,c=2,d=4

C.a=4,6=6,c=8,d=10D.a=V2>c=3,6?=VS

【點撥】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段.對選項

一一分析，排除錯誤答案.

【解析】解：A、2X5W3X4,故選項不符合題意;

8、1X4=2X2,故選項符合題意；

C、4X10W6X8,故選項不符合題意；

D、&X3W?X百，故選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相

乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等.同時注意單位要統(tǒng)一.

2.如圖，已知直線/1,12,/3分別交直線/4于點A,B,C,交直線/5于點E,F,5.11//12//13.若

AB=4,AC=6,DF=9,則EF=()

A.3B.6C.4D.5

【點撥】先由h//l2//h,運用平行線分線段成比例的內(nèi)容可得坐犀，再將AB=4,AC=6,

ACDF

。尸=9代入求出。E,即可求解.

【解析】解：'：h//l2//h,A2=4,AC=6,DF=9,

?ABDEpn4_DE

ACDF69

解得Z)E=6.

：.EF=DF-DE=9-6=3.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角

形與原三角形不相似的是()

【點撥】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進行逐一判定即可.

【解析】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，

故本選項不符合題意；

8、陰影三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，

故本選項不符合題意；

C、兩三角形的對應邊不成比例，故兩三角形不相似，

故本選項符合題意；

D、陰影三角形中，NA的兩邊分別為6-2=4,8-5=3,則兩三角形對應邊成比例且夾角相等,

故兩三角形相似，

故本選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

4.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(1.5,0),D(4.5,0),Z\ABC與4DEF位似，原點O

是位似中心.若C(1,3),則點尸的坐標是()

A.(2,6)B.(2.5,4.5)C.(3,9)D.(4,8)

【點撥】根據(jù)點A、。的坐標求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案.

【解析】解：:△ABC與△。所位似，A(1.5,0),D(4.5,0),

:.△ABC與△OEF的相似比為1：3,

?..點C的坐標為(1,3),

.??點產(chǎn)的坐標為(1X3,3X3)，即(3,9),

故選：C.

【點睛】本題考查的是位似變換,根據(jù)點A、。的坐標求出相似比是解題的關(guān)鍵.

5.把矩形4BCQ對折，折痕為MN,且矩形DMNC與矩形ABCD相似，則矩形ABCD的長與寬

AB的比為()

A.1：V3B.1：MC.V3：1D.V2：1

【點撥】設矩形ABC。的長AD=尤，寬A2=y,根據(jù)相似多邊形對應邊的比相等，即可求得.

【解析】解：設矩形4BCD的長A￡)=x,寬則

22

矩形DMNC與矩形ABCD相似.

1

.-.DM=DC,即11=工

ABADyx

即y2=Xx1.

2

.'.x：y=&：1.故選D

【點睛】本題主要考查了相似多邊形的對應邊的比相等，注意分清對應邊是解決本題的關(guān)鍵.

6.如圖，是著名畫家達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》.畫中的臉部被包在矩形A5CD內(nèi)，點片是的

黃金分割點，BE>AE,若AB=2,貝ijBE長為()

A.V5+1B.V5-1c.3-V5D.V5-2

【點撥】根據(jù)黃金分割點列一元二次方程求解，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解答.

【解析】解：由題意可得：B錚=2(2-BE),

解得：BE=V^-1或BE=-V^-1(舍去).

故選：B.

【點睛】本題主要考查黃金分割點、矩形的性質(zhì)，能根據(jù)黃金分割點列一元二次方程是解題的關(guān)

鍵.

7.如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板測量樹的高度A3,他調(diào)整自己的位置，設法使斜

邊保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=AQcm,EF=20cm,

測得邊。尸離地面的高度AC=15w,CD=9m,則樹高A8為（）

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

【點撥】先判定△DEB和相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BC的長，再

加上AC即可得解.

【解析】解：:/D=/D,ZDEF^ZDCB,

:.ADEFsADBC,

?DE=CD

"EFBC'

即9=_L,

20BC

解得：BC=4.5,

"：AC=1.5m,

.,.AB=AC+BC=1.5+45=6（m）,

即樹高6m.

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，主要利用了相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)，比較簡單,

判定出△￡＞所和△D8C相似是解題的關(guān)鍵.

8.已知△ABC,。是AC上一點，尺規(guī)在上確定一點E,使AADEsAABC,則符合要求的作圖

痕跡是（）

【點撥】以D4為邊、點。為頂點在△ABC內(nèi)部作一個角等于角的另一邊與AB的交點即為

所求作的點.

【解析】解：如圖，點E即為所求作的點.

【點睛】本題主要考查作圖-相似變換，根據(jù)相似三角形的判定明確過點。作一角等于NB或NC,

并熟練掌握做一個角等于已知角的作法式解題的關(guān)鍵.

9.如圖在△ABC中，D、E分別是邊A3、BC上的點，＞DE//AC,若S^BDE：S&CDE=2：3,則

DOE:S^AOC的值為（）

A.-LB.aC.AD.A.

2564925

【點撥】由BE：EC=2：3,求證ADOE^ACOA,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到

邁崖上，進而由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

ACBC5

【解析】解：過D作DFLBC,如圖所示：

*.*S/\BDE:S工CDE=2：3,

：.BE：EC=2：3,

：.BE：BC=2：5,

'：DE//AC,

:?△BDEs^BAC,XDOESXCOA,

.DEJEg

**AC=BCV

,,SADOE!SAAOC=（而）=記，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用相似三角形的判定及

其性質(zhì)來分析、判斷、推理或解答.

10.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,8C=8,。是BC邊上一動點（不與點B,C重合），ZADE

=NB=a,DE交AC于點E,下列結(jié)論：?AD2=AE-AB；②L8WAEV5；③當AD=JI5時，△

ABD咨ADCE；④△DCE為直角三角形時，8。=4或者6.25.其中正確的結(jié)論有（）個.

【點撥】如圖1：在線段OE上取點E使A尸=AE,連接AR易證/進而可得

22

=A小AE即可判定①；結(jié)合①的結(jié)論可得杷嗤-="一,再確定的范圍為3WAZX5,進而

得到L8W4EV5,即②正確；分兩種情況：當BD<4時，可證明結(jié)論正確，當BD>4時，結(jié)論

不成立；故③錯誤；△OCE為直角三角形，可分兩種情況/COE=90°或NCEO=90°分別討論

求解即可④.

【解析】解：如圖1,在線段OE上取點尸，使AF=AE,連接AF,貝iJ/AFE=/AEF

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

/ADE=/B=a,

：.ZC=ZADE=a,

ZAFE=ZDAF+ZADE,ZAEF=ZC+ZCDE,

：.ZDAF=ZCDE,

ZADE+ZCDE=ZB+ZBAD,

：.ZCDE=ZBAD,

：.ZDAF=/BAD,

：.△ABDS^ADF,

AAB^=AD)即Ar>2=AB.Ap

ADAF

.,.AD^^AB'AE,故①正確；

*AB5

當AD^BC時，由勾股定理可得：皿WAB2-BD*=?52-42=3,

：.3^AD<5,

<AE<5)即L8W4EV5,故②正確;

5

如圖2,作A"_LBC于H,

B

圖2

'：AB=AC=5f

/-BH=CH=yBC=4>

；?AH=VAB2-BH2=VS2-42=3，

：AD=A『=V10)

DH=D'H=VAD2-AH2=7(V10)2-32=1，

.?.2￡>=3或=5,C￡)=5或C￡>'=3,

ZBAD+ZB=ZADC=ZADE+ZCDE,ZADE=ZB=a,

：.NBAD=NCDE,

:/B=NC,DC=AB,

：.AABD^ADCE(SAS),

但△AB。'與AD'CE顯然不是全等形，故③不正確;

如圖3,ADLBC,DELAC,

???ZADE+ZDAE=ZC+ZDAE=90°,

???NADE=NC=NB,

：.BD=4,

如圖4,DE上BC于D,AH_L3c于H,

ZADE=ZC,

：./ADH=/CAH,

：.XADHs叢CAH,

.DHAHpnDH3

AHCH34

???BD=BH+DH=4總與=6.25，故④正確?

44

故選C.

【點睛】本題主要考查了直角三角形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形判定和性質(zhì)、相似三角形判定

和性質(zhì)、動點問題和分類討論思想等知識點；掌握動點問題和分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

H.已知旦=2,則至曳

b3b—3—

【點撥】直接利用合比性質(zhì)計算.

【解析】解：：旦=2,

b3

???a+b,—2+3——5?

b33

故答案為：1.

3

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項之積等于外項之積、合比性質(zhì)、

分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵.

12.已知線段匕是線段4、C的比例中項，如果〃=4,c=9,那么/?=6.

【點撥】根據(jù)比例中項的定義可得序=ac,從而即可得到b的值.

【解析】解：：線段6是線段。、c的比例中項，。=3、c=4,

.,.t>2—ac—4X9—36,

.?.0=±6,

?">0,

:?b=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了比例線段，解題的關(guān)鍵是理解比例中項的含義.

13.如圖，在△ABC中，點。，E分別在邊AB,AC上，若DE〃BC,坦=2,DE=6cm,則的

DB3

長為15cm.

【點撥】根據(jù)。E〃2c得△ADEs△&BC,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求解.

【解析】解：'：DE//BC,

：.AADEsAABC,

???AD=D.,E

ABBC

.?.A=D---2-，

DB3

?AD2

AB5

???DE“=2-，

BC5

?：DE=6cm,

.\BC—15cm,

故答案為：15.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在△ABC中，DE//BC,AD-.DB=1：2,△AOE的面積為1,則△BCD的面積為6.

C

瓦

AD

【點撥】由A。：DB=1：2,推導出AD=LB,由。E〃BC證明△ADES/XABC,得地=膽=

3ACAB

A,則,“ADE=工,^AADE_（如_）2=工，求得SAADC=3,S/^ABC—9,所以以BCD=6,于是得

32AADC3SAABCAB9

到問題的答案.

【解析】解：,?,4￡＞：DB=1：2,

:.AD=-L-AB=JLAB,

1+23

'：DE//BC,△A0E的面積為1,

AADE^AABC,

?AE_AD_1

.,.SAADC=3SMDE=3X1=3,SMBC=9SMDE=9X1=9,

??S/\BCD=S/sABC-5AADC=9-3=6,

故答案為：6.

【點睛】此題重點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、“高相等的三角形的面積的比等于底邊長的比”

等知識，證明△AOE'S/WBC是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，面積為12的正方形ABC。中，有一個小正方形EFGX,其中E、F、G分別在A3、BC、

FD±,若BF="C,則小正方形的邊長為公叵..

3—9―

【點撥】根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定，可以得到BE和CD的關(guān)系，8E和CT的關(guān)系,

再根據(jù)正方形ABCD的面積為12,即可求得BE和BF的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得EF的長.

【解析】解：：四邊形是正方形，四邊形EFGH是正方形，

.?./2=/C=90°,BC=CD,NE/G=90°,

:./EFB+NFEB=9Q°,NEFB+/DFC=9Q°,

：.ZFEB=ZDFC,

：.△EBFs^FCD,

?BFBE

"CD"CP'

VBF=ABC,

3

???B-F二'一1，

BC3

?BF=_1

"CDT

?.?正方形ABC。的面積為12,

，正方形ABCD的邊長為。五=2%,

:.BC=CD=2M，

:.BF=2M,

3

...C—生應，

3

:.BE=N^

9____________________

=｛（哈。（哈2=吟

故答案為：2739_

9

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

16.如圖，在△ABC中，點。，E1分別在邊43,AC上，且坦「3,金匕」，射線即和CB的延長

DB2EC2

線交于點R則地的值為1.

FC-3一

【點撥】過點8作8H〃Eb交AC于”,根據(jù)平行線分線段成比例定理求出膽，進而求出旦旦=工,

EHEC3

再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可.

【解析】解：過點8作8”〃E尸交AC于”，

則AE=N=3,

'EHDB2

??AE_1

EC2

?EH=1

"ECT

???FB一=EH=—1

FCEC3

故答案為：1.

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運用定理是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共8小題，其中第17、18題每題6分，第19、20題每題8分，第21、22題每題10分,

第23、24題每題12分，共72分）

17.如圖，在△A8C中，D,E分別是邊AB,AC上的點，連接。￡,S.ZADE=ZACB.

（1）求證：△ADES/\ACB；

（.2）若AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的長.

【點撥】（1）根據(jù)相似三角形的判定即可求出證.

（2）設8。=尤，則AD=2x,4B=3無，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知坦=幽，從而列出方程解出

ACAB

X的值.

【解析】（1）證明：?/ZADE=ZACB,ZA=ZA,

：.AADEsAACB；

（2）解：由（1）可知：AADEsAACB,

?AD=AE

"ACAB'

設BD=x,則AO=2x,AB=3x,

'：AE=4,AC=9,

?2x=A

*'T茲

解得：x=V6（負值舍去），

.?.80的長是仇.

【點睛】本題考查相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等

題型.

18.如圖，在6X6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均相等，且每個小正方形的頂點稱為格點，

△OAB的頂點均在格點上，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖.(保留作圖痕跡)

(1)如圖1,以點。為位似中心畫使得■與位似，且相似比為2：1,D,E

為格點.

(2)如圖2,在。4邊上找一點R使得空-3.

【點撥】(1)在。4延長線上取格點D在02延長線上取格點E,使01)=204,0E=20B,連

接OD,OE,OE,根據(jù)位似圖形的判定和性質(zhì)可知△OOE即為所求作；

(2)在點A的下方取格點G,使AG=3,AG//OB,連接BG交A。于點R根據(jù)相似三角形的

判定和性質(zhì)可知尸即為所求.

【解析［解：(1)如圖1所示，在。4延長線上取格點。，在延長線上取格點E,使。。=204,

OE=2OB,連接。。，OE,DE,

'：ZDOE^ZAOB,

：.^ODE^/\OAB,

故△ODE即為所求；

(2)如圖2所示，在點A的下方取格點G,使AG=3,AG//OB,連接3G交AO于點孔

貝iJZXAGFsaoBF,

'：OB=2,

.AFAG3

??-----Z2---二一1,

OFOB2

故點尸即為所求作.

【點睛】本題主要考查了網(wǎng)格作圖一一位似變換，相似變換，熟練掌握位似三角形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.期《黑神話：悟空》正式在全球上線，游戲中選取了27處山西極具代表性的古建筑為場景，飛

虹塔就是其中之一.某實踐小組欲測量飛虹塔的高度，過程見下表.

主題跟著悟空游山西，測量“飛虹塔”的大致高度

測量方案及示意圖

側(cè)量步驟步驟1：把長為3米的標桿垂直立于地面點。處，塔尖點A和標桿頂端C

確定的直線交水平BD于點。測得。。=4米

步驟2：將標桿沿著BD的方向平移到點尸處，塔尖點A和標桿頂端E確定

的直線交直線于點P,測得PF=6米，F(xiàn)。=28米.(以上數(shù)據(jù)均為近

似值)

根據(jù)表格伯息，求飛虹塔的大致高度A3.

【點撥】判定PEFS^PAB,推出CD：AB=QD：QB,EF-.AB=PF-.PB,得

至IJQD：QB=PF：PB,因此4：(4+BD)=6：(6+28+2。)，求出2￡>=56米，得至!I3：AB=4：

(4+56),即可求出48=45米.

【解析】解：,JCDLPB,ABLPB,

：.CD//AB,

:.△QCDS/\QAB,

同理：PEFs△弘B,

:.CD：AB=QD：QB,EF-.AB=PF：PB,

,:EF=CD,

：.QD：QB=PF：PB,

：QD=4米，尸尸=6米，尸。=28米，

.*.4：(4+8。)=6：(6+28+3。),

；.2。=56米，

.".3：AB=4：(4+56),

：.AB=45米，

/.飛虹塔的大致高度是45米.

【點睛】本題考查相似三角形的應用，關(guān)鍵是判定PEF^/\PAB,推出CD：AB

=QD：QB,EF：AB=PF：PB,得到關(guān)于BD的方程.

20.如圖，在△ABC中，。是8C上的點，E是A。上一點，且姻■駕，ZBAD=ZECA.

ACCE

(1)求證：AC2=BC-CD；

(2)若A。是△ABC的中線，求生的值.

【點撥】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAOS/XACE進而求出△ABCS/XD4C,再利用

相似三角形的性質(zhì)得出答案即可；

(2)由三角形的外角性質(zhì)可得：ZADC=ZB+ZBAD,ZCED=ZCAE+ZECA,可證得NAZJC

=ZCED,則有CE=C￡>,再結(jié)合(1)的結(jié)論，以及A￡>是△ABC的中線，即可求解.

【解析】證明：(1):嫗望■,ZBAD=ZECA,

ACCE

：./\BAD^AACE,

：.ZB=ZEAC,

'：ZACB=ZDCA,

AABC^ADAC,

?ACBC

"CD'"AC，

：.AC1=BC'CD；

(2)：NADC是△AB。的外角，NCED是△ACE的外角，

ZADC=ZB+ZBAD,ZCED=ZCAE+ZECA,

由(1)可知，NB=/EAC,NBAD=NECA,

：.ZADC=ZCED,

：.CE=CD,

：AZ)是△ABC的中線，

:.BC=2CD,

：.BC=2CE,

由(1)得：AC2=BC-CD,

：.Ad^2CE'CE,

盧)21，

kAC72

即出=6

AC2

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵.

21.如圖，A3是O。的直徑，點。是血的中點，C。與胡的延長線交于E,BD與AC交于點F.

(1)求證：DC?=DF*DB；

(2)若AE=A。，CD=2,求的長.

【點撥】(1)由點。是眾的中點，得到NAB￡)=NCB￡),等量代換得到NACD=NCBZ),根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)連接0D,如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到等量代換得到

根據(jù)平行線的判定得到0D1/BC,于是得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：：點。是標的中點，

/.ZABD=ZCBD,

而/ABO=NACD

ZACD=ZCBD,

■:/BDC=/CDF,

:ACDFsABDC,

?DC=DB

"DFDC"

即DC?=DF?DB；

（2）解：連接。n如圖,

'：OD=OB,

：.ZOBD=ZODB,

而/OBD=/CBD,

：.ZODB=ZCBD,

C.OD//BC,

?ED=EO；

"DCOB"

\'EA=AO=BO,

?ED=Z

FT

；.E￡）=4.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=Scm,BC=6cm.點P從A點出發(fā)沿AC向C點運動，

速度為每秒2cm,同時點。從C點出發(fā)沿向8點運動，速度為每秒1cm,當點尸到達頂點C

時，P、。同時停止運動，設P點運動時間為/秒.

(1)當f為何值時，△P0C的面積為5a層？

(2)當,為何值時，點尸、C、。組成的三角形與△ABC相似？

【點撥】(1)首先作出高線，由平行線分線段成比例定理得出比例式，由含有t的代數(shù)式表示出

PO的長度，再根據(jù)三角形的面積公式得出即可.

（2）根據(jù)已知條件需要分類討論，分兩種情況討論，從而得出比例式，代入即可求出.

【解析】解：（1）如圖1中，過點尸作PCBC于點。，

VZB=90°,

：.AB//PD,

.?.里=生，

',而AC'

?pn^AB>PC8（10-2t）=8（5-t）

AC10

8

：.SAPQC=^CQ-PD=l-f■'=5,

225

tl=t2=—；

2

（3）如圖2中，當△PQCS/VIBC時，

?￡LL=AC

,《1Be"

??--1-0---2t_--10,

t6

.-30

11

當APQCS^BAC時，

?CP2^BC

"CQ7AC，

???1-0---2t_--6,

t10

9??I=-5--0-,

13

綜上所述，f=段或地時，△PQC與AABC相似.

1113

【點睛】本題是三角形動點問題，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面積，相似三角形的

性及分類討論的數(shù)學思想，解題關(guān)鍵是能用f表示相關(guān)的線段的長度.

23.如圖，在△ABC中，A2=AC=5c〃z,BC=8cm,點尸為8c邊上一動點（不與點3、C重合），

過點P作射線交AC于點M，使

(1)求證：—;

PCCM

(2)當點尸為8c中點時，求CM的值;

(3)當MP_LBC時，求2尸的值.

【點撥】(1)由A8=AC得/B=/C,而則/BAP=180°-ZB-ZAPB=1SO°

-ZAPM-NAPB=/CPM,即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個三角形相似"證明

得膽=理；

PCCM

(2)由點尸為BC中點得BP=CP=%C=4cm,[fffAB=AC=5cm,由嶇=里得。/=叱空

2PCCMAB

=16cm.

5

(3)作AD_L2C于點D,則BD=C￡)=_lgC=4cm,由NBZM=90°,ZA=ZA,證明

2

△BAPS^BDA,即可根據(jù)“相似三角形的對應邊成比例”求出8尸的值.

【解析】(1)證明：如圖1,\'AB=AC,

：.ZB=ZC,

'：NAPM=NB,

：.ZBAP=180°-ZB-ZAPB=180°-ZAPM-ZAPB=ZCPM,

：./\BAP^/\CPM,

?AB=BP

"PCCM"

(2)解：如圖2,\"AB=AC=5cm,BC=8cm,點尸為8C中點，

BP=CP=2BC=4cm,

2

由⑴得膽=里

PCCM

二加史必=山=也(的).

AB55

(3)解