反比例函數(shù)壓軸專練（六大題型）

題型1:存在性問(wèn)題

1.如圖，直線y=|x與雙曲線＞=￡（左HO）交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（九-3）,點(diǎn)c是雙曲線第一象

限分支上的一點(diǎn)，連接3c并延長(zhǎng)交X軸于點(diǎn)。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)用、N是了軸上的動(dòng)點(diǎn)（M在N上方）且滿足比乂=1,連接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）點(diǎn)尸是雙曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得NODP=NDOB,若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P

點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)了=-；尤+3與反比例函數(shù)了=^^>0)的圖象交于點(diǎn)4(。,2),

3(4/)兩點(diǎn).

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接/C,BC,使NC〃龍軸，3C〃y軸，連接CM,OB.若點(diǎn)P在V軸上，

且AOPN的面積與四邊形。4cB的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線。3上有一動(dòng)點(diǎn)"，過(guò)”點(diǎn)做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點(diǎn)N,當(dāng)以A/、N、B、C四個(gè)點(diǎn)為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo)；

(4)在平面內(nèi)是否存在兩點(diǎn)X、Q,使得四邊形48”。是矩形，且該矩形面積為15?若存在，請(qǐng)直接寫出X

點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.如圖，一條直線與反比例函數(shù)y=1的圖象交于/(1,4)、3(4,")兩點(diǎn)，與X軸交于。點(diǎn)，NCLx軸,

(1)如圖甲，①求反比例函數(shù)的解析式；②求〃的值及。點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)如圖乙，若點(diǎn)￡在線段40上運(yùn)動(dòng)，連接CE,作/CE尸=45。，EF交4C于F點(diǎn).

①試說(shuō)明△CDES^EAF；

②當(dāng)△￡%為等腰三角形時(shí)，直接寫出p點(diǎn)坐標(biāo).

424

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=71+12與雙曲線歹=—-交于4B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3左邊）,

3x

過(guò)4。兩點(diǎn)作直線，與雙曲線的另一交點(diǎn)為。，過(guò)5作直線49的平行線交雙曲線于點(diǎn)C.

O

⑵如圖2,點(diǎn)尸在V軸負(fù)半軸上，連接P8,交直線49于點(diǎn)E,連接C￡、PA,且工9=不S讖虛，將線段

尸。在V軸上移動(dòng)，得到線段PO'（如圖3）,請(qǐng)求出的最大值；

⑶如圖4,點(diǎn)”在x軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使以點(diǎn)。、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,

請(qǐng)直接寫出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型2：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

12

5.已知反比例函數(shù)了=一,直線4：了=履+加(左片0),直線人與反比例函數(shù)交于點(diǎn)/(a,4),B(-2,b),與X

X

軸交于點(diǎn)C.

(1)求直線4的解析式：

⑵過(guò)點(diǎn)C作X軸的垂線34上有一動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線段與y軸交于點(diǎn)N,連接4/8V,求

4W+MV+A?的最小值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)問(wèn)的前提下，當(dāng)/"+MN+N8取得最小值時(shí)，作點(diǎn)〃關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上有一

動(dòng)點(diǎn)尸，^ZPAC=ZQCA,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的過(guò)程.

6.如圖1,已知雙曲線了=幺經(jīng)過(guò)口/BCD的C、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)4-1,0),5(0,-2),C(2,2).

X

(1)求雙曲線和直線DC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖2,點(diǎn)P在雙曲線了=上上，點(diǎn)。在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、。為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，請(qǐng)

直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如圖3,以線段研為對(duì)角線作正方形/尸點(diǎn)T是邊肝(不含點(diǎn)A、尸)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是HT

的中點(diǎn)，MNLHT,交AB于點(diǎn)、N.當(dāng)T在"'上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N77W的度數(shù)是否會(huì)變化？若會(huì)的話，請(qǐng)給出你

的證明過(guò)程.若不是的話，只要給出結(jié)論.

7.已知：如圖，正比例函數(shù)〉=◎的圖象與反比例函數(shù)了=幺的圖象交于點(diǎn)力(3,2).

⑴試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？

⑶是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0<%<3,過(guò)點(diǎn)Af作直線A?〃x軸，交V軸于點(diǎn)8；過(guò)點(diǎn)

A作直線/C||y軸，交x軸于點(diǎn)C,交直線”3于點(diǎn)。.當(dāng)四邊形04DM的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段9與

DM的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題型3：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

8.如圖①，一次函數(shù)必=2x+4的圖像交反比例函數(shù)％=竺圖像于點(diǎn)A,B,交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)3為

X

（1,加）.

(2)如圖②，點(diǎn)”為反比例函數(shù)在第一象限圖像上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸垂線，交一次函數(shù)％=2x+4圖像

于點(diǎn)N,連接9,若A3MM是以為底邊的等腰三角形，求ABMN的面積；

(3)如圖③，將一次函數(shù)必=2x+4的圖像繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。交反比例函數(shù)%=%圖像于點(diǎn)。，E,求

X

點(diǎn)石的坐標(biāo).

9.已知反比例函數(shù)〉=一的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,3),且與一次函數(shù)V='+〃的圖象在同一坐標(biāo)系中.

x

⑵如圖2,當(dāng)直線V=x+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)/時(shí)，它與反比例函數(shù)了=匚的另一個(gè)交點(diǎn)記為2,在〉軸上找一點(diǎn)

X

使△K48的周長(zhǎng)最小，求出M的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；

⑶如圖3,點(diǎn)尸是反比例函數(shù)圖象上4點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，連接北，把線段的繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)P的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)。恰好也落在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

題型4：新定義題

10.在平面直角坐標(biāo)系中，定義：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為整點(diǎn)?如圖，已知雙曲線>=?Q>0）經(jīng)過(guò)

X

點(diǎn)/（2,2）,在第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)8（加,“），滿足加〃＞4.

⑴求左的值；

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)8分別作平行于x軸，V軸的直線，交雙曲線＞=勺》＞0）于點(diǎn)C、D,記線段2C、BD、雙

曲線所圍成的區(qū)域?yàn)樯伲ê吔纾?/p>

①當(dāng)加="=4時(shí)，區(qū)域少的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為；

②當(dāng)區(qū)域少的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4時(shí)，3點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足3＜4,直接寫出縱坐標(biāo)〃的取值范圍：；

③直線V=ax-5“+4（。＞0）過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)8為此定點(diǎn)，

問(wèn)題1：B(,)；

問(wèn)題2：這條直線將少分成兩部分，直線上方（不包含直線）的區(qū)域記為小,直線下方（不包含直線）的區(qū)域記

為名,當(dāng)少1與%的整點(diǎn)個(gè)數(shù)之差不超過(guò)2時(shí)，求。的取值范圍.

11.如圖，直線＞=-%+6與雙曲線歹=&相交于A,5兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2,3）,點(diǎn)8的坐標(biāo)（見-2）,點(diǎn)?

x

是X軸負(fù)半軸上的一點(diǎn).

⑴分別求出直線和雙曲線的表達(dá)式；

(2)連接M3,BP,0A,OB,若%網(wǎng)=45叔。8,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)我們把能被一條對(duì)角線分成兩個(gè)全等直角三角形的四邊形叫做"美麗四邊形在(2)的條件下，平面內(nèi)

是否存在點(diǎn)0,使得以A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是美麗四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出。點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型5：情景探究題

12.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小明在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：周長(zhǎng)為定值的矩形中面積最大的是正方形?那么，面積為定值的矩形中，其周長(zhǎng)的

取值范圍如何呢？

【解決問(wèn)題】

小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究:

6

5

4

3

2

1

-3oTTTTTT^

(1)建立函數(shù)模型

4

設(shè)一矩形的面積為4,周長(zhǎng)為加，相鄰的兩邊長(zhǎng)為x、J,則孫=4,2(x+y)=機(jī)，即了=一，

T=-x+p那么滿足要求的(xJ)應(yīng)該是函數(shù)了=。與了=-工+三的圖象在第象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖象

4

①畫函數(shù)＞=—(x＞0)的圖象；

X

②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出了=一工的圖象，則＞+￡的圖象可以看成是由y=-x的圖象向上平移

個(gè)單位長(zhǎng)度得到.

(3)研究函數(shù)圖象

平移直線了=-》，觀察兩函數(shù)的圖象；

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)了=?(尤＞0)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，周長(zhǎng)加的值

尤

為:

②在直線平移的過(guò)程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有什么情況？請(qǐng)直接寫出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)加

的取值范圍.

【結(jié)論運(yùn)用】

(4)面積為10的矩形的周長(zhǎng)加的取值范圍為.

13.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的

過(guò)程.結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù))=面一國(guó)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì).

(1)繪制函數(shù)圖象

①列表：下列是X與J的幾組對(duì)應(yīng)值，其中。=:

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)(X/),請(qǐng)?jiān)谙聢D中描出點(diǎn);

③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象：

6II

請(qǐng)寫出函數(shù)>二詞一國(guó)的兩條性質(zhì)：_____________________________________________

(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)

①寫出方程;|一國(guó)=5的解；

②寫出不等式j(luò)-Wv1的解集;

③寫出不等式與fTX>T的解集.

14.在圖形的變換中，對(duì)稱是一種常見的全等變換，我們需要掌握如何畫對(duì)稱點(diǎn)以及對(duì)稱圖形，并能求出

一些對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)以便幫助我們解決相關(guān)問(wèn)題。

(1)圖①中點(diǎn)A關(guān)于，軸的對(duì)稱點(diǎn)H的坐標(biāo)是:

【理解運(yùn)用】

(2)如圖③所示，直線4：y=3x,直線，2：y=x+2,請(qǐng)畫出直線4關(guān)于直線4的對(duì)稱直線并求出該直線的

關(guān)系式；

【拓展提升】

(3)①已知函數(shù)G：了=：(x>0)關(guān)于直線y=3x的對(duì)稱圖象為G，直線/：>=x+2與G相交于點(diǎn)A、點(diǎn)、B,

點(diǎn)尸是直線下方G圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出△尸48面積的最大值：

②若將第①問(wèn)中的V=3x改成了=履(左>0),已知點(diǎn)“卜點(diǎn),血)，點(diǎn)N(后，-夜)，點(diǎn)。(1,1)是函數(shù)圖象

￡:y=>0)上的一點(diǎn),當(dāng)k變化時(shí)，點(diǎn)。關(guān)于直線y=kx(k>0)的對(duì)稱點(diǎn)0'也在不斷變的運(yùn)動(dòng)路徑和直

線"N圍城的區(qū)域記為少，請(qǐng)畫出點(diǎn)”到點(diǎn)N的最短路徑并求出軌跡長(zhǎng).

(說(shuō)明：路徑只能在直線右上方畫，且不能穿過(guò)少區(qū)域)

題型6：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

15.綜合與實(shí)踐

如圖1,某興趣小組計(jì)劃開墾一個(gè)面積為8m2的矩形地塊/BCD種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木

欄圍住，木欄總長(zhǎng)為am,

A

B

【問(wèn)題提出】

小組同學(xué)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：若a=10,能否圍出矩形地塊？

【問(wèn)題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個(gè)問(wèn)題：

O

設(shè)45為由，3c為沖.由矩形地塊面積為8m2,得到少=8,滿足條件的(x,y)可看成是反比例函數(shù)y=1

的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；木欄總長(zhǎng)為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x/)可看成一次函數(shù)

y=-2x+10的圖象在第一象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的(xj)就可以看成兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐

標(biāo).

Q

如圖2,反比例函數(shù)y=\(x>0)的圖象與直線4：y=-2x+10的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8)和,因此，木

欄總長(zhǎng)為10m時(shí)，能圍出矩形地塊，分別為：AB=lm,5C=8m；或48=m,BC=

(1)根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

(2)若a=6,能否圍出矩形地塊？請(qǐng)仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說(shuō)明理由.

【問(wèn)題延伸】

當(dāng)木欄總長(zhǎng)為am時(shí)，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+”.發(fā)現(xiàn)直線y=-2x+a可以看成是直線y=-2x通過(guò)

Q

平移得到的，在平移過(guò)程中，當(dāng)過(guò)點(diǎn)（2,4）時(shí)，直線y=-2x+a與反比例函數(shù)>=?x>0）的圖象有唯一交點(diǎn).

（3）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出直線了=-2x+a過(guò)點(diǎn)（2,4）時(shí)的圖象，并求出“的值.

【拓展應(yīng)用】

Q

小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問(wèn)題”可以轉(zhuǎn)化為“y=-2x+”與了=2圖象在第一象限內(nèi)交點(diǎn)的

X

存在問(wèn)題”.

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且N8和3c的長(zhǎng)均不小于1m,請(qǐng)直接寫出“的取值范圍.

16.某果農(nóng)今年試種了一種新品種的水果，5月份開始上市.根據(jù)其它相似產(chǎn)品的銷售經(jīng)驗(yàn)，若設(shè)該水果上

市第t天的銷售單價(jià)為（元/千克），則與之間滿足如下關(guān)系：

t123456

P（元/千克）1206040302420

而該水果每天的銷售量(千克)與t之間滿足的函數(shù)關(guān)系如下圖所示:

(1)猜想銷售單價(jià)P與，之間滿足我們學(xué)過(guò)的哪種函數(shù)關(guān)系？并直接寫出銷售單價(jià)P與f之間的函數(shù)關(guān)系式

(不必寫出自變量取值范圍)；

(2)求每天的銷售量s(千克)與f之間的函數(shù)關(guān)系式，并求上市第幾天銷售量最大，最大銷售量是多少千

克？

(3)當(dāng)每天的銷售收入低于600元時(shí)，該水果將失去生產(chǎn)銷售的價(jià)值.該水果最只能上市銷售幾天？最低銷

售單價(jià)是多少元？(銷售收入=銷售單價(jià)Px銷售量S)

(4)當(dāng)每天的銷售量不低于200千克時(shí)，這種水果的最低售價(jià)是多少元？

17.為了探索函數(shù)〉=x+L(x>0)的圖象與性質(zhì)，我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程與方法，列表:

X

(1)如圖1,觀察所描出點(diǎn)的分布，用一條光滑曲線將點(diǎn)順次連接起來(lái)，作出函數(shù)圖象;

⑵己知點(diǎn)(再,%),(%,%)在函數(shù)圖象上，結(jié)合表格和函數(shù)圖象，回答下列問(wèn)題：

右0<X]<工2W1,貝|J弘%；右1<X]<工2，貝U必%；(填“

(3)某農(nóng)戶積極響應(yīng)廁所改造工程，要建造一個(gè)圖2所示的長(zhǎng)方體形的化糞池，其底面積為1平方米，深為1

米.已知下底面造價(jià)為1千元/平方米，上蓋的造價(jià)為1.5千元/平方米，側(cè)面造價(jià)為0.5千元/平方米，設(shè)水

池底面一邊的長(zhǎng)為x米，水池總造價(jià)為y千元.

①請(qǐng)寫出〉關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②若該農(nóng)戶建造化糞池的預(yù)算不超過(guò)5千元，則池子底面一邊的長(zhǎng)x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

反比例函數(shù)壓軸專練（六大題型）

題型1:存在性問(wèn)題

1.如圖，直線y=|x與雙曲線＞=￡（左HO）交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（九-3）,點(diǎn)c是雙曲線第一象

限分支上的一點(diǎn)，連接3c并延長(zhǎng)交X軸于點(diǎn)。，且8c=2CD.

⑴求左的值并直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)用、N是了軸上的動(dòng)點(diǎn)（M在N上方）且滿足比乂=1,連接MB,NC,求+九W+NC的最小值；

（3）點(diǎn)尸是雙曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使得NODP=NDOB,若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P

點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【答案】⑴左=6,5（2,3）；

(2)1+765;

（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：4-2^5,4+273,4-273

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定；

（1）運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；

（2）根據(jù)BC=2CD,求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再把將軍飲馬模型在坐標(biāo)系中直接運(yùn)用，根據(jù)勾股定理求解即可;

（3）根據(jù)題意畫圖分析，根據(jù)平行求相關(guān)函數(shù)關(guān)系式，再求兩條線的交點(diǎn)解方程組，即可得解.

【解析】（1）解：根據(jù)題意可知點(diǎn)4冽，-3）在直線y=a和雙曲線歹=k?左W0）的圖象上，

3

2加=一3,角星得m=-2,

：.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,-3）,代入雙曲線歹=勺后/0）得：

k=(-2)x(-3)=6,

由圖象可知點(diǎn)5與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

.?.2(2,3)；

(2)過(guò)點(diǎn)8、C分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F,作點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)夕，并向下平移一個(gè)

單位記為5",連接"C,

y/k

則AE〃CF,=

:.ADCFS^DBE,

.CFDC

vBC=2CD,5(2,3),云(-2,3),3〃灰2,2),

DC1clc

??---=—,BE=3,

DB3

：,CF=\,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為1,

???點(diǎn)c在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

X

???C(6,1),B"C=^(2-1)2+[6-(-2)]2=J1+64=病，

.?.八"+九亞+陽(yáng)的最小值即為8'8"+丁。=1+而；

(3)當(dāng)=時(shí)，當(dāng)。尸在x軸下方時(shí)，DP//AB,

設(shè)直線BC的解析式為y=kxx+b,

由(2)可知：5(2,3),C(6,l),

2左+6=3k=-

解得?}2

6k+b=\

xb=4

y=—x+4,

2

當(dāng)y=0時(shí)，一gx+4=0,解得x=8,

3

DP//AB,直線力B的解析式為y=

3

???設(shè)直線DE的解析式為y=-x+n,

把。(8,0)代入得：12+〃=0,

n=—12,

y——x—12,

2

由尸是直線DE與反比例函數(shù)的交點(diǎn)可得：

3-

y=-x-\2

V2解得石=4+2百X2=4-2A/5,

y=-

lx

此時(shí)點(diǎn)尸在第三象限，西=4+2右不符合題意,

當(dāng)。尸在x軸上方時(shí)，則與下方的D尸關(guān)于x軸對(duì)稱,

3

可得直線DP的解析式為：y=--x+12,

3

y=——x+12

/得士=4+2#,

聯(lián)立x2=4-2-s/3,

6

y=-

X

此時(shí)點(diǎn)尸在第一象限，兩個(gè)都符合題意,

，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為：4-2百4+2后,4-.

1k

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)>=-5》+3與反比例函數(shù)y=((x>0)的圖象交于點(diǎn)/(。,2),

8(4,6)兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接4C,8C,使/C〃龍軸，8C〃y軸，連接CM,OB.若點(diǎn)尸在V軸上，

且AOPA的面積與四邊形OACB的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在直線08上有一動(dòng)點(diǎn)M,過(guò)M點(diǎn)做y軸的平行線交反比例函數(shù)于點(diǎn)N,當(dāng)以M、N、B、。四個(gè)點(diǎn)為頂

點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求N點(diǎn)坐標(biāo)；

(4)在平面內(nèi)是否存在兩點(diǎn)〃、0,使得四邊形是矩形，且該矩形面積為15?若存在，請(qǐng)直接寫出〃

點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

【答案】(1)?=—(x>0)

x

(2)(0,4)或(0,-4)

(4)存在，〃(7,7)或。,-5)

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)4。,2),5(4,6)在一次函數(shù)了=-3》+3的圖象上求出。、6的值，得出A、B兩點(diǎn)的

坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可;

(2)延長(zhǎng)C/交V軸于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)尸，構(gòu)建矩形OECF,根據(jù)

S四邊形WCfi=S矩形OECF-S^OAE~S^OBF，設(shè)點(diǎn)尸(0,⑼，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義解答即可；

(3)先求出直線的函數(shù)關(guān)系式為y="x,設(shè)再分為當(dāng)點(diǎn)M在線段。8延長(zhǎng)線上時(shí)及當(dāng)點(diǎn)M

在線段上時(shí)，兩種情況進(jìn)行分類討論求解即可；

(4)分為當(dāng)點(diǎn)打在直線N3的上方時(shí)及當(dāng)點(diǎn)8在直線的下方時(shí)，兩種情況分類討論求解即可.

【解析】(1)解：.??點(diǎn)4%2),僅4,6)在一次函數(shù)歹=-3》+3的圖象上，

—a+3=2,b=—x4+3,

22

..〃=2,Z?—1,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)§的坐標(biāo)為(4,1),

又?.?點(diǎn)/(2,2)在反比例函數(shù)y=±的圖象上，

X

「"=2x2=4,

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為>=-(x>0)；

x

(2)解：延長(zhǎng)。1交V軸于點(diǎn)延長(zhǎng)。5交x軸于點(diǎn)廠，

???4C〃x軸軸,

則有軸，(/，工軸，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,2)

二?四邊形OECF為矩形，且C￡=4,C尸=2,

一S四邊形0/C3=S矩形0反尸—S^OAE-S^OBF

=2x4——x2x2——x4xl

22

=4,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),

則S0p=gx2?|加|=4,

m=±4,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,4)或(0,T).

(3)解：設(shè)直線。2的函數(shù)關(guān)系式為〉=。丫,

??,點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,1),

?.4P=1,

1

???直線的函數(shù)關(guān)系式為N=Jx，

4

設(shè),

如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段08延長(zhǎng)線上時(shí),

???以M、N、B、C四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

MN〃BC且MN=BC,

4

由可得

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,1),

：.MN=BC=\,

141

-t—=I,

4t

解得：/=26+2或/=-26+2（舍去）,

當(dāng)點(diǎn)M在線段05上時(shí)，

4I,

------1=I,

t4

解得：”2百-2或/=-2百-2(舍去),

(4)解：存在，

如圖，當(dāng)點(diǎn)H在直線的上方時(shí),

過(guò)點(diǎn)〃作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(4,1),

AB=V22+l2=V5，

?.?矩形45"。面積為15,

=15,即退3"=15,

:.BH=3指,

?.?四邊形是矩形，

:"ABH=NACB=ZBRH=90°,

ZCAB+ZABC=90°,AABC+ZRBH=90°,

NCAB=2RBH,

:ACABS^RBH,

*-A-C--_B__C_---A-B-

-BR-RH-BH，

,2_1V5

一BQRH_36

:.BR=6,RH=3,

.??”（7,7）；

當(dāng)點(diǎn)、H在直線AB的下方時(shí)，

則點(diǎn)H與點(diǎn)（7,7）關(guān)于點(diǎn)3對(duì)稱，

設(shè)加,〃），

m+7,〃+7y

/._=4,一=1,

:.m=\,n--5,

綜上所述，〃（7,7）或（1,-5）.

【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題及與幾何結(jié)合問(wèn)題，涉及的知識(shí)有：直線與坐標(biāo)軸

的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，

作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵.

3.如圖，一條直線與反比例函數(shù)〉=:的圖象交于4（1,4）、*4,〃）兩點(diǎn)，與x軸交于。點(diǎn)，軸，

（2）如圖乙，若點(diǎn)E在線段4。上運(yùn)動(dòng)，連接CE,作/CE尸=45。，EF交4c于F點(diǎn).

①試說(shuō)明ZXCDES^EAF；

②當(dāng)△ECF為等腰三角形時(shí)，直接寫出尸點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】⑴①了二：，②〃=1,。（5,0）

⑵①見解析；②。,2）或（1,4）或（1,8-4夜）

【分析】（1）①把/的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的解析式，②根據(jù)反比例函數(shù)的解析

式，求得8的坐標(biāo)，即可得到〃的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，進(jìn)而求得與x軸的

交點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)題意易證A/CD是等腰直角三角形，利用兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似即可證得；②分

。/=位,即=/。,即=以三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得CF的長(zhǎng)，則尸的坐標(biāo)可以求得.

【解析】（1）解：①把/（1,4）代入y得：4=1,

解得：k=4,

4

則反比例函數(shù)解析式是：＞=—；

44

②把％=4代入歹=一得：〃=：=1,

x4

.*.5(4,1),

設(shè)直線48的解析式為v=,

把4(1,4)、2(4,1)代入-凡+%得：I=4《+6'

[k'=—\

解得：入＜，

[b=5

則直線N3的解析式是：y=-x+5,

令V=0,解得：x=5,

則。的坐標(biāo)是：0(5,0)；

(2)解:①???/(l,4),D(5,0),/C，x軸，

CD=AC=4,

9：ACLCD,

工NCAD=NCDA=45。,

又?；/FEC=45。,

：.ZAFE=ZACE+ZFEC=ZACE+45°,/DEC=/ACE+ACAD=ZACE+45°,

???ZAFE=/DEC,

：./\CDEs△區(qū)4尸，

②???△EC廠為等腰三角形分三種情況.如圖乙：

圖乙

當(dāng)CF=CE時(shí)，ZCEF=ZCFE=45°,

又,:ZCAB=45°,

???4,尸重合，則尸的坐標(biāo)是(1,4)；

當(dāng)￡尸=FC時(shí)，NFCE=ZCEF=45°,

???CE是等腰直角^ACD的角平分線，

是3的中點(diǎn)，ZFEC=ZECD=45°,

：.EF//CD,

二尸是NC的中點(diǎn),

CF=1,

尸的坐標(biāo)是：（1,2）；

③當(dāng)￡F=C￡?時(shí)，

/\CDES&EAF,

ACDE=^EAF,

：.CD=EA=4,

■：AD=y/CD2+AC2=472

DE=AF=AD-EA=442-4

；.CF=^C-T1F=4-（4V2-4）=8-4V2,

的坐標(biāo)是：（1,8-4收）.

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：（1,2）或（1,4）或0,8-4后）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，三角形相似的判定條件坐標(biāo)與圖

形，等腰三角形的存在問(wèn)題，綜合性性強(qiáng).

424

4.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=彳、+12與雙曲線歹=-一交于45兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)5左邊），

3x

過(guò)4。兩點(diǎn)作直線，與雙曲線的另一交點(diǎn)為。，過(guò)5作直線49的平行線交雙曲線于點(diǎn)C.

（1）則點(diǎn)A坐標(biāo)為點(diǎn)3坐標(biāo)為并求直線8C的解析式；

Q

（2）如圖2,點(diǎn)P在V軸負(fù)半軸上，連接P8,交直線49于點(diǎn)E,連接CE、PA,且=77s弱虛，將線段

R9在〉軸上移動(dòng)，得到線段尸‘。'（如圖3）,請(qǐng)求出|尸'8-。'0的最大值;

⑶如圖4,點(diǎn)/在x軸上，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N,使以點(diǎn)C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,

請(qǐng)直接寫出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（-6,4）,（-3,8）,y=-jx+6

⑵

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10,-6）或（12-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）

4-

y=—x+12

3

【分析】（1）聯(lián)立方程組24即可得出點(diǎn)45的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法先求出直線的解析式,

V=-----

Ix

再求出的解析式即可；

（2）設(shè)尸（0,。），先表示出，再求出％CE=45,結(jié)合S.BU^SABCE，求出。=-4,從而得

出尸（0,-4）,將點(diǎn)5向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)與（-3,12）,設(shè)點(diǎn)用、巴關(guān)于了軸對(duì)稱，則鳥（3,12）,

連接。當(dāng)并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)。，即可得解；

（3）設(shè)M（見0）,N（s,t）,分三種情況：當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)CO為邊時(shí)，菱形為CZ）MN時(shí)，當(dāng)CD為邊

時(shí)，菱形為CD7W時(shí)；分別利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可.

4

y=—x+12

3

【解析】（1）解：聯(lián)立方程組24,

y=—

IX

:點(diǎn)A在點(diǎn)8左邊，

.?.4(-6,4),5(-3,8),

設(shè)直線AO的解析式為y=kx(k豐0),

將”(-6,4)代入解析式得：-6左=4,

解得：k=j

2

...直線ZO的解析式為y=

BC〃OA,

2

設(shè)直線2C的解析式為：y=--x+b,

將2(-3,8)代入解析式得：一：義(-3)+6=8,

解得：6=6,

2

直線3C的解析式為：v=-jx+6；

(2)解：?.?點(diǎn)A、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A(-6,4),

D(6,—4),

:點(diǎn)P在V軸負(fù)半軸上，

設(shè)尸(0,。)，

令直線A5交了軸于尸，

4

在y=§x+12中，當(dāng)x=0時(shí)，y=i2,即廠(0,12),

PF=12—a,

1x13

SA*BP=S.APF—S.BPF=~(12-a)x6--x(12-a)x3=18--a,

2,

y=——x+6

-3

聯(lián)立

24

y=—

X

解得:

：.C(12,-2),

：?BC=^[12-(-3)]2+(-2-8)2=5岳，

作。G_L8C于G,連接CD、BD,則BD=J(-3-+[8-(-4)了=15,C￡>=^(12-6

由勾股定理得：BG7BD?-DG?=」225-/，CG=y/CD2-DG2=740-A2>

■:CG+BG=BC=5岳,

J225-為2+,40-/=5713，

解得：h獸叵（負(fù)值舍去）,

13

.八廠_18后

13

BC〃CU,

.c1D廠八廠1</7718V13

??S=—BC,DG=—x57、Jx--------=45,

△BCE2213

?S^PAB=百^/\BCE，

38

A18——Q=—x45,

215

解得：a=-4,

???P(0,—4),則OP=4,

如圖，將點(diǎn)3向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)耳（-3,12）,則8用=P。=4=戶。，則34。下為平行四邊形,

P'B=O'Bl,

設(shè)點(diǎn)與、鳥關(guān)于y軸對(duì)稱，則與（3,12）,連接。坊并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)O,

/.\P'B-O'D\=\O'B}-O'D\=\0'B2-。到的最大值為DB2=J(6-3『+(-4-12『=屈；

(3)解:由(2)可得：C(12,-2),D(6,-4),

設(shè)M(加,0),Ng),

?.?以點(diǎn)GD、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

12+6=加+s

.?.當(dāng)CD為對(duì)角線時(shí)，-2+(-4)=0+/,

-12)2+[?-(-2)]2=^(5-6)2+\t-(-4)]2

加=8

解得：＜s=10,即N(10,-6),

t=-6

12+機(jī)=6+5

當(dāng)CQ為邊時(shí)，菱形為時(shí)，1-2+0=-4+，

J(s-12)2+[,一(一2)]=J(S—加)2+?_0)2

加=6+2y/6m=6—2^6

解得：卜=12+26或卜=12—2而，即N02+2后,2）或N02—2指,2）；

t=2t=2

12+5=6+m

當(dāng)CQ為邊時(shí)，菱形為CDW時(shí)，《-2+￡=-4+0

m=6Im=18

解得：＜s=o或r=6（不符合題意，舍去），即N（0,-2）；

n=—2[〃=-2

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10,-6）或卜2-2跖2）或（12+2跖2）或（0,-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、求一次函數(shù)解析式、三角形面積公式、勾股定理、

菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

題型2：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

12

5.已知反比例函數(shù)了=一,直線4：y=h+加化70）,直線人與反比例函數(shù)交于點(diǎn)/（a,4）,8（-21），與苫

X

（1）求直線4的解析式；

⑵過(guò)點(diǎn)C作無(wú)軸的垂線4，4上有一動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線段與夕軸交于點(diǎn)N,連接8V,求

AM+MN+NB的最小值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）問(wèn)的前提下，當(dāng)/〃+九W+N5取得最小值時(shí)，作點(diǎn)〃關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)。在坐標(biāo)軸上有一

動(dòng)點(diǎn)P,^ZPAC=ZQCA,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的過(guò)程.

【答案】（l）y=2x-2

（2）/M+ACV+8N的最小值為2回+1；

⑶（3,0）或\g，o］或卜j

【分析】（1）利用反比例函數(shù)解析式求出/、2坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線人的解析式即可；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，則MN=1；如圖所示，過(guò)點(diǎn)3作

BH//MN,BH=MN,連接AH,則證明四邊形是平行四邊形，得至1］氏￥=〃腹，

則當(dāng)/、m、X三點(diǎn)共線時(shí)，+有最小值，即此時(shí)++有最小值，最小值為/〃+1,利

57

用勾股定理得到4f7=2a,則/M+兒W+3N的最小值為2亞'+1；求出直線解析式為》=5才-5,

進(jìn)而可得M0T）；

（3）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到0（1,1）,如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上

時(shí)，則C0〃2P,可得4P〃了軸，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,0）；

如圖3-2所示，在直線C0上且在點(diǎn)0上方找一點(diǎn)K,連接/K使得/K=CK,設(shè)K（1J）,由勾股定理得到

（l-3）2+（Z-4）2=Z2,解方程得到小島，同理可得直線/K解析式為y=：x+：,則直線廣。與x軸,

y軸分別交于卜：,0；/,￡（，由等邊對(duì)等角得到NHC=/0C4,則當(dāng)點(diǎn)尸在射線/K（不包括/）上

時(shí)都滿足題意，再由尸在坐標(biāo)軸上，可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)為或卜彳）.

121212

【解析】（1）解：在歹=一中，當(dāng)y=—=4時(shí)，x=3；當(dāng)x=-2時(shí)，y=—=-6,

XXX

；./(3,4),5(-2,-6),

3左+加=4

把4（3,4）,8（-2,-6）代入了=丘+加優(yōu)片0）中得:

-2k+加=-6

k=2

解得

m=-2,

???直線4的解析式為片27；

(2)解：在y=2x-2中，當(dāng)y=2x-2=0時(shí)，x=l,

,直線4軸，

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1,

：Wy軸，

：.MN=l；

如圖所示，過(guò)點(diǎn)、B作BH〃MN,BH=MN,連接MHAH,則H（-l,-6）,

四邊形是平行四邊形，

BN=HM,

,AM+MN+BN=AM+HM+\,

.?.當(dāng)/、M、〃三點(diǎn)共線時(shí)，+有最小值，即此時(shí)4W+MN+8N有最小值，最小值為/〃+1,

?.?/(3,4),7/(-1,-6),

；?AH=J(-l-3『+(-6-4)2=2回,

：./M+MV+3N的最小值為2回+1；

設(shè)直線AH解析式為y=kxx+bx,

3kl+4=4

把/(3,4),“(-1,-6)代入y=《x+4中得:

-左+4=-6

解得，

4=—

[2

57

...直線/"解析式為y=,

57

在〉=—x-不中，當(dāng)x=l時(shí)，、=-1,

-22

(3)解；由(2)知

?.?點(diǎn)〃■與點(diǎn)0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.1.2(1,1),

VC(1,O),

.?.CQ〃y軸，

如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)尸在X軸上時(shí),

NPAC=ZQCA,

/.CQ//AP,

，AP//y^,

：/（3,4）,

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,0）；

如圖3-2所示，在直線C。上且在點(diǎn)。上方找一點(diǎn)K,連接/K使得NK=CK,

設(shè)K（l,/）,

（1-3）2+（1-4）2=/,

解得/=:，

同理可得直線4K解析式為y=3+7—,

44

373777

在歹:中，當(dāng)歹=:1+:=0時(shí)，x=—；；當(dāng)x=0時(shí)，y=-,

444434

二直線y=3+：與X軸，了軸分別交于1o,j,

AK=CK,

:.NKAC=NKCA,即/gC=/QC4,

當(dāng)點(diǎn)P在射線NK（不包括N）上時(shí)都滿足題意，

又：尸在坐標(biāo)軸上，

二點(diǎn)p的坐標(biāo)為或

綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(3,0)或卜：,0)或(0,：).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角,

一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化一軸對(duì)稱等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

6.如圖1,已知雙曲線了=&經(jīng)過(guò)口/BCD的C、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)4-1,0),3(0,-2),C(2,2).

(1)求雙曲線和直線DC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖2,點(diǎn)尸在雙曲線了=勺上，點(diǎn)0在y軸上，若以點(diǎn)A、B、P、。為頂點(diǎn)的四邊是平行四邊形，請(qǐng)

直接寫出滿足要求的所有點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶如圖3,以線段為對(duì)角線作正方形點(diǎn)T是邊相(不含點(diǎn)A、尸)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/是5

的中點(diǎn)，MNLHT,交AB于點(diǎn)、N.當(dāng)T在加上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/7W的度數(shù)是否會(huì)變化？若會(huì)的話，請(qǐng)給出你

的證明過(guò)程.若不是的話，只要給出結(jié)論.

4

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為^=一；直線。。的函數(shù)關(guān)系式為丁=-2X+6

⑵滿足要求的所有點(diǎn)。的坐標(biāo)為：0(0,6)、。(0,-6)、2(0,2)

(3)/7W的度數(shù)不會(huì)變化，等于45。

【分析】(1)