專題6.7平面向量的綜合應(yīng)用大題專項訓(xùn)練【七大題型】【人教A版（2019）】姓名：___________班級：___________考號：___________題型一\o"向量坐標的線性運算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標的線性運算解決幾何問題題型一\o"向量坐標的線性運算解決幾何問題"\t"/gzsx/zsd28612/_blank"向量坐標的線性運算解決幾何問題1．（24-25高一下·河北石家莊·階段練習）在平面直角坐標系xOy中，點A?1,2，B1,1，記OA=(1)設(shè)a在b上的投影向量為λe（e是與b同向的單位向量），求λ(2)若四邊形OABC為平行四邊形，求點C的坐標．【解題思路】（1）根據(jù)投影向量的定義，即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到OA=【解答過程】（1）設(shè)a與b的夾角為θ，則λ=a（2）設(shè)點Cx,y，因為四邊形OABC為平行四邊形，所以O(shè)A又OA=?1,2，CB所以1?x=?11?y=2，解得x=2故C2,?12．（24-25高一上·安徽馬鞍山·期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=（1）求點B，點C的坐標；（2）求四邊形OABC的面積.【解題思路】（1）設(shè)B(xB,yB)，根據(jù)題中條件，得到xB（2）先用向量的方法，證明四邊形OABC為等腰梯形；連接OC，延長CB交x軸于點D，得到△OCD，△ABD均為等邊三角形，進而可求出四邊形面積.【解答過程】（1）在平面直角坐標系xOy中，OA=2AB=2又∠OAB=2π3，設(shè)則xB=2+cos所以點B5又BC=(?1,3)即點C3（2）由（1）可得，OC=32所以O(shè)C=3AB，即又BC=所以四邊形OABC為等腰梯形；連接OC，延長CB交x軸于點D，則△OCD，△ABD均為等邊三角形.∴S=S3．（23-24高一下·湖北荊州·期中）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心的圓弧DE上運動，若AP=xED+y【解題思路】設(shè)P(cosθ,sinθ),θ∈0,π2【解答過程】設(shè)P(cosθ,則AP因為AP=xED即?x+32y=cos所以2x?y=因為θ?π4即2x?y∈?1,14．（24-25高一·湖南·課后作業(yè)）如圖，已知A（－2，1），B（1，3）．(1)求線段AB的中點M的坐標；(2)若點P是線段AB的一個三等分點，求點P的坐標．【解題思路】（1）根據(jù)中點坐標公式進行求解即可；（2）根據(jù)平面共線向量的性質(zhì)進行求解即可.【解答過程】（1）設(shè)M(x,y)，因為A（－2，1），B（1，3），所以x=?2+12=?（2）設(shè)P(x,y)，當AP=13當AP=235．（24-25高一下·湖北十堰·階段練習）某公園有三個警衛(wèi)室A?B?C，互相之間均有直道相連，AB=2千米，AC=23千米，BC=4千米，保安甲沿CB從警衛(wèi)室C出發(fā)前往警衛(wèi)室B，同時保安乙沿BA從警衛(wèi)室B出發(fā)前往警衛(wèi)室A(1)保安甲從C出發(fā)1.5小時后達點D，若AD=xAB+yAC，求實數(shù)(2)若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系，對講機在公園內(nèi)的最大通話距離不超過2千米，試問有多長時間兩人不能通話？【解題思路】（1）先根據(jù)勾股定理確定這是一個直角三角形，然后可以建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，根據(jù)坐標運算可以計算出實數(shù)x?y的值；（2）表示出點E的坐標之后可以把DE坐標表示，立出不等式解不等式即可.【解答過程】（1）因為AB2+A因此建立如圖所示的平面直角坐標系，A(0,0),B(2,0),C(0,23設(shè)保安甲從C出發(fā)t小時后達點D，所以有CD=設(shè)D(x1,即D(t,23?3t)，當由AD?3（2）設(shè)保安乙從B出發(fā)t小時后達點E，所以點E的坐標為(2?t,0)，于是有DE=(2?2t,因為對講機在公園內(nèi)的最大通話距離超過2千米，兩人不能通話，所以有DE>2，所以解之：t>2或t<67所以兩人約有67題型二題型二\o"用向量證明線段垂直"\t"/gzsx/zsd28634/_blank"用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直

用向量證明線段垂直6．（23-24高一·上?！ふn堂例題）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上一點，PE垂直AB于點E，PF垂直BC于點F．求證：PD⊥EF．

【解題思路】設(shè)AP=λAC，借助正方形的性質(zhì)與向量的線性運算可得PD=?λ【解答過程】設(shè)AP=λAC，由ABCD為正方形，則有AE=λ則PD=EF=故PD=λλ?1AB2+λ1?λ7．（23-24高一下·河南信陽·期中）已知在△ABC中，點M是BC邊上靠近點B的四等分點，點N在AB邊上，且AN=NB，設(shè)AM與CN相交于點P．記AB=

(1)請用m，n表示向量AM；(2)若n=2m，設(shè)m，n的夾角為θ，若cosθ=【解題思路】（1）結(jié)合圖形，根據(jù)平面向量的線性運算可得；（2）以m，n為基底表示出CN,AB，結(jié)合已知求【解答過程】（1）BC=AC?所以AM=（2）由題意，CN=∵n=2m，cosθ=∴CN?∴CN⊥8．（24-25高一下·山東濟南·階段練習）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)(1)求重心E的坐標；(2)用向量法證明：EF⊥CD．【解題思路】（1）求出D的坐標，根據(jù)重心坐標公式即可求出E的坐標；（2）求出F的坐標，證明CD?【解答過程】（1）如圖，∵A0,b，B?a,0，∴D?a2（2）CD=易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為0,y．由AF=CF，得∴y=b2?∴EF=∴CD→∴CD⊥EF，即9．（23-24高一下·山東德州·階段練習）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分別為AC,BC上的點，且AE=

(1)求AF；(2)求證：AF⊥BE；(3)若線段BE上一動點P滿足2PB+PA【解題思路】（1）記AB=a,AC=（2）將BE表示為a,b的關(guān)系式，從而利用向量的數(shù)量積運算計算（3）利用向量的中點性質(zhì)與共線定理即可得解.【解答過程】（1）依題意，記AB=因為AB=2,AC=4,∠BAC=60°，所以a=2,b=4因為BF=所以AF=則AF2故AF=（2）因為AE=12所以AF?則AF⊥BE，即（3）因為AE=12AC，所以E是因為2PB+PA+PC所以P是線段BE的中點.10．（24-25高一下·湖南常德·階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點P自A點逆時針沿正方形的邊運動到C點，在這個過程中，是否存在這樣的點P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系，由于∠EMF就是DE,（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點P在AB【解答過程】（1）如圖所示，建立以點A為原點的平面直角坐標系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當點P在AB上時，設(shè)Px,0∴3x?54②當點P在BC上時，設(shè)P6,y∴72綜上，存在P22題型三題型三\o"用向量解決夾角問題"\t"/gzsx/zsd28635/_blank"用向量解決幾何中的夾角問題11．（23-24高一下·山東菏澤·期末）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【解題思路】根據(jù)向量線性運算結(jié)合已知PA+PB+PC=0可得故【解答過程】由題意得|AB|=3,|AC|=1，PA+PB+又AB=PB?故PA=?1于是|PA∴|PA|PC|∴cos∠APC=12．（23-24高一下·福建福州·期中）已知梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為BC的中點，F(xiàn)為BD與AE的交點，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD【解題思路】（1）由向量的運算得出AD=?32AB+2（2）由向量的運算得出EA=12CB+BA，BD=【解答過程】（1）根據(jù)題意，梯形ABCD中，AB?//?CD，AB=2CD，E為則AD=AB又由AD=λAB+μAE（2）∠AFD是EA與BD所成的角，設(shè)向量EA與BD所成的角為θEA=EBBD=BC則|EA|=因為EA=?12所以EA與BD所成角的余弦值為?1013．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：【解題思路】以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，證明DA,DB的夾角與【解答過程】如圖，以B為原點，BC，BA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系.設(shè)A0，2，C2，?0設(shè)AF=λAC，則又因為DA=?1，?2，所以?2λ+22?2λ=0，解得λ=所以DF=又因為DC=所以cos∠ADB=DA?又因為∠ADB，∠FDC∈0，π，所以∠ADB=∠FDC

14．（23-24高一下·福建廈門·期末）在四邊形ABCD中，AB=2m?2n，AD=?m+3(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；(2)若m=2，n=1，m與n的夾角為60°，F(xiàn)為BC【解題思路】（1）根據(jù)向量線性運算判斷AB,（2）利用向量數(shù)量積先求AB，AF和AF?【解答過程】（1）因為AD=?m+3所以DC=又因為AB=2m?2又因為A,B,C,D四點不共線，所以AB∥DC且AB≠DC，所以四邊形ABCD為梯形．（2）因為AB=2所以AB=因為F為BC中點，所以AF=所以AF=m=2所以cos∠FAB=因為∠FAB∈0,π，所以

15．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）如圖，正方形ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于點M.(1)設(shè)EF=xBA+y(2)求∠AME的余弦值；(3)求DM：ME和【解題思路】（1）根據(jù)平面向量的線性運算可得EF=?（2）如圖，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可得DM=67DE=35（3）由（2），根據(jù)AMMF【解答過程】（1）由題意知，EF=又EF=xBA+yBC，所以（2）如圖，過點E作EN//BC交于AF于點N，過A作AH⊥DE于點H，設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則AE=BE=1由EN//BC，得EN//AD，EN=1所以DE=A由△AMD～△NME，得DMEM所以DM=6因為AH⊥DE，所以AD所以AD2?D解得MH=5所以cos∠AME=?（3）由（2）知，△AMD～△NME，得DMEM故DMEM題型四題型四\o"用向量解決線段的長度問題"\t"/gzsx/zsd28636/_blank"用向量解決線段的長度問題16．（23-24高一下·廣西河池·階段練習）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM，BN

(1)求AM的長度；(2)求∠MPB的正弦值.【解題思路】（1）根據(jù)AM是中線，由AM=（2）易知∠MPB為向量AM,NB的夾角【解答過程】（1）解：因為AM是中線，所以AM=所以AM?則AM=（2）由圖象知：∠MPB為向量AM,NB的夾角因為NB=所以NB2=4?2?5?12+又AM?NB==1所以cos∠MPB=因為∠MPB∈0,所以sin∠MPB=17．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，cosA(1)求角B的值；(2)若a=2,c=5，邊AC上的中點為D，求BD的長度.【解題思路】（1）切化弦后，利用兩角和的正弦公式求解；（2）利用平面向量數(shù)量積可求出結(jié)果.【解答過程】（1）∵cosAsin∴sinA+Bcos∵sinC≠0，∵B∈0,（2）∵BD是AC邊上的中線，∴BD∴BD∴BD=3918．（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）四邊形ABCD是正方形，P是對角線DB上一點(不包括端點)，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PA=EF.【解題思路】根據(jù)給定條件，建立坐標系，利用向量的坐標表示推理計算即得.【解答過程】在正方形ABCD中，建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為1，則D(0,0),C(1,0),B(1,1),A(0,1)，由P是對角線DB上一點(不包括端點)，令DP=λ而DB=(1,1)，則DP=(λ,λ)，即P(λ,λ)，由四邊形PFCE是矩形，得因此AP=(λ,λ?1),則|AP|=λ于是|AP所以PA=EF.19．（23-24高一下·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE(1)求CE和AD的長度；(2)求cos∠CFD【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義即可求得CE的長；利用向量法即可求得AD的長度；（2）利用向量夾角的余弦公式即可求得cos∠CFD【解答過程】（1）∵CE是高，∴∠AEC=π2，在Rt△AEC中，所以CE=ACsin∵AD是中線，∴AD∴AD2=∴CE=3,AD=19∴EC=AC?另解：過D作DG//CE交BE于∵D是BC的中點，∴G是BE的中點，∴AE=EG=GB=1,EF是△AGD的中位線，DG是△BCE的中位線，∴EF=1cos∠CFD=20．（24-25高一下·河北滄州·階段練習）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長；(2)求AD的長.【解題思路】（1）確定DE=?13AC，DF=?（2）AD=23【解答過程】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=2題型五題型五\o"向量與幾何最值"\t"/gzsx/zsd28637/_blank"向量與幾何最值（范圍）問題21．（23-24高一下·浙江寧波·期末）在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2DC=4，點F是(1)若點E滿足DE=2EC，且EF=λ(2)若點P是線段AF上的動點（含端點），求AP?【解題思路】（1）利用向量的加減運算法則，以AB,AD為基底表示出EF得出（2）法1：建立平面直角坐標系利用數(shù)量積的坐標表示即可得出AP?法2：利用極化恒等式得出AP?【解答過程】（1）如下圖所示：由DE=2EC可得所以EF=又EF=λAB所以λ+μ=?1（2）法1：以點A為坐標原點，分別以AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A0,0,D0,2由點P是線段AF上的動點（含端點），可令A(yù)P=t所以AP=tAF=所以AP?由二次函數(shù)性質(zhì)可得當t=110時取得最小值當t=1時取得最大值8；可得AP法2：取AD中點M，作MG⊥AF垂足為G，如下圖所示：則AP=PM2?MA2=PM2?1顯然當點P位于點F時，PM可得AP?22．（23-24高一下·江西九江·期末）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=π3，P為平面ABCD內(nèi)一點，AC與BP相交于點(1)若AP=PD，AQ=xBA+y(2)求PA+【解題思路】（1）建立直角坐標系，利用向量的線性運算的坐標表示即可求解，（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合二次型多項式的特征即可求解最值.【解答過程】（1）當AP=PD時，則P為由于△APQ～△CBQ,所以APBCAQ=1

（2）由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=π則A2,0取AB中點為M，連接PA,PB,則M1,0,設(shè)PPM=PA+PB故當x=1,y=32時，取最小值23．（24-25高一下·四川成都·階段練習）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，AB?AC=?1，CP=λCB0≤λ≤1，(1)當t=?1且λ=12，設(shè)PQ與AB交于點M，求線段(2)若PA?PQ+3=【解題思路】（1）用AB,AC表示（2）結(jié)合題目條件和向量積的公式，逐步化簡，可得到7λ【解答過程】（1）因為t=?1且λ=12，所以A是CQ的中點，P是BC的中點，則M是設(shè)AB=a所以CM=CM=（2）因為CP=λCB0≤λ≤1所以AP=PQ=AP?PA?由PA?PQ+3=所以t1?2λ=7λ2?9λ+5所以12<λ≤1，令m=1?2λ∈?1,0，則t=74(1?m)2?924．（24-25高一下·上海長寧·階段練習）如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，CD=mCA，CE=nCB，其中m，n∈(0,1)，設(shè)DE中點為(1)若m=n，求證：C、M、N三點共線；(2)若m+n=1，求|MN【解題思路】（1）根據(jù)平面向量基本定理，化簡得CM=m（2）根據(jù)MN=CN?CM，代入【解答過程】（1）當m=n時，CM=12故CM=mCN，故C、M、N（2）當m+n=1時，CM=12CD+故MN2=1故當m=182×25=925時，MN2取得最小值25．（23-24高一下·江蘇蘇州·期中）在銳角△ABC中，cosB=22，點O(1)若BO=xBA+y(2)若b=2（i）求證：OB+（ii）求3OB【解題思路】（1）由cosB=22推出∠AOC=π2，即OA?OC=0，由BO=x（2）（i）延長BO交圓O于E，則BO=OE，過E作EF⊥OC，垂足為F，過E作EG⊥OA，垂足為（ii）延長OA至M，使得|OM|=2，以O(shè)M,OC為鄰邊作矩形OCNM，延長OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，將3OB+2OA【解答過程】（1）因為cosB=22因為點O為△ABC的外心，所以∠AOC=2B=π2，即OA⊥OC，因為BO=xBA+y所以xOA設(shè)三角形ABC的外接圓的半徑為R，則|OA由xOA+yOC所以x2+y因為xy≤(x+y)24所以x+y?12≤得(x+y?2)2≥2，得x+y≥2+2因為三角形ABC為銳角三角形，其外心必在三角形ABC內(nèi)，由BO=xBA+y再由xOA+yOC所以x+y≥2+2應(yīng)舍去，所以x+y≤2?所以x+y的最大值為2?2（2）（i）延長BO交圓O于E，則BO=OE，過E作EF⊥OC，垂足為F，過E作EG⊥OA，垂足為

因為∠BOC=2A，所以∠EOC=π?2A，因為∠AOC=π2，且|AC|=b=2所以|OF|=|OE|?cos(π?2A)=?cos所以O(shè)E=OG+所以BO=所以O(shè)B+（ii）延長OA至M，使得|OM|=2，則OM=2OA，以O(shè)M,OC為鄰邊作矩形則ON=OM+延長OB至P，使得|OP|=3|OB|=3，則OP=3

所以|3OB所以當N,O,P三點共線時，|3OB+2OA因為三角形ABC為銳角三角形，且B=π4，所以A+C=3所以∠BOC=2A∈(π當∠BOC=π2時，|=14?65?sin∠CON當∠BOC=π時，|OP+=14?65sin所以|OP+ON|∈[3?5題型六題型六向量在物理中的應(yīng)用26．（24-25高一·上海·課堂例題）已知質(zhì)點O受到三個力OF1、OF2、OF3的作用，若它們的大小分別為OF【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算求解即得.【解答過程】如圖，以質(zhì)點O為坐標原點，向量OF3所在的直線為

則OF1=20cos于是合力OF=OF1+OF所以合力的大小為103N，與OF27．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）如圖，重為4N的勻質(zhì)球，半徑R=6cm，放在墻與均勻木板AB之間，A端固定在墻上，B端用水平繩索BC拉住，板長l=10cm，木板AB與墻夾角為α，如果不計木板重，當α

【解題思路】設(shè)球的重力為G，球?qū)Π錋B的壓力為f1，繩BC對板的拉力為f2，根據(jù)力矩平衡可得出f2cos60°?l=【解答過程】設(shè)球的重力為G，球?qū)Π錋B的壓力為f1，繩BC對板的拉力為f2，令球心為O，AB與球的切點為則OD⊥AB，∠OAD=30°，依題意，G?=4N，由AB處于平衡狀態(tài)，以A又f1cos30°=G，所以繩的拉力為9.6N

28．（23-24高一下·山西陽泉·期中）一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度d=1km，一艘游船從南岸碼頭A點出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是v1，水流速度v2的大小為v2=4km/h.設(shè)v1(1)若游船沿AA′到達北岸A′點所需時間為6min，求(2)當θ=60【解題思路】（1）設(shè)游船的實際速度為vkm/h，由速度合成得v（2）設(shè)到達北岸B點所用時間為th，根據(jù)AB2【解答過程】（1）設(shè)游船的實際速度大小為vkm

由AA′=1km,6如圖所示速度合成示意圖，由v12=|cosθ=?所以v1的大小為229km（2）當θ=60°,v1

AB2=|t在Rt△AA′C中，tv1cos30故游船的實際航程為21329．（24-25高一·全國·隨堂練習）如圖，質(zhì)量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面大小為10N向上的拉力F的作用下，沿傾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距離．

(1)分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；(2)求在這一過程中物體所受各力對物體做的功的代數(shù)和；(3)求物體所受合外力對物體所做的功，它與物體所受各個力對物體做功的代數(shù)和之間有什么關(guān)系？【解題思路】（1）分析物體受力，按功的定義式求解每個力做的功；（2）將（1）中各值累加即可;（3）計算物體所受合外力對物體所做的功，與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和比較即可.【解答過程】（1）木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.

拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF支持力N與位移方向垂直，不做功，所以WN重力G對物體所做的功為WG（2）物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W=20+0?19.6=0.4(J（3）設(shè)物體所受合外力的大小為F1則F1故合外力做功為W=0.2×2=0.4.故物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等.30．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）有一艘在靜水中速度大小為10km/h的船，現(xiàn)船沿與河岸成60°角的方向向河的上游行駛．由于受水流的影響，結(jié)果沿垂直于河岸的方向駛達對岸．設(shè)河的兩岸平行，河水流速均勻．(1)設(shè)船相對于河岸和靜水的速度分別為u,v，河水的流速為w，求(2)求這條河河水的流速．【解題思路】（1）根據(jù)題意可得v與u的夾角為30°，則u,v,（2）結(jié)合圖象，求出BC即可.【解答過程】（1）如圖，u是垂直到達河對岸方向的速度，v是與河岸成60°角的靜水中的船速，則v與u的夾角為30°，由題意知，u,v,由向量加法的三角形法則知，OC=OA+（2）因為OB=v=10所以這條河河水的流速為5km題型七題型七向量與解三角形綜合31．（23-24高一下·福建廈門·期中）在△ABC中a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，向量m=b+a,?c，n=(1)求A；(2)若b=4，△ABC的面積為3，求△ABC的周長．【解題思路】（1）根據(jù)條件得到a2（2）根據(jù)條件，利用面積公式得到c=1，進而求出a=21【解答過程】（1）因為m=b+a,?c，n=b+c,b?a且即b2?a又由余弦定理知a2=b2+又A∈0,π，所以（2）因為S=12bc又b=4，得到c=1，所以a2=16+1+4=21，得到所以△ABC的周長為5+2132．（23-24高一下·山西晉城·階段練習）在△ABC中，a，b，c分別是角A,B,C所對的邊，且滿足a2(1)求角C的大?。?2)設(shè)向量a=(3sinA,32)，向量b=(1,?2【解題思路】（1）由余弦定理即可求得；（2）由向量的數(shù)量積等于0列出方程，可求得角A，利用三角函數(shù)的定義求得邊b，最后運用三角形面積公式計算即得.【解答過程】（1）由余弦定理，cosC=a2+b（2）由a?因C=π3，則因0<A<π，且C=π3，則A=因c=2，則b=c則△ABC的面積為S=133．（23-24高一下·天津南開·階段練習）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若m⊥n，其中(1)求角B的大??；(2)若a<c,b=27,△ABC的面積為①求a,c的值；②求sin2C+B【解題思路】（1）由m⊥n便得到m?n=0（2）①利用余