專題15圓中最值問(wèn)題專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】題型一圓中的線段最值問(wèn)題題型二圓中的線段之和最值問(wèn)題題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題題型四圓中的面積最值問(wèn)題題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題題型七圓中的翻折最值問(wèn)題題型八阿氏圓求最值問(wèn)題（含相似證明）題型九圓中的最值綜合問(wèn)題【經(jīng)典題型一圓中的線段最值問(wèn)題】1．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）．

A．5 B． C． D．【答案】C【分析】首先證明點(diǎn)P在以為直徑的上，連接與交于點(diǎn)P，此時(shí)最小，利用勾股定理求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：，，，，，∴點(diǎn)P在以為直徑的⊙O上，如圖，連接交于點(diǎn)P，

此時(shí)最小，在中，，，，，，，，最小值為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、最短問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)P位置，學(xué)會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最小、最大距離，屬于?？碱}型．2．（2023·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，以為圓心，為半徑作，為線段上動(dòng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到，過(guò)作的切線，切點(diǎn)為，則的取值范圍是()

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、,根據(jù)當(dāng)時(shí)，線段最短，當(dāng)在或點(diǎn)時(shí)，線段最長(zhǎng)，進(jìn)而分別求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：連接、．是的切線，；根據(jù)勾股定理知，當(dāng)時(shí)，線段最短，當(dāng)在或點(diǎn)時(shí)，線段最長(zhǎng)，①當(dāng)時(shí)，在中，，，，，．②當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在中，，，，的取值范圍是，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，的半徑是5，點(diǎn)A是圓周上一定點(diǎn)，點(diǎn)B在上運(yùn)動(dòng)，且，，垂足為點(diǎn)C，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)交于，連接、、，過(guò)作于，連接，由題意易證明是等邊三角形，即得出，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】設(shè)交于，連接、、，過(guò)作于，連接，，，，是等邊三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，的最小值是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，即點(diǎn)在圓心為的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，根據(jù)題意可證，由此可證是直角三角形，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可求出半圓的半徑，在中，可求出的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，連接，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴四邊形是矩形，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即是直角三角形，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，∵，∴，則半圓的半徑，在中，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，∴的最小值為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形與圓的結(jié)合求最值，理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)得，再由可得到，于是點(diǎn)在以為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，再由可證明，從而算出，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，求出此時(shí)的長(zhǎng)即可．【詳解】解：，，，，，點(diǎn)在以為弦，的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心為，取優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接，，，，，，

，

則，，，為等邊三角形，，，，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是矩形，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終垂直于，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】先通過(guò)，則可判斷點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，

∵，∴，∴點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)的中點(diǎn)為，又∵，∴由題意可知點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，∵四邊形是矩形，∴，，，∵，為中點(diǎn)，∴，，在中，由勾股定理得：，∴的最大值為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)變換和圓有關(guān)的概念，解題的關(guān)鍵是正確理解點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)路徑是圓．7．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，即可說(shuō)明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點(diǎn)D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，∵，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時(shí)，點(diǎn)D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時(shí)，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)．8．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊向下作等腰直角，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】先利用勾股定理計(jì)算出，則，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，則根據(jù)圓周角定理可判斷點(diǎn)A、P在以為直徑的圓上，所以，，從而可判斷平分，過(guò)點(diǎn)D作與點(diǎn)P，利用垂線段最短得到的值最小，然后證明，．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∴點(diǎn)A、P在以為直徑的圓上，∴，，∴平分，過(guò)點(diǎn)D作與點(diǎn)P，此時(shí)的值最小，如下圖所示，

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角，也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．9．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？级＃締?wèn)題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點(diǎn)到弦的距離最大值為_(kāi)______；【問(wèn)題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問(wèn)題解決】（3）“雙減”是黨中央、國(guó)務(wù)院作出的重大決策部署，實(shí)施一年多來(lái)，工作進(jìn)展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進(jìn)一步落實(shí)雙減政策，豐富學(xué)生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實(shí)踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，學(xué)校計(jì)劃將四邊形部分修建為農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地，并沿鋪設(shè)一條人行走道，部分修建為興趣活動(dòng)基地．根據(jù)規(guī)劃要求，米，．且農(nóng)業(yè)實(shí)踐基地部分（四邊形）的面積應(yīng)盡可能小，問(wèn)四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）11；（2）；（3）四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)直接可得答案；（2）作的外接圓，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，設(shè)，則，根據(jù)垂線段最短可得R的最小值，從而得出的最小值，進(jìn)而得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，則，在上截取，連接，利用證明，則，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，由（2）同理求出面積的最小值即可．【詳解】解：（1）∵圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，∴上的點(diǎn)到弦的距離最大值為，故答案為：11；（2）作的外接圓，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，如圖．

．設(shè)，則，由，得，即，∴，，．即面積的最小值為（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)，∵平分，∴．又，．米，，，為等腰直角三角形，∴米，（平方米），平方米．在上截取，連接，如圖．

，，，要使四邊形的面積最小，只需的面積最?。?，作的外接圓，如圖，連接，作于點(diǎn)，則，∴．設(shè)，則．由，得，解得，米，（平方米），（平方米）．即四邊形的面積存在最小值，最小值為平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，交平分線的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，將四邊形面積最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形面積最小是解題的關(guān)鍵．10．（2023·陜西西安·?？家荒＃?）如圖1，的半徑為，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則的最小值為．（2）如圖2，已知矩形，點(diǎn)為上方一點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心，求的度數(shù)．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若矩形的邊長(zhǎng)，，，求此時(shí)的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值，即可求解；（2）由角平分線的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理可求解；（3）先作出的外接圓，進(jìn)而求出外接圓的半徑，進(jìn)而判斷出最小時(shí)，點(diǎn)的位置，最后構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，有最小值為，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴平分，平分，∴，，∴；（3）∵，，，∴，∴，如圖3，作的外接圓，圓心記作點(diǎn)，連接，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接，∴四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，即是等腰直角三角形，連接，與相交于點(diǎn)，此時(shí)根據(jù)（1）的結(jié)論可知，是的最小值，過(guò)點(diǎn)作于，，交的延長(zhǎng)線于，則四邊形是正方形，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，內(nèi)心，構(gòu)造出圓是解本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型二圓中的線段之和最值問(wèn)題】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，同一個(gè)圓中的兩條弦、相交于點(diǎn)．若，，則與長(zhǎng)度之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，以為邊作等邊，則，而，則在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，證明，再證明，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，則，而，∴，∴點(diǎn)在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，∴，，∴，∵，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，半徑最小，此時(shí)半徑為，∴此時(shí)與長(zhǎng)度的和最小，最小值為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形外接圓的含義，圓周角定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，確定弧長(zhǎng)和取最小值時(shí)圓心的位置是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等腰的外接圓，為弧上一點(diǎn)，為的內(nèi)心，過(guò)作，垂足為，若，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】作于，于，連接，在上截取，連接，易證，推出是等腰直角三角形，進(jìn)而得到四邊形是正方形，推出，得到，同理得到，得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：作于，于，連接，在上截取，連接，

是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，是的內(nèi)心，，，四邊形是正方形，，，，，，同理：，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓和內(nèi)心．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．3．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)，分別在，的另一邊上運(yùn)動(dòng)，并保持2，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可判斷點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓位于的內(nèi)部的弧上運(yùn)動(dòng)，從而得出當(dāng)、、、四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，最小，然后利用勾股定理求出，即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，延長(zhǎng)，，交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，，是的中點(diǎn)，連接，，點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓位于的內(nèi)部的弧上運(yùn)動(dòng)，，當(dāng)、、、四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，最小，即最小，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱，垂直平分，，，，，，，的最小值為．故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確題意，添加合適的輔助線，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖北鄂州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形的邊，，為的中點(diǎn)，是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

【答案】7【分析】先找出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線為以為直徑的圓，設(shè)圓心為，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，可推出的長(zhǎng)即為的最小值，再求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線為以為直徑的圓，作以為直徑的，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，

則，，，的最小值為；連接，四邊形是矩形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，四邊形是矩形，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，在中，由勾股定理，得，的最小值為，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，勾股定理，能利用一條線段的長(zhǎng)表示兩線段的和的最小值是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形的內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且，點(diǎn)在上，，則以下結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

【答案】①②④【分析】由題意可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，故①②正確；由“”可證≌，可得，則當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，可判斷④正確；即可求解．【詳解】解：在上截取，連接，，，如圖所示：

四邊形是正方形，，，，，，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，故①②正確；在和中，，≌，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，，故DE的最小值為，故④正確；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，有最小值為，此時(shí)，與不一定相等，故③不一定正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離最值問(wèn)題等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．6．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設(shè)，則t的取值范圍是．

【答案】【分析】利用切線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得，再求得，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)與兩邊的切點(diǎn)分別為D、G，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，

由，∵，∴，∴，∴，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，

同理，∵，∴，當(dāng)與相切時(shí)，有最大或最小值，連接，∵D、E都是切點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴的最大值為；如圖，

同理，的最小值為；綜上，t的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在線段上，設(shè)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P沿方向平移2個(gè)單位，得到點(diǎn)，再將點(diǎn)作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接，當(dāng)點(diǎn)M在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為．（用含t的式子表示）

【答案】/【分析】根據(jù)題意作出點(diǎn)和點(diǎn)，連接,，并延長(zhǎng)至點(diǎn)B，使得,連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，證明四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，求出和的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可判斷．【詳解】

解：根據(jù)題意作出點(diǎn)和點(diǎn)，如圖，連接,，并延長(zhǎng)至點(diǎn)B，使得,連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，將點(diǎn)作關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)Q，，，，且，將點(diǎn)P沿方向平移2個(gè)單位，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，將點(diǎn)P沿方向平移2個(gè)單位，，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由圖得，，

的最大值為，的最小值為，長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問(wèn)題，主要考查了中位線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，平行四邊形的判定及性質(zhì)，正確畫出圖形并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）問(wèn)題提出：（1）如圖1所示，已知A為上一點(diǎn)，P為外一點(diǎn)，若，的半徑為2，則的最小值為_(kāi)________；問(wèn)題探究：（2）如圖2所示，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，若，求的最小值；問(wèn)題解決：（3）由于網(wǎng)購(gòu)的方便與快捷，極大地促進(jìn)了物流行業(yè)的發(fā)展，如圖3所示，一條半圓形公路連接著A，B兩座城市．物流公司沿半圓形公路在A，B兩地之間進(jìn)行物流運(yùn)送．點(diǎn)D為一輛等在半圓形公路上的物流車，隨時(shí)接收從外地運(yùn)來(lái)的貨物以便及時(shí)送到A，B兩地．為了節(jié)約資金，提高物流中轉(zhuǎn)的效率，現(xiàn)需在這個(gè)區(qū)域內(nèi)建一個(gè)物流中轉(zhuǎn)站P，要求物流中轉(zhuǎn)站P到A，B兩城市及半圓形公路上點(diǎn)D的距離之和最小，請(qǐng)幫物流公司求出這個(gè)距離和的最小值．

【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）如圖所示，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，則是等邊三角形，可得，則，連接，則的最小值就是的長(zhǎng)，證明四邊形為菱形且，，求出的長(zhǎng)即可；（3）如圖所示，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，連接、，則都是等邊三角形，則此時(shí)為定點(diǎn)，D為半圓上一動(dòng)點(diǎn)；取的中點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)即為的最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，連接，∵，∴，∴的最小值為4，故答案為：4；

（2）如圖所示，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，∴，，∴是等邊三角形，∴，

∴，連接，∵A，為定點(diǎn)，∴的最小值就是的長(zhǎng)，∵為等邊形三角形，∴∴四邊形為菱形且，，設(shè)交于T，則，∴，∴，即的最小值為；（3）如圖所示，連接，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至位置，連接、，∴，∴都是等邊三角形，

∴此時(shí)為定點(diǎn)，D為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，取的中點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)即為的最小值．∵為等邊三角形，，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型三圓中的線段平方和最值問(wèn)題】1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【詳解】解：連接∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∵∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，則：，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓O，E是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)F，于點(diǎn)P，設(shè)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意，四邊形為矩形，，所以當(dāng)最小時(shí)，即三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得解．【詳解】解：連接∵四邊形為正方形，，為圓O直徑，∴，∵，，∴四邊形為矩形，∴，∵∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，則：，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．熟練掌握?qǐng)A外一點(diǎn)與圓心和圓上一點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最大或最小是解題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，是一道綜合題．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）在中，若為邊的中點(diǎn)，則必有：成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問(wèn)題：如圖，在矩形中，已知，，點(diǎn)在以半徑為的上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，根據(jù)題意可得，，由此可以判定的最大值，即是的最大值，即可求解．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，如下圖：則，，根據(jù)題意可得，，的最大值，即是的最大值，又∵點(diǎn)在以半徑為的上運(yùn)動(dòng)，∴的最大值，由勾股定理可得：，∴的最大值為14，∴的最大值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系找出的最大值是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)，，作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】C【分析】連接，，如圖，利用圓周角定理可判定點(diǎn)在上，易得，，，，，設(shè)，則，由于表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，由于為平分，則，利用點(diǎn)在圓上得到，則可計(jì)算出，從而得到的最大值．【詳解】解：連接，，如圖，，為的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，，設(shè)，，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，為平分，，，，即，此時(shí)，即的最大值是6．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理等，作出輔助線，得到是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C均在坐標(biāo)軸上，AO＝BO＝CO＝1，過(guò)A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點(diǎn)，連結(jié)CE，BE，則的最大值是．【答案】6【分析】連接AC，OD，DE，根據(jù)圓周角定理的推論，推出AC是⊙D的直徑，設(shè)E（x，y），利用勾股定理分別求出求出，得到與的關(guān)系，推出當(dāng)最大時(shí)，最大，根據(jù)圓中直徑最長(zhǎng)，即可求出的最大值．【詳解】解：連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），∵，∴AC是⊙D的直徑，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），∴，，，∴，∵，∴當(dāng)OE為⊙D的直徑時(shí)，OE最大，的值最大，∴，∴的最大值，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點(diǎn)P是⊙M上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA2＋PB2的最大值為【答案】100【分析】設(shè)點(diǎn)P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，從而轉(zhuǎn)化為求OP的最值，畫出圖形后可直觀得出OP的最值，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)P（x，y），∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x?1）2＋y2，∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2，∵OP2＝x2＋y2，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2，當(dāng)點(diǎn)P處于OM與圓的交點(diǎn)P處時(shí)，OP取得最大值，如圖，∴OP的最大值為OP＝OM＋PM＝＋2＝7，∴PA2＋PB2最大值為2×72＋2＝100．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解OP的最大值，難度較大．7．（2022·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)、、均在坐標(biāo)軸上，，過(guò)、、作，是上任意一點(diǎn)，連結(jié)，，則的最大值是．【答案】6【分析】連接，，如圖，利用圓周角定理可判定點(diǎn)在上，易得，，，，，，設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到則，由于表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，由于為平分，則，利用點(diǎn)在圓上得到，則可計(jì)算出，從而得到的最大值．【詳解】解：連接，，如圖，，為的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，，，設(shè)，，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，當(dāng)為直徑時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大，為平分，，，，即，此時(shí)，即的最大值是6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了圓周角定理、勾股定理和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．8．（2022秋·湖北黃岡·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是以為圓心，1為半徑的上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，，連接，，則的最小值是．【答案】34【分析】設(shè)點(diǎn)，表示出的值，從而轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)圖形求出的最小值，代入求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)P處于與圓的交點(diǎn)上時(shí)，取得最值，∴的最小值為，∴最小值為．故答案為34．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解的最小值，難度較大．9．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在邊長(zhǎng)為10的正方形中，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．(1)如圖1，若直線與圓相切，求線段的長(zhǎng)；(2)求的最小值；(3)如圖2，若，求的最小值．【答案】(1)10(2)(3)200【分析】(1)連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，證明即可．(2)設(shè)與半圓于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最短，運(yùn)用勾股定理計(jì)算即可．(3)根據(jù)為直徑，則，得到是定值，故t的最小值，有的最小值確定，且當(dāng)E位于正方形對(duì)角線交點(diǎn)處時(shí)，取得最小值．【詳解】（1）連接，∵邊長(zhǎng)為10的正方形，直線與圓相切，E為切點(diǎn)，∴，∴，∴，∴．（2）如圖1，連接，設(shè)與半圓于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，最短，∵邊長(zhǎng)為10的正方形，∴，∴，∴．（3）∵為直徑，∴，∴是定值，故t的最小值，有的最小值確定，∵點(diǎn)E在半圓弧上，∴在正方形中，只能是銳角三角形或者直角三角形，不可能是鈍角三角形，∴，當(dāng)且當(dāng)E位于正方形對(duì)角線交點(diǎn)處時(shí)（此時(shí)是直角三角形），取等號(hào)．∴，∴，故t的最小值為200．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型四圓中的面積最值問(wèn)題】1．（2023春·江蘇常州·九年級(jí)常州實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)C是以為直徑的半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，D在上，且，點(diǎn)E、F、G分別是、、的中點(diǎn)．若，則的面積最大值為（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】由中位線求得，，由和可求解．【詳解】解：∵由點(diǎn)E、F、G分別是、、的中點(diǎn),，，，，，，為直徑，，，，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中位線的性質(zhì)，直徑所對(duì)的角是直角，完全平方公式的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是由完全平方公式得到．2．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，中，，在的同側(cè)作正，正和正，則四邊形面積最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】過(guò)作于，過(guò)作，交于，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，即點(diǎn)、、在一條直線上，再根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，同理得出，再根據(jù)平行四邊形的判定定理，得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)平行四邊形和三角形的面積，得出，再以為直徑作圓，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，此時(shí)為半徑，再根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合二次根式的乘法，計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)作于，過(guò)作，交于，，，，是正三角形，，，，即點(diǎn)、、在一條直線上，在正、正和正，，，，，，，，，同理可得，

四邊形是平行四邊形，，，，，，以為直徑作圓，當(dāng)最大時(shí)，的面積最大，此時(shí)為半徑，，四邊形面積的最大值是2．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、含角的直角三角形、圓周角定理、二次根式的乘法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理，并正確作出輔助線．3．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為4的與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，連接BC，已知x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則面積的最小值為（）A． B． C．12 D．16【答案】B【分析】連接，由三角形的中位線定理求得，得M點(diǎn)在以A點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，的面積最小，求出此時(shí)的面積便可．【詳解】解：連接，∵，∴，∵為直徑，∴，由題意知，點(diǎn)M在以A為圓心，2為半徑的上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)M點(diǎn)為與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M到的距離最短為，∴△BCM面積的最小值為∶，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，圓周角定理，勾股定理，三角形的中位線定理，關(guān)鍵在于確定M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．4．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，則面積的最小值為（）A．5 B．6 C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，可得點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作直線于，交于，則上到直線上最短的距離是，則可得即的面積最小，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，求得，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)的半徑為2，可知，，，由等積法可求得，，根據(jù)可求得面積最小是．【詳解】解：連接，如圖，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作直線于，交于，則上到直線上最短的距離是，此時(shí)，即的面積最小，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，解得，則，，，∵的半徑為2，∴，，由等積法可知：∴∴，∴，即的面積最小是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，一次函數(shù)的性質(zhì)和等積法等知識(shí)點(diǎn)，屬性相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，再進(jìn)行分析解答【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：，∴，設(shè)四邊形面積為S，∴．由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，∴，∴最大時(shí)，最小，作的外接圓，易知．∴，．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，面積最大，過(guò)作于，則．設(shè)，．∴，．∴．∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題求面積的最小值，考查的知識(shí)點(diǎn)有等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．6．（遼寧省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在中（線段，，為定長(zhǎng)），為線段上一動(dòng)點(diǎn)，作，，的平分線，，，直線，交于點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到線段中點(diǎn)時(shí)，，，，，則當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取最小值時(shí)，．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到線段中點(diǎn)時(shí)，，，，得出的長(zhǎng)，根據(jù)題意，作出圖形，得出取得最小值，點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可求解．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵點(diǎn)移動(dòng)到線段中點(diǎn)時(shí)，，∴，∵，∴，∵，∴，∵直線，交于點(diǎn)，∴是的內(nèi)心，∴，∵，即，∴是的平分線，∴分別為的內(nèi)心，如圖所示，過(guò)點(diǎn),分別作的垂線，垂足分別為，設(shè)，與交于點(diǎn)，∴的面積等于（為三角形的鉛垂高，水平寬乘以鉛錘高的一半）當(dāng)與最小時(shí)，的面積取得最小值，∵，觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，如圖所示，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，三角形內(nèi)心的相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中，P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，連接，，則面積的最小值為．【答案】【分析】點(diǎn)N在正方形內(nèi)部，所以，由可得點(diǎn)M在以中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，先證明，然后求最大面積即可求出的最小面積．【詳解】∵四邊形為正方形，

∴，，∵，∴，∵，，，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴當(dāng)面積最大時(shí)，面積最小，∵，∴點(diǎn)M在以中點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，當(dāng)面積最大時(shí)，，如圖，∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、全等三角形的判定、圓周角定理及用勾股定理解三角形等知識(shí)點(diǎn)，將求的最小面積轉(zhuǎn)化為求最大面積并找出M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．8．（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為2cm，弦，C是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積之和的最小值是cm2．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)C作于E，由，得當(dāng)最大時(shí)，最小，此時(shí)，經(jīng)過(guò)圓心O，即垂直平分，點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，由垂徑與勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作于E，∵，∴當(dāng)最大時(shí)，最小，此時(shí)，經(jīng)過(guò)圓心O，即垂直平分，點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)，連接，∵，∴，由勾股定理，得，∴，∴最小值，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，不規(guī)則圖形面積，三角形面積，勾股定理，根據(jù)圖形面積關(guān)系，得出點(diǎn)C為優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，陰影面積最小是解題的關(guān)鍵．9．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，，則面積的最小值為．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)可得：，進(jìn)而可確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上的一段弧，如圖，作，由于，故當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，因?yàn)椋手恍枰蟪黾纯桑驹斀狻拷猓河烧郫B的性質(zhì)可得：，∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上的一段弧，如圖，作，垂足分別為G、H，∵四邊形是矩形，，∴，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，最小，最小為，∴面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及垂線段最短等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)、得出的最小值是解題的關(guān)鍵．10．（2020春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，為線段上一點(diǎn)，以為半徑作交于點(diǎn)．連接、，線段、、的中點(diǎn)分別為D、M、N．

(1)試探究是什么特殊三角形，說(shuō)明理由．(2)將繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖的位置，其結(jié)論是否仍然成立，并證明結(jié)論．

(3)設(shè)，把繞點(diǎn)O在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，求的面積y的最大值與最小值的差（用x表示）．【答案】(1)等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析(2)成立，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先利用三角形的中位線定理得出，，再判斷出即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，，利用三角形中位線得出，，再判斷出是直角即可得出結(jié)論；（3）先判斷出的面積時(shí)點(diǎn)的位置，利用三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，理由：、分別為、的中點(diǎn)，，且．同理：，，，，．又，，，即為等腰直角三角形；（2）仍然成立，證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，．，，，，．、分別為、的中點(diǎn)，，且．同理：，，，在等腰中，．，．，，同理：，．．為等腰直角三角形；（3）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，．，而，，同理，，由題意，，的最小值為．同理，最大值為，的最大值與最小值的差為：．

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，三角形面積公式，判斷出是直角是解本題的關(guān)鍵．11．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考三模）問(wèn)題研究如圖1，是的中線，是邊上的高．(1)當(dāng)，，時(shí)，________．(2)求證：．問(wèn)題解決(3)某地為打造元宵節(jié)燈展景觀，需按如下要求設(shè)計(jì)一批燈展造型．如圖2，矩形是造型框架，以頂點(diǎn)為圓心懸掛圓形燈架（），以，為頂點(diǎn)釘兩個(gè)正方形展板（正方形和正方形），接合點(diǎn)點(diǎn)恰好在上．若，，的半徑為，求兩個(gè)正方形展板面積和的最小值．【答案】(1)10(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先求出的長(zhǎng)，然后在中利用勾股定理求解即可；（2）在中，，在中，，整理可得，結(jié)合可證結(jié)論成立；（3）取的中點(diǎn)F，連接，由（2）知，，由于為定值，所以當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，則當(dāng)A，E，F(xiàn)共線時(shí)，取得最小值，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，然后可求出的值最小值．【詳解】（1）∵是邊上的高∴∵，∴∵是的中線∴∴在中，，∴故答案為：10（2）∵，，∴在中，在中，∴在中，∴（3）由已知可得兩個(gè)正方形的面積和為：取的中點(diǎn)F，連接由（2）知，∵四邊形是矩形∴∵∴為定值∴當(dāng)取最小值時(shí)，的值最小，則當(dāng)A，E，F(xiàn)共線時(shí)，取得最小值∵∴∴的值最小值【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的高，勾股定理，矩形的性質(zhì)，以及圓的知識(shí)，熟練掌握勾股定理和圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型五圓中的周長(zhǎng)最值問(wèn)題】1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為半徑上一動(dòng)點(diǎn)．若，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為(

)

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)最小，此時(shí)的最小值為的長(zhǎng)與的長(zhǎng)度和，分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：因?yàn)槭嵌ㄖ担箨幱安糠种荛L(zhǎng)的最小值，即求最小值即可作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)，連接與直線交于點(diǎn)，則

，，此時(shí)為最小值連接，平分，，，

在中，，，陰影部分周長(zhǎng)的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的計(jì)算，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確計(jì)算的前提，理解軸對(duì)稱解決路程最短問(wèn)題是關(guān)鍵．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，∠MON=40°，以O(shè)為圓心，4為半徑作弧交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部相交于點(diǎn)C，畫射線OC交于點(diǎn)D，E為OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，DE，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作圖可知OA=OB=OD=4，∠BOD=∠DOA=20°，即可求出的長(zhǎng)度，作D點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF、OF、BF，根據(jù)∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，得到∠BOF=60°，得到△OBF是等邊三角形，則有BE+DE=BE+EF的最小值為BF=4（B、E、F三點(diǎn)在同一直線上），則問(wèn)題得解．【詳解】作D點(diǎn)關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF、OF、BF，如圖所示：根據(jù)題條件可知，∠BOD=∠DOA=20°，∴，∵D、F關(guān)于OM對(duì)稱，∴∠FOA=∠DOA=20°，OF=OD=OB，ED=EF，∴∠BOF=60°，∴△OBF是等邊三角形，BF=OB=4，∵DE=EF，∴BE+DE=BE+EF，∵的長(zhǎng)度為定值，∴要想求陰影部分的周長(zhǎng)最小即求BE+DE的最小值，又∵BE+DE=BE+EF，∴要求BE+EF的最小值，由圖可知當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，BE+EF=BF，此時(shí)有最小值，∵△OBF是等邊三角形，BF=OB=4，∴BE+EF=BF=4此時(shí)最小，∴陰影部分的周長(zhǎng)最小值為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：求出EB+ED的最小值為解答問(wèn)題的關(guān)鍵，可考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和最短路線問(wèn)題．3．（2022·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，AB＝10，點(diǎn)M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)．若MN＝2，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由題意作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)K，連接AK，OK，PK，OM，ON，NK．證明△ONK是等邊三角形，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)K，連接AK，OK，PK，OM，ON，NK．則∠MAB=∠KAB=20°，∵OA=OM=OK=5，∴∠AMO-∠OAM=∠OAK=∠OKA=20°，∴∠MOB=∠A+∠OMA=40°，∠BOK=∠OAK+∠OKA=40°，∵，∴∠MON=∠NOB=20°，∴∠KON=60°，∵ON=OK，∴△NKO是等邊三角形，∴NK=ON=5，∵M(jìn)，K關(guān)于AB對(duì)稱，∴PM=PK，∴PN+PM=PN+PK≥NK=5，∴PM+PN的最小值為5，∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+PN+MN=5+2=7.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，最短問(wèn)題，等邊三角形的判定，軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱變換解決最短問(wèn)題．4．（2021秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形內(nèi)接于⊙O，線段在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)．若⊙O的面積為，，則周長(zhǎng)的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】解：連接AC，⊙O的面積為6π，則圓的半徑為，則BD＝2＝AC，由正方形的性質(zhì)，知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，BD⊥AC，過(guò)點(diǎn)C作CA′∥BD，且使CA′＝1，∴CA′⊥AC，連接AA′交BD于點(diǎn)N，取NM＝1，連接AM、CM，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，則四邊形MCA′N為平行四邊形，則A′N＝CM＝AM，故△AMN的周長(zhǎng)＝AM+AN+MN＝AA′+1為最小，則A′A＝＝5，則△AMN的周長(zhǎng)的最小值為5+1＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M、N的位置是本題解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖北咸寧·統(tǒng)考二模）如圖，正方形內(nèi)接干圓，線段在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，若圓O的面積為，，周長(zhǎng)的最小值是．

【答案】4【分析】由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，且使，連接交于點(diǎn)N，取，連接，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，進(jìn)而求解．【詳解】解：的面積為，則圓的半徑為，，由正方形的性質(zhì)知點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，且使，連接交于點(diǎn)N，取，連接，則點(diǎn)M、N為所求點(diǎn)，

理由：，且，則四邊形為平行四邊形，則，故的周長(zhǎng)為最小，正方形中，，，則的周長(zhǎng)的最小值為，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)、點(diǎn)的對(duì)稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型六圓中的旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題】1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三角形，三角形均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)是、的中點(diǎn)，直線、相交于點(diǎn)，三角形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先證明，判定出點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最短來(lái)解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接、、，，，，，，，、是等邊三角形，是、的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，且、在的同側(cè)時(shí)，最短，，，，的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)等，解題的關(guān)鍵是證明，判定出在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．2．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期中）如圖，在中，，，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)連接，則線段的最大值是（

）A．3 B．6 C． D．【答案】D【分析】點(diǎn)F在以B為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑是圓中最大的弦，得到當(dāng)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF最大，根據(jù)三角形中位線定理，得到MN=，MN的最值與AF的最值一致，計(jì)算AF的長(zhǎng)即可，即AF=AB+BF．【詳解】根據(jù)題意，得點(diǎn)F在以B為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)直徑是圓中最大的弦，得到當(dāng)A、B、F三點(diǎn)共線時(shí)，AF最大，∴AF=AB+BF，∵，，∴，∴AF=，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴MN是△AEF的中位線，∴MN==，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2021·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)是的內(nèi)心，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，分別交線段、于、兩點(diǎn)，連接，給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)也一定是的外心；②；③四邊形的面積始終等于；④周長(zhǎng)的最小值為6．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接OB、OC，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再證明∠BOD=∠COE，于是可判斷△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用S△BOD=S△COE得到四邊形ODBE的面積=S△ABC=，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，計(jì)算出S△ODE=OE2，利用S△ODE隨OE的變化而變化和四邊形ODBE的面積為定值可對(duì)②進(jìn)行判斷；由于△BDE的周長(zhǎng)=BC+DE=4+DE=4+OE，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，計(jì)算出此時(shí)OE的長(zhǎng)則可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】連接OB、OC，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵點(diǎn)O是等邊△ABC的內(nèi)心，∴OB=OC，OB、OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，∴∠BOD=∠COE，在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE，∴BD=CE，OD=OE，所以①正確；∴S△BOD=S△COE，∴四邊形ODBE的面積=S△OBC=S△ABC=，所以③錯(cuò)誤；作OH⊥DE，如圖，則DH=EH，∵∠DOE=120°，∴∠ODE=∠OEH=30°，∴OH=OE，HE=OH=OE，∴DE=OE，∴S△ODE=.OE?OE=，即S△ODE隨OE的變化而變化，而四邊形ODBE的面積為定值，∴S△ODE≠S△BDE；所以②錯(cuò)誤；∵BD=CE，∴△BDE的周長(zhǎng)=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，當(dāng)OE⊥BC時(shí)，OE最小，△BDE的周長(zhǎng)最小，此時(shí)OE=，∴△BDE周長(zhǎng)的最小值=4+2=6，所以④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，最短路線問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系是解答的關(guān)鍵.4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，將射線繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)度（），得到射線，點(diǎn)M是點(diǎn)D關(guān)于射線的對(duì)稱點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，故此點(diǎn)M在以A圓心，以AD為半徑的圓上，故此當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值．【詳解】解：如圖所示：連接．∵四邊形為正方形，∴．∵點(diǎn)D與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱，∴．∴點(diǎn)M在以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓上．如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，有最小值．∴的最小值1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·北京東城·九年級(jí)北京二中校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為．【答案】/【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，然后求得最大值與最小值的差即可求解．【詳解】解：，，，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，如圖，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，且時(shí)，長(zhǎng)度最小，，，最小值為．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，且點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，長(zhǎng)度最大，則最大值為長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、圓的基本認(rèn)識(shí)，確定點(diǎn)的軌跡是本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，、，以為直徑作，射線交于、兩點(diǎn)，為弧的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．當(dāng)射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，的最小值為．【答案】/【分析】連接MD，如圖，利用垂徑定理得到MD⊥EF，則∠ODM=90°，再根據(jù)勾股定理得到點(diǎn)D在以A點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判斷當(dāng)D點(diǎn)為CA與⊙A的交點(diǎn)時(shí)，CD的值最小，此時(shí)CD=AC-2=．【詳解】解：連接MD，如圖，是的中點(diǎn)，∵D為EF的中點(diǎn)，∴MD⊥EF，∴∠ODM=90°，又，即，∴點(diǎn)D在以A點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，當(dāng)D點(diǎn)為CA與⊙A的交點(diǎn)時(shí)，CD的值最小，此時(shí)CD=AC-2=．即CD的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．7．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，和都是等邊三角形，，，固定，把繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，連接AD，BE，設(shè)AD，BE所在的直線交于點(diǎn)O，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，始終有，且的大小保持不變，這時(shí)點(diǎn)O到直線AB的最大距離為．【答案】【分析】證明△ACD≌△BCE(SAS)，作△ABC的外接圓⊙M，則當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離最大，最大距離為線段CF的長(zhǎng)，勾股定理求解即可【詳解】∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC,CD=CE，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠DCE，∴∠ACE＋∠DCE=∠ACE＋∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，則△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠ACB，作△ABC的外接圓⊙M，如圖：則點(diǎn)O在⊙OM上，作OF⊥AB于點(diǎn)F，則當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)O到直線AB的距離最大，最大距離為線段CF的長(zhǎng)，在Bt△ACF中，AF=BF=AB=3，CF=AF=3,即點(diǎn)O到直線AB的最大距離為3故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外心，作出輔助圓是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）四邊形和是正方形，直線交于點(diǎn)P．

(1)如圖1，點(diǎn)G在邊上，判斷線段和的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明；(2)如圖2，將正方形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角．①（1）中線段和的數(shù)量與位置關(guān)系是否仍成立？說(shuō)明理由；②若正方形的邊長(zhǎng)為，在正方形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P到直線的最大距離．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）證明和全等，可得，即可；（2）①證明設(shè)交于點(diǎn)I，則，和全等，可得，即可；②連接交于點(diǎn)O，作于點(diǎn)M，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再以點(diǎn)O為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，可得，從而得到點(diǎn)P在上的一段弧上運(yùn)動(dòng)，然后作于點(diǎn)H，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，可得四邊形是矩形，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：，證明如下：∵四邊形和是正方形，∴，，∴，∵點(diǎn)G在邊AB上，∴點(diǎn)E，A，D三點(diǎn)在同一條直線上，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①成立，理由如下：如圖，設(shè)交于點(diǎn)I，則，

∵四邊形和是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴；②如圖，連接交于點(diǎn)O，作于點(diǎn)M，

∵，∴，∵，且，∴，∴，以點(diǎn)O為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，∵，∴，∴點(diǎn)P在上的一段弧上運(yùn)動(dòng)，作于點(diǎn)H，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，即，∴的最大值為，即點(diǎn)P到直線的最大距離為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．【經(jīng)典題型七圓中的翻折最值問(wèn)題】1．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到△，連接，設(shè)的長(zhǎng)為，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先點(diǎn)是的中點(diǎn)，得，則點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，找到的最小和最大時(shí)的點(diǎn)，分別通過(guò)勾股定理求解即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，將沿所在直線翻折得到△，，點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)（如圖），此時(shí)即為最小值，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于，，，，，在中，由勾股定理得：，，當(dāng)與重合時(shí)，最大，此時(shí)，，在中，由勾股定理得：，當(dāng)與重合時(shí)，不存在，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，圓的定義等知識(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿翻折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，則線段長(zhǎng)的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】連接AD，以D為圓心，以CD為半徑畫圓，交AD于G，根據(jù)題意可知點(diǎn)F在上，當(dāng)G和F重合時(shí)AF有最小值，然后利用勾股定理計(jì)算長(zhǎng)度即可．【詳解】解：連接AD，以D為圓心，以CD為半徑畫圓，交AD于G，根據(jù)題意可知點(diǎn)F在上，當(dāng)G和F重合時(shí)AF有最小值，∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴,在Rt△ACD中，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和勾股定理，能夠找到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得的長(zhǎng)，再由翻折知，得點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最?。驹斀狻拷猓骸哒叫蔚倪呴L(zhǎng)為，∴，∵點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，連接，設(shè)，∵∴解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及輔助圓，確定當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長(zhǎng)度．4．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，以為折痕將翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段上一點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)可知點(diǎn)M在以為直徑的上，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接交于M，交于點(diǎn)Q，此時(shí)的值最小，為的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由折疊可知，，即，∴點(diǎn)M在以為直徑的上，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接交于M，交于點(diǎn)Q，此時(shí)的值最小，為的長(zhǎng)，∵在矩形中，，，∴，，∴，∴，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理以及圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，判斷出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，M是邊上的一點(diǎn)，且，N是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)M作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，再由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)在以M為圓心，為半徑的圓上，從而得到當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長(zhǎng)度有最小值，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)M作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接，菱形中，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵將沿所在直線翻折得到，∴，∴點(diǎn)在以M為圓心，為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長(zhǎng)度有最小值，∴長(zhǎng)度的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，找到當(dāng)點(diǎn)在上，的長(zhǎng)度最小，是解題的關(guān)鍵．6（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形紙片中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折，得到，則的長(zhǎng)的最小值是．【答案】8【分析】先由折疊可知，則可得點(diǎn)在以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上，然后結(jié)合已知條件求出、、的長(zhǎng)度，最后求出的長(zhǎng)的最小值．【詳解】解：由折疊可知，∴點(diǎn)在以為圓心，以的長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖，連接，交圓于點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)取最小值，∵，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的折疊問(wèn)題，以及構(gòu)造圓解決線段最值問(wèn)題．熟練掌握折疊的性質(zhì)，以及到定點(diǎn)等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓上，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典題型八阿氏圓求最值問(wèn)題（含相似證明）】1．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問(wèn)題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．2．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，則的最小值是．【答案】【分析】取點(diǎn)，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進(jìn)而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問(wèn)題得解．【詳解】解：如圖，取點(diǎn)，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（當(dāng)B、P、T三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．3．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)校考期末）如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，本題屬于動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題-“阿氏圓”模型，首先作于，作于，如圖所示，通過(guò)代換，將轉(zhuǎn)化為，得到當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值和最小值，分兩種情況，作出圖形，數(shù)形結(jié)合解直角三角形即可得到相應(yīng)最值，進(jìn)而得到取值范圍．【詳解】解：作于，作于，如圖所示：，，，，，，，，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大和最小，①連接，，，如圖1所示：可得：四邊形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②連接，，，如圖2所示：可得：四邊形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值模型-“阿氏圓”，難度較大，掌握解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題的方法，熟記相關(guān)幾何知識(shí)，尤其是圓的相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學(xué)校考二模）如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)到，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長(zhǎng)到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．5．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．【答案】5【分析】連接AC、AQ，先證明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，證明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．【詳解】解：如圖，連接AC、AQ，∵四邊形ABCD是正方形，PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝，cos∠PCQ＝，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，在AD上取AE＝1，∵，，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，連接CE，∴，∴DQ+CQ的最小值為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ，證明兩對(duì)相似三角形求解.7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)即可；②由，即可求出結(jié)果；③在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說(shuō)明當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．最后在中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可；④由，即可求出結(jié)果．【詳解】解：①如圖，在CB上取點(diǎn)D，使，連接CP、DP、AD．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；②∵，∴的最小值為；③如圖，在CA上取點(diǎn)E，使，連接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即為長(zhǎng)．∵在中，．∴的最小值為；④∵，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點(diǎn)共線時(shí)線段最短是解答本題的關(guān)鍵．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┛梢岳@點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BD＋AD的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或；（3）【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；（2）分兩種情況當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)，討論即可求解；（3）取AC的中點(diǎn)M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當(dāng)B，D，M共線時(shí)，BD+AD的值最小，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D，E在AB邊上時(shí)，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上時(shí)．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝，綜上所述，BD＋AD的值