專題15圓中最值問題專訓【九大題型】【題型目錄】題型一圓中的線段最值問題題型二圓中的線段之和最值問題題型三圓中的線段平方和最值問題題型四圓中的面積最值問題題型五圓中的周長最值問題題型六圓中的旋轉最值問題題型七圓中的翻折最值問題題型八阿氏圓求最值問題（含相似證明）題型九圓中的最值綜合問題【經典題型一圓中的線段最值問題】1．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，．點P是內部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值是（

）．

A．5 B． C． D．2．（2023·湖南衡陽·模擬預測）如圖，在中，，，以為圓心，為半徑作，為線段上動點從運動到，過作的切線，切點為，則的取值范圍是()

A． B． C． D．3．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？级＃┤鐖D，的半徑是5，點A是圓周上一定點，點B在上運動，且，，垂足為點C，連接，則的最小值是（）A． B． C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，正方形中，，點為邊上一個動點，連接，點為上一點，且，在上截取點使，交于點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，，，是內一動點，為的外接圓，交直線于點，交邊于點，若，則的最小值為．6．（2023·重慶·九年級統考學業(yè)考試）如圖，四邊形是矩形，，點是平面內的一個動點，連接，在運動的過程中，始終垂直于，將繞點順時針旋轉得到，連接，則的最大值為．

7．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知中，，則的最大值為．

8．（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）如圖，在矩形中，，連接，點是的中點，點是上一動點，連接，以為斜邊向下作等腰直角，連接，當的值最小時，的長為．

9．（2023·陜西咸陽·?？级＃締栴}提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心O到弦的距離為4，若的半徑為7，則上的點到弦的距離最大值為_______；【問題探究】（2）如圖②，在中，為邊上的高，若，求面積的最小值；【問題解決】（3）“雙減”是黨中央、國務院作出的重大決策部署，實施一年多來，工作進展平穩(wěn)，取得了階段性成效，為了進一步落實雙減政策，豐富學生的課余生活，某校擬建立一塊綜合實踐基地，如圖③，為基地的大致規(guī)劃示意圖，其中，平分交于點，點為上一點，學校計劃將四邊形部分修建為農業(yè)實踐基地，并沿鋪設一條人行走道，部分修建為興趣活動基地．根據規(guī)劃要求，米，．且農業(yè)實踐基地部分（四邊形）的面積應盡可能小，問四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由．

10．（2023·陜西西安·校考一模）（1）如圖1，的半徑為，，點為上任意一點，則的最小值為．（2）如圖2，已知矩形，點為上方一點，連接，作于點，點是的內心，求的度數．（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若矩形的邊長，，，求此時的最小值．【經典題型二圓中的線段之和最值問題】1．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，同一個圓中的兩條弦、相交于點．若，，則與長度之和的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是等腰的外接圓，為弧上一點，為的內心，過作，垂足為，若，則的值為（）

A． B． C． D．3．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，，，點，分別在，的另一邊上運動，并保持2，點在邊上，，點是的中點，若點為上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖北鄂州·八年級統考期中）如圖，矩形的邊，，為的中點，是矩形內部一動點，且滿足，為邊上的一個動點，連接，，則的最小值為．

5．（2023·福建泉州·統考模擬預測）如圖，點是正方形的內部一個動點（含邊界），且，點在上，，則以下結論：①的最小值為；②的最小值為；③；④的最小值為；正確的是．

6．（2023·四川·統考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F，設，則t的取值范圍是．

7．（2023·浙江嘉興·統考一模）平面直角坐標系中，的半徑為2，點M在上，點N在線段上，設，點P的坐標為，將點P沿方向平移2個單位，得到點，再將點作關于點N的對稱點Q，連接，當點M在上運動時，長度的最大值與最小值的差為．（用含t的式子表示）

8．（2023·陜西寶雞·統考一模）問題提出：（1）如圖1所示，已知A為上一點，P為外一點，若，的半徑為2，則的最小值為_________；問題探究：（2）如圖2所示，P為等邊三角形內一點，若，求的最小值；問題解決：（3）由于網購的方便與快捷，極大地促進了物流行業(yè)的發(fā)展，如圖3所示，一條半圓形公路連接著A，B兩座城市．物流公司沿半圓形公路在A，B兩地之間進行物流運送．點D為一輛等在半圓形公路上的物流車，隨時接收從外地運來的貨物以便及時送到A，B兩地．為了節(jié)約資金，提高物流中轉的效率，現需在這個區(qū)域內建一個物流中轉站P，要求物流中轉站P到A，B兩城市及半圓形公路上點D的距離之和最小，請幫物流公司求出這個距離和的最小值．

【經典題型三圓中的線段平方和最值問題】1．（2023·廣西·模擬預測）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓，是半圓上的動點，于點，于點，設，，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·全國·九年級期末）如圖，在正方形中，，以邊為直徑作半圓O，E是半圓O上的動點，于點F，于點P，設，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·浙江寧波·九年級校考期中）在中，若為邊的中點，則必有：成立．依據以上結論，解決如下問題：如圖，在矩形中，已知，，點在以半徑為的上運動，則的最大值為()A． B． C． D．4．（2022春·九年級課時練習）如圖，點，，均在坐標軸上，，過，，作，是上任意一點，連結，，則的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．5．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO＝BO＝CO＝1，過A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點，連結CE，BE，則的最大值是．6．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A（－1，0），點B（1，0），點M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點P是⊙M上一個動點，則PA2＋PB2的最大值為7．（2022·九年級單元測試）如圖，點、、均在坐標軸上，，過、、作，是上任意一點，連結，，則的最大值是．8．（2022秋·湖北黃岡·九年級校聯考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點是以為圓心，1為半徑的上的一個動點，已知，，連接，，則的最小值是．9．（2023秋·廣東廣州·九年級統考期末）在邊長為10的正方形中，以為直徑作半圓，圓心為，是半圓上一動點，過點作，垂足為，連接．(1)如圖1，若直線與圓相切，求線段的長；(2)求的最小值；(3)如圖2，若，求的最小值．【經典題型四圓中的面積最值問題】1．（2023春·江蘇常州·九年級常州實驗初中?？茧A段練習）點C是以為直徑的半圓O上的動點，D在上，且，點E、F、G分別是、、的中點．若，則的面積最大值為（

）A．2 B．3 C．6 D．92．（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校?？茧A段練習）如圖，中，，在的同側作正，正和正，則四邊形面積最大值是（

）A．1 B．2 C． D．3．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為4的與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，連接BC，已知x軸上一點，點Q是上一動點，連接，點M為的中點，連接，則面積的最小值為（）A． B． C．12 D．164．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，半徑為2的與軸的負半軸交于點，點是上一動點，點為弦的中點，直線與軸、軸分別交于點，，則面積的最小值為（）A．5 B．6 C． D．5．（2020·湖北武漢·統考模擬預測）如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（）A． B． C． D．6．（遼寧省部分學校2022-2023學年九年級上學期期末數學試題）在中（線段，，為定長），為線段上一動點，作，，的平分線，，，直線，交于點，點為直線上一點，且，當點移動到線段中點時，，，，，則當點從點向點的運動過程中，取最小值時，．7．（2023春·廣東廣州·九年級專題練習）如圖，在邊長為的正方形中，P是邊上一動點（不與點A，B重合），連接，過點B作交的延長線于點M，連接，過點A作交于點N，連接，，則面積的最小值為．8．（2023·河南安陽·統考二模）如圖，⊙O的半徑為2cm，弦，C是弦AB所對的優(yōu)弧上一個動點，則圖中陰影部分的面積之和的最小值是cm2．9．（2023·貴州黔東南·統考二模）如圖，在矩形中，，，點E是的中點，點F是上的動點，將矩形沿折疊，使點A落在點處，連接，，則面積的最小值為．10．（2020春·廣東廣州·九年級?？茧A段練習）如圖，在等腰中，，，為線段上一點，以為半徑作交于點．連接、，線段、、的中點分別為D、M、N．

(1)試探究是什么特殊三角形，說明理由．(2)將繞點O逆時針方向旋轉到如圖的位置，其結論是否仍然成立，并證明結論．

(3)設，把繞點O在平面內自由旋轉，求的面積y的最大值與最小值的差（用x表示）．11．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學校考三模）問題研究如圖1，是的中線，是邊上的高．(1)當，，時，________．(2)求證：．問題解決(3)某地為打造元宵節(jié)燈展景觀，需按如下要求設計一批燈展造型．如圖2，矩形是造型框架，以頂點為圓心懸掛圓形燈架（），以，為頂點釘兩個正方形展板（正方形和正方形），接合點點恰好在上．若，，的半徑為，求兩個正方形展板面積和的最小值．【經典題型五圓中的周長最值問題】1．（2023·山東臨沂·統考二模）如圖，在扇形中，平分交于點，點為半徑上一動點．若，則陰影部分周長的最小值為(

)

A． B． C． D．2．（2022春·九年級課時練習）如圖，∠MON=40°，以O為圓心，4為半徑作弧交OM于點A，交ON于點B，分別以點A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠MON的內部相交于點C，畫射線OC交于點D，E為OA上一動點，連接BE，DE，則陰影部分周長的最小值為（

）A． B． C． D．3．（2022·廣西河池·統考二模）如圖，AB是的直徑，AB＝10，點M在上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點，P是直徑AB上的一動點．若MN＝2，則△PMN周長的最小值為（）A．4 B．5 C．6 D．74．（2021秋·江蘇宿遷·九年級統考期中）如圖，正方形內接于⊙O，線段在對角線上運動．若⊙O的面積為，，則周長的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（2023·湖北咸寧·統考二模）如圖，正方形內接干圓，線段在對角線BD上運動，若圓O的面積為，，周長的最小值是．

【經典題型六圓中的旋轉最值問題】1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，三角形，三角形均為邊長為4的等邊三角形，點是、的中點，直線、相交于點，三角形繞點旋轉時，線段長的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022春·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學附屬初中校考期中）如圖，在中，，，正方形的邊長為2，將正方形繞點B旋轉一周，連接，點M為的中點，點N為的中點連接，則線段的最大值是（

）A．3 B．6 C． D．3．（2021·山東淄博·統考二模）如圖，等邊三角形的邊長為8，點是的內心，，繞點旋轉，分別交線段、于、兩點，連接，給出下列四個結論：①點也一定是的外心；②；③四邊形的面積始終等于；④周長的最小值為6．上述結論中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在邊長為1的正方形中，將射線繞點A按順時針方向旋轉度（），得到射線，點M是點D關于射線的對稱點，則線段長度的最小值為（）A． B． C． D．5．（2022秋·北京東城·九年級北京二中校聯考期末）如圖，在中，，，，點是邊的中點，將繞點C逆時針方向旋轉得到，點是邊上的一動點，則長度的最大值與最小值的差為．6．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，、，以為直徑作，射線交于、兩點，為弧的中點，為的中點．當射線繞點旋轉時，的最小值為．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，和都是等邊三角形，，，固定，把繞點C旋轉任意角度，連接AD，BE，設AD，BE所在的直線交于點O，則在旋轉過程中，始終有，且的大小保持不變，這時點O到直線AB的最大距離為．8．（2023春·山東煙臺·九年級統考期中）四邊形和是正方形，直線交于點P．

(1)如圖1，點G在邊上，判斷線段和的數量與位置關系，并證明；(2)如圖2，將正方形繞點A旋轉一個銳角．①（1）中線段和的數量與位置關系是否仍成立？說明理由；②若正方形的邊長為，在正方形的旋轉過程中，請直接寫出點P到直線的最大距離．【經典題型七圓中的翻折最值問題】1．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯考階段練習）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點，是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到△，連接，設的長為，則的范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點D是邊的中點，點E是邊上的任意一點（點E不與點B重合），沿翻折使點B落在點F處，連接，則線段長的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．3．（2023·河北·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，E是邊的中點，F是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接．當的長最小時，的長為（

）A． B．C． D．4．（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）如圖，四邊形為矩形，，，點P為邊上一點，以為折痕將翻折，點A的對應點為點，連接交于點M，點Q為線段上一點，連接，，則的最小值為．5．（2023·湖南長沙·模擬預測）如圖，在邊長為4的菱形中，，M是邊上的一點，且，N是邊上的一動點，將沿所在直線翻折得到，連接，則長度的最小值是．6（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習）如圖，在矩形紙片中，，，點是的中點，點是邊上的一個動點，將沿所在直線翻折，得到，則的長的最小值是．【經典題型八阿氏圓求最值問題（含相似證明）】1．（2023春·九年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．2．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內一動點，，連接、，則的最小值是．3．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖所示，，半徑為2的圓內切于．為圓上一動點，過點作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．4．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第十六中學校考二模）如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．5．（2022·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為．6．（2023秋·浙江溫州·九年級校考期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD內有一動點P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．7．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是．8．（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．9．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉動，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（