5-1頻率特性5-2典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性5-3頻域穩(wěn)定判據(jù)5-4

頻域穩(wěn)定裕度5-5

閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法1

頻率特性特點物理意義明確,系統(tǒng)或元件的頻率特性可以用分析法、實驗法確定，用圖解法分析；頻域穩(wěn)定性是根據(jù)開環(huán)特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，不必求閉環(huán)特征方程式；對于一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)，頻域指標和時域指標有固定的對應關(guān)系；對于高階系統(tǒng)，兩者存在近似關(guān)系；頻域設計可兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方面的要求；頻率分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可以應用于某些非線性系統(tǒng)。5-1頻率特性2

5-1-1頻率特性的基本概念(1)頻率特性的定義RC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)輸入正弦信號拉氏反變換，得電容端電壓輸出電壓瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量時，第一項趨于零，RC網(wǎng)絡的穩(wěn)態(tài)響應表示為RC網(wǎng)絡的微分方程RCi(t)u1(t)u2(t)輸出的穩(wěn)態(tài)響應與輸入是同頻率的正弦信號，輸出幅值和相角取決于頻率。輸入正弦信號與輸出穩(wěn)態(tài)分量關(guān)系圖輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入復數(shù)比穩(wěn)態(tài)輸出與輸入頻率相同，振幅和相角不同3

幅頻特性相頻特性實頻特性虛頻特性稱為系統(tǒng)的頻率特性，描述系統(tǒng)在正弦輸入時，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相角隨輸入頻率變化的規(guī)律。頻率特性表達式傳遞函數(shù)表達式即頻率特性的描述4

設系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，由勞斯判據(jù)知系統(tǒng)穩(wěn)定。給系統(tǒng)輸入一個幅值不變頻率不斷增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=4曲線如下:40不結(jié)論給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。5AB相角問題①穩(wěn)態(tài)輸出遲后于輸入的角度為：②該角度與ω有BA360oφ=AB③該角度與初始關(guān)系∴為φ(ω),角度無關(guān)∴,…6

(ω)大于零時稱相角超前，小于零時稱相角滯后。(2)頻率特性的物理意義幅值A()隨著頻率升高而衰減。例:低頻信號高頻信號頻率特性反映了系統(tǒng)的內(nèi)在性質(zhì),與外界因素無關(guān)!!頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性。7

設系統(tǒng)穩(wěn)定，正弦輸入時的輸出為：∵系統(tǒng)穩(wěn)定，∴(3)頻率特性的推導:求拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出待定系數(shù)8

頻率特性也是描述系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學模型，頻率響應法從頻率特性出發(fā)研究系統(tǒng)。系統(tǒng)對不同頻率輸入信號在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性；幅頻特性相頻特性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出對不同頻率輸入信號的相位滯后（或超前）特性。理論上可將頻率特性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)，但是不穩(wěn)定系統(tǒng)的瞬態(tài)分量不會消失，瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量始終同時存在，不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性觀察不到。穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，正弦信號的作用下輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是正弦信號，和輸入頻率相同;

振幅與輸入信號振幅之比為幅頻特性；相位與輸入信號相位差為相頻特性。

輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復數(shù)比得頻率特性。三種數(shù)學模型的關(guān)系如圖9

頻率特性分析設計系統(tǒng)用幾何曲線表示，這些曲線有：5-1-2頻率特性的幾何表示幅相頻率特性曲線對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅相特性曲線10

為變量，幅值和相角表示在同一復數(shù)平面圖上，時，向量的端點在復平面上的運動軌跡即的幅相頻率特性曲線。繪制幅相特性曲線有兩種方法對每一個值計算幅值和相角，然后將這些點連成光滑曲線；對每一個值計算，

然后連接成光滑曲線。圖示是慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線，為半圓。正實軸方向相角為零度線，逆時針方向正角度，順時針方向負角度。曲線上標注增大的方向。1.幅相頻率特性曲線：簡稱幅相曲線（奈氏曲線、極坐標圖）11例題例試繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線：

解：該開環(huán)系統(tǒng)由三個典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，它們的幅、相頻率特性分別為：

因而開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性，相頻特性：12在MATLAB中，有專門的函數(shù)用于繪制開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖：Nyquist。

g=tf(10,conv([1,1],[0.1,1]))Transferfunction:10-------------------0.1s^2+1.1s+1nyquist(g)

13

2．對數(shù)頻率特性曲線（對數(shù)坐標圖或伯德圖）包括對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線。頻率特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性定義：橫坐標是頻率，采用對數(shù)分度，單位是[rad/s]。對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標為對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是[dB]。對數(shù)相頻特性曲線的縱坐標為相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是[°]。繪制伯德圖時需要用半對數(shù)坐標紙。兩張圖的縱坐標均按線性分度，橫坐標是角頻率

，常用lg

分度。幅值相乘變?yōu)橄嗉樱喕鲌D。14對數(shù)坐標系對數(shù)坐標系

橫坐標采用lg

的對數(shù)坐標分度對于擴展頻率特性的低頻段，壓縮高頻段十分有效。在以分度的橫坐標上，1到10的距離等于10到100的距離，這個距離表示十倍頻程，用符號dec表示。對數(shù)幅頻特性的“斜率”一般用分貝/十倍頻（dB/dec）表示。對數(shù)坐標圖又稱伯德圖或Bode圖。

15對數(shù)頻率特性曲線ω與lgω的關(guān)系：ω

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Lgω0

0.3010

0.477

0.602

0.699

0.778

0.845

0.903

0.954

116對數(shù)頻率特性曲線對數(shù)幅頻、相頻特性曲線的優(yōu)點：1、在有限的坐標區(qū)域內(nèi)表示廣闊的頻率范圍2、將幅值的乘除運算化為加減運算，如：17對數(shù)坐標系3.對數(shù)幅相特性曲線（尼科爾斯圖）它是將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性合起來繪制成一條曲線，橫坐標為∠G(jω)，縱坐標為20lg|G(jω)|，頻率ω為參變量。18比例環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)重點熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性及幾何圖形。典型環(huán)節(jié)：一個復雜的系統(tǒng)總可以分解成幾個典型環(huán)節(jié)的組合。典型環(huán)節(jié)分為兩大類：1、最小相位環(huán)節(jié)：其開環(huán)零、極點在左半s平面2、非最小相位環(huán)節(jié)：在右半s平面存在零、極點19

典型環(huán)節(jié)零極點分布圖G(s)=sG(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+11j0微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)一階微分二階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)G(s)=T2s2+2ξTs+11G(s)=KG(s)=T2s2+2

Ts+120

典型環(huán)節(jié)零極點分布圖-Ts+11G(s)=-Ts+1G(s)=T2s2-2ξTs+1G(s)=G(s)=T2s2-2ξTs+11j0G(s)=K21

幅相特性G(s)=K(1)比例環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性與頻率ω無關(guān)。是實軸上的一個點，坐標為（k，j0）。K>1時，分貝數(shù)為正；K<1時，分貝數(shù)為負。對數(shù)幅頻曲線升高或降低,相頻曲線不變改變K

22

幅相曲線一個負的純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]0矢量的模隨著ω的增大而減小G(s)=s1(2)積分環(huán)節(jié)23①G(s)=1s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20dB/dec][-20dB/dec][-20dB/dec]②G(s)=10s1③

G(s)=5s90000-900相角均為-900是一條直線，斜率-20dB/dec積分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線24

對數(shù)曲線求斜率ωL(ω)dB0dBabLaLbωaωb斜率=對邊鄰邊=La-Lbωa-ωb×lg

ωa-lg

ωb25

例5.1求截止頻率ωcωc=0.4L(ω)dBω0dB-7.96-21.94ωc15斜率=-7.96lg1∵ω=1時,得：–(-21.94)–lg5L(1)=-7.96，再用一次斜率公式：26

幅相曲線G(s)=s一個純虛矢量jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01234矢量的模隨著ω的增大而增大(3)微分環(huán)節(jié)27①G(s)=s100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[+20dB/dec][+20dB/dec]微分環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線②G(s)=2s③G(s)=0.1s相角均為900[+20dB/dec]90000-900是一條直線，斜率+20dB/dec28

(4)慣性環(huán)節(jié)0.25ω2+1A(ω)=1φ(ω)=-tg-10.5ωj01Im[G(jω)]Re[G(jω)]ω00.51245820φo(ω)A(ω)01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.-68.2-76-840.450.370.240.05幅相曲線(T=0.5)29

證明:頻率特性分解為實部和虛部慣性環(huán)節(jié)的幅相特性曲線為半圓G(jω)=U(ω)+jV(ω)即配方后30

慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻漸近曲線的分析0分貝水平線低頻漸近線斜率[-20dB/dec]的斜線高頻漸近線ω=1/T為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率31①G(s)=10.5s+1②G(s)=100s+5100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100慣性環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性曲線[-20][-20]26dB0o-30o-45o-60o-90oω=1/T為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率交接頻率ω=5交接頻率ω=24段直線方程怎么求得？32

用漸近線的方式表示幅頻特性,必然存在誤差。最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為利用誤差曲線對近似曲線修正即得精確曲線。（圖示誤差曲線）33

幅相曲線實部恒為1，虛部隨ω增大而增大的矢量矢量的模隨著ω的增大從1變化到無窮G(s)=Ts+1jIm[G(jω)]Re[G(jω)]012341(5)一階微分34①G(s)=0.5s+1L(ω)dB100.2210.1ω0dB2040-40-20201000o+30o+45o+60o+90o[+20]ω=1/T為一階微分環(huán)節(jié)的交接頻率與慣性環(huán)節(jié)以橫軸互為鏡像對稱一階微分對數(shù)頻率特性曲線交接頻率ω=235

(6)振蕩環(huán)節(jié)(0<ξ<0.707)出現(xiàn)諧振，ωr、Mr為諧振頻率和諧振峰值得令,0d)(dA=ww360j1幅相曲線（Nyquist曲線）37

曲線與虛軸交點坐標為；頻率為ωn，諧振峰值ζ越小，ωr越接近ωn，Mr越大；當ζ→0時，ωr趨于ωn，Mr趨于無窮大。諧振頻率ζ較小時，幅頻特性出現(xiàn)諧振峰值，(0<ξ<0.707)ζ越小，曲線與虛軸交點的幅值越大，即38振蕩環(huán)節(jié)L(ω)100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-40]-90o0o-180oφ

(ω)o39

較小時，在ω=ωn附近，A(ω)出現(xiàn)峰值，即產(chǎn)生諧振。出現(xiàn)諧振的條件是

0.707諧振峰值Mr對應的頻率為諧振頻率ωr。40

幅相曲線矢量的虛部始終為正Tω<1時，實部為正，矢量在第一象限Tω＝1時，實部為零，矢量在正虛軸上Tω>1時，實部為負，矢量在第二象限jIm[G(jω)]Re[G(jω)]01(7)二階微分G(s)=T2s2+2ξTs+141

二階微分的對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻漸近曲線0dBL(ω)dB[+40]ωn0<ξ<0.707時有峰值：42

對數(shù)坐標圖的對比

(dB)101/T

10ω

0.11/T

040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω20-40二階微分與振蕩環(huán)節(jié)1/jω和jωω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jω積分與微分環(huán)節(jié)ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T