熱能與動力工程測試技術(shù)上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院王剛§2.測量誤差與數(shù)據(jù)處理§2.1概述測量的目的求出物理量的真值測量過程中各種因素測量數(shù)據(jù)有誤差測量過程都是某人、在一定環(huán)境條件下，使用一定的儀器進行的。1、由于測量儀器的結(jié)構(gòu)不可能完美無缺；2、觀測者的操作、調(diào)整和讀數(shù)也不可能完全準確；3、環(huán)境條件的變化（如溫度的波動、振動、電磁輻射的隨機變化）；4、理論的近似性等等，對一個物理量進行n次測量，獲得了n個測量值

謂之測定值，那么，每次測量后測定值所包含的誤差為：┆不能：用n個方程求n+1個未知數(shù)，不能求出真值X。可以：在給定條件下，找出測定值與真值間誤差的分布規(guī)律，從而由一組測定值中確定一個所謂的最優(yōu)概值，用它來代表我們要測的物理量，隨后對這—最優(yōu)概值的精確度做出估計。這個過程稱之為數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理的目的和過程就是使隨機誤差對最終結(jié)果的影響減至最小。①約定真值：世界各國公認的幾何量和物理量的最高基準的量值③相對真值：標準儀器的測得值或用來作為測量標準用的標準器的值、高一級精度儀表的測量值。約定真值是具有不確定度如砝碼、秤。如：公制熱力學(xué)溫度基準：開(K)

約定１Ｋ是水處于三相點時溫度值的1/273.16。約定公制長度基準：米（m）m=1650763.73

---氪-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長②理論真值：設(shè)計時給定或用數(shù)學(xué)、物理公式計算出的給定值。如三角形內(nèi)角之和為180度。

對同一測量對象，誤差的絕對值越小，測量值就越好。而對不同的測量對象，就不能只憑誤差來評判測量結(jié)果的優(yōu)劣。例如，分別測量一個長方形的長和寬，若以米尺測量，誤差都是0.5mm，那么前者的結(jié)果比后者好。因此，在這種情況下，需用相對誤差來說明測量精確度的高低。相對誤差為絕對誤差與真值之比，用百分率表示：相對誤差=絕對誤差÷真值×100%當絕對誤差很小時可以用以下近似式：相對誤差≈絕對誤差÷測量結(jié)果（真值的最佳估計值）×100%用符號表示：引用誤差

引用誤差

在多檔和連續(xù)刻度的儀表中，因為各檔示值和對應(yīng)真值都不一樣，這時若按上式計算相對誤差，所用的分母也不一樣，故很麻煩。為方便計算，又定義了引用誤差，這是一種簡化和實用方便的相對誤差。其分母一律取儀表滿量程的最大刻度值（滿刻度值），用M表示；其分子為在測量范圍內(nèi)產(chǎn)生的最大絕對誤差，用Δ表示；用δf表示引用誤差。其表達式為2.1.2、測量數(shù)據(jù)的處理

數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是對測量所獲得的一系列數(shù)據(jù)進行深入的分析，以便得到各參數(shù)之間的關(guān)系，有時還需要用到數(shù)學(xué)解析的方法，推導(dǎo)出各參量之間的函數(shù)關(guān)系。通過數(shù)據(jù)處理可以確定并表示出輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，從而揭示事物的本質(zhì)及事物之間的內(nèi)在聯(lián)系。2、誤差來源

分析誤差來源是測量誤差分析的重要環(huán)境，只有知道了誤差源才能消除或減少測量誤差。主要有以下四種誤差源。1)、設(shè)備裝置誤差①標準器誤差②儀器儀表誤差③輔助設(shè)備和附件誤差2)、環(huán)境誤差環(huán)境條件（溫度、濕度、氣壓、振動等）與標準狀態(tài)不一致，引起測量裝置和被測量本身的變化所造成的誤差。3)、方法和理論誤差由于所采用的測量原理或者測量方法本身的近似、不嚴格、不完備所產(chǎn)生的測量誤差。電流表外接電流表內(nèi)接4)、人員誤差

操作人員視覺、讀數(shù)誤差、經(jīng)驗、熟練程度、精神方面原因（疲勞）3、誤差的分類

系統(tǒng)誤差（Systemerror）

是被測量的數(shù)學(xué)期望與真值之差(數(shù)學(xué)期望是無限多次測量結(jié)果的平均值），表示測量結(jié)果偏離真值的程度。由特定原因引起、具有一定因果關(guān)系并按確定規(guī)律產(chǎn)生，如裝置、環(huán)境、動力源變化、人為因素。

再現(xiàn)性

---偏差（Deviation）理論分析/實驗驗證---原因和規(guī)律---減少/消除3、誤差的分類

隨機誤差（Randomerror）是測量值與數(shù)學(xué)期望之差。它是同一條件下多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號以不可預(yù)測的規(guī)律隨機變化的誤差，表示測量結(jié)果分散性的程度。

因許多不確定性因素而隨機發(fā)生

偶然性（不明確、無規(guī)律）概率和統(tǒng)計性處理（無法消除/修正）3、誤差的分類

粗大誤差（Abnormalerror）是明顯歪曲測量結(jié)果的誤差。它一般是由測量者的主觀原因引起，或由于測量條件以外地改變以引起的誤差均屬粗大誤差。發(fā)現(xiàn)粗大誤差就要立即剔除。

p

X0

xix

真值期望值測量值系統(tǒng)誤差隨機誤差§2.2隨機誤差的估計2.2.1測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計處理一、頻率分布直方圖與經(jīng)驗分布曲線的建立

用同一個儀器對同一對象在相同條件下進行多次測量，其結(jié)果總是各不相同的，例如對某處于穩(wěn)定工作狀況下運行的透平機械進行測量，發(fā)現(xiàn)其轉(zhuǎn)速是在某一區(qū)間波動的，現(xiàn)在以同一工況下50次測量中所獲取的數(shù)據(jù)作一分析。4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34757.34754.14751.24752.34748.44752.54754.74750.04751.04752.34751.84750.64754.54752.44751.64747.94748.34753.44755.54752.74749.14753.24751.94755.44755.64750.24756.74755.14752.04751.14752.64753.64749.14755.64754.04753.94752.84754.54753.7例2-1

透平機械同一穩(wěn)定工況下對其轉(zhuǎn)速進行多次測量，得到的結(jié)果如下：(單位是轉(zhuǎn)/分)問題1、在這些數(shù)據(jù)中究竟哪一個數(shù)據(jù)是最可信賴的？也就是說被測量的物理量的真值最大可能是什么？2、能不能以99%的把握斷定真值在哪一個數(shù)據(jù)區(qū)間中?數(shù)據(jù)的特點1、隨機性：在等精度的測量條件下，測定值互不相等，呈現(xiàn)波動狀態(tài)，這就是數(shù)據(jù)的隨機性.2、規(guī)律性：測定值皆在4747.0到4758.0之間,范圍并不大,并且落在4750.0到4754.0之間的次數(shù)很多,而落在這一區(qū)間以外的數(shù)據(jù)卻很少，這種在數(shù)值上的有界性和中間大兩頭小的單峰性規(guī)律在被測量技術(shù)中是普遍存在的.有關(guān)名詞與概念

我們將所研究對象的單個測量值稱為個體，全部測量值稱為母體(所有可能出現(xiàn)的值)，母體中的一部分稱為子樣，子樣中所包含的個體數(shù)目稱為子樣容量。隨機變量:在隨機因素的作用下用等精度測量法對同一對象進行多次測量以后可以發(fā)現(xiàn),每一次測量結(jié)果各不相同,我們把這些具有數(shù)值變化而事先又無法確定的測定值用ξ來表示。當測量次數(shù)無限增加，對于任何一個實數(shù)x，當ξ<x時，ξ在全部測量值中出現(xiàn)的次數(shù)有確定的概率，我們稱這樣的測定值ξ為隨機變量。如果隨機變量ξ的取值可以是數(shù)軸上某一區(qū)間的任意數(shù)值，則稱ξ為連續(xù)型隨機變量。不難理解隨機誤差也是隨機變量。在實際工作中，我們經(jīng)常將這些本質(zhì)上是連續(xù)變化的測定值離散化。例如我們決不會將U型管壓力計的讀數(shù)讀成

米(雖然它在一脈動過程中是確實存在過的)，也不能對五位數(shù)字顯示的儀表中讀出六位或七位的讀數(shù)。因此，在實際工作中，測定值以及測量誤差所表現(xiàn)出來的數(shù)據(jù)一般都是離散型隨機變量。測量值隨機變化分布規(guī)律研究方法(1)對所研究的子樣，找出最大值和最小值；本例中最大值是4757.5，而最小值為4747.9(2)決定組距和組數(shù)：在子樣容量較大時，組數(shù)分得多些，組距可小一些，通?？煞譃?0～20組。子樣容量小時，可適當少分幾組。組距可以等分也可以不等分，一般來說，分組應(yīng)突出子樣的特點并沖淡子樣的隨機波動為原則。在本例中將數(shù)據(jù)分為11組，組距為1.0。(3)決定分點：通常應(yīng)使分點比原測量精度高一位，并避免個體數(shù)據(jù)恰好落在分點上。例如本例中可分成如下十一組：4747.05～4748.05，474.05～749.05，……

4756.05～4757.05，4757.05～4758.05(4)計算出各組頻數(shù)：用唱票的辦法數(shù)出落在各組的數(shù)目，稱為頻數(shù)。各組頻數(shù)與子樣容量之比稱為頻率。(5)計算出測定值最小的組至最大組的累積頻數(shù)和累積頻率(6)編制測定值子樣的頻數(shù)、頻率分布表，繪制頻數(shù)分布直方圖；(7)繪制累積頻率分布圖，這種分布也稱經(jīng)驗分布。表2-1頻數(shù)、頻率分布表頻率分布直方圖與累積頻率分布（經(jīng)驗分布）圖頻數(shù)分布直方圖累積頻率分布圖，也稱經(jīng)驗分布頻數(shù)(頻率)分布直方圖和累積頻率分布圖都是研究測定值數(shù)據(jù)規(guī)律性的重要工具。1、用同樣的儀表及測量手段再測量50次，再作一次上述的數(shù)據(jù)整理工作

發(fā)現(xiàn)它與第一次的數(shù)據(jù)會有若干差異；2、將這二組數(shù)據(jù)混在一起，組成了容量為

的子樣，用它得出的子樣頻數(shù)(頻率)分布直方圖及累積頻率分布

又與前兩組不同；3逐步增加子樣的容量并相應(yīng)地加大組數(shù)后，

各組的頻率將逐步以某確定的數(shù)值穩(wěn)定下來，直方圖的也逐漸趨向于一條曲線。4、當子樣容量趨于無窮大，測定值將連續(xù)地充滿數(shù)軸的某一區(qū)間，

這時各組的頻率可任意地接近于某一定值，此值即稱為概率；而頻率的直方圖將演變?yōu)橐还饣€，稱之為分布密度曲線，如果表達為函數(shù)則稱為分布密度函數(shù)，用f(x)來表示。同樣，對于經(jīng)驗分布和函數(shù)Fn(x)，當子樣容量趨于無窮大時趨向于母體的理論分布曲線和理論分布函數(shù)F(x)．

圖2-3當子樣容量限增大時，頻率直方圖和經(jīng)驗分布的演變a)頻率直方圖b）累積頻率分布(經(jīng)驗分布)直方圖人們對不同的測量對象在等精度測量條件下作了大量的試驗，通過對各測定值的統(tǒng)計及分析，繪制了大量頻率直方圖后發(fā)現(xiàn)：盡管在子樣容量較小時直方圖差別很大，但隨著子樣的增加，最終的分布密度曲線的形狀將趨于一個共同的規(guī)律:1、分布密度曲線都有一個峰值，而且此峰值一般都落在該隨機變量散布區(qū)間的中心。2、而各條分布密度曲線的差異卻在于密集程度不同，有的隨機變量在中心部分集中度高，有的卻比較分散。為了衡量測定值數(shù)據(jù)的密集程度，引入兩個常用的概念：子樣平均值:把子樣數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值看作子樣散布的中心子樣方差：它是一個描述在子樣平均值附近散布程度的參數(shù)二、隨機誤差分布的性質(zhì)對大量測定值進行分析研究，并建立了直方圖以后，逐漸通過子樣認識了母體，同時對含有隨機誤差的測定值分布規(guī)律進行了總結(jié)，它大體上有如下一些性質(zhì):(一)有界性：觀察子樣發(fā)現(xiàn)，不論子樣容量有多大，測定值總是在一定的、相當窄的范圍內(nèi)變動，故而隨機誤差也總是在一定的、相當窄的范圍內(nèi)變動的。由于測量的精確度不一，測定值的隨機誤差也會不一樣，但無論如何它是有界的。(二)對稱性：當子樣容量足夠大后就可發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)正的誤差和負誤差的次數(shù)大致相等；更確切地說，絕對值相等但符號相反的誤差以同樣的頻率出現(xiàn)。在概率密度曲線上這樣的性質(zhì)就表現(xiàn)出它的對稱性。對稱軸x=m的m是母體各元素的算術(shù)平均值，它隨容量的增加而逐漸地逼近其真值，當子樣容量趨于無窮大時，它就代表著測量對象的真值。(三)補償性:在等精度測量的條件下，全部隨機誤差的算術(shù)平均值在子樣容量為無窮大時趨于零。(四)單峰性：隨機誤差非但是有界的，而且具有單峰性，也就是說，誤差的絕對值越小，其出現(xiàn)的頻率就越大，測量值等于其算術(shù)平均值(或說隨機誤差為零)時出現(xiàn)的概率為最大，這就是概率密度曲線的單峰性。以上四點性質(zhì)都是從大量的觀察統(tǒng)計中得到的，已經(jīng)獲得了公認，因此也稱為隨機誤差分布的公理。在這幾點性質(zhì)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出正態(tài)分布函數(shù)，并發(fā)展了誤差理論。2.2.2隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律一、正態(tài)分布密度函數(shù)分析結(jié)果表明，當觀測次數(shù)很多時，隨機誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。當觀測次數(shù)n無限增多(n→∞)、誤差區(qū)間d

無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線,這條曲線稱為“正態(tài)分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以隨機誤差具有正態(tài)分布的特性。根據(jù)誤差分布的四點性質(zhì)及概率論原理推導(dǎo)出正態(tài)分布函數(shù)參見書P17二、正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布具有和誤差分布相同的四點性質(zhì)測量數(shù)據(jù)直方圖(頻率直方圖,經(jīng)驗分布直方圖)概率論原理分布密度曲線、分布密度函數(shù)f(x)隨機誤差分布四個性質(zhì)理論分布曲線、理論分布函數(shù)F(x)(有界性、單峰性、對稱性、補償性)正態(tài)分布函數(shù)推導(dǎo)數(shù)據(jù)量無窮大誤差，不知測量值數(shù)學(xué)期望值（平均值）

標準誤差當m和σ確定后，曲線的形狀就確定了。所以m和σ是決定正態(tài)分布的兩個特征參數(shù)。在概率論和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，它們都是隨機變量的數(shù)字特征。其中m表示隨機變量的集中位置，而σ表示隨機變量的分散程度。上式可簡寫為：n(x；m，σ)。其中n表示正態(tài)分布，注意“；”正態(tài)分布的平均值與真值當樣本數(shù)為無窮大時，樣本數(shù)的數(shù)學(xué)期望（平均值）是真值的最佳估計值X0是真值滿足歸一化條件可以證明：0總面積=1正態(tài)分布特點總面積=1三、正態(tài)分布表及其應(yīng)用考慮特殊情況，令m=0，σ=1，n(t；0，1)稱為標準正態(tài)分布密度函數(shù)。將正態(tài)分布密度函數(shù)積分，得到正態(tài)分布函數(shù)N(x；m，σ)；同理，令m=0，σ=1，得到N(t；0，1)稱為標準正態(tài)分布函數(shù)。由于標準正態(tài)分布函數(shù)廣泛應(yīng)用于誤差理論中，所以已將函數(shù)制成表格(附表一、二）。標準正態(tài)分布密度函數(shù)與分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：（一）（二）對于非標準正態(tài)分布n(x；m，σ)及N(x；m，σ)，則可先進行標準化，然后用標準正態(tài)分布表來求取。例2-2，2-3，2-4查表為：0.9332=N(1;0,1)-N(-1;0,1)=N(1;0,1)-(1-N(1;0,1))=2N(1;0,1)-1=2*0.8413-1=0.6826x-m=σ,N(σ/σ;0,1)x-m=-σ,N(-σ/σ;0,1)問2.2.4隨機誤差的估計前面正態(tài)分布公式中的m，σ都是母體分布的特征量，都是子樣容量為無窮大時的理論值。測量次數(shù)總是有限的，如何通過有限次的測量所獲得的測定值來估計被測量的真值及其誤差范圍，這是誤差理論所要解決的問題一、參數(shù)的點估計參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計。通過子樣測量值計算出子樣的特征量，并根據(jù)子樣特征量對母體特征量進行估計稱為點估計。為了把某一統(tǒng)計量作為未知母體分布參數(shù)的估計值，我們還希望這個估計值的數(shù)學(xué)期望就等于該未知母體參數(shù)，具有這種性質(zhì)的估計值叫做母體參數(shù)的無偏估計（值）。協(xié)調(diào)估計值并不一定等于無偏估計值。無偏估計值可以用下式表示：（一）子樣平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望這說明子樣平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望就等于母體的數(shù)學(xué)期望，對于測定值ξ這個隨機變量，子樣平均數(shù)的數(shù)學(xué)期望就等于母體的平均數(shù)m，所以最優(yōu)概值是母體平均數(shù)m的無偏估計。n組或無窮組子樣平均值的平均值某一組子樣的平均值母體的數(shù)學(xué)期望，即這個隨機變量所有值的平均值（二）子樣平均數(shù)方差這說明子樣平均數(shù)的方差并不等于母體的方差，而只是它的1/n倍。這一結(jié)論可以推廣到等精度測量條件下，對測量對象進行多次測量所獲得結(jié)果的平均值要比單次測量所獲結(jié)果精確的多。平均值的標準差平均值作為期望值的最佳估計值多組數(shù)據(jù)的平均值也是隨機變量，符合正態(tài)分布其標準差為：測量次數(shù)n越多，平均值標準差越小。n超過一定數(shù)值后，（1）標準差的減小明顯慢了下來（2）測量工作量大量增加，帶來新的誤差一般根據(jù)情況，選擇4-20次（三）子樣最大或然方差的數(shù)學(xué)期望研究它的數(shù)學(xué)期望子樣平均值其數(shù)學(xué)期望由方差的定義應(yīng)該為nn-1二、參數(shù)的區(qū)間估計點估計是用一個數(shù)去估計未知參數(shù)。區(qū)間估計就是用一個區(qū)間估計未知數(shù)，即把未知數(shù)估計在某兩個界限之間，并且還要知道未知數(shù)落在這個區(qū)間的可靠性有多少。如一個人的年齡95%可能是30-35歲之間。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的區(qū)間估計，就是要用有確切意義的數(shù)字表達某個未知母體參數(shù)落在一定區(qū)間內(nèi)的“肯定程度”。下面用一個簡單的數(shù)字例子說明區(qū)間估計的原理和方法求95%的置信區(qū)間步驟計算平均值平均值符合正態(tài)分布正態(tài)分布標準化查表求95%概率區(qū)間如果以

代入可得

從表面看來，最后上式的意義是m落在

區(qū)間的概率為95％，但這是毫無意義的，因為m是母體平均數(shù)，是一個確切的數(shù)值，我們不能說它落在某區(qū)間的概率是多少，事實上既然括號內(nèi)已沒有任何隨機的東西，當然就沒有什么概率可言了。應(yīng)該這樣理解，進行多次抽樣，可得到多個不同的xm±2.94這個區(qū)間，95%的x落在這個區(qū)間有95%的x±2.94這個區(qū)間包含m問題是本身是隨機變量，故區(qū)間也是隨機的，我們可以把它寫成：本例中

95%并不表示通常所理解的概率，而只是表示我們對某區(qū)間包含著m這一事實的置信程度，稱之為置信度或置信概率。見書P29詳細說明三、測量結(jié)果的表示測量結(jié)果=子樣平均值±置信區(qū)間半長（置信度1-a）我們所說的測量結(jié)果必須理解為在一定置信度下，以子樣平均值為中心，而以置信區(qū)間半長為界限的量一般把置信區(qū)間取為σ的若干倍，

Δ=±kσk:置信因子/置信系數(shù)當k=1時，置信區(qū)間為Δ=±σ，置信概率為68.3%當k=2時，置信區(qū)間為Δ=±2σ，置信概率為95.4%當k=3時，置信區(qū)間為Δ=±3σ，置信概率為99.7%當以子樣進行估計母體參數(shù)時，用子樣標準差替代母體標準差σ注意！上述的討論是在正態(tài)分布的理論推演出來的，如果子樣容量很小，它并不符合正態(tài)分布例2-5

透平機械同一穩(wěn)定工況下對其轉(zhuǎn)速進行多次測量，其結(jié)果如下(轉(zhuǎn)/分)4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74750.04751.04752.34751.84750.64752.54752.44751.64747.94748.34753.44753.54752.74749.14753.24751.94753.44755.64750.24756.74752.14752.04751.14752.64753.64749.14755.64754.04753.94752.84754.54753.7實際上這個不用算應(yīng)該為nn-12.2.3小子樣誤差分析--t分布測量次數(shù)趨于無窮只是一種理想情況，這時物理量的概率密度服從正態(tài)分布。當次數(shù)減少時，概率密度曲線變得平坦（如圖），成為t分布,也叫學(xué)生分布（英國數(shù)理統(tǒng)計師科薩特提出）對有限次測量的結(jié)果，要保持與無窮次測量同樣的置信概率，即概率分布曲線下相等的面積，顯然要擴大置信區(qū)間，把隨機誤差乘以一個大于1的因子t。t因子與測量次數(shù)(自由度ν)和置信概率密度有關(guān)。t分布與正態(tài)分布圖

t

分布只取決于子樣容量n或自由度γ（γ

＝n－1)而與母體標準誤差σ無關(guān)。它也具有對稱性，與正態(tài)分布相比，

t分布的中心值比較小，而分散度比較大。γ越小，中心值越低，分散度越大。當γ大于等于30時，

t分布趨于正態(tài)分布。當子樣數(shù)≦30時，誤差限一般表示為:⊿＝±tσ，

t值取決于自由度v和置信概率Pvpvp0.990.950.990.9544.62.78142.982.1454.032.57162.922.1263.712.45182.882.1073.502.36202.852.0983.362.31302.752.0493.252.26402.702.02103.172.23602.662.00123.052.18∞2.581.96正態(tài)分布與t分布對比:1、當置信區(qū)間一定時,正態(tài)分布的置信概率比t分布的大;2、當置信概率一定時,正態(tài)分布的置信區(qū)間比t分布的小.3、從另一角度來說就是當用正態(tài)分布來估計小子樣時,往往得到太好的結(jié)果.應(yīng)該是附表32.3疏忽誤差疏忽誤差又稱粗大誤差(粗差)，它是由于疏忽所引起的，1、測量試驗人員的不正確行為(讀數(shù)看錯、偶然碰動儀表等等)，2、外界因素發(fā)生突然變動(如電源電壓突然大幅度波動)等等。測量值-平均值2.3.1拉伊特方法判斷疏忽誤差最簡單的方法莫過于應(yīng)用拉伊特方法，也稱判斷粗差的拉伊特準則。它可敘述如下：如果測量列的殘差列中有一個殘差，那么可以認為存在有疏忽誤差，因而含有這一突出殘差的數(shù)據(jù)可以刪去；如果不立即刪去，也無論如何要對整個測量列數(shù)據(jù)進行研究，以期找到存在疏忽誤差的可能性。拉伊特方法的根據(jù)是偶然誤差這個隨機變量適用于正態(tài)分布，而誤差大于的概率是極小的，因之反過來說，大于的誤差已不屬于隨機誤差的范圍，顯然，這就是該剔除的疏忽誤差了。剔除了最大的超過的數(shù)據(jù)以后，應(yīng)該重新計算其余子樣平均值，第二次計算測量列的標準誤差，再一次判斷數(shù)據(jù)中有無超過者，這一過程一直到所有數(shù)據(jù)全在所允許的范圍中為止。大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)證明，由于—般工程實驗的測量數(shù)據(jù)(子樣容量)比較少，按正態(tài)分布理論為基礎(chǔ)的拉伊特方法不太準確。而且由于所取界限太寬，容易混入該剔除的數(shù)據(jù)，故目前國內(nèi)外都推薦采用以分布為基礎(chǔ)的格拉布斯(Grubbs)方法。2.3.2、格拉布斯方法格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計理論計算出按危險率及子樣容量求得的格拉布斯標準用表，若子樣某個體的函數(shù)超過標準表中的值，該數(shù)據(jù)即該剔除，否則就該保留。格拉布斯標準用表見表2-3（書P31危險率為5%、2.5%、1%)。格拉布斯法判定異常數(shù)據(jù)的步驟：2.4系統(tǒng)誤差

除了偶然誤差及疏忽誤差以外，在試驗測定中往往會碰到另一種情況，即由于一種未被發(fā)現(xiàn)的因素，使得測定值永遠朝一個方向偏離，這樣引起的誤差，就稱為系統(tǒng)誤差。例如

1、電壓表的零讀數(shù)由于室溫改變而改變，在測量前又未予調(diào)整，使得所有電壓測定值多了一個零讀數(shù)；

2、用測壓管來測量流動氣流中的壓力，由于系統(tǒng)接頭處的漏氣，使得正壓測定值始終偏低，而負壓測定值又偏高。

3、由于儀表初讀數(shù)始終處于波動狀態(tài)，所以讀數(shù)隨高隨低，這種誤差雖說不是始終朝一個方向(也可理解為讀數(shù)誤差始終多了一個“零讀數(shù)”)，不過消除了它，也就消除了這種誤差。

系統(tǒng)誤差屬于準確度的范疇，與偶然誤差屬于精密度的范疇性質(zhì)上是不相同的。

研究偶然誤差我們采用的是統(tǒng)計的方法，即不去研究個別數(shù)據(jù)的特點，而是從總體出發(fā)，通過大量重復(fù)性的試驗及隨后的數(shù)學(xué)處理來獲得數(shù)量上的結(jié)果。

對系統(tǒng)誤差則不同，由于它不是隨機的，故只能采用具體問題具體分析的方法，通過仔細的校驗及特定的試驗才能發(fā)現(xiàn)與消除系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的分類：(一）按照系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，可以將它分成兩類。1、由于儀器、工具或試驗裝置不正確所引起的，例如儀表的零讀數(shù)，溫漂，測量區(qū)域的電磁場干擾等等。2、由于試驗理論和試驗方法不正確所引起，例如脈動氣流中采用了用于穩(wěn)態(tài)測量的大慣性的儀表，得到的不可能是真值，甚至也不是真正的時均值；要消除這些誤差首先要仔細推敲試驗理論，反復(fù)研究試驗方案及校準用的測量儀表，排除可能產(chǎn)生的錯誤以求得準確的數(shù)值。然而這往往是困難的，特別是當被測對象的物理過程還沒有被十分清晰了解之前，更是難于達到。本課程將通過另外一條途徑，即研究系統(tǒng)誤差的性質(zhì)，通過對試驗數(shù)據(jù)的分析處理，找到判斷是否存在系統(tǒng)誤差的方法，通過這些以后，可以采取措施抑或從數(shù)據(jù)上加以更正，或者找尋出系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源，從試驗理論，試驗方案上加以改變以求得正確的結(jié)果。(二）按照系統(tǒng)誤差的特點分類：1、不變的系統(tǒng)誤差如米尺標稱尺寸不準；一般只有用不同尺的對比實驗來發(fā)現(xiàn)，而多次重復(fù)實驗不能發(fā)現(xiàn)這類誤差。2、變化的系統(tǒng)誤差（1）線性變化的系統(tǒng)誤差如電位差計測量熱電勢時由于標準電池的持續(xù)放電而產(chǎn)生的誤差。（2）復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差誤差值按確定的復(fù)雜規(guī)律變化，這種誤差常是由于幾種誤差因素同時起作用引起的。如儀表指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力矩不能嚴格保持線性關(guān)系而表盤仍采用均勻刻度。（3）周期性變化的系統(tǒng)誤差如儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心存在偏心帶來的誤差。

0t不變的系統(tǒng)誤差線性變化的系統(tǒng)誤差復(fù)雜規(guī)律變化的的系統(tǒng)誤差周期性變化的的系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差常見的變化規(guī)律2.4.2系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)目前不可能全部消除系統(tǒng)誤差的影響由于在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素很復(fù)雜，并且有些因素也很難查明，因而目前還不能查明所有的系統(tǒng)誤差，所以，也不可能全部消除系統(tǒng)誤差的影響。下面為幾種常用的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法。一、不變的系統(tǒng)誤差對于不變的系統(tǒng)誤差，通常不能用增加測量次數(shù)來發(fā)現(xiàn)，只有改變形成這種誤差的條件，再通過實驗對比才能發(fā)現(xiàn)。例如，米尺按標稱尺寸使用時，在測量結(jié)果中就存在著由于米尺的尺寸偏差而產(chǎn)生的不變的系統(tǒng)誤差，多次重復(fù)測量也不能發(fā)現(xiàn)這一誤差，只有用另一根準確度更高的標準尺來測量，并進行對比時才能發(fā)現(xiàn)它，再通過修正來減少系統(tǒng)誤差。二、變化的系統(tǒng)誤差對于變化的系統(tǒng)誤差，則可采用離差觀察法或利用某些判斷準則來發(fā)現(xiàn)（這些判斷準則實質(zhì)上是檢驗誤差的分布是否偏離正態(tài)分布）。(1)離差觀察法離差觀察法是將所測得的數(shù)據(jù)及其殘差按測得的先后次序列在表中，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化情況，從而判斷是否存在系統(tǒng)誤差及其規(guī)律。此方法只適于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況。顯著含有系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，其任一測量值的殘余誤差為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差無法判斷線性周期線性+周期二、更正值及其誤差

如果在試驗中不能做到將系統(tǒng)誤差消除，那么就只能通過更正值來達到測量的準確度了。更正值是從專門的試驗中求得的，例如要引入環(huán)境溫度對壓力傳感器測量的更正。應(yīng)該事先測出各種溫度下傳感器二次儀表上的零讀數(shù)。當引入更正值來消除系統(tǒng)誤差時，必須注意的是務(wù)必使測定更正值本身所帶來的誤差對測量結(jié)果的影響要小到可以忽略不計的程度，否則，引入更正值就是沒有意義的。如果要使引入更正值后的測量誤差(偶然誤差)不超過原來的數(shù)值．應(yīng)使更正值本身測定誤差的均方根值小于測量誤差的倍。粗大誤差的剔除

拉伊特方法、格拉布斯方法系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

1、不變的系統(tǒng)誤差

實驗對比2、變化的系統(tǒng)誤差1）離差觀察法2）馬利科夫準則適用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差3）阿貝—赫梅特準則適用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差的方法

對置補償法（交換法）：消除固定的系統(tǒng)誤差對稱觀測法：消除呈線性變化的累進系統(tǒng)誤差半周期偶數(shù)觀察法：消除周期性的系統(tǒng)誤差更正值修正2.5誤差的各種表示方法測量結(jié)果表達為：在一定的置信水平下，以子樣平均值為中心，以置信區(qū)間半長為區(qū)間的一個范圍，這個置信區(qū)間就是測量的誤差。由于置信度的不同，誤差可有各種不同的表示方法。P402-352.5.1絕對誤差2.6測量不確定度在測量過程中各種原因造成測量誤差。實踐證明，測量誤差是客觀存在的，由于真值未知，因此也就不可能確切地得到測量誤差，由此引出了用測量不確定度來說明和衡量測量結(jié)果的質(zhì)量。不確定度是誤差理論發(fā)展和完善的產(chǎn)物，是建立在概率論和統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)上的新概念，目的是為了澄清一些模糊的概念和便于使用。它表示由于測量誤差的影響而對測量結(jié)果的不可信程度或有效性的懷疑程度，或稱為不能肯定的程度。是定量說明測量結(jié)果的質(zhì)量的一個參數(shù)。測量值在某個區(qū)域內(nèi)以一定的概率分布，表示被測量分散性的參數(shù)就是測量不確定度，它不說明測量結(jié)果是否接近真值。多年來，世界各國對測量結(jié)果不確定度的估計方法和表達方式存在的不一致性，影響了計量和測量成果的相互交流。為此，1993年國際不確定度工作組制定了GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement(測量不確定度表達導(dǎo)則），經(jīng)國際計量局等國際組織批準執(zhí)行，由國際標準化組織（ISO）公布。本教材將采用符合國際和國家標準的對誤差理論和測量不確定度的表示方法。2.6.1不確定度的術(shù)語不確定度是說明測量結(jié)果的參數(shù)，它用于表達被測量值可能的分散程度。這個參數(shù)用（1）標準偏差表示，也可以用（2）標準偏差的倍數(shù)或（3）置信區(qū)間的半寬度表示。根據(jù)計算及表示方法的不同，有以下幾個專用術(shù)語：一、標準不確定度測量結(jié)果的不確定度由多種原因引起，一般來源于隨機性或模糊性。所有這些不確定度的來源都會影響測量結(jié)果，其綜合效應(yīng)使測量結(jié)果的可能值服從某種概率分布。用概率分布的標準偏差表示的不確定度就稱為標準不確定度，用符號u表示。因為測量不確定度往往是由多種原因產(chǎn)生的，對每個不確定度來源評定的標準偏差，稱為標準不確定度分量，用ui表示。標準不確定度有兩類評定方法：A類評定和B類評定。(1)A類標準不確定度用統(tǒng)計方法得到的不確定度，稱為A類標準不確定度。用符號uA表示。(2)B類標準不確定度用非統(tǒng)計方法得到的不確定度，即根據(jù)資料或假設(shè)的概率分布估計的標準偏差表示的不確定度，稱為B類標準不確定度，用符號uB表示。A類標準不確定度和B類標準不確定度僅僅是評定方法不同。二、合成標準不確定度由各不確定度分量合成的標準不確定度，稱為合成標準不確定度。當間接測量時，即測量結(jié)果是由若干其他量求得的情況下，測量結(jié)果的標準不確定度等于各其他量的方差和協(xié)方差相應(yīng)和的正平方根，用符號uc表示。合成標準不確定度仍然是標準（偏）差，表示測量結(jié)果的分散性。合成的方法，常被稱為“不確定度傳播律”。三、擴展不確定度擴展不確定度是由合成標準不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度。它用包含因子k乘以合成標準不確定度得到的一個區(qū)間半寬度來表示測量不確定度。包含因子是為獲得擴展不確定度而與合成標準不確定度相乘的數(shù)字因子，它的取值決定了擴展不確定度的置信水平。擴展不確定度是測量結(jié)果附近的一個置信區(qū)間，被測量的值以較高的概率落在該區(qū)間內(nèi)，用符號U表示。通常測量結(jié)果的不確定度都用擴展不確定度表示。當說明具有置信水平為P的擴展不確定度時，可以用Up表示，此時包含因子可用kp表示。例如，U0.95表示測量結(jié)果落在以U為半寬度區(qū)間的概率為0.95U和uc單獨定量表示時，數(shù)值前可不加正負號。測量不確定度也可以用相對形式表示。2.6.2誤差與不確定度的區(qū)別誤差是測量值和真值的差值。是客觀存在的，但不能準確得到，它是屬于理想條件下的一個定性的概念，反映測量誤差大小的術(shù)語準確度也是一個定性的概念。測量不確定度反映的是對測量結(jié)果的不可信程度，是可以根據(jù)試驗、資料、經(jīng)驗等信息定量評定的量。（誤差是不以人的認識程度而改變的客觀存在，而測量不確定度與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關(guān)）在測量不確定度中不包括已確定的修正值。已修正的測量結(jié)果的測量不確定度中應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量。例如，某力值的未修正結(jié)果是2KN，用高一級校準裝置校準該力值，得到修正值為4.3N，校準裝置引起的修正值的不確定度為0.02N，如果其他因素引起的不確定度均可忽略，則該力值的已修正測量結(jié)果為2004.3N，其不確定度為0.02N。A類或B類標準不確定度與隨機誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。隨機誤差、系統(tǒng)誤差是表示兩種不同性質(zhì)的誤差，測量不確定度評定時一般不必區(qū)分其性質(zhì)。A類和B類不確定度是表示兩種不同的評定方法。在需要區(qū)分不確定度性質(zhì)的情況下，可用：“由隨機影響引起的不確定度分量”和“由系統(tǒng)影響引起的不確定度分量”兩種表述方法。這兩種表述方法不表明不確定度分量用什么方法評定，即不確定度分量既可能用A類也可能用B類評定方法得到，性質(zhì)與評定方法間沒有對應(yīng)關(guān)系。另外，測量數(shù)據(jù)中不應(yīng)包括異常數(shù)據(jù)。對測量數(shù)據(jù)應(yīng)進行異常數(shù)據(jù)判別，一旦發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)應(yīng)剔除，不應(yīng)包括在測量結(jié)果的范圍內(nèi)。因此在不確定度的評定前要剔除異常數(shù)據(jù)。二、標準不確定度的B類評定方當不能用統(tǒng)計方法計算不確定度時，就要用B類方法評定。

B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、生產(chǎn)廠的技術(shù)說明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。這類信息通常只給出極大值與極小值，而未提供測量值的分布及自由度的大小。

B類標準不確定度就是根據(jù)現(xiàn)有信息評定近似的方差或標準偏差以及自由度，分析判斷被測量的可能值不會超出的區(qū)間(-a,a)，并假設(shè)被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則測量不確定度uB為

uB=a/k式中a—區(qū)間的半寬度；k—包含因子，也稱為置信因子，通常在2～3之間。k的選取與概率分布有關(guān)，例如，假設(shè)為正態(tài)分布時，查表2－4；假設(shè)為非正態(tài)分布時，根據(jù)概率分布查表2-5表2-4正態(tài)分布時概率與置信因子k的關(guān)系概率P%5068.27909595.459999.73置信因子k0.67611.6451.96022.5763表2-4正態(tài)分布時概率與置信因子k的關(guān)系概率P%5068.27909595.459999.73置信因子k0.67611.6451.96022.5763三、合成標準不確定度的計算方法

合成標準不確定度可用各不確定度的分量合成得到，不論各分量是由A類評定還是B類評定得到。計算合成標準不確定度的公式稱為測量不確定度傳遞率(或傳播率)。合成標準不確定度仍然是標準偏差，表示測量結(jié)果的分散性；

合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，用表示，它表明所評定的的可靠程度。測量不確定度傳遞率（或傳播率）可以理解為誤差理論中的間接測量誤差的傳遞率。-1.0+1.00-0.5+0.5完全負相關(guān)無線性相關(guān)完全正相關(guān)負相關(guān)程度增加r正相關(guān)程度增加書2-45錯書2-45錯viP=I2R或P=IU電壓測量的合成標準不確定度2.7組合測量的數(shù)據(jù)處理直接測量:根據(jù)概率分布理論求得測量結(jié)果及其誤差;間接測量:通過誤差傳播理論來處理測量結(jié)果及其誤差;

測量與處理數(shù)據(jù)的目的在于獲得被測量的估計值有時我們需要得到一個或多個自變量與因變量之間的關(guān)系，這些關(guān)系可以是肯定的函數(shù)關(guān)系，也可以是相關(guān)關(guān)系，即通過直接測量或間接測量數(shù)據(jù)求得與本試驗有關(guān)的各變量之間關(guān)系，稱為組合測量組合測量:通過直接測量或間接測量數(shù)據(jù)求得與本試驗有關(guān)各變量之間關(guān)系的測量方法。表達變量之間關(guān)系的方法有散點圖、表格、曲線、數(shù)學(xué)表達式等。而數(shù)學(xué)表達式的獲得是通過回歸分析方法完成的。變量之間的關(guān)系：1、確定的關(guān)系----函數(shù)關(guān)系１）是一一對應(yīng)的確定關(guān)系２）設(shè)有兩個變量x和y，變量y隨變量x一起變化，并完全依賴于x

，當變量x取某個數(shù)值時，

y依確定的關(guān)系取相應(yīng)的值，則稱y是x的函數(shù)，記為y=f(x)，其中x稱為自變量，y稱為因變量３）各觀測點落在一條線上

函數(shù)關(guān)系由于測量誤差等原因，確定性關(guān)系往往通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來。

xy2、不那么肯定的關(guān)系----相關(guān)關(guān)系變量之間既存在著密切的關(guān)系，又不能由一個或幾個變量（自變量）的數(shù)值精確地求出另一個變量（因變量）的數(shù)值，而是要通過試驗和調(diào)查研究。才能確定它們之間的關(guān)系。１）變量間關(guān)系不能用函數(shù)關(guān)系精確表達２）一個變量的取值不能由另一個變量唯一確定３）當變量

x取某個值時，變量y的取值可能有幾個４）各觀測點分布在直線周圍

xy例父親身高y與子女身高x之間的關(guān)系收入水平y(tǒng)與受教育程度x之間的關(guān)系商品的消費量y與居民收入x之間的關(guān)系商品銷售額y與廣告費支出x之間的關(guān)系相關(guān)關(guān)系

(類型)相關(guān)關(guān)系的描述與測度（一）散點圖(scatterdiagram)研究兩個變量之間的關(guān)系時，一般先把n對觀察值(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)先以x為橫坐標，y為縱坐標在直角坐標紙上描出n個點，所描出的圖形叫散點圖

不相關(guān)

負線性相關(guān)

正線性相關(guān)

非線性相關(guān)

完全負線性相關(guān)完全正線性相關(guān)

（二）列表法優(yōu)點：簡單易作、形式緊湊、易于數(shù)據(jù)參考比較，而且可在同一表格內(nèi)同時表示幾個自變量與幾個因變量之間的關(guān)系而不混亂。缺點：表達方式是離散型的，實際使用時需內(nèi)插法。內(nèi)插法有比例法（線性法）、拋物線法、差分法、牛頓法、拉格朗日法等。比例法簡單，但誤差較大；其他方法在“計算方法”及有關(guān)數(shù)據(jù)整理的書籍上有介紹，計算較復(fù)雜，但誤差小。例：線性法誤差例：拋物線法（三）相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)對變量之間關(guān)系密切程度的度量對兩個變量之間線性相關(guān)程度的度量稱為簡單相關(guān)系數(shù)若相關(guān)系數(shù)是根據(jù)總體全部數(shù)據(jù)計算的，稱為總體相關(guān)系數(shù)，記為

若是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，則稱為樣本相關(guān)系數(shù)，記為r

樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式化簡為1、X和Y都是相互對稱的隨機變量，所以有r(xy)=r(yx).2、相關(guān)系數(shù)只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系。3、相關(guān)系數(shù)只能反映變量間線性相關(guān)的程度，并不能確定變量的因果關(guān)系，也不能說明相關(guān)關(guān)系具體接近于哪條直線。相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗

r是樣本相關(guān)系數(shù)，它是雙變量正態(tài)總體中的總體相關(guān)系數(shù)ρ的估計值．樣本相關(guān)系數(shù)r是否來自ρ≠0的總體，還需對樣本相關(guān)系數(shù)r進行顯著性分析．可采用t檢驗法、直接查表法及F檢驗法對相關(guān)系數(shù)r的顯著性進行檢驗。

r值多大時，才能用線性來表達呢？它還與n有關(guān)。在一元回歸分析中，線性相關(guān)系數(shù)等于零，不能說明兩者一定無相關(guān)關(guān)系，如圓就有明確的函數(shù)關(guān)系。線性相關(guān)系數(shù)較小，不能判斷兩者一定線性不相關(guān)；子樣線性相關(guān)，母體也不一定線性相關(guān)，因為它們都與子樣容量有關(guān)。

查表法統(tǒng)計學(xué)家已根據(jù)相關(guān)系數(shù)r顯著性t檢驗法計算出了臨界r值并列出了表格。所以可以直接采用查表法對相關(guān)系數(shù)r進行顯著性檢驗。

具體作法是:根據(jù)自由度n-2查臨界r值，得若|r|＜，P＞0.05，則相關(guān)系數(shù)r不顯著；若≤|r|＜，0.01＜P＜0.05，則相關(guān)系數(shù)r顯著，標記“*”；若|r|≥，P≤0.01，則相關(guān)系數(shù)r極顯著，標記“**”。相關(guān)系數(shù)ρ=0的臨界值表肯定的函數(shù)關(guān)系需要求得已有方程形式中的各項系數(shù)，用最小二乘法可以得到很滿意的結(jié)果；如果各變量之間的關(guān)系還不太有把握，則應(yīng)判斷（1）它們之間是否存在有一定的關(guān)系，（2）存在有什么樣的關(guān)系（3）關(guān)系式內(nèi)的各項系數(shù)是什么值，這就需要“相關(guān)分析”與“回歸分析”的處理手段。2.7.1最小二乘法

進行相關(guān)分析獲知兩變量之間確實存在有相關(guān)關(guān)系以后，應(yīng)該進行定量上的分析，即具體確立方程式，這就需要進行回歸分析，而回歸分析的基礎(chǔ)是最小二乘法原理。對于有一類問題，可以從物理現(xiàn)象的分析中得到方程式的型式，但必須通過具體的試驗數(shù)據(jù)決定方程的系數(shù)，這就需要一個判斷經(jīng)驗公式好壞的標準，這個最常用的標準也是最小二乘法原理。從觀測結(jié)果來確定兩個變量x和y之間的未知函數(shù)關(guān)系。

設(shè)進行n次獨立觀測，得到將其對應(yīng)數(shù)畫在X-Y平面座標上，如圖示。與

的關(guān)系圖

的關(guān)系圖

如何根據(jù)這些觀察值用最佳的型式來表達x與y的函數(shù)或相關(guān)關(guān)系

一般說來，根據(jù)n對數(shù)據(jù)可以確立一個（n-1）次多項式，使所有的點子都通過這一曲線；不過(1)這種高次多項式會使得計算極為麻煩，是不必要的，(2)由于測量的誤差，所得到的點子組成的曲線必然多次彎曲，并不見得真正符合物理過程的本質(zhì)。

所以我們應(yīng)該盡量消除測量的誤差，使得按觀測值整理出來的解析式盡可能精確地表達出和之間的函數(shù)關(guān)系。未知函數(shù)的型式應(yīng)該根據(jù)物理性質(zhì)來確定。如果通過分析一時還不能確定，只能根據(jù)數(shù)據(jù)來進行判斷，一般情況下可以采用多項式來表示它

方次m可隨試驗數(shù)據(jù)經(jīng)驗地選定，不過必須使試驗次數(shù)n大大地大于m。確定了函數(shù)類型以后，我們的任務(wù)就在于合理地選定中的各項系數(shù)，如果是多項式，則就是要決定上式中的各個系數(shù)。2.7.2一元線性回歸的特點什么是回歸分析(Regression)？從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式對這些關(guān)系式的可信程度進行各種統(tǒng)計檢驗，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個或幾個變量的取值來預(yù)測或控制另一個特定變量的取值，并給出這種預(yù)測或控制的精確程度回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別相關(guān)分析中，變量x

變量y處于平等的地位；回歸分析中，變量y稱為因變量，處在被解釋的地位，x稱為自變量，用于預(yù)測因變量的變化相關(guān)分析中所涉及的變量x和y都是隨機變量；回歸分析中，因變量y是隨機變量，自變量x

可以是隨機變量，也可以是非隨機的確定變量相關(guān)分析主要是描述兩個變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析是要導(dǎo)出由X來預(yù)測或控制Y的回歸方程，即變量間的聯(lián)系形式，回歸分析不僅可以揭示變量x對變量y的影響大小，還可以由回歸方程進行預(yù)測和控制,并在某一可靠程度下確定當自變量X為某一值時因變量Y將會在什么范圍內(nèi)變化。一元線性回歸涉及一個自變量的回歸因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來預(yù)測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示因變量與自變量之間的關(guān)系用一條線性方程來表示描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項

的方程稱為回歸模型一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+ey是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化誤差項

是隨機變量反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機因素對y的影響是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性

0和

1稱為模型的參數(shù)一元線性回歸模型誤差項ε是一個期望值為0的隨機變量，即E(ε)=0。對于一個給定的x值，y的期望值為

E(y)=

0+

1x對于所有的x值，ε的方差σ2都相同誤差項ε是一個服從正態(tài)分布的隨機變量，且相互獨立。即ε~N(0,σ2)獨立性意味著對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的ε與其他x值所對應(yīng)的ε不相關(guān)對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的y值與其他x所對應(yīng)的y值也不相關(guān)基本假定回歸方程(regressionequation)描述y的平均值或期望值如何依賴于x的方程稱為回歸方程一元線性回歸方程的形式如下

E(y)=

0+

1x方程的圖示是一條直線，也稱為直線回歸方程

0是回歸直線在y軸上的截距，稱為回歸截距，是當x=0時y的期望值

1是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)，表示當x每變動一個單位時，y的平均變動值估計的回歸方程(estimatedregressi