華師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)突破

全冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理及重點(diǎn)題型舉一反三鞏固練習(xí)

二次函數(shù)的概念一知識(shí)講解(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解函數(shù)的定義、函數(shù)值、自變量、因變量等基本概念；

2.了解表示函數(shù)的三種方法——解析法、列表法和圖像法；

3.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

4.理解二次函數(shù)的概念，能夠表示簡(jiǎn)單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、函數(shù)的概念

一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量X,y,對(duì)于自變量X在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定值，

y都有惟一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù).

對(duì)于自變量x在可以取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值a,函數(shù)y有惟一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值叫做

當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)的值，簡(jiǎn)稱函數(shù)值.

要點(diǎn)詮釋：

對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：

(1)函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

(2)判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于x允許取的每一個(gè)值，y是否都有惟一確定的值

與它相對(duì)應(yīng)；

(3)函數(shù)自變量的取值范圍，應(yīng)要使函數(shù)表達(dá)式有意義，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，還必須考慮使實(shí)際問(wèn)

題有意義.

要點(diǎn)二、函數(shù)的三種表示方法

表示函數(shù)的方法，常見的有以下三種：

(1)解析法：用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的表達(dá)式，(或解析式)，用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)

的方法稱為解析法.

(2)列表法：用一個(gè)表格表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法.

(3)圖象法：用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系的方法.

要點(diǎn)詮釋：

函數(shù)的三種表示方法各有不同的長(zhǎng)處.解析式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有

的函數(shù)都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，這會(huì)對(duì)某些特定的數(shù)值

帶來(lái)一目了然的效果，例如火車的時(shí)刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)，而

且對(duì)于一些無(wú)法用解析式表達(dá)的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色.

對(duì)照表如下：

表示方法全面性準(zhǔn)確性直觀性形象性

列表法XVVX

解析式法VVXX

圖象法XXVV

要點(diǎn)三、二次函數(shù)的概念

一般地，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a*0）的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).

若b=0,則y=ax2+c；若c=0,則y=ax?+bx；若b=c=O,則y=ax?.以上三種形式都是二次函數(shù)的特

殊形式，而y=ax?+bx+c（a^O）是二次函數(shù)的一般式.

要點(diǎn)詮釋：

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，a*0）,那么y叫做x的二次函數(shù).這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)

了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零.

【典型例題】

類型一、函數(shù)的相關(guān)概念

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的意義求解即可求出答案.

【答案】D;

【解析】根據(jù)函數(shù)的意義可知：對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，故D正確.

【總結(jié)升華】在函數(shù)概念中注意兩點(diǎn)：有兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量就有

唯一的一個(gè)值與其對(duì)應(yīng).

舉一反三：

【變式】下列等式中，y是x的函數(shù)有（）個(gè).

3x-2y=0,x2-y2=1,y=4x,y=\x\,x=\y\

A.lB.2C.3D.4

【答案】C;要判斷是否為函數(shù)，需判斷兩個(gè)變量是否滿足函數(shù)的定義.對(duì)于x--9=L當(dāng)X取2時(shí)，丁

有兩個(gè)值±6與它對(duì)應(yīng)，對(duì)于“一當(dāng)x取2時(shí)，'有兩個(gè)值±2和它對(duì)應(yīng)，所以這兩個(gè)式子不滿

足函數(shù)定義的要求：y都有惟一確定的值與X對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，其余三個(gè)式子滿足函數(shù)的定義.

▼2、求出下列函數(shù)中自變量X的取值范圍.

4x

(1).y=x2-x+5(2).y=-~~-(3).y=j2x+3

2%—3

/八

/、x_Jx+3

(5).y=A/1-2X(6)-

【思路點(diǎn)撥】自變量的范圍，是使函數(shù)有意義的X的值，大致是開平方時(shí)，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的

分母不為零等等.

【答案與解析】

解：（1）.y=X2-X+5,尤為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；

4%3

(2).y=------,要使函數(shù)有意義，需2X—3力0,即xw—;

2x-32

、3

(3).y={2x+3,要使函數(shù)有意義，需2x+380,即12——;

2

x、1

(4).y—I-,要使函數(shù)有意義，需2x—1>0,即元〉一；

—12

(5).y=y/l-2x,x為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；

Jx+3、x+3>0

(6).y=~2~要使函數(shù)有意義，需<即—3且xr—2.

5x+2w0'

【總結(jié)升華】關(guān)于自變量的取值范圍，在實(shí)際問(wèn)題中，還要考慮實(shí)際情況.

3、若y與x的關(guān)系式為y=-x?+4x+5,當(dāng)x=2時(shí)，y的值為（)

A.8B.9C.10D.11

【思路點(diǎn)撥】把x=2代入關(guān)系式即可求得函數(shù)值.

【答案】B;

【解析】y=-22+4x2+5=9.

【總結(jié)升華】y是x的函數(shù)，如果當(dāng)％="時(shí)y=匕，那么〃叫做當(dāng)自變量為a時(shí)的函數(shù)值.

類型二、函數(shù)的三種表示方法

04、-水庫(kù)的水位在最近5小時(shí)內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5小時(shí)的水位高度.

t/時(shí)012345

y/米1010.0510.1010.1510.2010.25

⑴由記錄表推出這5小時(shí)中水位高度y（米）隨時(shí)間f（時(shí)）變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.⑵

據(jù)估計(jì)這種上漲的情況還會(huì)持續(xù)2小時(shí)，預(yù)測(cè)再過(guò)2小時(shí)水位高度將達(dá)到多少米？

【思路點(diǎn)撥】觀察表格發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間的均勻增加，水位高度的增加量相同，可知該函數(shù)為一次函數(shù).

【答案與解析】

解：⑴由表中觀察到開始水位高10米，以后每隔1小時(shí)，水位升高0.05米，?這樣的規(guī)律可以表示為:

y=0.05t+10（0<t<5）

這個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示:

⑵再過(guò)2小時(shí)的水位高度，就是t=5+2=7時(shí)，y=0.05t+10的函數(shù)值，從解析式容易算出：y=0.05X

7+10=10.35,從函數(shù)圖象也能得出這個(gè)值數(shù).

答：2小時(shí)后，預(yù)計(jì)水位高10.35米.

【總結(jié)升華】本題綜合考察了列表法、解析法和圖像法，是一道不錯(cuò)的試題.

類型三、二次函數(shù)的概念

5、當(dāng)常數(shù)mW時(shí)，函數(shù)y=(n?-2m-8)x?+(m+2)x+2是二次函數(shù)；當(dāng)常數(shù)m=時(shí),

這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的定義求解.

【答案與解析】解：由函數(shù)y=(m2-2m-8)x2+(m+2)x+2是二次函數(shù)，得

m2-2m-8m豐0.

解得m中4,mW-2,

由尸(m2-2m-8)x2+(m+2)x+2是一次函數(shù)，得

m2-2m-8=0

.g2戶0

解得m=4,

故答案為：4,-2;4.

【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不能為零，一次函數(shù)一次項(xiàng)

的系數(shù)不能為零.

舉一反三：

【變式1】下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是()

A.y-2-x2B.y=x2--C.y-(x-2)2-x1D.y=x3-2x+1

x

【答案】A

【變式2】若函數(shù)行(m-6)乂八一熱+20是二次函數(shù)，則m的值是.

【答案與解析】解：若函數(shù)y=(m-6)xN-'m+Z。是二次函數(shù)，

貝Im?-9m+20=2,再利用m—6r0,

故(m—3)(m-6)=0,mW6,

解得：m=3.

故答案為：3.二次函數(shù)的概念——鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))

【鞏固練習(xí)】

一.選擇題

1.如圖，表示y是x的函數(shù)圖象是()

ABCD

2.當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)y=-2爐+3x—1的值是()

A.-19B.-20C.-21D.-22

3.在函數(shù)y=]——="中,自變量x的取值范圍是()

<3x—1

1111

A.X<—B.XW----C.XW—D.X>一

3333

4.矩形的周長(zhǎng)為18c根，則它的面積S(cm2)與它的一邊長(zhǎng)x(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是()

A.S=x(9-x)(0<x<9)B.S=x(9+x)(0<x<9)

C.S=x(18-x)(0<x<9)D.S=x(18+x)(0<x<9)

5.如圖，某游客為爬上3千米的山頂看日出，先用1小時(shí)爬了2千米，休息0.5小時(shí)后，再用1小時(shí)爬

上山頂，游客爬山所用時(shí)間/(小時(shí))與山高/z(千米)間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是()

22

123I1230\1230

ABCD

6.(2017?浦東新區(qū)一模)在下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是()

A.y=2x2B.y=2x—2C.y=ax2D.

X

二,填空題

7.油箱中有油30kg,油從管道中勻速流出，1小時(shí)流完，?求油箱中剩余油量Q(kg)與流出時(shí)間t(分

鐘)間的函數(shù)關(guān)系式為，?自變量的范圍是_____________.當(dāng)Q=10kg時(shí)，*=

(分鐘).

8.(2016?銀川校級(jí)一模)當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)尸(m+1)x^^+l是二次函數(shù).

9.用一根長(zhǎng)為800厘米的木條，做一個(gè)長(zhǎng)方形的窗框，若寬為1厘米，則它的面積y(。加2)與x(cm)之

間的函數(shù)解析式y(tǒng)=.

10.當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y=」x+2—，3—%有意義.

11.將y=(2x+3)(x-l)-3化成二次函數(shù)的一般式是：.

12.設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存，如

果存款額為10000元，則兩年后的本息和y(元)的表達(dá)式為.

三.解答題

13.某工廠現(xiàn)在年產(chǎn)值25萬(wàn)元，計(jì)劃今后每年增加2萬(wàn)元.

(1)寫出年產(chǎn)值y(萬(wàn)元)與年數(shù)兄的函數(shù)關(guān)系；

(2)畫出函數(shù)圖象；

(3)求計(jì)劃7年后的年產(chǎn)值.

14.某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品的日銷量y(件)與每件商品的銷售

價(jià)X(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=162-3x,求商場(chǎng)銷售這種商品的日銷售利潤(rùn)W(元)與每件商品的銷

售價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

15.某賓館有50個(gè)房間供游客住宿，當(dāng)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)為每天180元時(shí)，房間會(huì)全部住滿.當(dāng)每個(gè)房間每

天的房?jī)r(jià)每增加10元時(shí)，就會(huì)有一個(gè)房間空閑.賓館需對(duì)游客居住的每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用.

根據(jù)規(guī)定，每個(gè)房間每天的房?jī)r(jià)不得高于340元.設(shè)每個(gè)房間的房?jī)r(jià)每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍).

(1)設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù),關(guān)系式及自變量x的取值范圍.

(2)設(shè)該賓館每天的利潤(rùn)為w元，請(qǐng)寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】C;

【解析】把握函數(shù)的定義，對(duì)于自變量x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng).

2.【答案】C.

【解析】將x=4代入函數(shù)y=-2x2+3x-l即可求得.

3.【答案】D；

【解析】要使函數(shù)有意義，需3x—1>0.

4.【答案】A;

[8—2x

【解析】矩形的另一邊長(zhǎng)為-------=9-x,所以S=_x(9—x)(0<x<9)

2-

5.【答案】D;

6.【答案】A;

【解析】A、是二次函數(shù)，故A符合題意；B、是一次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

C、a=0時(shí)，不是二次函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、a中。時(shí)是分式方程，故D錯(cuò)誤.

二.填空題

7.【答案】。=30—0.5t；0<r<60;40.

【解析】油從油箱里流出的速度為30+60=0.5伙/min,所以函數(shù)關(guān)系式。=30-0.5/

8.【答案】1.

【解析】解：根據(jù)題意得：11?+1=2且m+1r0,解得m=±l且mW-1,所以m=l.

9.【答案】y=：-%2+400x

【解析】寬為xcm,則長(zhǎng)為(400-x)cm,所以面積y=x(400-x)=-x2+400x.

10.【答案]-2<x<3;

x+2>0

【解析】二次根式有意義，需要被開方數(shù)大于等于0,即1.

3-%>0

11.【答案】y^2x2+x-6.

12.【答案】y=lOOOOx2+20000x+10000

【解析】定期存款一年后本息和為：1000。(1+x)元，定期存款兩年后本息和為：10000(1+x)2元.

二.解答題

13.【解析】

解：(1)y=25+2x(2)通過(guò)列表，描點(diǎn)，畫出下圖：

(3)當(dāng)X=7時(shí)，J=25+2X7=25+14=39(萬(wàn)元)，故計(jì)劃7年后的年產(chǎn)值是39萬(wàn)元.

14.【解析】

解：由題意得，每件商品的銷售利潤(rùn)為(x-30)元，那么y件的銷售利潤(rùn)為

W=yX(x-30),又1,y=162-3x,

.-.W=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860

x-30^0

解得30WxW54.

162-3x^0

.,.y=-3x2+252x-4860(30<x<54).

15.【解析】

X

解：(1)y=50——(0<x<160,且為10的正整數(shù)倍)

(2)w=(180+x—20)150—葛

1

=-—^9+34x+8000(0<x<160,且為10的正整數(shù)倍)

二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(ar0)的圖象與性質(zhì)一知識(shí)講解(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=a(x-/z)2+左(a、h、k常數(shù)，awO)的圖象.掌握拋物線y=a(x—丸了+左

與y=ax?圖象之間的關(guān)系；

2.熟練掌握函數(shù)y=。(工一丸)2+上的有關(guān)性質(zhì)，并能用函數(shù)y=a(x—/z)2+k的性質(zhì)解決一些實(shí)際問(wèn)題;

3.經(jīng)歷探索y=。(％—丸)2+上的圖象及性質(zhì)的過(guò)程，體驗(yàn)y=a(x-/?)2+左與y=、＞=以2+左、

y=?(x-h)2之間的轉(zhuǎn)化過(guò)程，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、函數(shù)y=a(x-h)2(aH0)與函數(shù)y=a(x-h)2+k(a。0)的圖象與性質(zhì)

1.函數(shù)y=。(*―/?)2(。。0)的圖象與性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸，性質(zhì)

%>/z時(shí)，y隨冗的增大而增大；x</z時(shí)，y隨

a>0向上（〃，0）x二h

x的增大而減??；x=hHt,y有最小值0.

兄>小時(shí)，y隨工的增大而減小；xv力時(shí)，y隨

a<0向下(h,0)x=h

元的增大而增大；尤="時(shí)，y有最大值0.

2.函數(shù)y=a(x-h)2+k(aH0)的圖象與性質(zhì)

a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸，性質(zhì)

x>/z時(shí)，y隨x的增大而增大；x</z時(shí)，y隨

a>0向上(h,k)x二h

元的增大而減小；時(shí)，y有最小值七.

x>/z時(shí)，y隨冗的增大而減??；兀<力時(shí)，y隨

a<0向下(h,k)x=h

%的增大而增大；龍=/z時(shí)，y有最大值上.

要點(diǎn)詮釋：

二次函數(shù)y=。（十一丸）2+左（aWO）的圖象常與直線、三角形、面積問(wèn)題結(jié)合在一起，借助它的圖象

與性質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問(wèn)題.

要點(diǎn)二、二次函數(shù)的平移

1.平移步驟：

（1）將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式>=。（尤-/7『+左，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（〃，k）；

（2）保持拋物線>=62的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到他，左）處，具體平移方法如下：

向上（3。1或向下（上。）】平移崗個(gè)單位

Ay=ax2+k

向右6>0）［或左6<0）】

向右1成左（肛0）】平移I用個(gè)單位向右磨。）1或左6<0）】

平移I川個(gè)單位平移向個(gè)單位

向上（30）1或下（M0）】

平移因個(gè)單位

y=a(x-h)^司產(chǎn)心㈤2+1

向上（上0）［或下g。）】平移同個(gè)單位

2.平移規(guī)律：

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“/?值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減,

上加下減”.

要點(diǎn)詮釋：

⑴丫=口^+bx+c沿y軸平移:向上（下）平移加個(gè)單位，y=ax?+/；x+c變成

y=ax2+bx+c+m（或y=ax2+bx+c-m）

⑵丁=4%2+b%+。沿x軸平移：向左（右）平移機(jī)個(gè)單位，y=〃犬2變成

y=a（x+rri）2+b（x+m）+c（或y=a（x-m）2+b（x-m）+c）

【典型例題】

類型一、二次函數(shù)了=。（*一陽(yáng)2+伙4。0）圖象及性質(zhì)

▼1.(2016?潮南區(qū)模擬)二次函數(shù)y=-(x-3)2+2的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是,對(duì)稱軸是.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式分別解答即可.

【答案】(3,2),直線x=3.

【解析】

二次函數(shù)y=-(x-3)2+2；

頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,1),對(duì)稱軸是直線x=3.

故答案為：(3,2),直線x=3.

【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式形式求解對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的

方法是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【課程名稱：函數(shù)y=a(x-h)2(a。0)與函數(shù)y=a(x-h)2+k(aH0)的圖象與性質(zhì)

391919練習(xí)2】

【變式】將拋物線y=-3必向右平移2個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到的拋物線解析式

為.

【答案】y=-3x2+12x-7.

2.將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，求得到的拋物線解

析式.

【答案與解析】

解：y=x2-6x+5=(x-3)2—4,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),

把點(diǎn)(3,-4)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,-2),

，平移后得到的拋物線解析式為y=(x-4)2-2.

【總結(jié)升華】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N

方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的

頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

舉一反三：

【課程名稱：函數(shù)y=a(x-h)2(a，0)與函數(shù)y=a(x-h)2+k(a*0)的圖象與性質(zhì)

391919練習(xí)2]

1,1,

【變式】二次函數(shù)y=5(x-3)2+4的圖象可以看作是二次函數(shù)丁=3曠的圖象向平移4個(gè)單位，

再向平移3個(gè)單位得到的.

【答案】上；右.

類型二、二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a*0)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

二次函數(shù)％=a(x-2)2的圖象與直線丫？交于A(0,-1),B(2,0)兩點(diǎn).

(1)確定二次函數(shù)與直線AB的解析式.

(2)如圖，分別確定當(dāng)yi〈y2,￥1=72,yi>y2時(shí)，自變量X的取值范圍.

解：(1)把A(0,-1)代入yi=a(X-2)2,得：—l=4a,即產(chǎn)一工,

4

二.二次函數(shù)解析式為二—(x—2)2=—Aa2+a—1；

44

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

b=-1

把A(0,-1),B(2,0)代入得:

2k+b=0'

解得：k=Ab=-1,

2

則直線AB解析式為y=lx-1;

2

(2)根據(jù)圖象得：當(dāng)yi〈y2時(shí)，x的范圍為xVO或x>2;yky?時(shí)，x=0或x=2,y1>y2時(shí)，0VxV2.

【總結(jié)升華】可先由待定系數(shù)法建立方程組求出兩個(gè)函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象寫出自變量的取

值范圍.

.在同一直角坐標(biāo)系中，畫出下列三條拋物線：

1712c12c

y=-x,y=-x-+3,y=-x-3.

222

(1)觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

12

(2)請(qǐng)你說(shuō)出拋物線y=5曠+c的開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案與解析】

(1)列表：

X-3-2-10123

1241J

V=-X202

22222

12

描點(diǎn)、連線，可得拋物線y必

將y=—x"的圖象分別向上和向下平移3個(gè)單位，就分別得到y(tǒng)=—%2+3與丁=-X?—3的圖象(如

-22"2

圖所示).

拋物線y=gx2,y=gx?+3與y=：必—3開口都向上，對(duì)稱軸都是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)依次

是(0,0)、(0,3)和(0,-3).

12

(2)拋物線y=/X~+C的開口向上，對(duì)稱軸是y軸(或直線X=0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c).

12

【總結(jié)升華】先用描點(diǎn)法畫出y=/x的圖象，再用平移法得到另兩條拋物線，并根據(jù)圖象回答問(wèn)題.

規(guī)律總結(jié)：加+左1

?y=(上耿個(gè)單，位—y=左個(gè)j單y位?.>y=ax-k(k>0).

二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(aW0)的圖象與性質(zhì)一鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.拋物線y=—(x+2)2—3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

2.函數(shù)y=gx?+2x+l寫成y=a(x—h)?+k的形式是()

A.y=|(x-l)2+2111D.y=1(x+2)2-l

B-y=y(x-1)9+~C.y=3(x—1)~—3

拋物線y=；x?向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位后，所得的拋物線表達(dá)式是()

3.

1111

A.y=y(X+3)2-2B.y=-(x-3)2+2C.y=y(x-3)2-2D.y=-(x+3)2+2

4.把二次函數(shù)y=/-2x-l配方成頂點(diǎn)式為()

A.y=(x-l)2B,y=(x-2C.y^(x+l)2+1D,y=(x+l)2-2

5.由二次函數(shù)y=2(x-3)2+1,可知()

A.其圖象的開口向下B.其圖象的對(duì)稱軸為直線x=-3

C.其最小值為1D.當(dāng)X<3時(shí)，y隨X的增大而增大

6.(2015?泰安)在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-mx+n?與二次函數(shù)y=x2+m的圖象可能是()

二、填空題

7.(2015?懷化)二次函數(shù)y=x?+2x的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸是直線.

8.已知拋物線y=—2(x+l)2—3,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.

9.(2016?寶山區(qū)一模)拋物線y=-2(x-3)?+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

10.頂點(diǎn)為(-2,-5)且過(guò)點(diǎn)(1,-14)的拋物線的解析式為.

11.將拋物線y=三-2x向上平移3個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位得到的拋物線是.

12.拋物線y=2(x—2)2—6的頂點(diǎn)為C,已知y=—而+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則這個(gè)一次函數(shù)的圖象與

兩坐標(biāo)軸所圍成的三甭形面積為.

三、解答題

13.(2016?鹽城校級(jí)期末)已知二次函數(shù)y=(x-2)2-4.

(1)在給定的直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；

(2)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)y<0時(shí)x的取值范圍.

r

l

r

l

r

L

T

L

I

L

I

U

X

12

14.已知拋物線y=-向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到

拋物線y=a(x-h)2+k；

(1)求出a,h,k的值；

(2)在同一直角坐標(biāo)系中，畫出y=a(x—/z)2+上與y=—gx?的圖象；

(3)觀察丁=。(大一丸)2+左的圖象，當(dāng)x時(shí)，y隨X的增大而增大；

當(dāng)x時(shí)，函數(shù)y有最________值，最________值是y=;

(4)觀察y=a(x—丸產(chǎn)+女的圖象，你能說(shuō)出對(duì)于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎?

15.(2015?珠海)已知拋物線y=ax?+bx+3的對(duì)稱軸是直線x=l.

(1)求證：2a+b=0;

(2)若關(guān)于x的方程ax2+bx-8=0的一個(gè)根為4,求方程的另一個(gè)根.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】D;

【解析】由頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)，由無(wú)+2=0得x=-2,此時(shí)，y=-3.

2.【答案】D；

【解析】通過(guò)配方即可得到結(jié)論.

3.【答案】A;

【解析】拋物線y=；x?向左平移3個(gè)單位得到y(tǒng)=g(x+3)2,再向下平移2個(gè)單位后，

所得的拋物線表達(dá)式是y=J(X+3)2-2.

4.【答案】B;

【解析】通過(guò)配方即可得到結(jié)論.

5.【答案】C;

【解析】可畫草圖進(jìn)行判斷.

6.【答案】D;

【解析】解：A、由直線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，n2<0,錯(cuò)誤；

B、由拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上可知，m>0,由直線可知，-m>0,錯(cuò)誤；

C、由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m<0,由直線可知，-m<0,錯(cuò)誤；

D、由拋物線y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上可知，m<0,由直線可知，-m>0,正確，

故選D.

二、填空題

7.【答案】(-1,-1)；x=-1；

【解析】:y=x2+2x=(x+1)2~1,

...二次函數(shù)y=x?+4x的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：(-1,-1),對(duì)稱軸是直線x=-1.

8.【答案】x>—1;

【解析】由解析式可得拋物線的開口向下，對(duì)稱軸是x=-l,對(duì)稱軸的右邊是y隨x的增大而減小，

故x>—1.

9.【答案】(3,4).

【解析】尸-2(x-3)之+4是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)可知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4).

10.【答案】》=一九2—4九一9.

【解析】設(shè)y=a(x+2)2-5過(guò)點(diǎn)(1,—14)得a=-l,所以y=-(x+2『一5=-x?-4x-9.

11.【答案】y=10x+27；

【解析】先化一般式為頂點(diǎn)式，再根據(jù)平移規(guī)律求解.

12.【答案】1;

9212

【解析】C(2,-6),可求y=-/X+3與x軸交于(耳,0),與y軸交于(0,3),S==

三、解答題

13.【答案與解析】

解：(1)列表:

xo1234

yo-3-4-30

描點(diǎn)、連線如圖;

6

X

(2)由圖象可知：當(dāng)yVO時(shí)x的取值范圍是0VxV4.

14.【答案與解析】

1919

(1)由y=—］廣向上平移2個(gè)單位,再向右平移1個(gè)單位所得到的拋物線是y=—5(x—1)+2.

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值是y=2.

(4)由圖象知，對(duì)于一切x的值，總有函數(shù)值y<2.

15.【答案與解析】

(1)證明：...對(duì)稱軸是直線X=l=-至,

2a

.".2a+b=0；

(2)解：,「ax2+bx—8=0的一個(gè)用艮為4,

/.16a+4b-8=0,

*/2a+b=0,

.b——2a,

16a—8a—8—0,

解得：a=l,則b=-2,

/.ax2+bx-8—0為：x2—2x-8—0,

則(x-4)(x+2)=0,

解得：xi=4,X2=-2,

故方程的另一個(gè)根為：-2.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a#0)的圖象與性質(zhì)一知識(shí)講解(基礎(chǔ))

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)丁=奴2+》%+。(。/0)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)丁=。必+6%+。的解

析式寫成y=a(x-/z)2+上的形式；

2.通過(guò)圖象能熟練地掌握二次函數(shù)y=+6%+。的性質(zhì)；

3.經(jīng)歷探索y=a%2+6x+c與y^a(x-h)2+k的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過(guò)程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、二次函數(shù)了=ax2+bx+c(a。0)與y=a(x-h)2+k(a豐0)之間的相互關(guān)系

1.頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式y(tǒng)=a(x-It)2+k我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h,k),所以我們稱

y=a(x-/z)2+左為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-/i)2+左去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式

y=ax1+bx+c.

2.一般式化成頂點(diǎn)式

(bY4ac-b2

—ClXH---H-----------.

I2a)4〃

,/T、2z,7b74ac-b2

對(duì)照y=〃(％-/)+k,可知"=----,k=---------.

2a4a

b(b4.ac—b2>

?，.拋物線y=ax?+"+。的對(duì)稱軸是直線％=----,頂點(diǎn)坐標(biāo)是-----,---------.

2aI2。4。,

要點(diǎn)詮釋：

b(b4ac—>、

1.拋物線y=〃%2+法+。的對(duì)稱軸是直線1=---,頂點(diǎn)坐標(biāo)是-----,---------,可以當(dāng)作公

2a(2。4。,

式加以記憶和運(yùn)用.

2.求拋物線y=1%2+法+。的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這

三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用.

要點(diǎn)二、二次函數(shù)了=〃/+。％+?(。/0)的圖象的畫法

1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；

2.簡(jiǎn)易畫法：五點(diǎn)定形法.

其步驟為：

⑴先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M,并用虛線畫出對(duì)稱軸.

(2)求拋物線y=a—+法+。與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),

當(dāng)拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C,再找到點(diǎn)C關(guān)于

對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D,將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái).

要點(diǎn)詮釋：

當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D,由C、M、D

三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B,

然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，

要點(diǎn)三、二次函數(shù)了=ax2+bx+c（a*0）的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a。0）圖象與性質(zhì)

函數(shù)二次函數(shù)y=a/（&、b、c為常數(shù)，a^O）

a>0a<0

圖象

\A/pv

開口方向向上向下

直線x=—2

對(duì)稱軸直線x=---

2a2a

'b4ac-''b4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)

I2〃’4aJI2a'4aJ

bb

在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)％<----時(shí)，y隨x的增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)九<----時(shí)，V

2a2a

b隨X的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，

增減性大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)％〉----時(shí)，