南京市2024-2025學年度第一學期期末學情調(diào)研測試

高一數(shù)學2025.01

注意事項：

1.本試卷包括單項選擇題（第1題~第8題）、多項選擇題（第9題~第11題）、填空題（第12題~第14題）、解

答題（第15題~第19題）四部分。本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上指定的位置。

3.作答選擇題時，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

4.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；

如需改動，先劃掉原來的答案，再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.設集合U={1,2,3,4,5,6},A=[1,3,6},B=[2,3,4},則4門（[出）=

A.{3}B.{1,6}C.{5,6)D.{1,3)

2."0”是“HW0”的

A.必要且不充分條件B.充分且不必要條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.函數(shù)y（x）=ig（i—國）的定義域為

A.(—8,-1]U[1,+8)B.(一8,—1)U(1,+°°)

C.[-1,1]D.(-1,1)

4.將函數(shù)y=sin（x—今圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式為

A.尸sin%一多71

B.y=sin(2x—j)

C.尸sin5-62兀

D.y=sin(2x—~^)

1兀3兀

5.已知cosa=-§,則cos(g+a)的值為

A.4B.—￥C.|D.￥

4兀_i

6.已知〃=log23,Z?=siiry,c=3則

A.a>b>cB.d>c>>bC.c>b>aD.c>d>b

7.根據(jù)國際標準，室內(nèi)二氧化碳濃度應不超過1000ppm,在這個范圍內(nèi)，室內(nèi)空氣質(zhì)量良好，人體健康不

受到影響.已知某室內(nèi)二氧化碳濃度y（ppm）與開窗通風的時長4分鐘）之間的關系式為尸500+104加-%

eR）.經(jīng)測定，該室內(nèi)初始時刻的二氧化碳濃度為2000ppm,要使該室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國際標準，

則需要開窗通風的時長至少約為（參考數(shù)據(jù)：111321.099,ln5-1.609）

A.6分鐘B.8分鐘C.10分鐘D.12分鐘

8.若命題“Vx>0,（ar—1）（尤2—2or—1）20”是真命題，則實數(shù)a的取值集合為

A.{g}B.{餡}C.{3心率}D.{a[0<aW/}

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，

請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.

9.若a>b>0,則

A.a3>b3B.ab<b2C.D.y+-<2

aba+bba

10.在平面直角坐標系xOy中，點A（一點令，角。的終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為1的圓）交于點8

（A,2不重合），下列說法正確的是

A.若cosd=—則點A和點8關于無軸對稱

B.若cosO=1,則點A和點B關于y軸對稱

C.若點A和點B關于直線>=—X對稱，則sin0=]

D.若。4和OB相互垂直，貝ijtan（9=j

II.函數(shù)1x）滿足：Vx￡R,兀c+l）/（x）=2.已知當xd[0,1）時，/x）=2\則

A./1）=1B.火x）為周期函數(shù)

V

C.4尤）為偶函數(shù)D.方程/（尤）=]恰有3個解

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.已知函數(shù)人尤）=loga（x+2）（a>0,aWl）的圖象經(jīng)過定點P（m,"）,則%+"=▲.

f1

13.已知函數(shù)人x）=[二.二」且皤）=、△，則a=▲，使得上）<、。成立的x的取值范圍是▲

14.已知函數(shù)/）=$皿3+夕）（0>0,0<9<芻圖象的一個對稱中心是（一泉0）,一條對稱軸是直線x=9,

Zoo

且人勸在區(qū)間（0,芻上有且僅有兩個零點，則。=▲

O

四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證

明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知6m=2,6"=5.

(1)求62山一”的值；

(2)用9,“表示Iog2ol5.

16.（本小題滿分15分）

已知檢尸

sinot-cosa

(1)若sina+cosa—且0<1<兀，求五㈤的值;

2，

(2)若求sin2a—3sinacosa的值.

17.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)Kx)的定義域為R,函數(shù)g(x)=y(—X)一大X).

(1)判斷g(x)的奇偶性，并加以證明；

(2)若>x)=3「

①用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：g(x)在R上單調(diào)遞減;

②解關于x的不等式g(4*—9)+g(6—2#i)>0.

18.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+9)(A>0,co>0,一兀<p<0)圖象上相鄰的一"Is1最高點和一個最低點分別

為(居，2),(富，-2).

(1)求/(尤)的解析式；

(2)求“X)在［0,兀］上的單調(diào)增區(qū)間；

(3)設加>1,證明：函數(shù)g(x)=/(?u)一時(x)在(0,+oo)上必有零點.

19.（本小題滿分17分）

設函數(shù)八x）在非空數(shù)集M上的取值集合為N.若NNM,則稱“X）為M上的“T函數(shù)”.

（1）判斷/（x）=sin2r是否為信JT，笥57r上的“T函數(shù)”，并說明理由；

9

（2）若/（x）=log2qZH—1）為團，切3<6）上的“T函數(shù)”，證明：。+6<2；

（3）若存在實數(shù)b,使得/（x）=（x—。）2+6為［0,1］上的“T函數(shù)”，求實數(shù)。的取值范圍.

南京市2024-2025學年度第一學期期末學情調(diào)研測試

高一數(shù)學參考答案2025.01

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.B2.A3.D4.B5.D6.B7.C8.A

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求,

請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.

9.AC10.ACD11.BCD

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

12.-113.（—8,2）14.18

四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說明，證

明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

62m4

解：（1）62"—"=逆=于.....................................................5分

（2）因為6那=2,6'=5,

所以；〃=log62,n=log65................................................7分

從而1。82015=警導.....

9分

Iog620

_log65+log63

11分

log65+log64

Iog65+log63

Iog65+21og62'

因為Iog62+log63=l,

log65+1-log62〃+l—m

所以10g3615..............................13分

16.（本小題滿分15分）

(1)解法1:?=sina+cosa

sina-cosa

因為sina+cosa=巫

2，

所以(sina+cosa)2=T，即2sinoccosa=—

2分

3

從而(sina—cosa)2=1-2sinacosa=2,4分

因為OVaVmsina>0,

又因為sinacosa<0,所以cosaVO,因此sina—cosQ>0,

從而sina—cos(x=?................................................................................................6分

故池=加+3。

7分

sinoc-cosa

解法2：由sina+cosoc=j■■及sin2a+cos2a=1,2分

y[2—y[6

解得sina=」:立,

cosa=A

t.g—加加+也

或since=A,cosot=A,....................................................................4分

因為令<[<兀，

訴“?—逅±2也y[2~y[6

所以sina—4，cosoc—4，

所以sina—cosa=J............................................................................................6分

啦

因此也吐皿=主=坐.....................................7分

sina-cosa^/63

(八到什.zv、sina+cosa1

(2)解法1：fia)=-------------

sinoc-cosa31

所以2sina=—4cosa,...................................................................................................9分

假設cosa=0,則由上式知sina=0,與sin2a+cos2a=l矛盾，

所以cosaWO,

從而tana=12..............................................................................................................11分

siiAx—3sinacosatan2a—3tana

則sin2a_3sinacosa=14分

sin2a+cos26ttan2a+l

4+6

=------=2

4+1乙..................................................................................15分

解法2：人或=電絲31

sinoc-cosa3,

所以sina=—2cosa,

又sin2(x+cos2oc=1,.................................................................................................9分

所以5cos2。=1,即cos2a=±,.............................................................................11分

因止匕sin2(x—3sinacosa=4cos2a+6cos2a=10cos2a..............................................14分

=2.....................................................................................15分

17.(本小題滿分15分)

解：(1)g(x)是R上的奇函數(shù).

因為g(x)定義域為R，對于任意的XGR,都有一xdR,且

g(—x)=fix)~A—x)=~g(x),...........................................3分

所以g(x)是R上的奇函數(shù)...........................................4分

(2)①g(尤)=/—3\

任取X1，尤2GR，不妨設X1<X2,

因為Xi,X2^R,X!<X2,且函數(shù)y=3*在R上單調(diào)遞增，

所以斗一3&>0,1+5%>。，

從而g(Xl)—g(X2)>0,即g(Xl)>g(X2)，

因此g(x)在R上單調(diào)遞減...........................................9分

②因為g(4*—9)+g(6—2#1)>0,

又g&)是R上的奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，

所以g(4‘一9)>g(2/i—6),

從而4工一9<2工+1—6,................................................12分

解得一

所以不等式的解集為(一8,bg23)....................................15分

18.(本小題滿分17分)

解：(1)由題意，A=2,.......................................................1分

又。>0,所以匹=與即0=2........................3分

21212ZCDZ

根據(jù)題意，當x=57^r寸，sin(2X萱57r+9)=1,

5兀兀兀

從而不+夕=1+2析，即9=一§+2女兀，kGZ,

71

又一兀V°V0,故9=一］?...........................................5分

所以F(x)=2sin(2%一令...............................................6分

(2)令一1+2EW2x—§.5+2%兀，.................................8分

貝!J—2knW2xW不+2%兀，左￡Z,

TTS71

即一五適+%兀，kRZ,

TTSIT

所以/(%)的單調(diào)增區(qū)間為[一五+fai,五+far],%￡Z.....................................10分

故〃尤)在[0,河上的單調(diào)增區(qū)間為[0,曾57r]和1屋1jr，兀]...................12分

(3)g(x)=2sin(2mx—2)—2msin(2x——2[sin(2mx—2)—msin(2x—^)]?

當m>1時,

則g(0)=,(%—l)>0,.........................................................................................14分

57rSH77rTT

g(五)=2[sin(-^-一1)一汨/2(1—〃z)<0,...........................................................16分

又g(x)在(0,+oo)上的圖象是一條不間斷的曲線，

所以由零點存在性定理知，

當機>1時，函數(shù)g(x)=f(mjc)-mf(x)^(0,+℃)上必有零點...........17分

19.(本小題滿分17分)

解：⑴由xe哈,瑞],得2xe京，

所以sin2xdg,1],即/(x)的取值集合為七，1],..............................................2分

因為怦,1叵帝泮

所以〃x)=sin2x是為IT哈，S7蘭T]上的“T函數(shù)”.........................4分

9

(2)因為f(x)=log2q”-1)為[。，切(a<6)上的減函數(shù)，

所以/(x)在[a,切的取值集合為l/S),/(a)],......................................................5分

因為了。)為口切上的“T函數(shù)”，

所以|/(b),f(a)]^[a,b],

因此/S)2a,/(a)W6,

9Q

即log2l)》a，log21)W6,.........................................................7分

所以（2。+1）（2匕+1）忘9,（2。+1）（2〃+1）29,

從而（2。+1）（26+1）=9