專題25幾何壓軸題（51題）

一、解答題

1.（2023?北京?統(tǒng)考中考真題）在ABC中、ZB=ZC=a（O°<a<45°）,A〃_L5C于點(diǎn)。是線段MC上

的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M,C重合），將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：。是MC的中點(diǎn);

⑵如圖2,若在線段上存在點(diǎn)尸（不與點(diǎn)8,M重合）滿足連接AE,EF,直接寫出/但'

的大小，并證明.

2.（2022?北京?統(tǒng)考中考真題）在ABC中，ZACB=90,。為，ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接3D,DC,延長(zhǎng)DC到

點(diǎn)、E,使得CE=OC.

（1）如圖1,延長(zhǎng)8C到點(diǎn)F，使得CF=3C,連接AF,EF,若AF_L￡F,求證：BD±AF；

（2）連接AE,交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)//,連接S,依題意補(bǔ)全圖2,^AB2=AE2+BD2,用等式表示線段CD

與市的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.（2020?北京?統(tǒng)考中考真題）在ABC中，ZC=90°,AOBC,D是AB的中點(diǎn).E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連

接DE,過點(diǎn)D作DFLDE,交直線BC于點(diǎn)F,連接EF.

（1）如圖1,當(dāng)E是線段AC的中點(diǎn)時(shí)，^AE=a,BF=b,求EF的長(zhǎng)（用含a,6的式子表示）；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AE,EF,BF之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

圖2

4.（2019?北京?中考真題）已知4403=30。，H為射線OA上一定點(diǎn)，=+P為射線OB上一點(diǎn)，

M為線段OH上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM,滿足NOMP為鈍角，以點(diǎn)P為中心，將線段PM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150。，得

到線段PN,連接ON.

（1）依題意補(bǔ)全圖1;

（2）求證：/0MP=/OPN；

（3）點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)為Q,連接QP.寫出一個(gè)OP的值，使得對(duì)于任意的點(diǎn)M總有ON=QP,并

證明.

5.（2023?北京海淀?清華附中?？家荒＃┰冢珹BC中，AB=AC,ABAC=90°,過點(diǎn)A作2C的垂線AD,

垂足為DE為射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE,以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到線段AF,連接環(huán)，與直線AD交于點(diǎn)G.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段8上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：點(diǎn)G為8尸的中點(diǎn).

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示AE,BE,AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）如圖，直線AB,8交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是jOC平分線的一點(diǎn)，點(diǎn)M,N分

別是射線。4,OC上的點(diǎn)，且ME=NE.

⑴求證：ZMEN=ZAOC；

（2）點(diǎn)尸在線段NO上，點(diǎn)G在線段NO延長(zhǎng)線上，連接E尸，EG,若EF=EG,依題意補(bǔ)全圖形，用等式

表示線段NF,OG,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

7.（2023.北京東城?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，AB=AC,4c=（z,點(diǎn)。在3c邊上，以點(diǎn)A為中

心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接班.

⑴求證：BA平分NEBC；

⑵連接OE交A3于點(diǎn)F過點(diǎn)C作CG〃AB,交瓦＞的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.補(bǔ)全圖形，用等式表示線段EF與DG

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

8.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）如圖，=點(diǎn)A在ON上，過點(diǎn)A作的平行線，與NMON的平

分線交于點(diǎn)2，點(diǎn)C在上（不與點(diǎn)。，B重合），連接AC,將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-￡，得

到線段AD,連接80.

⑴直接寫出線段AO與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明ZMOB=NDBA；

⑵連接DC并延長(zhǎng)，分別交48,于點(diǎn)E,F.若a=60。，用等式表示線段E尸與AC之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

9.（2023?北京海淀?統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，AB^AC,Zft4c=2］（45。＜a＜90。），。是2C的中點(diǎn),

E是的中點(diǎn)，連接AE.將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到射線40,過點(diǎn)E作EF_LAE交射線A0于

點(diǎn)、F.

⑴①依題意補(bǔ)全圖形;

②求證：ZB=ZAFE；

(2)連接Cb,DF,用等式表示線段Cb,。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

10.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)如圖，正方形ABCO中，點(diǎn)E,尸分別在BC,8上，BE=CF,AE,BF交于

點(diǎn)G.

備用圖

⑴求NAG/的度數(shù)；

(2)在線段AG上截取MG=BG,連接DM,ZAGF的角平分線交DM于點(diǎn)N.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

11.(2023?北京房山?統(tǒng)考二模)如圖，^BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。是班延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DC,點(diǎn)

E和點(diǎn)B關(guān)于直線。C對(duì)稱，連接BE交AC于點(diǎn)孔連接EC現(xiàn)＞,￡＞尸.

(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求/DEC的度數(shù)；

(2)用等式表示線段EC,即和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.(2023?北京西城?統(tǒng)考二模)如圖，在ABC中，邊A3繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。＜&＜180。)得到線段BD,

邊AC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-a得到線段CE,連接DE,點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn).

(1)以點(diǎn)尸為對(duì)稱中心，作點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)尸的對(duì)稱點(diǎn)G,連接3G,DG.

①依題意補(bǔ)全圖形，并證明AC=DG；

②求證：NDGB=ZACB；

(2)若a=60。，且FHLBC于H,直接寫出用等式表示的短7與BC的數(shù)量關(guān)系.

13.(2023?北京海淀??？级?已知等邊ABC,其中點(diǎn)。、E是過頂點(diǎn)B的一條直線/上兩點(diǎn)

⑴如圖1,ZADB=NCEB=60°,求證：AD=BE

⑵如圖2,ZADB=ZCEB=90°,BD=1,BE=2,求A。的長(zhǎng).

14.（2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接

點(diǎn)E在直線AD上（點(diǎn)尸與點(diǎn)。不重合），且EF=EB.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段40上（不與端點(diǎn)重合）時(shí).

①求證：2AFE?ABE;

②用等式表示線段A3,AE,AF的數(shù)量關(guān)系并證明；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上（不與端點(diǎn)重合）時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段AB,AE,"的數(shù)量關(guān)

系.

15.（2023?北京石景山?統(tǒng)考一模）在ABC中，/ACB=90。，C4=CB,點(diǎn)。為射線C4上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作

DE〃CB且DE=CB(點(diǎn)E在點(diǎn)。的右側(cè))，射線ED交射線以于點(diǎn)/，點(diǎn)H是AF的中點(diǎn)，連接HC,HE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段C4上時(shí)，判斷線段HE與AC的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段C4的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2.用等式表示線段CB,CD,曲之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

16.(2023?北京東城?統(tǒng)考二模)如圖，在菱形ABCD中，ZBAD=60°,E是AB邊上一點(diǎn)(不與A,8重合),

點(diǎn)/與點(diǎn)A關(guān)于直線OE對(duì)稱，連接。尸.作射線CP,交直線OE于點(diǎn)P,設(shè)NADP=q.

(1)用含a的代數(shù)式表示/DCP；

(2)連接AP,AF.求證：.APF是等邊三角形；

(3)過點(diǎn)8作BG1.OP于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作8的平行線，交CP于點(diǎn)”.補(bǔ)全圖形，猜想線段CH與PH之間

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

17.(2023?北京門頭溝?統(tǒng)考一模)已知正方形ABCD和一動(dòng)點(diǎn)E,連接CE,將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段CF,連接BE,DF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABC。內(nèi)部時(shí),

①依題意補(bǔ)全圖1:

②求證：BE=DF；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，連接AF,取■中點(diǎn)M,連接AE,DM,用等式表示線段AE

與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明.

18.(2023?北京通州?統(tǒng)考一模)直線是線段A3的垂直平分線，垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn),

連接AC.以AC為斜邊作等腰直角，ACD,連接OD.

(1汝口圖1,若CO=AB,求4OD的度數(shù)；

(2)如圖2所示，點(diǎn)E是直線MO上一點(diǎn)，且CE=,連接DE,延長(zhǎng)DO至點(diǎn)尸，使得OF=OD,連接AF.根

據(jù)題意補(bǔ)全圖2,寫出線段。瓦4尸之間的關(guān)系，并證明.

19.(2023?北京昌平?統(tǒng)考二模)在等邊二ASC中，點(diǎn)。是A3中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)，連接

DE,ZDEB=a^0°<a<60°),將射線ZM繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到射線DQ,點(diǎn)尸是射線。。上一點(diǎn),

S.DF=DE,連接尸E,尸C.

(1)補(bǔ)全圖形；

⑵求/￡DF度數(shù)；

(3)用等式表示用，尸C的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.(2023?北京平谷?統(tǒng)考一模)在ABC中，BDLAC,E為48邊中點(diǎn)，連接CE,8。與CE相交于點(diǎn)尸,

過E作EA/_LEF,交BD于點(diǎn)M,連接CM.

(1)依題意補(bǔ)全圖形;

(2)求證：ZEMF=ZACF；

⑶判斷由公CM、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.

21.(2023?北京朝陽?統(tǒng)考二模)在ABC中，AC^BC,/ACB=90。，點(diǎn)。在BC邊上(不與點(diǎn)8,C重

合)，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AE,連接。E.

(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并證明：ZEAC=ZADC；

(2)過點(diǎn)C作AB的平行線，交DE于點(diǎn)F,用等式表示線段所與。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

22.(2023?北京?統(tǒng)考一模)如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)8,C重

合)，連接AD,過點(diǎn)C作CELAD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BELCE,交直線CE于點(diǎn)廠.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示線段CE與即的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)點(diǎn)G為48中點(diǎn)，連接FG,用等式表示線段AE,BF,FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

23.(2023?北京房山?統(tǒng)考一模)如圖，正方形45CO中，點(diǎn)E是邊2C上的一點(diǎn)，連接AE,將射線AE繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接EF,取EF中點(diǎn)G,連接DG.

⑴依題意補(bǔ)全圖形；用等式表示NADG與/CDG的數(shù)量關(guān)系，并證明;

⑵若DG=?F，用等式表示線段BC與班的數(shù)量關(guān)系，并證明.

24.（2023?北京朝陽?清華附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，ABC中，AB=AC,ABAC<60°,將線段A3繞點(diǎn)A

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)D,點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于直線BC對(duì)稱，連接CD,CE,DE.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

⑵判斷,.CDE的形狀，并證明；

（3）請(qǐng)問在直線CE上是否存在點(diǎn)P,使得PA-PB=CD成立?若存在，請(qǐng)用文字描述出點(diǎn)P的準(zhǔn)確位置，

并畫圖證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

25.（2023?北京大興?統(tǒng)考一模）在ABC中，AC=BC,NC=90。，點(diǎn)。為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,

C重合)，連接AD,點(diǎn)E為A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且。E=AD，作點(diǎn)E關(guān)于射線CB的對(duì)稱點(diǎn)尸，連接M,DF.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形，求證：ZDAB=ZDFB-,

②用等式表示線段BO,BF,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接用等式表示線段3。，BF,8c之間的數(shù)量關(guān)系.

26.(2023?北京東城?北京市廣渠門中學(xué)?？级?如圖，在ABC中，AB^AC,ZSAC=120°.。是AB

邊上一點(diǎn)，DE1AC交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)用等式表示AD與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)連接BE,延長(zhǎng)BE至尸，使EF=BE.連接。C,CF,DF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②判斷.08的形狀，并證明.

27.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知：如圖，ABC中，AC=BC,NACB=90。，點(diǎn)。在A3邊上，點(diǎn)A

關(guān)于直線8的對(duì)稱點(diǎn)為E,射線8E交直線8于點(diǎn)尸，連接AF.

（1）設(shè)NACD=e,用含a的代數(shù)式表示NC2尸的大小，并求NCEB的度數(shù);

（2）用等式表示線段AT,CF,砥之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

28.（2023?北京豐臺(tái)?二模）如圖，在等邊［ASC中，點(diǎn)。，E分別在CB,AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE,EB

的延長(zhǎng)線交AO于點(diǎn)?

⑴求NAFE的度數(shù)；

⑵延長(zhǎng)E尸至點(diǎn)G,使FG=AF,連接CG交AD于點(diǎn)凡依題意補(bǔ)全圖形，猜想線段CH與G4的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

29.（2023.北京海淀??？家荒＃┰?ABC中，AB^AC,過點(diǎn)C作射線CQ,使NACB，=NACB（點(diǎn)E與點(diǎn)

8在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)。是射線CB'上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且Zn4E+ZACD=90。.

‘B'fB'

AA

BC(E)B

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，A。與C?的位置關(guān)系是，若BC=a,則CO的長(zhǎng)為:

（用含。的式子表示）

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接OE.

①用等式表示/A4C與—ZME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②用等式表示線段BE,CD,OE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

30.（2023?北京延慶?統(tǒng)考一模）如圖，在，ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AO是BC邊上的高，點(diǎn)E是

邊A8上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），連接CE交AD于點(diǎn)孔將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段

⑴如圖1,當(dāng)CE是/ACB的角平分線時(shí),

①求證：AE=AF；

②直接寫出ZCAG='

（2）依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段",AC,AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

31.（2023?北京門頭溝?二模）如圖，在一ASC中，/ACB=90。，點(diǎn)。在BC延長(zhǎng)線上，且DC=AC,將ABC

延方向平移，使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)。，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)E,點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)f，得到連接CE,過點(diǎn)尸

作FG_LCE于G.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

⑵求證：CG=FG；

(3)連接3G,用等式表示線段3G,1加的數(shù)量關(guān)系，并證明.

32.(2023?北京平谷?統(tǒng)考二模)在ASC中，NACB=90。，點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

CE=CD,尸為CB邊上一點(diǎn)，E尸上射線AD于點(diǎn)K,過點(diǎn)。作直線DG_LAB于G,交E尸于點(diǎn)〃，作ZAGD

的角平分線交AO于過點(diǎn)M作的平行線，交DG于點(diǎn)0,交8C于點(diǎn)Q,交EF于點(diǎn)、N,MO=NO.

⑴找出圖中和ND//K相等的一個(gè)角，并證明;

(2)判斷EH、FN、的數(shù)量關(guān)系，并證明.

33.(2023?北京石景山?統(tǒng)考二模)如圖，在一ABC中，AB=AC,ZACB^la,平分/ABC交AC于點(diǎn)

E,點(diǎn)尸是ED上一點(diǎn)且NE4/=a.

A

D

K

BN------------------------------

(1)求NA/中的大小(用含a的式子表示)；

(2)連接FC,用等式表示線段用與網(wǎng)的數(shù)量關(guān)系，并證明.

34.(2023?北京順義?統(tǒng)考二模)已知：/ABC=120。，D,E分別是射線54,3c上的點(diǎn)，連接OE,以

點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，將線段OE繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到線段。尸，連接麻，BF.

⑴如圖1,當(dāng)BDuBE時(shí)，求證：BF=2BD；

圖1

(2)當(dāng)3D/BE時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段3。，BF,3E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖2

35.(2023?北京大興?統(tǒng)考二模)如圖，在ABC中，/B=45。,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD,

且點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)。作DE1AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)OE交A3于點(diǎn)F

A

(1)依題意補(bǔ)全圖形.求證：/BDF=g/CAD；

(2)用等式表示線段8與M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

36.(2023?北京西城?北京市第十三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D是

中點(diǎn)，連接AD點(diǎn)M在線段上(不與點(diǎn)A,。重合)，連接M2,點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上且血化=

MB,連接

⑴比較/ABM與NAEM的大小，并證明；

(2)用等式表示線段AM,AB,AE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

37.(2023?北京海淀?北理工附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在四邊形ABCD中，AD=AB,ZA=90°,ZC=45°,

作NCDE=135。，使得點(diǎn)E和點(diǎn)A在直線8異側(cè)，連接AC,將射線AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。交射線OE

于點(diǎn)F.

⑴①依題意，補(bǔ)全圖形;

②證明：DF=BC.

（2）連接BD,若G為線段8。的中點(diǎn)，連接CG,請(qǐng)用等式表示線段CG與"之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

38.（2023?北京海淀?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）在等邊ABC中，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AD上

一點(diǎn)（不與A、。重合），連接￡B、EC.

將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至使點(diǎn)產(chǎn)落在54的延長(zhǎng)線上，在圖1中補(bǔ)全圖形：

⑴求NC砂的度數(shù)；

（2）探究線段AC、AE.AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

⑶將線段召C繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中與邊54交于點(diǎn)"，連接"，若AB=5,當(dāng)=時(shí)，請(qǐng)寫出

CH+CE的最小值.

39.（2023?北京海淀?北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知：在ABC中，ZA=45°,ZABC=a,以

BC為斜邊作等腰RtBDC,使得A,。兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，過點(diǎn)。作DEIAB于點(diǎn)E.

⑴如圖1,當(dāng)a=20。時(shí)，

c

①直接寫出NCDE的度數(shù)；

②判斷線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑵當(dāng)45。＜夕＜90。時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,請(qǐng)直接寫出線段AE與8C的數(shù)量關(guān)系（用含a的式子表示）.

40.（2023?北京東城?北京市廣渠門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在ABC中，AC=BC,ZACB=90°,點(diǎn)。在邊

AC上,將射線BD繞點(diǎn)、B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到射線,過點(diǎn)。作DE工8W于E,延長(zhǎng)CB到尸，使BF=AD,

連接E尸.

（1）依題意，補(bǔ)全圖形，判斷線段AE與所的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）若X為線段的中點(diǎn)，連接AH,請(qǐng)用等式表示線段AE與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

41.（2023?北京西城?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,過點(diǎn)A作的

垂線AD,垂足為￡＞,E為射線DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接AE,以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AF,連接8尸，與直線AO交于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段CO上時(shí)，

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：點(diǎn)G為BE的中點(diǎn).

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，用等式表示AE,BE,AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

42.(2023?北京東城?北京市廣渠門中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在.ABC中，AC^BC,NACB=90。，點(diǎn)D

在邊AC上，將射線8。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到射線瓶，過點(diǎn)。作。以于E,延長(zhǎng)CB到歹，使

BF=AD,連接所.

(1)依題意，補(bǔ)全圖形，判斷線段AE與所的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)若H為線段8。的中點(diǎn)，連接請(qǐng)用等式表示線段AE與AH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

43.(2023?北京??？寄M預(yù)測(cè))已知如圖所示，ASC中，線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段AD,

過。作的垂線/,直線/上取一點(diǎn)E使得。E=2畫，連接AE.

⑴直接寫出ZBAC與4DE大小關(guān)系」

⑵求.ABC與VADE的面積比;

（3）延長(zhǎng)CB使跖=BC,連接AF,補(bǔ)全圖形,并探究線段AF與線段AE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明.

44.（2023?北京?統(tǒng)考二模）ABC中，ZACS=90°,AC=3C,點(diǎn)。為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CO上,

連接AE,將線段AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AF,連接Cr.

（圖2）

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求證:CF=AE；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡在線段8上（與點(diǎn)C,。不重合）時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2；用等式表示線段CF,ED,4）之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明.

45.（2023?北京海淀??？寄M預(yù)測(cè)）已知43=8。，ZABC=90°,直線/是過點(diǎn)2的一條動(dòng)直線（不與直

線AB,8c重合），分別過點(diǎn)A,C作直線/的垂線，垂足為E.

\

\

___

..^BC8C

ffil善用圖

(1)如圖1,當(dāng)45。＜/&3。＜90。時(shí)，

①求證：CE+DE=AD；

②連接AE,過點(diǎn)。作。HLAE于“，過點(diǎn)A作AA/8C交。H的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?依題意補(bǔ)全圖形，用等式

表示線段。ABE,OE的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)在直線/運(yùn)動(dòng)的過程中，若。E的最大值為3,直接寫出AB的長(zhǎng).

46.(2023?北京?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖1,在等腰RSA8C中，ZBAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)M為8c中

點(diǎn).點(diǎn)尸為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為3C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接。P,以點(diǎn)P