九平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示(時(shí)間:45分鐘分值:80分)【基礎(chǔ)全面練】1.(5分)(2024·南昌高一檢測(cè))已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b等于()A.(6,0) B.(-6,0)C.(-6,-8) D.(6,8)【解析】選C.向量a=(3,2),b=(0,-1),則-2a+4b=(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).2.(5分)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,則c=()A.1,83 B.133,83C.133,43 D.-133,-43【解析】選D.因?yàn)閍=(5,-2),b=(-4,-3),且a-2b+3c=0,所以c=-13(a-2b)=-133,-43【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·保定高一檢測(cè))已知命題p:m=(a,a2),n=(1,2),m與n共線,命題q:a=2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.充分性:由m與n共線,則a1=a22,解得a=2或0,p是必要性:當(dāng)a=2,時(shí)m=(2,4),由21=42,則m與n共線,p是q3.(5分)(2024·無(wú)錫高一檢測(cè))已知點(diǎn)A(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1),若A,B,C三點(diǎn)共線,則的坐標(biāo)為()A.(-2,2) B.(2,-2)C.(2,2) D.(-2,-2)【解析】選D.由題意可知=(m-6,-2),=(2,m-2),由于A,B,C三點(diǎn)共線,所以與共線,則有(m-6)(m-2)=-4?(m-4)2=0?m=4,所以=(-2,-2).4.(5分)(2024·廣州高一檢測(cè))已知點(diǎn)O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A.143,-1 B.103,1C.143,-1或103,1 D.143,1或103,1【解析】選C.方法一:因?yàn)?(2,3),=(6,-3),可得=-=(4,-6),又因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn),則=23=83,-4或=13=43,-2,所以=+=143,-1或=+=103,1,即P點(diǎn)的坐標(biāo)為143,-1或103,1.方法二:由方法一知,=23或=13,設(shè)點(diǎn)P(x,y)則=-=(x-2,y-3),又=-=(4,-6),所以x?2=23×4y?3=所以x=143即P點(diǎn)的坐標(biāo)為143,-1或103,1.5.(5分)(多選)(2024·南陽(yáng)高一檢測(cè))已知向量a,b是兩個(gè)非零向量,在下列四個(gè)條件中,一定能使a,b共線的是()A.2a-3b=4e且a+2b=-2eB.存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa-μb=0C.xa+yb=0(其中實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=0)D.a=(1,-2),b=(-1,2)【分析】對(duì)于A選項(xiàng),可直接解出a=27e,b=-87e,則a,b共線;對(duì)于BD選項(xiàng),由向量共線定理即可判定;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)x=y=0時(shí),【解析】選ABD.對(duì)于A,因?yàn)?a-3b=4e且a+2b=-2e,解得a=27e,b=-87e,此時(shí)一定能使a,b共線,則A對(duì)于B,存在相異實(shí)數(shù)λ,μ,使λa=μb,由向量共線定理即可判定a,b共線,故B選項(xiàng)正確;對(duì)于C,當(dāng)x=y=0時(shí),a,b不一定共線,則C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D,a=-b,由向量共線定理即可判定a,b共線,故D選項(xiàng)正確.6.(5分)已知向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則3a-b=________.

答案:(5,10)【解析】向量a=(m,2)與b=(-2,-4)共線,則(-4)×m=2×(-2),解得m=1,所以3a-b=3(1,2)-(-2,-4)=(5,10).7.(5分)(2023·上海高一檢測(cè))已知三點(diǎn)P,P1,P2在一條直線上,點(diǎn)P1(0,-6),P2(4,0),且=-2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為____________.

答案:(2,-3)【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),由P1(0,-6),P2(4,0),則=(4,6),=(-x,-6-y),又=-2,則4=?2×(?x)6=?2×(?6?y即P(2,-3).8.(10分)(2023·清遠(yuǎn)高一檢測(cè))如圖所示,已知?ABCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6).(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)已知點(diǎn)M(8,10),判斷A,M,C三點(diǎn)的位置關(guān)系,并證明.【解析】(1)由平行四邊形可得:=,又A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),=(4,1),所以=-=(5,6)-(4,1)=(1,5),所以D的坐標(biāo)為(1,5);(2)A,M,C三點(diǎn)共線;因?yàn)锳(-1,-2),C(5,6),M(8,10),所以=(6,8),=(9,12)=32,又,有公共點(diǎn)A,所以A,M,C三點(diǎn)共線.【綜合應(yīng)用練】9.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),若2a+b,a-c反向共線,則實(shí)數(shù)x的值為()A.-7 B.3 C.3或-7 D.-3或7【解析】選A.因?yàn)橄蛄縜=(1,-2),b=(x,-1),c=(-4,x),所以2a+b=(2+x,-5),a-c=(5,-2-x),因?yàn)?a+b,a-c反向共線,所以(2+x)×(-2-x)-(-5)×5=0,解得x=3或x=-7,又2a+b,a-c反向共線,代入驗(yàn)證可知x=3時(shí)為同向,舍去,x=-7滿足條件,所以x=-7.10.(5分)(多選)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么()A.+=(λ-1,1-μ)B.若∥,則λ=2,μ=12C.若A是BD的中點(diǎn),則B,C兩點(diǎn)重合D.若點(diǎn)B,C,D共線,則μ=1【解析】選AC.A選項(xiàng),+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng),若∥,則λμ=1,故也可取λ=3,μ=13,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng),若A是BD的中點(diǎn),則=-,即(λ,1)=(-1,-μ)?λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C兩點(diǎn)重合,C選項(xiàng)正確;D選項(xiàng),由于B,C,D三點(diǎn)共線,所以∥,=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1,μ)-(λ,1)=(1-λ,μ-1),則(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ)?λ=-1或μ=1,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.11.(5分)已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.

【分析】方法一:利用向量的共線可設(shè)=λ=(4λ,4λ),表示出,的坐標(biāo),根據(jù)向量共線列出方程,即可求得答案;方法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y),進(jìn)而表示出相關(guān)向量的坐標(biāo),根據(jù)向量共線,列出方程,求得答案.答案:(3,3)【解析】方法一:由O,P,B三點(diǎn)共線,可設(shè)=λ=(4λ,4λ),則=-=(4λ-4,4λ),又=-=(-2,6),由,共線,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以=34=(3,3),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3);方法二:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x,y),因?yàn)?(4,4),且與共線,所以4x-4y=0,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且,共線,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).12.(10分)(2024·鄭州高一檢測(cè))已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判斷與是否共線?如果共線,它們的方向相同還是相反?【解析】因?yàn)?(1,3)-(-1,-1)=(2,4),=(2,5)-(-1,-1)=(3,6),因?yàn)?×6-3×4=0,所以∥,所以與共線.又=23,所以與的方向相同.13.(10分)如圖,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,M為CE的中點(diǎn),用向量的方法證明:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三點(diǎn)共線.【證明】如圖,以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,令||=1,則||=1,||=2.因?yàn)镃E⊥AB,且AD=DC,所以四邊形AECD為正方形,所以可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,