電工基礎(chǔ)Worksummary動(dòng)態(tài)電路的暫態(tài)響應(yīng)05

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】一階電路的基本概念5.１在一次繞組中加上交變電壓u1，根據(jù)右手螺旋定則，產(chǎn)生交鏈一、二次繞組的交變磁通Φ

，在兩繞組中分別感應(yīng)電動(dòng)勢e。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，當(dāng)變壓器二次側(cè)帶負(fù)載時(shí)，則產(chǎn)生感應(yīng)電流，在負(fù)載上形成二次電壓u2

。知識(shí)目標(biāo)掌握換路定律及初始值的確定能力目標(biāo)熟悉一階線性電路暫態(tài)過程；素質(zhì)目標(biāo)1.培養(yǎng)開拓創(chuàng)新精神，具備終身學(xué)習(xí)，接受新思維的能力與素質(zhì)。2.培養(yǎng)勇于實(shí)踐的學(xué)習(xí)習(xí)慣；樹立正確的工作態(tài)度，形成規(guī)范操作的職業(yè)習(xí)慣。.暫態(tài)過程動(dòng)態(tài)電路：含有動(dòng)態(tài)元件（電感或者電容）的電路。當(dāng)動(dòng)態(tài)電路的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，需要經(jīng)歷一個(gè)變化過程才能達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。

如圖實(shí)驗(yàn)：當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí),電阻支路的燈泡立即發(fā)亮,而且亮度始終不變,說明電阻支路在開關(guān)閉合后沒有經(jīng)歷過渡過程,立即進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。電感支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間不亮,然后逐漸變亮,最后亮度穩(wěn)定不再變化。

電容支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間很亮,然后逐漸變暗直至熄滅。

實(shí)驗(yàn)電路結(jié)論：

電感支路的燈泡和電容支路的燈泡達(dá)到最后穩(wěn)定，都要經(jīng)歷一段過渡過程。一般說來,電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程叫做電路的過渡過程。實(shí)際電路中的過渡過程是暫時(shí)存在最后消失,故稱為暫態(tài)過程,簡稱暫態(tài)。專業(yè)教學(xué)資源庫.暫態(tài)過程暫態(tài)對電路的影響：電路的暫態(tài)時(shí)間很短，但會(huì)給電路帶來比穩(wěn)態(tài)大得多的過電流和過電壓。利用它一方面可用來產(chǎn)生所需要的波形或電源，但另一方面它又可能會(huì)使電氣設(shè)備工作失效，甚至造成嚴(yán)重的事故。

含有儲(chǔ)能元件L、C（或稱動(dòng)態(tài)元件）的動(dòng)態(tài)電路在換路時(shí)通常都要產(chǎn)生過渡過程。換路：電路元件連接方式或參數(shù)的突然改變時(shí)，電路將由一種狀態(tài)變換為另外一種狀態(tài)，電路中的這種條件改變就稱為電路的換路。如：開關(guān)的閉、合，電路通電、斷電、短路、電信號(hào)突變、或電路參數(shù)突然發(fā)生變化等等。.換路定律換路瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，即t＝0，則

t=0-，表示換路前最后一瞬間；

t=0+，表示換路后最初一瞬間；換路經(jīng)歷的時(shí)間為0－~0＋。換路需要滿足的三個(gè)條件：1.電路中至少需要一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。2.電路需要換路。3.換路后的瞬間，電容電壓、電感電流值不等于新的穩(wěn)態(tài)值。換路定律內(nèi)容：當(dāng)電路中的電容電流和電感電壓為有限值時(shí)，換路后一瞬間電容的電壓和電感的電流保持換路前一瞬間的原有值，不能躍變。即：關(guān)于換路定律說明：.換路定律例如：圖中

iC

與uL

在換路時(shí)都為有限值。CiCu)0(=tSRCSULuLiL)0(=tSRSU

（1）當(dāng)iC

與uL

為有界函數(shù)時(shí)換路定則成立。（2）當(dāng)iC→∞與uL→∞時(shí)換路定律則不成立。S閉合以前uC(0－)=0換路后，由KVL可知：

因?yàn)榇藭r(shí)，即t=0時(shí)，uC從0跳變?yōu)閁S，所以

iC→∞，換路定律不成立。例如：右圖電路又如右圖：這兩種情況均不滿足換路定律。滿足換路定律要求電路中無全電容回路(C-C,uS-C)，或無全電感回路(L-L,iS-L)；.換路定律初始值：.初始值

換路后的最初一瞬間（即t=0+時(shí)刻）的電流、電壓值,統(tǒng)稱為初始值。

分析動(dòng)態(tài)電路的過渡過程的方法之一是根據(jù)KCL、KVL和支路的VCR建立描述電路的方程，建立的方程是以時(shí)間為自變量的線性常微分方程，然后求解，從而得到電路的所求變量（電壓或電流）。此方法稱為經(jīng)典法，它是一種在時(shí)間域中進(jìn)行的分析方法。用經(jīng)典法求解常微分方程時(shí)，必須根據(jù)電路的初始條件確定解答中的積分常數(shù)。即需求電路的相關(guān)初始值。分為：獨(dú)立初始值：

uC(0+)，iL(0-).據(jù)換路定律確定。非獨(dú)立初始值：除

uC(0+)，iL(0-)之外t=0+時(shí)刻其他響應(yīng)值。需在換路后瞬間的等效電路中求解。初始值1.求獨(dú)立初始值

(1)作t=0-等效電路,按穩(wěn)態(tài)電路計(jì)算求出uC(0—)和iL(0—);

注意：直流時(shí)：C元件開路，L元件短路。(2)根據(jù)換路定律確定出uC(0+)及

iL(0+)。2.非獨(dú)立初始值計(jì)算

(1)畫換路后電路的0+

等效電路：用電壓為uC(0+)的電壓源和電流為iL(0+)的電流源取代原電路中C和L的位置;(2)由t=0+等效電路計(jì)算待求的電壓或電流的初始值。初始值求解初始值注意（1）0+

等效電路與原動(dòng)態(tài)電路只在0+瞬間等效，且0+

等效電路是電阻性電路。（2）t=0+時(shí)和t>0+時(shí)電路狀態(tài)是不同的。初始值

例1：

電路如圖示，S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)S閉合。求：初值

i1(0+)，i2(0+)和iC(0+)。解：（1）求uC(0－)：畫出

t=0－

等效電路（2）由換路定律可知：初始值

畫出

t=0+等效電路。其中C元件用

uC(0+)=12V的理想電壓源替代。（3）求i1(0+)、i2(0+)和

iC(0+)：則：.初始值

例2：

圖示電路，S打開前電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)S打開。求：

iC(0+)，iR1(0+)和

uL(0+)。解：（1）作出t=0-

等效電路.初始值（3）畫出t=0+等效電路（2）由換路定律可知：

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】一階電路的零輸入響應(yīng)5.2在一次繞組中加上交變電壓u1，根據(jù)右手螺旋定則，產(chǎn)生交鏈一、二次繞組的交變磁通Φ

，在兩繞組中分別感應(yīng)電動(dòng)勢e。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，當(dāng)變壓器二次側(cè)帶負(fù)載時(shí)，則產(chǎn)生感應(yīng)電流，在負(fù)載上形成二次電壓u2

。知識(shí)目標(biāo)掌握RC、RL電路的零輸入響應(yīng)；能力目標(biāo)了解微分和積分電路；素質(zhì)目標(biāo)1.培養(yǎng)開拓創(chuàng)新精神，具備終身學(xué)習(xí)，接受新思維的能力與素質(zhì)。2.培養(yǎng)勇于實(shí)踐的學(xué)習(xí)習(xí)慣；樹立正確的工作態(tài)度，形成規(guī)范操作的職業(yè)習(xí)慣。專業(yè)教學(xué)資源庫動(dòng)態(tài)電路方程：.動(dòng)態(tài)電路基本知識(shí)一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是一階線性微分方程。描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程，稱為動(dòng)態(tài)電路方程動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)；二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是二階線性微分方程。.零輸入響應(yīng)定義：激勵(lì)(獨(dú)立電源)為零，僅由儲(chǔ)能元件初始儲(chǔ)能作用于電路產(chǎn)生的響應(yīng)。如圖所示電路,開關(guān)處于位置1時(shí)，電路已處于穩(wěn)態(tài)，uC

(0-)=U0，在t=0瞬間進(jìn)行換路,即將開關(guān)K由“１”切換到“２”位置上。這時(shí)電阻R與電容C構(gòu)成串聯(lián)電路。電阻R吸收電能，即電容C通過電阻R放電，回路中的響應(yīng)屬于零輸入響應(yīng)。換路后,根據(jù)基爾霍夫電壓定律,可得:

uR=Ri（1）RC電路的零輸入響應(yīng)－－指輸入信號(hào)為零，即激勵(lì)為零，由電容元件的初始狀態(tài)uC

(0+)所產(chǎn)生的電流和電壓。實(shí)為RC放電電路一階線性常系數(shù)齊次微分方程,它的通解為代入上式得：特征根特征方程RCp+1=0則初始值

uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0.零輸入響應(yīng)令=RC,稱為一階電路的時(shí)間常數(shù)，單位：秒（S）.零輸入響應(yīng)U0it0I0

電壓、電流以同一指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于RC乘積即

時(shí)間常數(shù)

。放電過程中電容電壓uC是連續(xù)的，而非突變（躍變）的在換路瞬間，i

(0－)=0，i

(0+)=U0/R，電流發(fā)生了躍變！tuC0RC一階電路零輸入響應(yīng)的電壓電流變化曲線：.零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時(shí)間的長短

大過渡過程時(shí)間的長

小過渡過程時(shí)間的短電壓初值一定R

大（C不變）i=u/R放電電流小放電時(shí)間長C

大（R不變）w=0.5Cu2

儲(chǔ)能大τ=2.0τ=1.5τ=1.0τ=0.5uCt0.零輸入響應(yīng)U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上認(rèn)為,經(jīng)過3

-5

（電容的電壓衰減到原來電壓的5%或0.7%），過渡過程結(jié)束。

——衰減到初始值的36.8%所需的時(shí)間t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0

0.368U0時(shí)間常數(shù)τ是一階電路的一個(gè)非常重要的參數(shù)。當(dāng)t＝0時(shí)，uC=U0e0=U0;

當(dāng)t=

時(shí)，

uC=U0e-1=0.368U0。t取不同值時(shí)，電容電壓uC的值.零輸入響應(yīng)

例：

供電局向某一企業(yè)供電電壓為１０kV,在切斷電源瞬間,電網(wǎng)上遺留有的電壓。已知送電線路長L=30km,電網(wǎng)對地絕緣電阻為500MΩ,電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008μF/km,求

(1)拉閘后1分鐘,電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？

(2)拉閘后10分鐘,電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？解電網(wǎng)拉閘后,儲(chǔ)存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對地絕緣電阻放電,這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問題。由題意知,長30km的電網(wǎng)總電容量為對于時(shí)間常數(shù)τ=RC，理論計(jì)算時(shí)可以擴(kuò)展。其中電容C可擴(kuò)展到多個(gè)電容串、并聯(lián)的等效電容。電阻R可以看成是電路中所有電源都不作用，從電容C兩端等效的等效電阻。

.零輸入響應(yīng)放電電阻為時(shí)間常數(shù)為

電容上初始電壓為在電容放電過程中,電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為故

例：

供電局向某一企業(yè)供電電壓為１０kV,在切斷電源瞬間,電網(wǎng)上遺留有的電壓。已知送電線路長L=30km,電網(wǎng)對地絕緣電阻為500MΩ,電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008μF/km,.零輸入響應(yīng)（2）RL電路的零輸入響應(yīng)

在無電源激勵(lì)，即輸入信號(hào)為零時(shí)，由電感元件的初始狀態(tài)iL(0+)所引起的響應(yīng)。如圖所示電路，開關(guān)S斷開時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，電感上的電流iL(0-)=UＳ/（R1+R

）

，設(shè)I0=iL(0-)

。在t＝0時(shí)，開關(guān)S閉合，電阻R與電感L組成串聯(lián)回路，且電源輸入為零，因此，電路的響應(yīng)屬于RL串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)。當(dāng)t＞0時(shí)，

uR+uL=0

將uR=RiL，uL=L

diL/dt，代入上式得：為一階常系數(shù)齊次微分方程有：特征根p=

-R/L.零輸入響應(yīng)

將p代入iL=Aept中得：

根據(jù)iL(0+)=iL(0-)=I0，代入上式得：A=i(0+)=I0故=L/R

稱為一階RL電路時(shí)間常數(shù)單位：秒（S）i(0)一定：L大起始能量大

R小放電過程消耗能量小

大放電慢.零輸入響應(yīng)圖一階RL電路的零輸入響應(yīng)波形(1)一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化而衰減到零的。

(2)零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時(shí)間常數(shù)。在RL零輸入響應(yīng)電路中，電感初始存儲(chǔ)的磁場能消耗在電阻中，理論上經(jīng)過無窮長時(shí)間才能消耗完，暫態(tài)才結(jié)束，工程中常取(3~5)

就認(rèn)為電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。改變電路參數(shù)R和L可控制暫態(tài)過程。.零輸入響應(yīng)小結(jié)：一階電路零輸入響應(yīng)的求解y(t)通常是uc(t)和iL(t)——先求的主要電量；（1）由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng)，是由初始值衰減至零的指數(shù)衰減函數(shù)；（2）衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)，同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)；RC電路

=RC

,RL電路

=L/R（3）一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比。電路的零輸入響應(yīng)響應(yīng)的初始值時(shí)間常數(shù)一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用Req例1.如圖所示電路中，開關(guān)S原在位置1，且電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)由1合向2，試求t≥0時(shí)的uC(t)。解換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，則uC–+(a)C4ΩR21F4ΩR1S(t=0)2ΩR10V21–+i1FCuC–+R1(b)4Ω4ΩR2iV

SV應(yīng)用舉例一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用時(shí)間常數(shù)

的計(jì)算：

=L/R等=L/(R1//

R2)R等C

=R等CR1R2L+-R1R2L一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用

例2.如圖（a）所示電路,在t=0時(shí)刻開關(guān)S閉合,S閉合前電路已穩(wěn)定。試求t≥0時(shí)的i1(t)、i2(t)和iC(t)。

解（1）作t=0–等效電路如圖（b）所示。則有：（2）作t≥0電路如圖（c）所示,其等效電路如圖（d）所示。則等效電阻故電路的時(shí)間常數(shù)：

所以有：一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用在圖（c）所示電路中,可求得：一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用例3.如圖（a）所示為一測量電路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ,量程為50V。開關(guān)S原來閉合,電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時(shí),將開關(guān)打開,試求:

（1）電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t);

（2）t=0時(shí)（S剛打開）電壓表兩端的電壓。

解（1）t≥0電路如圖（b）所示,為一RL電路。電路的時(shí)間常數(shù)為

電感中電流的初始值為：則電感電流的表達(dá)式為：一階電路零輸入響應(yīng)的應(yīng)用電壓表兩端的電壓為：（2）當(dāng)t=0時(shí)

該數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過電壓表的量程,將損壞電壓表。在斷開電感電路時(shí),必須先拆除電壓表。從上例分析中可見,電感線圈的直流電源斷開時(shí),線圈兩端會(huì)產(chǎn)生很高的電壓,從而出現(xiàn)火花甚至電弧,輕則損壞開關(guān)設(shè)備,重則引起火災(zāi)。因此工程上都采取一些保護(hù)措施。常用的辦法是在線圈兩端并聯(lián)續(xù)流二極管或接入阻容吸收電路,如圖（a）（b）所示。

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】一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)5.3在一次繞組中加上交變電壓u1，根據(jù)右手螺旋定則，產(chǎn)生交鏈一、二次繞組的交變磁通Φ

，在兩繞組中分別感應(yīng)電動(dòng)勢e。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，當(dāng)變壓器二次側(cè)帶負(fù)載時(shí)，則產(chǎn)生感應(yīng)電流，在負(fù)載上形成二次電壓u2

。知識(shí)目標(biāo)掌握RC、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)；能力目標(biāo)進(jìn)一步了解微分和積分電路；素質(zhì)目標(biāo)1.培養(yǎng)開拓創(chuàng)新精神，具備終身學(xué)習(xí)，接受新思維的能力與素質(zhì)。2.培養(yǎng)勇于實(shí)踐的學(xué)習(xí)習(xí)慣；樹立正確的工作態(tài)度，形成規(guī)范操作的職業(yè)習(xí)慣。專業(yè)教學(xué)資源庫.零狀態(tài)響應(yīng)定義：儲(chǔ)能元件初始能量為零的電路，即uC（0-）,iL（0-）都為零，在輸入激勵(lì)作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。（1）RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖，列方程有–+uCCUSuR–+S(t=0)–+Ri一階線性非齊次微分方程

初始條件：uC

(0+)=

uC(0－)=0解答形式為：齊次方程的通解非齊次方程的特解.零狀態(tài)響應(yīng)與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，周期性激勵(lì)時(shí)強(qiáng)制分量為電路的穩(wěn)態(tài)解，此時(shí)強(qiáng)制分量稱為穩(wěn)態(tài)分量變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定uC

(0+)=A+US=0

A=-US由起始條件uC

(0+)=0，有齊次方程的通解：特解（強(qiáng)制分量）=US：通解（自由分量，暫態(tài)分量）.零狀態(tài)響應(yīng)強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài))為電容充電電壓的最大值自由分量(暫態(tài))隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減iCuCtuS穩(wěn)態(tài)：電容開路電流為零uC=US電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲(chǔ)存在電容中，充電效率只有50％

。

為電源通過Ｒ對電容Ｃ進(jìn)行充電，電容電壓逐漸升高到電源電壓，電路中電流逐漸減小到0，充電過程結(jié)束。.零狀態(tài)響應(yīng)tiL0（2）RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)（開關(guān)閉合前電流為零，即電路處于零狀態(tài)。）iLS(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0已知方程的解：uLUSt0連續(xù)躍變開關(guān)閉合后，電感中的電流從0逐漸增加到新的穩(wěn)態(tài)值，電感中存儲(chǔ)的磁能從無到有，也就是電感元件將電能轉(zhuǎn)化為磁能的過程。.零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)討論：1)τ的含義，反映過渡過程的快慢；3)τ計(jì)算RC電路（或最終可以化簡為Req與C的電路）τ=ReqCRL電路（或最終可以化簡為Req與L的電路）τ=L/Req2)零狀態(tài)響應(yīng)的比例性當(dāng)外加激勵(lì)增大K倍時(shí)，則零狀態(tài)響應(yīng)也增大K倍:齊性特性應(yīng)用舉例02.一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的應(yīng)用例1.

圖(a)電路原已穩(wěn)定，求t

0的uC(t)，iC(t)及i1(t)。uCuCUOC解：先求等效戴維南電路，得圖(b)，其中.一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的應(yīng)用當(dāng)電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)開路，可得圖(a)用KCL可得

例2.圖所示電路為一直流發(fā)電機(jī)電路簡圖,已知?jiǎng)?lì)磁電阻R=20Ω,勵(lì)磁電感L=20H,外加電壓為Us=200V,試求（1）當(dāng)S閉合后,勵(lì)磁電流的變化規(guī)律和達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間;(2)如果將電源電壓提高到250V,求勵(lì)磁電流達(dá)到額定值的時(shí)間。

解(1）這是一個(gè)RL零狀態(tài)響應(yīng)的問題,由RL串聯(lián)電路的分析知:式中Us=200V,R=20Ω,τ

=L/R=20/20=1s,所以

一般認(rèn)為當(dāng)t=（3～5）τ時(shí)過渡過程基本結(jié)束,取t=5τ,則合上開關(guān)S后,電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間為5秒。（2）由上述計(jì)算知使勵(lì)磁電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要5秒鐘時(shí)間。圖強(qiáng)迫勵(lì)磁法的勵(lì)磁電流波形

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】一階電路的全響應(yīng)5.4在一次繞組中加上交變電壓u1，根據(jù)右手螺旋定則，產(chǎn)生交鏈一、二次繞組