專題33最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.胡不歸模型（最值模型）..................................................................................................................1

...................................................................................................................................................5

模型1.胡不歸模型（最值模型）

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖

然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙

子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，

ACBC

點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）。

V2V1

ACBC1VV

1）=BC1AC，記k1，即求BC+kAC的最小值.

V2V1V1V2V2

CH

2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，k，CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

AC

3）過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。?/p>

【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題

轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】垂線段最短。

例1.（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）如圖，在VABC中，A15，AB10，P為AC邊上的一個(gè)

2

動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則APPB的最小值是（）

2

10

A．52B．53C．3D．8

3

例2．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB3，E，P分別是邊AD和對(duì)角線

4

AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EP，記BAC，若tan，則PEPCcos的最小值為（）

3

A．3B．4C．5D．2.4

例3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC8，BD6，P是

3

對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則BPAP的最小值為．

5

例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，且ABE75．P

1

是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則APBP的最小值為（）

2

26

A．4B．42C．D．26

2

例5．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，AB是O的直徑，CE切O于點(diǎn)C交AB的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D是弦AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若CEA30，BE4，則CD2OD的最小值為（）

A．23B．3C．4D．43

1

例7．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線yx2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線

3

4

段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線yx2上的一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Em，0，F(xiàn)m3，0，連接BE，DF，HD．當(dāng)

3

BEDF取最小值時(shí)，3BH5DH的最小值是．

例8．（2024·山東濟(jì)南·一模）實(shí)踐與探究

【問題情境】（1）①如圖1，Rt△ABC，DB=90°，A60，D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，

AD

且BC2DE，則______；②如圖2，將①中的VADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，則DE，BC所在直線較

AB

小夾角的度數(shù)為______．

【探究實(shí)踐】（2）如圖3，矩形ABCD，AB2，AD23，E為邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF2AE，

連接EF，作BHEF于H點(diǎn)，連接CH．當(dāng)CH的長(zhǎng)度最小時(shí)，求BH的長(zhǎng)．

【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，Rt△ABC，ACB90，CAB60，AC3，D為AB中點(diǎn)，連接CD，E，F(xiàn)

23

分別為線段BD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且DF2BE，請(qǐng)直接寫出AFEF的最小值．

3

例9．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y3x263x53的圖象交x軸于A、B兩

點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接BC．(1)直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，B________；C________．

(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接PB、PC．若△PBC的面積153，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

(3)設(shè)E為線段BC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AE，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AE以每秒1個(gè)單位

速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EC以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

1．（2024·山東淄博·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,2)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2)，

點(diǎn)B(x,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持ABP是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連

1

接PC，求得APPC的最小值為（）

2

A．43B．4C．23D．2

2．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線yax2bxc與x軸交于A(1，0)，C(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

2

B(0，3)．若P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則BPAP的最小值為（）

2

A．2B．2C．22D．4

3.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，ABAC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出

發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為ADC，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．

4．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作BEAC

1

于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CPBP的最小值為．

2

5．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，ACB90，ABC30，AC4，按下列

1

步驟作圖：①在AC和AB上分別截取AD、AE，使ADAE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于DE

2

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

1

連接CP，則CPAP的最小值是．

2

6．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?ABCD中A60，AB6，AD2，P為邊CD上一點(diǎn)，則

3PD2PB的最小值為______．

31

7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知ABC中，BC6cm,A60，則ABAC的最大值為．

2

8．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分別是邊AB、

1

BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值為．

2

9．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB4，AD8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC

上，且AE3，沿直線EF翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線AC上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)M為線

5

段AA上一動(dòng)點(diǎn)，則EMAM的最小值為．

5

3

10．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx3分別交x軸、y

3

軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．

11．（2023·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB2，E是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,，

過點(diǎn)C作AC的垂線l，過點(diǎn)D作DFDE交l于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DGEF于點(diǎn)G，tanEDG2，點(diǎn)H

6

是AD中點(diǎn)，連接HE，則HEEC的最小值為．

3

12．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為45，P為

5

OB上一動(dòng)點(diǎn)，則APOP的最小值等于______．

5

13．（2023·廣東珠?！ば？既＃┤鐖D，在Rt△ABC中，ACB90，AC4，BC3，點(diǎn)D是斜邊AB

2

上的動(dòng)點(diǎn)，則CDAD的最小值為.

2

14．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在ABC中，BAC90，AB2，AC42，點(diǎn)D是BC邊上

的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則3ADDC的最小值為．

15．（2024·天津紅橋·二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在

格點(diǎn)上，CAB90，以AB為直徑的半圓與邊BC的交點(diǎn)D在網(wǎng)格線上．

CD

（1）的值等于；（2）若P為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)．PC2PB取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無．刻．

DB

度．的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．

1

16．（23-24八年級(jí)下·四川綿陽·階段練習(xí)）如圖，直線yx2分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在y

2

軸正半軸上，且OCOA，點(diǎn)D2,m在直線AC上，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t．

1

(1)求直線AC的函數(shù)解析式；(2)連接PC，PD，若△CDP面積等于VABC面積的，求t的值；

2

2

(3)求APBP的最小值．

2

17．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線yx2xc與x軸交于點(diǎn)A1,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)0x2時(shí)，求yx2xc的函數(shù)值的取值范圍；(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移

35

個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PAPM的最小值．

45

18．（2023·山東濟(jì)南