4.5.3函數模型的應用

目錄

【題型歸納目錄】...............................................................2

【思維導圖】...................................................................2

【知識點梳理】.................................................................2

【典型例題】...................................................................3

題型一：一次函數與二次函數模型的應用...........................................3

題型二：分段函數模型的應用.....................................................6

題型三：指數或對數函數模型的應用...............................................9

題型四：擬合函數模型的應用問題................................................11

題型五：根據實際問題的增長率選擇合適的函數模型13

【題型歸納目錄】

題型歸納

【思維導圖】

一次函數模型：j，=h+。（R,6為常數，行0））

二次函數模型：j'=a\'+&x+c（a,b,c為常數，）

（.幾種常見的函數模型］）-指數函數模型：*ba、+c（0,瓦c為常數,6*0,a>0jla*l）

函數模型的應用

對數函數模型：『二〃〃喈八+〃（〃”,〃為常數，〃沖0,。>0且。H1）

晶函數模型：j，=a.V*+b（%b為常數，4=0））

分段函數模型

【知識點梳理】

知識點一、幾種常見的函數模型

1、一次函數模型：y=kx+b（左，6為常數，kwO）

2、二次函數模型：y=ax2+bx+c（a也c為常數，awO）

3、指數函數模型：y=bax+c（a,b,。為常數，bwO,a>0且awl）

4、對數函數模型：y=mlogax+n（嘰Q,幾為常數，根wO,a>0且awl）

5、幕函數模型：y=axn+b（a,Z?為常數，awO）

ax+b,x<m

6、分段函數模型:y=

cx+d,x>m

知識點二、解答應用問題的基本思想和步驟

1、解應用題的基本思想

2、解答函數應用題的基本步驟

求解函數應用題時一般按以下幾步進行：

第一步：審題

弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇模型.

第二步：建模

在細心閱讀與深入理解題意的基礎上，引進數學符號，將問題的非數學語言合理轉化為數學語言，然后

根據題意，列出數量關系，建立函數模型.這時，要注意函數的定義域應符合實際問題的要求.

第三步：求模

運用數學方法及函數知識進行推理、運算，求解數學模型，得出結果.

第四步：還原

把數學結果轉譯成實際問題作出解答，對于解出的結果要代入原問題中進行檢驗、評判，使其符合實際

背景.

上述四步可概括為以下流程：

實際問題（文字語言）n數學問題（數量關系與函數模型）0建模（數學語言）0求模（求解數學

問題）二反饋（還原成實際問題的解答）.

知識點三、解答函數應用題應注意的問題

首先，要認真閱讀理解材料.應用題所用的數學語言多為“文字語言、符號語言、圖形語言”并用，往往

篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達到的目標是讀懂題目所敘述的實際問題的意義，領悟其

中的數學本質，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中的量與量的位置關系、數量關系，確立解體思路

和下一步的努力方向，對于有些數量關系較復雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它.

其次，建立函數關系.根據前面審題及分析，把實際問題“用字母符號、關系符號”表達出來，建立函數

關系.

其中，認真閱讀理解材料是建立函數模型的關鍵.在閱讀這一過程中應像解答語文和外語中的閱讀問題

一樣，有“泛讀”與“精讀”之分.這是因為一般的應用問題，一方面為了描述的問題與客觀實際盡可能地相吻

合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時為了思想教育方面的需要，也要用一些非數量關系

的語言來敘述，而我們解決問題所關心的東西是數量關系，因此對那些敘述的部分只需要“泛讀”即可.反過

來，對那些刻畫數量關系、位置關系、對應關系等與數學有關的問題的部分，則應“精讀”，一遍不行再來一

遍，直到透徹地理解為止，此時切忌草率.

【典型例題】

題型一：一次函數與二次函數模型的應用

【典例11］（2024?高二.山東濰坊.期末）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才

能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在一個限速為40km/h的

彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查，測得甲車的

剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關系為

5甲=卷/一：丫，乙車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關系為5乙=+/一，也請判斷甲、乙兩車哪

輛車有超速現象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對于甲車，令焉BPv2-10v-600^0

解得v7-20km/h（舍）或丫忍30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，4^v2-^v?10,EPv2-10v-2000-0

解得vu—40km/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故選:C.

【典例12］（2024.遼寧大連.一模）一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的的汽車，當他離汽車25

米時交通燈由紅變綠，汽車開始變速直線行駛（汽車與人前進方向相同），汽車在時間t內的路程為

s=g產米，那么，止匕人

A.可在7秒內追上汽車

B.可在9秒內追上汽車

C.不能追上汽車，但其間最近距離為14米

D.不能追上汽車，但其間最近距離為7米

【答案】D

【解析】設人于x秒追上汽車，有6x-25=；V,「x無解，因此不能追上汽車，由二次函數的性質可知，

x=6,最近距離為7米，故選D.

【方法技巧與總結】

1、一次函數模型的應用

利用一次函數求最值，常轉化為求解不等式辦+bzo（或〈0）.解答時，注意系數。的正負，也可以

結合函數圖象或其單調性來求最值.

2、二次函數模型的應用

構建二次函數模型解決最優(yōu)問題時，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數的單調性等方法求

最值，也可以根據函數圖象的對稱軸與函數定義域的對應區(qū)間之間的位置關系討論求解，但一定要注意自變

量的取值范圍.

【變式11］（2024.高一?陜西西安.期中）某小型雨衣廠生產某種雨衣，售價P（元/件）與月銷售量x

（件）之間的關系為尸=160-2尤，生產x件的成本為H=500+30x.若每月獲得的利潤V不少于1300元，該

廠的月銷售量x的不可能取值為（）

A.20B.30C.40.D.50

【答案】D

【解析】設該廠月獲得的利潤為y元，

貝I]y=(160-2x)?尤一(500+30元)=-2x2+130^-500(0<x<80).

由題意，-2x2+130^-500>1300,解得：20<x<45,

二當月產量在20至45件(包括20和45)之間時，月獲得的利潤不少于1300元.

故選：D.

【變式12】(2024?高一?黑龍江哈爾濱?期中)“相約哈爾濱，逐夢亞冬會”.哈爾濱地鐵3號線預計年底全線

載客運營，屆時，哈爾濱地鐵1號線2號線3號線將形成“十字+環(huán)線”地鐵線網，將為哈爾濱2025年第九

屆亞冬會的舉辦提供有力交通保障.通車后，列車的發(fā)車時間間隔f(單位：分鐘)滿足2V/W20,經市場

調研測算，列車載客量與發(fā)車時間間隔相關，當10W/W20時列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當

時，載客量會減少，減少的人數與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為

372人，則當發(fā)車時間間隔為t=5時，列車的載客量為()

A.410B.420C.450D.480

【答案】C

【解析】當2孕<10時，載客量為/■⑺，設/'⑺=500-左(10-。2,

由題意可知，7(2)=500—64左=372,解得左=2,

當仁5時，7(5)=500-2x25=450,此時載客量為450,

故選：C.

【變式13](2024?高一?廣東揭陽?階段練習)中國芯片產業(yè)崛起，出口額增長迅猛，展現強勁實力和競爭

力.中國自主創(chuàng)新，多項技術取得突破，全球布局加速，現有某芯片公司為了提高生產效率，決定投入98

萬元購進一套生產設備.預計使用該設備后，第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年開始，每年所需維

修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該設備使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后該設備的盈利

額為y萬元.

(1)寫出y與x之間的函數關系式；

(2)從第幾年開始，該設備開始盈利(盈利額為正值)；

(3)使用若干年后，對設備的處理方案有兩種：

①當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該設備；

②當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該設備.

請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由.(注：年平均盈利額為。，。=))

X

【解析】(1)依題得：y=50x-12X+"(；T)X4-98=-2/+40X-98(xeN*),

（2）解不等式-2_?+40*-98>0，得：10-庖<x<10+庖，

「尤eN*,龍W17,故從第3年開始盈利.

（3）①-=-2x+40--=40-|2%+—|<40-272^98=12,

XXVX）

98

當且僅當2x=—時，即x=7時等號成立，

x

故第七年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12x7+30=114萬元，

22

（2）y=-2x+40.r-98=-2（x-10）+102,當x=10時，Jmax=102,

故第十年，盈利額達到最大值，工廠獲利102+12=114萬元，

盈利額達到的最大值相同，而方案①所用的時間較短，故方案①比較合理.

題型二：分段函數模型的應用

【典例21】（2024.高一.廣東潮州.期中）設某公司生產某商品所獲利潤只由生產成本和銷售收入決定.生

產成本G（單位：萬元）與產量x（單位：百臺）的函數關系是G（x）=x+2；銷售收入R（單位：萬元）

-0.4x2+4.2x-0.8(0<x<5)

與產量x的函數關系式為R（x）=，

10.2(x>5)

（1）將利潤（單位：萬元）表示為產量X的函數/（X）；（利潤=銷售收入生產成本）

（2）當產量為何值時，公司所獲利潤最大?

【解析】（1）依題意，

—0.4尤2+3.2尤一2.8,(04x45)

/(x)=R(x)-G(x)=

8.2-x,(尤>5)

(2)0WxW5時，f(x)=—0.4(x—4)-+3.6,

故當x=4時，有最大值3.6,

而當x>5時，〃x）=8.2-x是減函數,

/（%）<8.2-5=3.2,

所以當x=4時，/（無）有最大值3.6,

所以，當產量為4百臺時，公司所獲利潤最大.

【典例22]（2024.高一.浙江?期中）某工廠生產某種玩具車的固定成本為15000元，每生產一輛車需增加

投入80元.已知總收入R（單位：元）關于月產量x（單位：輛）滿足函數：

[12

380.x一一%2（04尤4500）,

R（x）=2

75000（x>500）.

（1）將利潤P（單位：元）表示為月產量x（單位：輛）的函數;

（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入=總成本+利潤）

【解析】（1）由題可知總成本為15000+80X,

|12

,,,，、x2+300.r-15000(0<x<500),

禾！J潤P(x)=R(x)—15000—80x={2.

60000-80x(x>500).

(2)當0<x<500,P(x)=-1(x-300)2+30000,.?.當x=300時，〃元)有最大值30000；

當x>500時，P(x)=60000—80x是減函數，...P(x)<60000-80x500=20000.

.?.當x=300時,有最大值30000,

即當月產量為300輛時，利潤最大，最大利潤為30000元.

【方法技巧與總結】

1、分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏.

2、分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.

3、分段函數的值域求法：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論.

【變式21]（2024?高一.北京?期中）國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數不超過30,游客

需付給旅行社飛機票每張900元；若每團人數多于30,則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直

到達到規(guī)定人數75為止.寫出飛機票的價格y（單位：元）關于人數尤（單位：人）的函數關系式；―

,,[900x,0<x<30

【答案】v=<

[-10X2+1200X,30<X<75

【解析】由題意，當0<x430時，y=900元；當30<xV75時，y=[900-（%-30）x10]x=-1Ox2+1200x.

[900x,0<x<30

則機票的價格y（單位：元）關于人數尤（單位：人）的函數關系式為：*an不

[-1m0%2+1200%,30Vx<75

,―一,\900X,0<J;<30

故*案為：y=1_10%2+1200x,30<x<75■

【變式22]（2024?高一?北京豐臺?期中）某公司計劃生產一類電子設備，該電子設備每月產量不超過150

臺，每臺售價為40萬元.每月生產該電子設備的成本由固定成本和可變成本兩部分組成，固定成本為20萬

元，每月生產x臺（尤eN*）時需要投入的可變成本為Q（x）（單位：萬元），每月的利潤為了（力（單位：萬

元），其中利潤是收入與成本之差.當每月產量不超過40臺時，。（同=：/+10%；當每月產量超過40臺

時，Q（x）=41x+W2一690.假設該公司每月生產的電子設備都能夠售罄.

（1）求/'（X）關于x的函數解析式；

（2）如果你是該公司的決策者，分析每月生產多少臺電子設備可以使月利潤最大？最大利潤是多少？

2

—x+10x^0<x<40,xGN*)

【解析】（1）由題意知:Q(x)=<

41x+12222_69o(4O<x<15O,xeN*

-1x2+30x-20(0<x<40,xeN*

/(%)=40%-20-Q(x)=<

一無一10(也+67。(40<xw150”

（2）當0<xW40時，為開口方向向下，對稱軸為尤=30的拋物線,

止匕時/（x）4/（30）=-450+900-20=430；

當40vxW150時，f（x）=-［x+竺圖）+6704—2/7畫^+670=470（當且僅當x=100時取等號）；

470>430,.?.該公司每月生產100臺電子設備可以使月利潤最大，最大利潤是470萬元.

【變式23］（2024.高一?天津寧河?期末）某公司生產某種儀器的固定成本為300萬元，每生產五臺儀器需增

2x2+80x,0<x<40,

加投入C（x）萬元，且C（x）=43600每臺儀器的售價為200萬元.通過市場分析，該公

201%+---------2100/>40,

.尤

司生產的儀器能全部售完，則該公司在這一儀器的生產中所獲利潤的最大值為萬元.

【答案】1680

【解析】由題意可得：當0<尤<40時，利潤為W（x）=200x-（2f+80x）-300=-2/+120x-300,

當40<x時，W(x)=200x-(201x+--------2100)-300=-(尤+---)+1800,

XX

—2M+120x—300,0<x<40

故

W(%)=3600、1CMC

—(x+------)+1800,40<x

若0<了K40,W(%)=—2(x—30)2+1500,

由二次函數的性質可知，W。）在（0,30）上單調遞增，在（3。,40］上單調遞減,

所以當％=30時，W（x）a=1500萬元，

②若40cx,W（尤）=-（尤+^^）+1800<-2.L-+1800=-120+1800=1680，

xVx

當且僅當工=儂時，即x=60時，W（x）1mx=1680萬元.

X

所以該產品的年產量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.

故答案為：1680

【變式24】（2024?高一?四川.階段練習）某公司生產A產品，每月的固定成本為10000元，每生產一件A

產品需要增加投入80元，該產品每月的總收入R（單位：元）關于月產量x（單位：臺）滿足函數：

J600尤-x2,0<x<400

.則該公司的月利潤的最大值為兀.

[60000+50x,x>400

【答案】57600

-x2+520X-10000,0<x<400

【解析】該公司的月利潤/（%）=/?-10000-80%=

50000-30x,x>400

故函數y=/（X）在［0,260］上單調遞增,在（260,y）上單調遞減,

故以x（x）=7（260）=57600,該公司的月利潤的最大值為57600元

故答案為：57600.

題型三：指數或對數函數模型的應用

【典例31］（2024?高三?黑龍江佳木斯?開學考試）塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留

長達200~400年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委、生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印度《關于禮實

推進型科技染物理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性

塑料吸管等，某品牌塑料袋經自然降解后殘留量丫與時間f年之間的關系為＞=%-心，其中先為初始量，

左為光解系數.已知該品牌塑料袋2年后殘留量為初始量的75%.該品牌塑料袋大約需要經過.年，其

殘留量為初始量的10%（參考數據：1g2=0.301,1g3土0.477）

【答案】16

Mk

【解析】由題意知：當t=2時，75%y0=y0-e,e=7（175;

當10%%=%?/=時，=0.1,

.-.lg（＜75）f=^lg|=lg^=-l,

■t—___2__—______2___—_______2____~_________2_______—］6

-Ig3-lg4-Ig3-21g20.477-2x0.301"■

84

故答案為：16.

【典例32］（2024.高一.上海?隨堂練習）《莊子?天下篇》中寫道：“一尺之梗，日取其半，萬世不竭.”請你寫

出截取x次后，單位長度的木槐的剩余量y關于尤的函數關系式是.

【答案】y=［￡|，xeN,且

【解析】題干的意思是第二天取的長度是上一天的一半，所以符合指數函數模型，底數為點

剩余量y關于x的函數關系式是y=,xeN且

故答案為：y=,XGN5.X＞1.

【方法技巧與總結】

1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數型函數模型表示，通?？梢员硎緸閥=NV+p），（其中N

為原來的基礎數，P為增長率，X為時間）的形式.

2、在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長問題，都常用到指數型函數模型.

【變式31］（2024?高一.全國?隨堂練習）大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產地產卵.研究能魚的科學家

發(fā)現鞋魚的游速可以表示為函數丫=；1。83焉，單位是m/s,其中。表示魚的耗氧量的單位數.當一條魚

的耗氧量是2700個單位時，它的游速是m/s.

【答案】|/1.5

17700111Q

3

【解析】當0=2700時，v=-log3--=-log327=-log33=-x3=-.

4x.V/V/4乙乙乙

3

故答案為：—■

2

【變式32】（2024.高一.上海.單元測試）某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣剩余污染物數

量產（mg/L）與過濾開始后的時間r（h）的關系為尸其中心為過濾開始時廢氣的污染物數量，k

為常數，如果過濾開始后經過5個小時消除了10%的污染物，試求：

（1）過濾開始后經過10個小時還剩百分之幾的污染物？

（2）求污染物減少50%所需要的時間.

【解析】⑴由尸=4片如可知，

當『=0時，P=PQ；

當f=5時，F=(l-10%)^,

于是有(l-10%)4=4ej,

解得k=——In0.9,

那么'二片」為。"

當f=10時,

|ln0.9^xl0

尸=1e'片即。-81=81%4,

所以過濾開始后經過10個小時還剩的81%污染物.

（2）當尸=50%分時,

|In0.9Jr

有50%[=

曰In0.5251n2.In25x0.693

角星得/=------=----J=----=5-----------------------?-------------------------------

'llnQ9坨2gWIn2+ln5-21n30.693+1.609-2x1.099

510V

所以污染物減少50%所需要的時間為33個小時.

題型四：擬合函數模型的應用問題

【典例41］（2024?高一?北京?階段練習）李明自主創(chuàng)業(yè)，經營一家網店，每售出一件A商品獲利8元.現計

劃在“五一”期間對A商品進行廣告促銷，假設售出A商品的件數機（單位：萬件）與廣告費用x（單位：

2

萬元）符合函數模型加=3——若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用元應投萬元，獲得總利

潤為萬元.

【答案】317

【解析】設李明獲得的利潤為了（x）萬元，貝4x20,

貝U/（x）==8（3=24——^--x=25-,+（工+1）

當且僅當x+l=T，因為xZO,即當x=3時，等號成立.

此時總利潤為17.

故答案為:3；17.

【典例42］（2024?高一?江蘇?階段練習）某工廠需要建造一個倉庫，根據市場調研分析運費與工廠和倉庫

之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費

為9萬元，倉儲費為4萬元，則運費與倉儲費之和的最小值為萬元.

【答案】12

【解析】設工廠和倉庫之間的距離為x千米，運費為以萬元，倉儲費為必萬元,

依題意可設y=G（X>。）,％=?（無>°）.

.工廠和倉庫之間的距離為3千米時，運費為9萬元，倉儲費用為4萬元,

代入求得：匕=3,心=12,于是，運費與倉儲費之和為+萬元，

17IV）12

因%>0,由3x+—>2.3xx一=12,當且僅當3冗二一,

X\XX

即x=2時，運費與倉儲費之和最小，最小為12萬元.

故答案為：12.

【方法技巧與總結】

在沒有給出具體模型的問題中，首先要由己知數據描繪出函數草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數圖象，通過檢

測所求函數模型與實際誤差的大小，探求相近的數學關系，預測函數的可能模型.

【變式41](2024?高一?陜西漢中?期末)汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才

能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據.在某次事故中，根據現場

勘測結果，肇事汽車的剎車距離為32m,經查詢知該車的剎車距離s(m)與車速v(km/h)之間的關系為

12

5=—v2--v,則該車的速度為km/h.

【答案】80

【解析】將s=32代入5=志/一：丫，

12

得32=麗聲一解得丫=80或丫=與。(舍去)，

所以該車的速度為80km/h.

故答案為你：80.

【變式42](2024.高一?湖南林B州?期末)我們家里大多數裝了空調，空調風機的工作原理就是把室內熱空

氣抽出去，然后把室外新鮮空氣通過空調制冷系統(tǒng)，凈化后再傳回室內.假設某房間體積為1,室內熱氣的

質量為機，已知某款空調機工作時，單位時間內從室外吸入的空氣體積為v(v>l),室內熱氣體的濃度與

ZUJTI

時刻f的函數關系為。⑺=%丁+〃『片”，其中常數彳為過濾效率，幾+〃=1.若該款新風機的過濾效率為

13

4=且，=1時室內熱空氣的濃度是，=2時的;倍，則該款空調單位時間內從室外吸入的空氣體積

42

v=.

【答案】ln3

[解析]由題意得/⑺=嚀+(1_/嚀/=*+空尸，

0(1)=也+網k小2)=工+迎e幺

''4%4%''4%4%'

因為。⑴=鏟⑵,

由于相片0,整理得9e0-6尸+1=0,

解得故e"=3,進而解得v=ln3.

故答案為：ln3

【變式43](2024?高一?上海?隨堂練習)“學習曲線”可以用來描述學習某一任務的速度，假設函數

1441g[1*]中，/表示達到某一英文打字水平（字/分）所需的學習時間（時），N表示每分鐘打出的

字數（字/分）.

⑴計算要達到20字/分、40字/分水平所需要的學習時間；（精確到“時”）

（2）利用（1）的結果，結合對數函數性質的分析，作出函數的大致圖象.

【解析】（1）f（20）=-1441g（l-1^]=-1441g（它144x0.109=15.7,

所以要達到20字/分水平所需要16小時；

（40）=-1441g1-=-1441g|?144x0.255=36.8,

所以要達到40字/分水平所需要37小時；

所以120卜16,140卜37；

⑵u-1441g“一射，

NN

因為＞=1一而是減函數，所以"T441g（[l-如、J是增函數，

當N接近于90時，1-2接近0,f=-1441g1l-[）無窮大,

當N等于。時，t=O,可得大致圖象如下圖.

題型五：根據實際問題的增長率選擇合適的函數模型

【典例51]（2024.高一.廣東?期末）人工放射性核素碘131可發(fā)射夕射線治療甲亢，已知該物質的半衰期

為8天，設質量為。的碘131經過x天后剩留的質量為y,則V關于x的函數解析式是（）

A.y=J.V,xeN*B,y=,xeN*

D-y=〃(0.5尸，X￡N*

【解析】由題意，經過一個半衰期（8天）后，剩留的質量y=axg,

2

經過兩個半衰期（16天）后，剩留的質量y=I

3

1

經過三個半衰期（24天）后，剩留的質量Y=QX

2

L，

經過1天后，剩留的質量y=谷N*.

故選：A.

【典例52］（2024.高二?甘肅?學業(yè)考試）加快縣域范圍內農業(yè)轉移人口市名化，是“十四五”期間我國城鎮(zhèn)化

和城市化戰(zhàn)略的實踐重點.某高二數學興趣小組，通過查找歷年數據，發(fā)現本縣城區(qū)常住人口每年大約以

5%的增長率遞增，若要據此預測該縣城區(qū)若干年后的常住人口，則在建立模型階段，該小組可以選擇的

函數模型為（）

A.f^x^—ax+b

B./（x）=a-b*+c（aH0,6＞（）且。力1）

C./（%）=。,尤2+fev+c（aw。）

D.〃x）=a-log/+c（aN0,b＞。且》*1）

【答案】B

【解析】由題意可知，該縣城區(qū)常住人口每年大約以5%的增長率遞增，

則該縣區(qū)城區(qū)常住人口y與年份x的函數關系為指數型函數.

故選：B.

【變式51］（2024?高一?上海浦東新?期中）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一

段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析事故的一個重要因素.在一個限速為

40km/h的小道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現場勘查測

得甲車的剎車距離略超過12m,乙車的剎車距離略超過10m,又知甲、乙兩種車型的剎車距離S（m）與

車速x（km/h）之間分別有如下關系：S甲=0.01/+0.k，%=0.005d+0.05x.問：甲、乙兩車有無超速現

象？

【解析】S甲=0.01/+0.lx=12,Xx＞0,故解得&=30,

2

SZ.=0.005X+0.05X=10,又XNO,故解得X=40,

甲無超速現象，乙有超速現象.

【變式52］（2024.高一?浙江湖州?期末）隨著電動汽車研發(fā)技術的日益成熟，電動汽車的普及率越來越

高.某型號電動汽車在封閉路段進行測試，限速80km/h（不含80km/h）.經多次測試得到，該汽車每小時

耗電量M（單位：Wh）與速度”（單位：km/h）的數據如下表所示.

V0103070

M0132533759275

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關系，現有以下三種函數模型供選擇：

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=lOOo1|J+a,Af（v）=3001ogav+/?.

（1）當0Wv<80時，請選出你認為最符合表格所列數據實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；

（2）在本次測試報告中，該電動汽車的最長續(xù)航里程為400km.若測試過程為勻速運動，請計算本次測試時

的車速為何值時，該電動汽車電池所需的容量（單位：Wh）最?。坎⒂嬎愠鲈撟钚≈?

【解析】（1）對于M（v）=3001og/+b,當v=0時，它無意義，所以不符合題意；

對于M"）=1000（gj+a,它顯然是個減函數，所以不符合題意，

2

故選=￡/+bv+cv.

—xlO3+Z?xlO2+cxlO=1325

根據提供的數據，則有,解得8=-2,c=150,

—X303+&X302+CX30=3375

140

當0Wv<80時，M（v）=—v3—2v2+150v.

''40

（2）設車速為vkm/h,所用時間為竺劣?,

V

所耗電量/3）=%（需F—2V2+150V]=10（V2_80V+6000）=10（v-40）2+44000,

要使得續(xù)航里程最長，則耗電量達到最小，即v=40km/h.

所以當測試員控制的車速為40km/h,

該電動汽車的電池所需的最小容量為44000Wh.

【變式53]（2024.高一.湖南永州?期末）為響應“湘商回歸，返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)”的號召，某企業(yè)回永州投資特色農

業(yè)，為了實現既定銷售利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：按銷售利潤進行獎勵，總獎金

額y（單位：萬元）關于銷售利潤無（單位：萬元）的函數的圖象接近如圖所示，現有以下三個函數模型

供企業(yè)選擇：（1）y=kx+b[k>0）@y=k-2x+m[k>0）③y=^log,f-|+3j+/z（A：>0）

（D請你幫助該企業(yè)從中選擇一個最合適的函數模型，并說明理由;

(2)根據你在(1)中選擇的函數模型，如果總獎金不少于6萬元，則至少應完成銷售利潤多少萬元?

【解析】(1)對于模型①，y=kx+b,圖象為直線，故①錯誤,

由圖可知，該函數的增長速度較慢，

對于模型②，指數型的函數是爆炸型