第03講二項分布與超幾何分布

學(xué)習(xí)目標

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.理解〃次伯努利試驗.

2.理解二項分布，能利用二項分布解決一些簡單的實際

1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及其意義.

2.會求n次獨立重復(fù)試驗及二項分布的概問題.

率.3.理解超幾何分布的概念，理解超幾何分布與二項分布

3.掌握超幾何分布的特點，并能簡單的應(yīng)用.

的關(guān)系.

4.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題.

02思維導(dǎo)圖

k

獨立重復(fù)試驗概率的求法

二項分布的概率計算問題

服從二項分布的概率最值

二項分布模型的應(yīng)用

超幾何分布的辨析

利用超幾何分布求概率

利用超幾何分布求分布列

二項分布與超幾何分布的綜合問題

■

03知識清單

知識點01n次獨立重復(fù)試驗

1."次獨立重復(fù)試驗

在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試

驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.

2."次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生％次的概率

一般地，事件A在"次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生4次，共有C：種情形，由試驗的獨立性知“A在左次試驗

中發(fā)生，而在其余("一局次試驗中不發(fā)生”的概率都是"(l—p)"",所以由概率加法公式知，如果在一次試

驗中事件A發(fā)生的概率是P，那么在"次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生人次的概率為p\l-p)n

k{kO,1,2,…，ri).

【解讀】(1)上述公式必須在滿足“獨立重復(fù)試驗”時才能運用；

(2)使用公式時一定要明確該公式中各量表示的意義：〃為獨立重復(fù)試驗的次數(shù)；p是在1次試驗中事件

A發(fā)生的概率；1—p是在1次試驗中事件A不發(fā)生的概率；左是在〃次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)；

(3)獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例.一般地，有“恰好發(fā)生上次”“恰有人次發(fā)生”字樣的問題，

求概率時，用〃次獨立重復(fù)試驗概率公式計算更簡便.

【即學(xué)即練1】任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為()

A.|B.|C.|D.1

知識點02二項分布

定義：一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p,記ql-p,且"次獨立重復(fù)試驗

中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是｛0,b-k,-n],而且尸(XA)C：始，i,2,…，

n.

因此X的分布列如下表所示.

X01???k…n

Pc°P°qnC：??????c；Pnq°

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展開式

(q+p)"C?pl"-」…+C：p/f+-+C；中對應(yīng)項的值，因此稱X服從參數(shù)為n,p的

二項分布，記作X?B(〃，0).

【解讀】

(1)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即“1的二項分布；

(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵在于它是否同時滿足以下三個條件：

①對立性：在一次試驗中，事件A發(fā)生與否必居其一.

②重復(fù)性：試驗可以獨立重復(fù)地進行，且每次試驗事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p.

③X的取值從。到小中間不間斷.

由上可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即M時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點

分布的一般形式，二項分布中的每次試驗的結(jié)果都服從兩點分布.

【即學(xué)即練2】下列隨機變量X不服從二項分布的是()

A.投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù)

B.某射手射中目標的概率為0,設(shè)每次射擊是相互獨立的，X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊

次數(shù)

C.實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數(shù)

D.某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3,X表示下載〃次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的

次數(shù)

知識點03超幾何分布

1.定義：一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有〃件從所有物品中任取w

件(wWN),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù),

其中s是加與〃中的較小者，，在〃不大于乙類物品件數(shù)(即wWN—時取0,否則f取“減乙類物品件數(shù)

之差(即勿一(N-A7)),而且P(Xky機kt,t+1,s,這里的X稱為服從參數(shù)為N,w,M的超幾

5

何分布，記作X?國N,w,

2.特別地，如果X?H(N,",M),且〃+M—NW0,則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布

列如下表所示：

X01???k???s

廠1八”一1「kk

L"IN-M9MiN-MS-MDN-M

P??????

C先ON

【解讀】對超幾何分布的理解

(1)超幾何分布的模型是不放回抽樣；

(2)超幾何分布中的參數(shù)是M,N,?；

(3)超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同學(xué)中的男和女等問題，往往由差異

明顯的兩部分組成.

【即學(xué)即練3】30件產(chǎn)品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，現(xiàn)隨機地抽取5件，下列

不服從超幾何分布的是()

A.抽取的5件產(chǎn)品中的一等品數(shù)

B.抽取的5件產(chǎn)品中的二等品數(shù)

C.抽取的5件產(chǎn)品中的三等品數(shù)

D.30件產(chǎn)品中的三等品數(shù)

知識點04超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是不放回抽樣，而二項分布是放回抽樣(獨立重復(fù))，當總體的容量非常大時，超幾何分

布近似于二項分布.

04題型精講

題型01獨立重復(fù)試驗概率的求法

【典例1](23-24高二下?河南?期中)小明騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校需要經(jīng)過三個十字路口，已知在十字

路口遇到紅燈的概率均為g,每次紅燈需要等待一分鐘且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，則紅燈等待

時間不少于兩分鐘的概率為（）

1

ABcD.

-1-1-]3

【變式1X23-24高一下.安徽馬鞍山?期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣”（weN*）次，正面朝上的次數(shù)記為X,

則（）.

A.〃=2時，P（X=1）=—

B.〃=3時，P（X=1）=；

尸（X=2）=：

C.〃=3時，

P（X=2）=g

D.〃=4時，

【變式2】（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一

個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次停止，設(shè)停止時共取了X次球，則尸（X=12）=（）

【變式3】（24-25高三上?湖北?期中）英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計了高爾頓釘板來研究隨機現(xiàn)象.如圖是一

個高爾頓釘板的設(shè)計圖，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘

子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向

學(xué)生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動腦的小明設(shè)計了一個不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一

層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當有大量的小

球依次滾下時，最終都落入釘板下面的5個不同位置.若一個小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4

n16c32

A.——D.——

818181

【變式4］（23-24高二下?北京?期中）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制.已知

甲隊每局獲勝的概率為2:，乙隊每局獲勝的概率為：1.

（1）求乙隊以3:2的比分獲勝的概率；

（2）設(shè)確定比賽結(jié)果需要比賽X局，求X的分布列.

題型02二項分布的概率計算問題

【典例21（23-24高二下?河南安陽?期中）若隨機變量X服從二項分布,且P（X=3）=P（X=4）>0,

則C；+A；=<）

A.39B.70C.63D.68

3

【變式1］（23-24高二下?天津西青?期末）某人每次射擊擊中目標的概率均為y,此人連續(xù)射擊三次，至少

有兩次擊中目標的概率為（）

19275481

A.B.C.-----D.----

125125125125

【變式2】（23-24高二下?四川綿陽?期末）某市政道路兩旁需要進行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中

選擇一種進行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為:，若從該地市民中隨機選取4人進行

訪談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（）

【變式3］（23-24高二下?河南濮陽?期末）已知隨機變量X?B（3,p）.若則P的取值范圍

￡3

1

454P

【變式4】（23-24高二下?廣東?期中）如圖所示，已知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點O出發(fā)，每次向左

21

移動的概率為向右移動的概率為1,若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位

于X的位置，則P（X>0）=（）

.4-3-2-10123456》

40

243

題型03服從二項分布的概率最值

【典例3］（23-24高三上?湖北荊州?階段練習(xí)）已知隨機變量J?3（705）,則概率「七=幻最大時，上的取

值為（）

A.3B.4C.3或4D.4或5

【變式1】（23-24高二下?吉林白山?期末）已知隨機變量X?3（”,0.5）,當且僅當人=4時，P（X=左）取得最

大值，則〃=()

A.7B.8C.9D.10

【變式2】(24-25高二下?全國?課后作業(yè))罰球是籃球運動員在籃球比賽時得分的方式之一.已知某籃球運

動員經(jīng)過長期的訓(xùn)練和比賽，將罰球命中率穩(wěn)定在70%,若該運動員在某場比賽中獲得了5次罰球的機會，

且每罰中一球可得到1分,則該名運動員通過罰球最有可能得分.

【變式3】(23-24高二上?山東德州?階段練習(xí))如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互

平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，

12

小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為§,向右下落的概率為§,

最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0,1,2,10,則小球落入號格子的概率最

大.(圖片僅供參考)

題型04二項分布模型的應(yīng)用

【典例4](23-24高二下?天津?期中)甲乙兩人進行象棋比賽，約定誰先贏3局誰就直接獲勝，并結(jié)束比賽.

假設(shè)每局甲贏的概率為:，和棋的概率為各局比賽結(jié)果相互獨立.

24

(1)記X為3局比賽中甲贏的局數(shù)，求X的分布列.

(2)求乙在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；

(3)求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率

【變式1】(23-24高二下?云南昆明?月考)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則：每一局比賽中，勝者得

1分，負者得0分，且比賽中沒有平局.根據(jù)以往戰(zhàn)績，每局比賽甲獲勝的概率為：，每局比賽的結(jié)果互不

影響.

(1)經(jīng)過3局比賽，記甲的得分為X,求X的分布列；

(2)若比賽采取3局制，試計算3局比賽后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.

【變式2】為了增加系統(tǒng)的可靠性，人們經(jīng)常使用“備用冗余設(shè)備”(即正在使用的設(shè)備出故障時才啟動的設(shè)

備)，已知某計算機網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器采用的是“一用兩備”(即一臺正常設(shè)備，兩臺備用設(shè)備)的配置，這三臺

設(shè)備中，只要有一臺能正常工作，計算機網(wǎng)絡(luò)就不會斷掉，如果三臺設(shè)備各自能正常工作的概率都為0.9,

它們之間相互不影響，設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為X.

(1)寫出X的分布列；

(2)求出計算機網(wǎng)絡(luò)不會斷掉的概率.

【變式3](23-24高二下?湖北?月考)一個盒子里有大小相同的5個小球，其中2個白球和3個紅球.

(1)一次性從盒子中抽3個小球，抽出來的是1個白球和2個紅球的概率；

(2)有放回地抽3次小球，每次抽1個，求抽出白球次數(shù)X的分布列.

題型05超幾何分布的辨析

【典例5】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由.

（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X,求X的概率分布；

（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%,任取10顆種子做發(fā)芽試驗，把試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X,求X

的概率分布；

（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只.任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X,求X的概

率分布；

（4）某班級有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動，班長必須參加，其中女生人

數(shù)記為X,求X的概率分布；

（5）現(xiàn)有100臺MP3播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結(jié)果為不合格的MP3播放器的個數(shù)記為

X,求X的概率分布.

【變式1】下列隨機變量中，服從超幾何分布的有.（填序號）

①在10件產(chǎn)品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數(shù)為X；

②從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)；

③一名學(xué)生騎自行車上學(xué)，途中有6個交通崗，記此學(xué)生遇到紅燈的數(shù)為隨機變量X.

【變式2】（多選）一袋中有除顏色、編號外完全相同的10個球，其中有6個黑球，編號為1,2,3,456,

還有4個白球，編號為7,8,9,10,現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.取出的最大號碼X服從超幾何分布

B.取出的黑球個數(shù)y服從超幾何分布

C.取出2個白球的概率為《

D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為七

題型06利用超幾何分布求概率

【典例6】（23-24高二下?浙江?期中）一批產(chǎn)品共有7件，其中5件正品，2件次品，現(xiàn)從7件產(chǎn)品中一次

性抽取3件，設(shè)抽取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X,則P（X=1）=（）

3435

A.-B.一C.—D.——

771414

【變式1］（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）設(shè)袋中有8個紅球,4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至

多3個紅球的概率為（）

c；c；+c也C4.C；

A里c1—0

D.；D.

^12C1^12

【變式2］（23-24高二下?山東青島?期中）數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正

確2道題才能及格.某同學(xué)只能正確求解其中的4道題，則該同學(xué)能及格的概率為()

4231

A.-B.-C.—D.一

5352

【變式3](23-24高二下?江蘇宿遷?期中)有20個零件，其中16個一等品，其余都是二等品，若從20個

零件中任取3個，那么至多有一個是二等品的概率是()

A.*B.pC.J?J口.以上均不對

。20。20。20

題型07利用超幾何分布求分布列

【典例7](24-25高三上?江蘇常州?期中)某校由5名教師組成校本課程講師團，其中2人有校本課程開設(shè)

經(jīng)驗，3人沒有校本課程開設(shè)經(jīng)驗.先從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)校本課程，該期校本課程結(jié)束

后，再從這5名教師中隨機抽選2名教師開設(shè)下一期校本課程.

(1)在第一次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)記為X,求X的分布列；

(2)求“在第二次抽選的2名教師中，有校本課程開設(shè)經(jīng)驗的教師人數(shù)是1”的概率.

【變式1】一個盒子里裝有9個球，其中有4個紅球，3個黃球和2個綠球，這些球除顏色外完全相同.

(1)從盒子中隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率；

(2)從盒子中隨機取出4個球，其中紅球個數(shù)記為X,求隨機變量X的分布列.

【變式2】)某校高中數(shù)學(xué)興趣小組有5名同學(xué)，其中3名男生2名女生，現(xiàn)從中選2人去參加一項活動.

(1)求選出的2人中，恰有1名男生的概率；

(2)用X表示選出的2人中男生的個數(shù)，求X的分布列.

【變式3】(23-24高二下.廣東梅州?月考)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中

豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.

(1)求三種粽子各取到1個的概率；

(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列；

(3)設(shè)y表示取到的粽子的種類，求r的分布列.

題型08二項分布與超幾何分布的綜合問題

【典例8】某批N件產(chǎn)品的次品率為1%,現(xiàn)在從中隨機抽出2件進行檢驗，問：

⑴當N100,l000,10000時，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？(精

確到0.00001)

(2)根據(jù)(1),談?wù)勀銓Τ瑤缀畏植寂c二項分布關(guān)系的認識.

【變式1】袋中有6個白球、3個黑球，從中隨機地連續(xù)抽取2次，每次取1個球.

(1)若每次抽取后都放回，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X,求X的分布列；

(2)若每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個數(shù)為匕求y的分布列.

強化訓(xùn)練

一、單選題

L（23-24高二下?上海?期末）某班級共有40名同學(xué)，其中15人是團員.現(xiàn)從該班級通過抽簽選擇10

名同學(xué)參加活動，定義隨機變量X為其中團員的人數(shù)，則X服從（）

A.二項分布B.超幾何分布C.正態(tài)分布D.伯努利分布

2.（23-24高二下?山東青島?期中）已知隨機變量2（6彳］,則P《=2）=（）

1132080

A.---B.----C.---D.---

243243243243

3.（23-24高二下?湖北武漢?期末）從含有3件正品，2件次品的產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品，則抽取出的2

件產(chǎn)品中恰有1件次品的概率為（）

3311

A.—B.—C.—D.—

510510

4.（23-24高一下?甘肅天水?階段練習(xí)）產(chǎn)品的質(zhì)量是企業(yè)的根本，產(chǎn)品檢測是生產(chǎn)中不可或缺的重要工作，

某工廠為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，利用兩種不同方法進行檢測，兩位員工隨機從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批

產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工甲從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，

員工乙從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機抽取3件產(chǎn)品，設(shè)員工甲抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工乙

抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為y,左=0,1,2,3,則下列判斷不正確的是（）（參考：超幾何分布其均值

（X）=—）

E''N

A.隨機變量X服從二項分布B.隨機變量y服從超幾何分布

C.E（X）=E（y）D.P（X=k）＜P（Y=k）

5.（25-26高二上?上海?期末）甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為:與。，

且乙投球2次均未命中的概率為上.若甲、乙兩人各投球2次，則共命中2次的概率為（）

16

31911

A.—B.—C.—D.—

16646432

6.（24-25高二上?湖北武漢?期中）概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平

相當?shù)募住⒁覂扇诉M行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局.雙方約定：各出賭金210枚金幣，

先贏3局者可獲得全部贖金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的

賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率"的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分

配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

3

7.（22-23高二下?上海浦東新?期末）經(jīng)檢測一批產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的合格率為現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取5件,

設(shè)取得合格產(chǎn)品的件數(shù)為X,則以下選項正確的是（）

A.X的可能取值為1,2,3,4,5B.P（X=2）=cf［仔］

C.X=3的概率最大D.X服從超幾何分布

8.（23-24高二下?山西大同?期中）數(shù)軸上一個質(zhì)點在隨機外力的作用下，從原點。出發(fā)，每隔1秒向左或向

右移動一個單位，已知向右移動的概率為：2，向左移動的概率為:3，共移動8次，則質(zhì)點位于-2的位置的

概率是（）

-2-1~012~~A

232323

、多選題

9.（24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，甲盒裝有6個白球3個紅球，乙盒裝有5個

白球5個紅球，則下列說法正確的是（）

A.甲盒中一次取出3個球，至少取到一個紅球的概率是?

B.乙盒有放回地取3次球，每次取一個，取到2個白球和1個紅球的概率是?

O

C.甲盒不放回地取2次球，每次取一個，第二次取到紅球的概率是:

D.甲盒不放回地多次取球，每次取一個，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也取到白球的

概率是3,

10.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）（多選）袋中有10個大小相同的球，其中6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中

任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.取出的白球個數(shù)X服從二項分布

B.取出的黑球個數(shù)丫服從超幾何分布

C.取出2個白球的概率為3

若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為高

11.（23-24高二下?新疆烏魯木齊?期末）下列說法正確的有（

52

A.已知事件A3,且P(A)==,=P(A\B)=1~,則P(5|A)==2

6325

B.設(shè)火箭發(fā)射失敗的概率為0.01,若發(fā)射10次,其中失敗的次數(shù)為X,則P（X=k）=（J；。xO.Ofx0.9912

c1^

c.若從10名男生、5名女生中選取4人，則其中至少有1名女生的概率為言1

D.設(shè)甲乘汽車、動車前往某目的地的概率分別為0.3、0.5,汽車和動車正點到達目的地的概率分別為0.6

,0.8,則甲正點到達目的地的概率為0.58

三、填空題

Q

12.（25-26高三上?上海?單元測試）已知隨機變量X服從二項分布3（4,p）,P（X=2）=藥，那么一次試

驗成功的概率p等于.

13.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校舉行"書香讀書節(jié)”讀書征文活動，高一年級和高二年級合計上交了

9篇文章.學(xué)校通過評比后，評出4篇文章獲得優(yōu)勝獎.若這4篇文章恰有3篇是高一年級上交的概率為2多0，

63

則高一年級上交的文章有篇.

14.（23-24高二下?陜西寶雞?期中）在20件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為已

1Q

知P（J=1）=U，且該產(chǎn)品的次品率不超過30%,則這20件產(chǎn)品的次品率為.

四、解答題

15.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）高三某班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，

20個白球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)依次從中摸出5個球.規(guī)定摸到4個紅球，1個白球的就中一等

獎.

⑴若摸出后放回，求中一等獎的概率；

⑵若摸出后不放回，①求中一等獎的概率；②若至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率.

16.（23-24高二下?重慶九龍坡?期中）近期重慶市育才中學(xué)校舉行了"探‘樂'計劃"校園歌手大賽和“想玩就

3

，趣?UN肆到底"育才達人甲、乙、丙三人均依次參加兩個比賽，三人進入校園歌手大賽決賽的概率均是:，

4

進入達人秀決賽的概率均是g,且每個人是否進入歌手大賽決賽和達人秀決賽互不影響.

（1）求甲兩個比賽都進入決賽的概率；

⑵記三人中兩個比賽均進入決賽的人數(shù)為X.求隨機變量X的概率分布.

17.（23-24高三上.江蘇南通?月考）某班為了慶祝我國傳統(tǒng)節(jié)日中秋節(jié)，設(shè)計了一個小游戲：在一個不透明

箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學(xué)生從中一次隨機摸出3個球，觀

察顏色后放回.若摸出的球中有X個紅球，則分得X個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節(jié)目.

（1）求一學(xué)生既分得月餅又要表演節(jié)目的概率；

（2）求每位學(xué)生分得月餅數(shù)的概率分布.

18.（23-24高二下?北京海淀?期末）為了調(diào)研某地區(qū)學(xué)生在"自由式滑雪"和"單板滑雪”兩項活動的參與情況，

在該地區(qū)隨機選取了10所學(xué)校進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：

70

60

50

40

30

20

10

O|ABCDEFGHIJ

(1)從這10所學(xué)校中隨機選取1所，已知這所學(xué)校參與“自由式滑雪”人數(shù)超過40人，求該校參與“單板滑雪"

超過30人的概率；

⑵已知參與"自由式滑雪"人數(shù)超過40人的學(xué)校評定為"基地學(xué)校”.現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機選取2所,設(shè)"基

地學(xué)校"的個數(shù)為X,求X的分布列；

⑶現(xiàn)在有一個“單板滑雪"集訓(xùn)營，對"滑行、轉(zhuǎn)彎、停止"這3個動作技巧進行集訓(xùn)，并專門對這3個動作進

行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為"優(yōu)秀".在

此集訓(xùn)測試中，李華同學(xué)3個動作中每個動作達到“優(yōu)秀”的概率均為器3，每個動作互不影響，每輪測試也互

不影響.如果李華同學(xué)在集訓(xùn)測試中想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)的均值達到5次，那么至少要進行多少輪測試？(結(jié)

果不要求證明)

19.(23-24高二下?寧夏銀川?階段練習(xí))為了讓人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和

乙公司在某購物平臺上同時開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭

關(guān)系.

⑴若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個直播間進行購物，第一天等可能他從甲、乙兩家中選一家直

播間購物，如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間

購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8,求小李第二天去乙直播間購物的概率；

(2)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進行“秒殺"活動，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p(0<p<1),

每人下單成功與否互不影響，若從直播間中隨機抽取五人，記五人中恰有2人下單成功的概率為/(〃)，求

”0)的最大值點Po.

第03講二項分布與超幾何分布

01學(xué)習(xí)目標

課程標準學(xué)習(xí)目標

1.理解〃次伯努利試驗.

2.理解二項分布，能利用二項分布解決一些簡單的實際

1.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及其意義.

2.會求n次獨立重復(fù)試驗及二項分布的概問題.

率.3.理解超幾何分布的概念，理解超幾何分布與二項分布

3.掌握超幾何分布的特點，并能簡單的應(yīng)用.

的關(guān)系.

4.會用超幾何分布解決一些簡單的實際問題.

戶

02思維導(dǎo)圖

k

獨立重復(fù)試驗概率的求法

二項分布的概率計算問題

服從二項分布的概率最值

二項分布模型的應(yīng)用

超幾何分布的辨析

利用超幾何分布求概率

利用超幾何分布求分布列

二項分布與超幾何分布的綜合問題

03知識清單

知識點01n次獨立重復(fù)試驗

1.“次獨立重復(fù)試驗

在相同條件下重復(fù)n次伯努利試驗時，人們總是約定這n次試驗是相互獨立的，此時這n次伯努利試

驗也常稱為n次獨立重復(fù)試驗.

2."次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生％次的概率

一般地，事件A在"次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生上次，共有C：種情形，由試驗的獨立性知“A在％次試驗

中發(fā)生，而在其余⑺一?次試驗中不發(fā)生”的概率都是"U—P)"",所以由概率加法公式知，如果在一次試

驗中事件A發(fā)生的概率是P，那么在w次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生人次的概率為P&t)C：p*(l—p)"

~k(kO,1,2,…，ri).

【解讀】(1)上述公式必須在滿足“獨立重復(fù)試驗”時才能運用；

(2)使用公式時一定要明確該公式中各量表示的意義：〃為獨立重復(fù)試驗的次數(shù)；p是在1次試驗中事件

A發(fā)生的概率；1—p是在1次試驗中事件A不發(fā)生的概率；左是在〃次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)；

(3)獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例.一般地，有“恰好發(fā)生上次”“恰有人次發(fā)生”字樣的問題，

求概率時，用w次獨立重復(fù)試驗概率公式計算更簡便.

【即學(xué)即練1】任意拋擲三枚均勻硬幣，恰有2枚正面朝上的概率為()

A.|B.|C.|D.1

【答案】C

【解析】拋一枚硬幣，正面朝上的概率為3，則拋三枚硬幣，恰有2枚朝上的概率為

知識點02二項分布

定義：一般地，如果一次伯努利試驗中，出現(xiàn)“成功”的概率為p,記ql—p,且w次獨立重復(fù)試驗

中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X,則X的取值范圍是｛0,1,-k,-n],而且尸(Xt)C。pk(l—p)『k,2,i,2,

n.

因此X的分布列如下表所示.

X01???k.??n

…???

Pc：pOqnC："c；pnqo

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二次展開式

(q+p)"C;p°q〃+C：PW「I+…+C：…+C；p%°中對應(yīng)項的值，因此稱X服從參數(shù)為n,p的

二項分布，記作X?B(〃，0).

【解讀】

(1)二項分布是兩點分布的一般形式，兩點分布是一種特殊的二項分布，即的二項分布；

(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵在于它是否同時滿足以下三個條件：

①對立性：在一次試驗中，事件A發(fā)生與否必居其一.

②重復(fù)性：試驗可以獨立重復(fù)地進行，且每次試驗事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p.

③X的取值從0到〃，中間不間斷.

由上可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即〃1時的二項分布，所以二項分布可以看成是兩點

分布的一般形式，二項分布中的每次試驗的結(jié)果都服從兩點分布.

【即學(xué)即練2】下列隨機變量X不服從二項分布的是()

A.投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù)

B.某射手射中目標的概率為0,設(shè)每次射擊是相互獨立的，X為從開始射擊到擊中目標所需要的射擊

次數(shù)

C.實力相等的甲、乙兩選手進行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數(shù)

D.某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3,X表示下載w次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的

次數(shù)

【答案】C

【解析】選項A,試驗出現(xiàn)的結(jié)果只有兩種：點數(shù)為6和點數(shù)不為6,且點數(shù)為6的概率在每一次試驗

中都為:，每一次試驗都是獨立的，故隨機變量X服從二項分布；選項B,雖然隨機變量在每一次試驗中

的結(jié)果只有兩種，每一次試驗事件相互獨立，且概率不發(fā)生變化，但隨機變量的取值不確定，故隨機變量X

不服從二項分布；選項C,甲、乙的獲勝率相等，進行5次比賽，相當于進行了5次獨立重復(fù)試驗，故X

服從二項分布；選項D,由二項分布的定義，可知被感染次數(shù)X?8(小0.3).

知識點03超幾何分布

1.定義：一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件從所有物品中任取“

件(〃WN),則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個離散型隨機變量,X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，

其中s是加與〃中的較小者，/在〃不大于乙類物品件數(shù)(即時取0,否則f取“減乙類物品件數(shù)

「kk

之差(即加一(N—解)),而且尸(X?Mkt,t+l,???,5,這里的X稱為服從參數(shù)為N,n,M的超幾

IN

何分布，記作X?印N,小

2.特別地，如果X?8(N,n,M),且“+Af—NW0,則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時X的分布

列如下表所示：

X01.??k…s

1f~^n~1「kx-in-k

WLN-ML"LN-M