陜西省榆林市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢

測(cè)考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知直線4："+2y+l=0,直線/2：x+(a-l)y+2=0,若工乙，則實(shí)數(shù)。=()

32

A.-B.-C.-1D.2

23

2.已知函數(shù)/(》)在x=x0處可導(dǎo)，則lim()

-Ax

A.7.r(x0)B.，(與)C.r(x0)D.2f'(x0)

3.已知拋物線V=8y的焦點(diǎn)是尸，若拋物線上的點(diǎn)尸到尸的距離為4,則點(diǎn)尸到x軸的距

離為()

A.2B.3C.4D.5

4.已知等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S",且%,6練,總成等差數(shù)列，則?=()

A.10B.15C.18D.20

5.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足/+/一2工-8=0,則/+/的取值范圍是()

A.[2,4]B.[8,10]C.[8,16]D.[4,16]

6.己知函數(shù)/'(x)的導(dǎo)函數(shù)為/'(X),若存在/使得則稱(chēng)％是“X)的一個(gè)

“巧值點(diǎn)下列四個(gè)函數(shù)中，沒(méi)有“巧值點(diǎn)''的是()

A.f(x)=ln(x+l)B.七J

C./(x)=sinxD./(x)=cosx

22

7.已知雙曲線C：3-3=l(a>0)的左，右焦點(diǎn)分別為用此，以線段片外為直徑的圓與雙

4

曲線C在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)為若sin/及/鳥(niǎo)=y,則原點(diǎn)O到直線的距離為()

j3

A.-B.1C.-D.2

22

8.漸進(jìn)式延遲退休方案是指采取較緩而穩(wěn)妥的方式逐步延長(zhǎng)退休年齡.對(duì)于男職工，新方案

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

將延遲法定退休年齡每4個(gè)月延遲1個(gè)月，逐步將男職工的法定退休年齡從原六十周歲延遲

至六十三周歲.如果男職工延遲法定退休年齡部分對(duì)照表如下表所示：

出生時(shí)1965年1月1965年5月1965年9月1966年1月

...

間—4月—8月—12月T月

改革后

法定退60歲+1個(gè)月60歲+2個(gè)月60歲+3個(gè)月60歲+4個(gè)月...

休年齡

那么1975年7月出生的男職工法定退休年齡為（）

A.62歲3個(gè)月B.62歲5個(gè)月C.62歲8個(gè)月D.63歲

二、多選題

22

9.已知雙曲線C的方程為上二=貝IJ（）

9-m25-m

A.9<m<25

B.C的焦點(diǎn)可能在x軸上

C.C的焦距一定為8

D.C的漸近線方程可以為y=±百x

10.已知數(shù)歹支?！埃那啊?xiàng)和5,=-/+31”,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.4=32-2〃

B.S”取得最大值時(shí)，〃=15

C.同+2k-----*~|461=240

D.|^i|+1^|H〃3O|=465

11.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線。：/+必=2忖+23是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線,

下列說(shuō)法正確的有（）

A.曲線C圍成的圖形有4條對(duì)稱(chēng)軸

B.曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是8夜兀

C.曲線C上任意兩點(diǎn)間的距離最大值是4行

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若T(”,6)是曲線C上任意一點(diǎn)，則囹+36-18|的最小值是口_50

三、填空題

12.已知直線瓜+y-l=O與直線26x+加y+3=0平行，則它們之間的距離是.

13.已知函數(shù)“x)=x(x-a)2在無(wú)=1處取得極大值，則實(shí)數(shù)。的值是.

14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S),，若邑=4,則名+R的最小值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)f(x)=ahu;-加+i(a,beR),曲線y=/(x)在x=1處與直線V=0相切.

⑴求。、6的值；

(2)求/(x)在1,e2上的最大值和最小值.(其中e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

16.設(shè)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為耳，已知首項(xiàng)為=1,。用=3s.(〃eN)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵在數(shù)列低｝中，bn=an+\Og4Sn,求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和

17.已知圓C:(x+3)2+3-4)2=4.

⑴若直線4過(guò)點(diǎn)”(TO),且與圓C相切，求直線4的方程；

⑵若圓。的半徑為3,圓心在直線/2：x-y+2=0上，且與圓C外切，求圓。的方程.

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點(diǎn)尸上8,0),點(diǎn)亞,0),直線相交于點(diǎn)E,

且它們的斜率之積是-：.

2

(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；

⑵若直線＞=區(qū)+；與點(diǎn)石的軌跡交于",N兩點(diǎn)，線段"N的中點(diǎn)為A.若直線OA的斜率為

1,求線段的長(zhǎng).

19.定義：若函數(shù)"X)與g(x)的圖象在xeC上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)〃x)與g(x)

在xeC上單交,此交點(diǎn)被稱(chēng)為“單交點(diǎn)”.已知函數(shù)/(x)=2e*-a無(wú),aeR,g(x)=底，+2.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

⑴討論函數(shù)””的單調(diào)性；

(2)當(dāng)04.<1時(shí)，

(i)求證：函數(shù)/'(x)與g(x)在(0,+8)上存在“單交點(diǎn)”(七,/(%))；

(ii)對(duì)于(i)中的正數(shù)天,證明：ln[x0(a+l)]<l.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《陜西省榆林市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題》參考答

案

題號(hào)12345678910

答案BDAADBCCACDAC

題號(hào)11

答案ACD

1.B

【分析】根據(jù)兩直線一般式中垂直滿(mǎn)足的關(guān)系即可求解.

2

【詳解】由已知，若4U，貝IJaxl+2（a-l）=0,解得

故選：B.

2.D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在x=x0處可導(dǎo)，則

Hm=2］油?%@-J/心》

AxAT2Ax

/(尤o+Ax)-/(%-Ax)

=2lim

Ax->0

(x0+Ax)-(x0-Ax)J.

故選：D.

3.A

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（為,%）,由拋物線的焦半徑公式得先,則P到X軸的距離可求.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（X。,%）,準(zhǔn)線方程為了=-2,由拋物線定義可得為+2=4,得%=2,

所以點(diǎn)P到x軸的距離為2.

故選：A.

4.A

【分析】根據(jù)題中條件，得到公比%>0a>1或％<。,0<4<1,再由%,6%,網(wǎng)成等差數(shù)列,

求出公比；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，所以%>0,夕>1或%<0,0<q<l,

又%,6&,。8成等差數(shù)列，所以12q6=%+%，則12=q+q2,解得q=3（-4舍去）,

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

%(1-7)

因止匕區(qū)=—r=1+q2=10;

S]q(l-q2)

1-q

故選：A

5.D

【分析】化簡(jiǎn)應(yīng)用三角換元結(jié)合輔助角公式和三角函數(shù)值域計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)橐?/-2》-8=0,

所以(1)2+/=9,

設(shè)=3cos。/=3sin6

則x2+y2=(3COS6+1)2+9sin2^=10+6cos6,cos。G[-1,1],所以4+1后[4,16].

故選：D.

6.B

【分析】求導(dǎo)，然后直接解方程〃x)=/'(x)可判斷BCD；根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷A.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，/(x)=ln(x+l),f'(x)=-L-,

令g(X)=/(X)_廣(x)=In(尤+1)_9，

因?yàn)楹瘮?shù)y=ln(x+l)、y=——L在(T,+8)上均為增函數(shù)，

X+1

所以，函數(shù)g(x)=ln(x+l)-fj在(T+oo)上為增函數(shù)，

因?yàn)間(0)=-l<0，g(l)=ln2-1>0,貝iJg(0)g(l)<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)g(x)=ln(x+l)-占在(0,1)上存在唯一零點(diǎn)，

所以，函數(shù)/(x)=ln(x+l)有“巧值點(diǎn)”；

對(duì)于B選項(xiàng)，/(x)=QT,則=

由/(x)=/(x)可得[即ln；=l,矛盾,

所以，函數(shù)〃x)=[g]沒(méi)有“巧值點(diǎn)”；

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

對(duì)于C選項(xiàng)，/(x)=sinx,則r(x)=cosx,

由=可得sinx=cosx,即tanx=l,解得x=for+?左eZ),

所以，函數(shù)/(x)=sinx有“巧值點(diǎn)”；

對(duì)于D選項(xiàng),/(x)=cosx,貝ij/'(無(wú))=-sinx,

由/(x)=/'(x)可得cosx=-sin尤，即tanx=-l,解得x=左eZ),

所以，函數(shù)/(x)=cosx有“巧值點(diǎn)”.

故選：B.

7.C

4

【分析】根據(jù)題意先確定即，崢，記雙曲線的焦距為2c,再由sin/龍用丹=y,表示出

\MF^W\MF^,根據(jù)雙曲線定義以及題中所給雙曲線方程，求出C,得到|兒陰]；最后根據(jù)點(diǎn)

。到直線匹的距離是點(diǎn)片到直線班距離的一半，即可求出結(jié)果.

【詳解】由題意可得，MFJMF],

4\MFA

因?yàn)閟in乙鳴8=￡=用，記雙曲線的焦距為2c,

5喀|

則眼聞=:片用=：c,所以1Ml=歷曰兩2=：c,

O1

根據(jù)雙曲線定義可得，|吟|-|5|=2a,即：c=2a,貝3=不，

2s

又c?=/+/=/+6=?^?+6,解得c=7所以|A/F；|=3,

因?yàn)辄c(diǎn)。是月耳的中點(diǎn)，所以點(diǎn)。到直線煙的距離是點(diǎn)與到直線距離的一半，

即原點(diǎn)O到直線皿居的距離為?=|；

故選：C

8.C

【分析】設(shè)7月出生的男職工退休年齡為｛%｝,可得｛%｝是首項(xiàng)為609，公差為;的等差數(shù)

列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)1965年7月出生的男職工退休年齡為4=60J歲，

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

則1966年7月出生的男職工退休年齡為。2=60，+：歲，

設(shè)7月出生的男職工退休年齡為｛%｝,則｛%｝是首項(xiàng)為609，公差為;的等差數(shù)列，

64

112

1975年7月出生的男職工退休年齡為%1=6(^+(11-1*4=62§.

故1975年7月出生的男職工退休年齡為62歲8個(gè)月.

故選：C.

9.ACD

【分析】根據(jù)方程為雙曲線可得9〈加〈25,且焦點(diǎn)在V軸上，即A正確，B錯(cuò)誤；計(jì)算可

得焦距為8,即C正確；當(dāng)機(jī)=13時(shí)，漸近線方程為>=±瓜，即D正確.

【詳解】由題意得(9一加)(25-機(jī))<0,解得9<加<25,故A正確；

22

由前可得雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為」-------=1,故雙曲線。的焦點(diǎn)一定在了軸上，故B

25—mm—9

錯(cuò)誤；

雙曲線C的焦距為2j25-m+加-9=8,所以C正確；

22

當(dāng)m=13時(shí)，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-土=1,其漸近線方程為了=±技，故D正確.

124

故選:ACD.

10.AC

【分析】利用和與項(xiàng)的關(guān)系，分〃=1和"W2分別求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，檢驗(yàn)合并即可判定

A；根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)的正負(fù)情況可以否定B；根據(jù)前16項(xiàng)都是非負(fù)值可計(jì)算判定C；由

1ali+|。2%=$16+Q%7-q9。30)=2$頊-邑0可計(jì)算后否定D.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"=-〃2+3In,

則％=st=-1+31=30,

cin=Sn—S“_\=—n~+3177+(〃-1)-31(a-1)=—2n+32("W2),

當(dāng)”=1時(shí)也成立，所以。"=32-2〃，故A正確；

由?！?32-2〃>0,得“<16,當(dāng)〃=16時(shí)仆=0，當(dāng)”>16時(shí)，an<0,

所以S“取得最大值時(shí)，〃=15或〃=16,故B錯(cuò)誤；

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

因?yàn)楫?dāng)“<16時(shí)，>0,當(dāng)力=16時(shí)q=0，

所以同+同+…+何6|=幾=762+31x16=15x16=240,故C正確；

因?yàn)?1。21+,.,+|/o|=耳6+(_47~ai9----%0)

2

=2S16-S30=2x240-(-30+31x30)=450,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.ACD

【分析】分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值可得曲線。的四段關(guān)系式，從而作出曲線C的圖象，由曲線C

圖象判斷各選項(xiàng)即可.

【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線C的方程可化為(x77+(y-l)2=2,

當(dāng)xVO/NO時(shí)，曲線C的方程可化為(x+1)2+(J-1)2=2,

當(dāng)xNO/WO時(shí)，曲線C的方程可化為(x-iy+(y+l)2=2,

當(dāng)xVOjVO時(shí)，曲線C的方程可化為(x+iy+(y+l『=2,

所以曲線C的圖象如圖所示，

對(duì)于A,由圖可知曲線C圍成的圖形有4條對(duì)稱(chēng)軸，故A正確；

對(duì)于B,曲線C由4個(gè)半圓組成，其周長(zhǎng)為2X2TTX收=4&兀，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由圖可知曲線C上任意兩點(diǎn)間的最大距離為4夜，故C正確；

對(duì)于D,7伍力)到直線4x+3y-18=0的距離d=附+7?,

點(diǎn)(1,1)到直線4x+3y-18=0的距離為H+；T8|=H,

由圓的性質(zhì)得曲線C上一點(diǎn)到直線4x+3y-18=0的距離最小為^-亞，

所以囹+36-18|的最小值為1>5行，故D正確.

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值，得到曲線C的四段方程，作

出圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

-5

12.一

4

【解析】由條件可得/=2,然后利用平行線間的距離公式可算出答案.

【詳解】因?yàn)橹本€行工+>-1=0與直線2+zwy+3=0平行，所以zw=2

方程瓜+y-l=O變形為2怎+2y-2=0

3+2_5

所以直線6x+y-l=0與直線2Gx+2了+3=0的距離為了面工7一^

故答案為：f

4

13.3

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得/(x)=(x-a)(3x-a),由題意得至3=1或a=3,將a=l和a=3分

別代入導(dǎo)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，確定在無(wú)=1處的極值，即可得出結(jié)果.

【詳解】由/(無(wú))=x(x-a)2得/'(尤)=(尤-a)~+2x(尤-“)=(尤-a)(3x-a),

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=Mx-。)？在x=1處取得極大值，

所以x=l是方程/1x)=0的根，因此a=l或：=1,即a=l或a=3；

①若a=l,貝U/'(x)=(x-l)(3x-l),

當(dāng)xe's,；1時(shí)，r(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，r(x)<0,則單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+⑹時(shí)，r(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

此時(shí)函數(shù)了=/(尤)在x=l處取得極小值，不符合題意；

②若°=3,則/'(x)=(x-3W3x-3),

當(dāng)xe(f1)時(shí),r(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(l,3)時(shí)，r(x)<0,則/(x)單調(diào)遞減;

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

當(dāng)xe(3,+s)時(shí)，r(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增;

此時(shí)函數(shù)了=/(尤)在x=l處取得極大值，符合題意；

故答案為：3

14.872-4

【分析】應(yīng)用等比數(shù)列求和的基本量運(yùn)算，結(jié)合基本不等式計(jì)算最小值.

【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列｛g｝的前”項(xiàng)和為s”，

若邑=4=邑+二邑,

..4402(1+/)+2

貝3+5="+,+/=#-

1+q1+1\+q2

O■-2

=4+4N4+412亞-2]=8拒-4.

當(dāng)且僅當(dāng)/=8一1時(shí)取最小值.

故答案為：872-4.

15.(l)a=2,6=1

(2)最大值為0,最小值為-e,+5

【分析】(1)由題意可得可得出關(guān)于。、6的方程組，即可解出這兩個(gè)未知數(shù)

[/⑴=0

的值；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(x)在1,e2上的單調(diào)性，即可求出該函數(shù)在區(qū)間1,e2上的最

大值和最小值.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=a欣-蘇+1,其中x>0,則八同=：-2區(qū)，

因?yàn)榍€y=〃x)在x=l處與直線尸。相切，

廣⑴="26=0a=2

所以,,解得

/⑴7+1=0b=\'

(2)由(1)可得/(x)=21nx-x2+l,所以，/，⑺=2_2x=生"=2(l-x)(l+x),

XXX

當(dāng)Lx<l時(shí)，r(x)>0,當(dāng)lew,時(shí)，r(x)<0,

e

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

所以，/'(x)在上單調(diào)遞增，在(l,e［上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)/(X)在X=1處取得極大值即最大值，則/(41a,=/⑴=0,

又=+1=一［1>一2,/(e2)=21ne2-(e2)2+l=-e4+5<-2,

所以，/⑺*=/(5)=-/+5.

=1

(2)7；=4〃T+t^〃GN*

【分析】(1)應(yīng)用%=s〃-S〃T計(jì)算求出通項(xiàng)公式；

(2)應(yīng)用分組求和結(jié)合等差數(shù)列及等比數(shù)列求和公式計(jì)算.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí),可得出=3岳=3%=3；

當(dāng)〃22時(shí)，%+i=3S”,%=3sl,

兩式相減，得：?！?1-4=3a〃，即％=4%,4=3〃1不滿(mǎn)足該式,

"a"-［3-4n-2,n>2.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，4=1；

12

當(dāng)“22時(shí)，S?=1a?+1=-3-4-=A-',：.bn=3-^+n-1,

02

.-.7；=1+3(4+4'+4+…+4"。卜[1+2+3+…+(z-1)]

=1+3.上j,

1-422

〃=1時(shí)，4=4=1,上式也成立.

17.(1)尤=-1或3x+4y+3=0

22

(2)(尤+3)2+(y+l)2=9^(x-2)+(y-4)=9

【分析】(1)根據(jù)題意，可分直線《的斜率不存在和存在兩種情況討論，結(jié)合直線與圓相切,

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解；

(2)設(shè)。(d。+2),由兩圓相外切，得至“。|=5,列出方程求得〃的值，即可求解.

【詳解】(1)由題知，圓C的圓心為C(-3,4),半徑為『=2,

當(dāng)直線4的斜率存在時(shí)，設(shè)直線4的方程為歹=左(》+1),即丘-y+左=0,

由圓心C(T4)到直線4的距離等于半徑,

可得J3

2,解得％=z

此時(shí)直線k的方程為3x+4v+3=0；

當(dāng)直線4的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=T,此時(shí)直線與圓相切，符合題意;

綜上可得，直線4的方程為x=-l或3x+4y+3=0.

(2)由圓。的半徑為3,圓心在直線4：x—y+2=0上,

設(shè)。(a,a+2),且圓C的圓心C(T4),半徑為r=2,

由兩圓相外切，可得|CD|=5,即J(a+3)2+(a_2)2=5,

解得a=-3或a=2,

.?.。(-3,-1)或。(2,4),

??.圓D的方程為(x+3)2+3+Ip=9或(x-2y+(丁一4>=9.

2

18.⑴、+/=1(XR土也)

⑵謹(jǐn)

3

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)石(龍,田，根據(jù)題意建立等式求解即可；

(2)先利用點(diǎn)差法求得太，然后聯(lián)立方程組利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)即可.

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)E(x,力,

因?yàn)橹本€尸瓦?！甑男甭手e是

???壺、金=一”化簡(jiǎn)得：9/=l(xR土?，

2

即動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為：y+/=l(x^±V2),

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

(2)設(shè)M(X1/J,N(X2，%)，

V線段的中點(diǎn)為4二土產(chǎn)，七及

22

?k乂+%卜_必一力_必一為

??^OAEMN則^OA'MN

再+/西-x2

22

由題可得，爭(zhēng)才=喘+￡=1,

=_；,即左04.￡3=_；，

兩式求差化簡(jiǎn)得:

kOA=1,.,.右加=—萬(wàn)，?二直線MN的方程為y=--x+—,

^11

y=——x+—

22

聯(lián)立2，消去歹得3M—2x—3=0,

X21

——+V=1

12/

2日

..西+%2=,國(guó)次2=-1，目.A〉0,

.-.|A￡V|=+?J(X]+X2)2_4X]X2-4x(-1)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法求出直線"N的斜率，再利用弦

長(zhǎng)公式求解.

19.(1)答案見(jiàn)解析

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)，分aWO及。>0討論即可得；

(2)(i)