重難點專項突破06旋轉(zhuǎn)之“費馬點”模型13種題型

【知識梳理】

如圖，以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外

面的三個頂點與原三角形的相對頂點相連，交于點P,點

P就是原三角形的費馬點.

最值問題是中考?？碱}型，費馬點屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而

來，所以應熟練掌握費馬點等此類最值經(jīng)典題。

【考點剖析】

--一元一次方程的應用（共1小題）

1.（2020春?江北區(qū)期末）如圖，己知直線A8與直線CD相交于點。，NBOE=90°,OF平分NBOD,Z

BOC-.ZAOC=1：3.

（1）求/DOE,NC。尸的度數(shù)；

（2）若射線。凡OE同時繞。點分別以2°Is,4°/s的速度，順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當射線?！?。尸的夾

角為90°時，兩射線同時停止旋轉(zhuǎn).設旋轉(zhuǎn)時間為試求t值.

二次函數(shù)綜合題（共1小題）

2.（2018秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=/+bx-8的圖象與x軸交于A、B兩

點，與y軸交于點C,直線y=fcv+￡（kWO）經(jīng)過點A,與拋物線交于另一點R,已知0C=2O4,OB=

3OA.

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1,若點尸是x軸下方拋物線上一點，過點P作尸于點X,過點尸作「。〃左軸交拋物

線于點。，過點、P作PH'6軸于點"，K為直線PH'上一點，且PK=2?PQ,點/為第四象限內(nèi)

一點，且在直線P。上方，連接/尸、IQ、IK,記/=3^PH-/P。，m=IP+IQ+IK,當/取得最大值時，

求出點尸的坐標，并求出此時機的最小值.

（3）如圖2,將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M,過點M作MNLx軸，交拋物線于點

N,動點。為x軸上一點，連接M￡）、DN,再將△MDN沿直線翻折為（點M、N、D、N'

在同一平面內(nèi)），連接⑷V、AN'、NN',當△AMV'為等腰三角形時，請直接寫出點。的坐標.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

3.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM.以A8

為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

（1）求證：AAMB^AENB；

（2）若AM+8M+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點.若點M為△ABC的費馬點，試求此時/

AMB、/BMC、ZCMA的度數(shù)；

（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的A3、AC為

一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF,連接CE、BF,設交點為則點M即為△ABC的費馬點.試說

明這種作法的依據(jù).

四.角平分線的性質(zhì)（共1小題）

4.（2020?荷塘區(qū)模擬）在△ABC中，若其內(nèi)部的點尸滿足/AP8=/BPC=/CB4=120°,則稱P為4

ABC的費馬點.如圖所示，在△ABC中，己知/A4c=45°,設P為△ABC的費馬點，且滿足/P8A=

45°,PA=4,則△E4C的面積為.

A

五.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

5.（2017秋?義烏市月考）已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫

△ABC的費馬點（%>"也？山加）.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當NAPB=NAPC=

ZBPC=120°Hf,P就是△ABC的費馬點.若點尸是腰長為血的等腰直角三角形。EF的費馬點，則

PD+PE+PF^（）

A.2MB.1+73C.6D.3M

六.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）

6.（2014秋?廈門期中）如圖（1）,尸為△ABC所在平面上一點，且/4尸8=48尸。=/。4=120°,則點

尸叫做△ABC的費馬點.

如圖（2）,在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB'連接88'.

求證：BB'過△ABC的費馬點P,且38'=PA+PB+PC.

圖(2)

七.等腰直角三角形（共1小題）

7.（2020?崇州市模擬）如果點尸是AABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點叫^

A8C的費馬點.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△A8C中，當/APB=NAPC=N8PC=120°時，

P就是AABC的費馬點.若點P是腰長為我的等腰直角三角形DEF的費馬點，貝UPD+PE+PF

八.三角形綜合題（共2小題）

8.（2023春?渠縣校級期末）如圖1,D、E、尸是等邊三角形ABC中不共線三點，連接A。、BE、CF,三

條線段兩兩分別相交于。、E、F.已知A_F=8。，ZEDF=6Q°.

（1）證明：EF=DF；

（2）如圖2,點M是瓦）上一點，連接CM,以CM為邊向右作△CMG,連接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

（3）如圖3,在（2）的條件下，當點M與點。重合時，若COLA。，G￡）=4,請問在△AC。內(nèi)部是否

存在點尸使得尸到△AC。三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試

說明理由.

9.(2017秋?祁江區(qū)期末)背景資料：

在已知△ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.

這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬

點

如圖①，當△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點尸在△A8C內(nèi)部，此時

120°,此時，朋+P8+PC的值最小.

解決問題：

(1)如圖②，等邊△A8C內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB的度

數(shù).

為了解決本題，我們可以將△A2P繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時△ACPSABP,這樣就可以利

用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段抬，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出/AP8=；

基本運用：

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖③，△ABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,尸為8C上的點，且/EAE=45°,判斷BE,EF,FC

之間的數(shù)量關系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在RtZvlBC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點尸為Rt^ABC的費馬點，連接

AP,BP,CP,求24+PB+PC的值.

圖③圖⑷

九.正方形的性質(zhì)（共1小題）

10.（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為6的正方形A2CZ）中，點M,N分別為A3、BC上的動點,

且始終保持8M=CN.連接MN,以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰RtaMNQ,若在正方形內(nèi)還存在一點P,

則點P到點A、點。、點。的距離之和的最小值為.

一十.四邊形綜合題（共1小題）

11.（2023?桐城市校級開學）定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和

最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”,“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”.

【基礎鞏固】

（1）如圖1,在等腰Rt^ABC中，NA4c=90°,為BC邊上的高，已知上一點E滿足NOEC

=60°,AC=4&，AE+BE+CE=；

【嘗試應用】

（2）如圖2,等邊三角形ABC邊長為k/5,E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°

得到三角形AFG,連接ER請你在此基礎上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；

【拓展提高】

（3）如圖3,在菱形ABC。中，過AB的中點E作AB垂線交的延長線于點R連接AC、DB,已知

ZBDA=15°,AB=6,求三角形APB“最近值”的平方.

一十一.軸對稱-最短路線問題（共2小題）

12.（2021?丹東）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果△ABC是銳角

（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足乙4尸8=/8~7=/81=120°.（例如：等

邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若4B=AC=夜,8C=2M，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC

=；若A8=2娟，BC=2,AC=4,尸為△ABC的費馬點，貝!]PA+PB+PC=.

13.（2019秋?開福區(qū)校級月考）法國數(shù)學家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P,使它到三角形頂點的距離

之和最小.人們稱這個點為費馬點，此時B4+PB+PC的值為費馬距離.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，

費馬點尸滿足/4尸8=/8小7=/（7以=120°,如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且必=3,PC=4,

ZABC=60°,則費馬距離為.

一十二.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共4小題）

14.（2023春?城關區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，ZCAB=65°,將△ABC在平面內(nèi)繞點A旋轉(zhuǎn)到△AB'

C的位置，使CC'//AB,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（)

A.40°B.30°C.50°D.65°

（多選）15.（2023春?臨胸縣期中）如圖，將一副三角板按如圖方式疊放在一起，保持三角板A8C不動,

將三角板DCE的CE邊與C4邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針方向任意轉(zhuǎn)動一個角度.當這兩塊

二角板各有一條邊互相平行時，NACE的度數(shù)可能是（）

A.45°B.90°C.120°D.135°

16.（2022秋?大冶市期末）如圖，。是等邊三角形ABC外一點，連接ADBD,CD,已知BD=8,CD=

3,則當線段的長度最小時，

?ZBDC=；

②4。的最小值是.

17.（2022秋?洪山區(qū)校級期中）如圖，以等邊△ABC的一邊BC為底邊作等腰△BCD已知4B=3，CD=BD=

且N8OC=120°,在△BCD內(nèi)有一動點P,貝！JP8+PC+P。的最小值為.

A

一十三.幾何變換綜合題（共1小題）

18.（2023春?沈陽期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A,點8分別是y軸，x軸正半軸上的點，且OA

=OB,△AOC是等邊三角形，且點C在第二象限，M為NAOB平分線上的動點，將OM繞點。逆時針

旋轉(zhuǎn)60°得至UON,連接CN,AM,BM.

（1）求證：四△CNO；

（2）若A點坐標為（0,4）；

①當AM+BM的值最小時，請直接寫出點M的坐標；

②當AM+8M+0M的值最小時，求出點M的坐標，并說明理由.

重難點專項突破06旋轉(zhuǎn)之“費馬點”模型13種題型

【知識梳理】

如圖，以△ABC的三邊向外分別作等邊三角形，然后把外

面的三個頂點與原三角形的相對頂點相連，交于點P,點

P就是原三角形的費馬點.

最值問題是中考?？碱}型，費馬點屬于幾何中的經(jīng)典題型，目前全國范圍內(nèi)的中考題都是從經(jīng)典題改編而

來，所以應熟練掌握費馬點等此類最值經(jīng)典題。

【考點剖析】

--一元一次方程的應用(共1小題)

1.(2020春?江北區(qū)期末)如圖，已知直線A8與直線CD相交于點O,ZBOE=90°,。/平分/B。。，Z

BOC：ZAOC^l：3.

(1)求NDOE,NCOI的度數(shù);

(2)若射線。凡OE同時繞。點分別以2°Is,4°/s的速度，順時針勻速旋轉(zhuǎn)，當射線。￡,。尸的夾

角為90°時，兩射線同時停止旋轉(zhuǎn).設旋轉(zhuǎn)時間為3試求t值.

E

C

A_________B

D

【分析】（1）根據(jù)平角的定義和/BOC：ZAOC=1：3可求NBOC的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等可求/A。。

的度數(shù)，根據(jù)角的和差關系可求出的度數(shù)，根據(jù)平角的定義和角平分線的定義可求NB。尸的度

數(shù)，根據(jù)角的和差關系求出/COP的度數(shù)；

（2）先求出/EOF的度數(shù)，再根據(jù)射線?！?、。產(chǎn)的夾角為90°,列出方程求解即可.

【解答】解：（1）,/ZBOC：ZAOC^l：3,

AZBOC=180°X-A_=45°,

1+3

...NAOO=NBOC=45°,

:NBOE=90°,

?.ZAOE=90°,

ZDOE^ZAOE+ZAOD^90°+45°=135°,

ZBOD=180°-ZAOZ）=180°-45°=135°,

平分NB。。，

.?.ZBOF=AzBOD=Axi35°=67.5°,

22

/.ZCOF=ZBOC+ZBOF=45°+67.5°=112.5°；

（2）ZEOF^ZEOB+ZBOF^90°+67.5°=157.5°,

根據(jù)題意得：4r-2t=157.5-90,

解得:f=33.75,

答：，的值為33.75s.

【點評】本題考查了角的計算，角平分線的定義，解題的關鍵是根據(jù)題中等量關系列出方程.

二次函數(shù)綜合題（共1小題）

2.（2018秋?沙坪壩區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=”^+公-8的圖象與x軸交于4、2兩

點，與y軸交于點C,直線y=fcv+￡（kWO）經(jīng)過點A,與拋物線交于另一點R,已知。C=2OA,OB=

3OA.

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1,若點尸是無軸下方拋物線上一點，過點P作尸于點X,過點尸作「。〃左軸交拋物

線于點。，過點尸作「打,”軸于點〃，K為直線PH'上一點，且PK=2FP0,點/為第四象限

內(nèi)一點，且在直線尸。上方，連接/P、IQ、IK,記/=號強千。,m=IP+IQ+IK,當/取得最大值時，

求出點尸的坐標，并求出此時機的最小值.

(3)如圖2,將點A沿直線4R方向平移13個長度單位到點M,過點M作尤軸，交拋物線于點

N,動點。為x軸上一點，連接M。、DN,再將△MDN沿直線翻折為(點M、N、D、N'

在同一平面內(nèi))，連接AN、AN'>NN',當LANN為等腰三角形時，請直接寫出點。的坐標.

【分析】(1)令二次函數(shù)x=0,解出C點坐標(0,-8),根據(jù)已知條件可知點A(-4,0)點、B(12,

0).代入解析式從而求得拋物線和直線解析式.

(2)設點尸坐標的橫坐標為p,求出對稱軸為直線尤=4,根據(jù)對稱性求出點。的坐標，從而求出尸。的

長度，延長PK交直線4R與點利用一次函數(shù)解析式求出點M的坐標，PM線段長可表示，利用△

PHMs^AEO,求出尸8的長度，則/可用點p的代數(shù)式表示，從而求得最大值，點尸坐標也可求出，

由MI=/P+/Q+/K求其最小值可知，點/為△PQK的“費馬點”.

(3)由點A平移13個單位可知點M的坐標，則點N的坐標可求為(8,-8)可求⑷V的長度，的

長度為13,因為翻折可知MN'的長度也為13,則M在以點M為圓心13個單位長度為半徑的圓上運

動，再利用等腰三角形求出點。的坐標.

【解答】解(1):產(chǎn)/+法-8與y軸的交點為C,令x=0,y=-8

.,.點C(0,-8)

OC=8

VOC=2OA,OB=3OA

：.OA=4,OB=n

：.A(-4,0)B(12,0)

將點A代入直線解析式可得0=-必+竺

3

解得k=2

12

將點A和點B代入拋物線中

<f0=16a-4b-8

l0=144a+12b-8

解得—--

63

(2)設點P的坐標為(p,Lp2-9p-8)

63

-2a-

b

拋物線的對稱軸為直線x=4

.,.點Q(8-p,5P4-^p-g)

bo

：.PQ=2p-8

'：PK=2-/3PQ

：.PK=4-/3p-16^3

如圖1所示，延長PK交直線AR于點M,則M(p,*p+1)

：.ZHPM=ZMAH'

???直線解析式為y=3xj，令尤=0,>=5■?

1233

：.OE=^~

3

VOA=4

根據(jù)勾股定理得

3

/.cosZEAO=0A=22

AE13

：.cosZHPM=^-PH12

PM1221~2913

6P52P+T

.ptT-2221116

?"下PBF

-：I=^-PH-^-PQ

24

(__L2+214JJA)-1(2/7-8)=-(p-5)2+85

213p13p134

.?.當p=5時，/取最大值此時點P(5,衛(wèi))

2

：.PQ=2,PK=4A/3

如圖2所示，連接0K,以PQ為邊向下做等邊三角形尸。。，連接KD在KD取/,

使/P/D=60°,以P/為邊做等邊三角形/PH連接/Q

一圖2

"：IP=PF,PQ=PD,ZIPQ=ZFPD

.".△/PQ^AFPD

：.DF=IQ

：.IP+IQ+IK=IF+FD+IK=DK,此時機最小

過點。作。N垂直于KP

,/ZKPD=ZKPQ+ZQPD=150°

:./PDN=30°

?：DP=PQ=2

:.DN=1,根據(jù)勾股定理得

在△KDN中，KN=5遙，DN=1,根據(jù)勾股定理得KD=2

；?機的最小值為2丁通

（3）設NM與x軸交于點J

"."AM—13,cosZMAJ=-i^-

13

：.AJ^12,根據(jù)勾股定理得MJ=5

VOA=4,：.OJ=8

：.M(8,5)

當x=8時，代入拋物線中，可得y=-8

：.N(8,-8),MN=13

在△?1河中，根據(jù)勾股定理得AN=4\i~13

?.?點。為x軸上的動點，根據(jù)翻折，MN'=13,所以點N'在以〃為圓心，13個單位長度為半徑的圓

上運動，如圖3所示

①當N'落在AN的垂直平分線上時

tanNMNA=』^=g

82

：.tanZMGJ=^-,"：MJ=5

2

：.JG=^-,根據(jù)勾股定理得MG=5后

33

'：MDi為/GMJ的角平分線

.MGGD

DiJ=-———-...Di(———"1"^—,0)

22

也為角平分線

.,.ZDIM￡)4=90O

根據(jù)射影定理得MJ2=JDrJD4

：.孫=5江+15

2

.3(31+5^/75,0)

2

②當AN=AN'時

￡>2與點A重合

：.D2(-4,0)

???加。3為角平分線

.".JZ）3=—

3

：.D3（—,0）

3

綜上所述n（3；1-5\G^,0）,。2（-4,0）,03（―,0）,。4（31+5,0）.

232

【點評】本題（1）考查了二次函數(shù)及一次函數(shù)的待定系數(shù)法，（2）考查了二次函數(shù)的最值問題及費馬點

定理，（3）考查了等腰三角形及角平分線分線段成比例及射影定理.此題綜合性較強.

三.全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

3.（2022秋?靜安區(qū)校級期中）如圖①，點M為銳角二角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM.以A8

為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接EN.

（1）求證：AAMB咨AENB；

（2）若AM+8M+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點.若點M為△ABC的費馬點，試求此時/

AMB,/BMC、NCMA的度數(shù)；

（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的48、AC為

一邊向外作等邊AABE和等邊連接CE、BF,設交點為M,則點〃即為△A8C的費馬點.試說

明這種作法的依據(jù).

【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB0AEWB；

（2）連接MV,由（1）的結(jié)論證明為等邊三角形，所以BM=MN,即AM+BM+CM^EN+MN+CM,

所以當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時NAMB、/BMC、NCMA的度

數(shù)；

（3）根據(jù)（2）中費馬點的定義，又AABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段8尸上.因此線段EC

與BF的交點即為△ABC的費馬點.

【解答】解：（1）證明：：△ABE為等邊三角形，

:.AB=BE,ZABE=60°.

而NMBN=60°,

：.ZABM=ZEBN.

在AAMB與AENB中,

:.LAMBqAENB(SAS).

(2)連接朋N.由(1)知，AM=EN.

.：NMBN=60°,BM=BN,

；.4BMN為等邊三角形.

：.BM=MN.

：.AM+BM+CM^EN+MN+CM.

...當E、N、M、C四點共線時，AM+8M+CM的值最小.

此時，ZBMC=180°-ZNMB=120°；

ZAMB=ZENB^180°-/BNM=120°；

ZAMC=360°-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）由（2）知，△ABC的費馬點在線段EC上，同理也在線段8尸上.

因此線段EC與BF的交點即為△ABC的費馬點.

【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，是一道綜合性的題目難度很大.

四.角平分線的性質(zhì)（共1小題）

4.（2020?荷塘區(qū)模擬）在△ABC中，若其內(nèi)部的點尸滿足/4尸8=/82。=/81=120°,則稱P為4

ABC的費馬點.如圖所示，在△A8C中，已知/8AC=45°,設P為△ABC的費馬點，且滿足/產(chǎn)區(qū)4=

45°,PA=4,則△/HC的面積為47?.

【分析】如圖，延長BP交AC于。，先說明△A3。是等腰直角三角形，尸是30°的直角三角形,

可得和A。的長，根據(jù)費馬點的定義可得NAPC=120°,從而可知△POC也是30°的直角三角形,

可得。的長，根據(jù)三角形的面積公式可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長8尸交AC于

VZBAC=ZPBA=45°,

：.ZADB=90°,AD=BD,

?.,尸為△ABC的費馬點，

AZAPB=ZCPA=nQ°,

AZBAP=180°-120°-45°=15°,

必C=45°-15°=30°,

AZAPD=60°,

RtZ\E4。中，；B4=4,

:.PD=2,AD=2^,

VZAPC=120°,

；./CPD=120°-60°=60°,

RtZkPDC中，ZPCD=30°,

：.CD=243,

：.AC=AD+CD=243+2V3=4/3,

,△fiAC的面積為告■AOPDugX4?X2=4/3.

故答案為：473.

【點評】本題考查了費馬點的定義，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，含30°角的直角三

角形的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線構(gòu)建等腰直角三角形是本題的關鍵.

五.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

5.（2017秋?義烏市月考）已知點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫

△ABC的費馬點（Fermatpoint）.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當/AP8=/APC=

ZBPC=120°Ht,P就是△ABC的費馬點.若點尸是腰長為近的等腰直角三角形。EF的費馬點，則

PD+PE+PF=()

A.2V3B.1+F5C.6D.3M

【分析】根據(jù)題意首先畫出圖形，過點。作OMLEF于點M,在內(nèi)部過E、/分別作//"=/

MFP=30°,則/防p=/b。=/"。=120°,點/3就是費馬點，求出尸E,PF,0P的長即可解決問

題；

【解答】解：如圖：過點。作DM,所于點在內(nèi)部過￡、E分別作NMEP=NMEP=30°,

則/后「尸=/尸尸。=/后尸。=120°,點？就是費馬點，

在等腰中，DE=DF=?,DM±EF,

:.EF=HDE=2

：.EM=DM=\,

故cos30。=里L

PE

解得：PE=22匡，則PM=返，

33

故。P=I-返，同法可得尸尸=22Z1_

33

貝!]PD+PE+PF-2X近一叵="

33

故選：B.

【點評】此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關鍵.

六.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）

6.（2014秋?廈門期中）如圖（1）,尸為△ABC所在平面上一點，且乙4尸2=/取。=/04=120°,則點

「叫做△ABC的費馬點.

如圖（2）,在銳角△A8C外側(cè)作等邊△ACB'連接8夕.

求證：BB'過△ABC的費馬點P,且^PA+PB+PC.

AB'

-------------B匕----------------

圖（1）圖（2）

【分析】根據(jù)費馬點的定義，在BB'上取點尸，使N2PC=120°,再在尸8'上取尸E=PC,然后連接

CE,根據(jù)等邊三角形的判定可以證明APCE是等邊三角形，從而得到尸C=CE,/PCE=60。，根據(jù)角

的關系可以推出NPCA=N￡CB',再利用邊角邊證明ACP與CE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相

等可得M=EB'，/APC=/CEB'=120°,從而可得點P為△ABC的費馬點，并且BB'^PA+PB+PC.

【解答】證明：在BB'上取點P,使/8/^=120°,

連接AP，再在尸2'上截取PE=PC,連接CE,

'：ZBPC=120°,

：.ZEPC=60°,

.?.△PCE為正三角形，

；.PC=CE,NPCE=60°,ACEB'=120°,

為正三角形，

：.AC^B'C,ZACB'=60°,

ZPCA+ZACE=ZACE+ZECB'=60°,

:./PCA=/ECB',

/.△ACP^AB,CE,

：.ZAPC=ZB'￡C=120°,PA=EB',

/APB=/APC=NBPC=120°,

...P為△ABC的費馬點，

：.BB'過△ABC的費馬點P,且83'=EB'+PB+PE^PA+PB+PC.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)新定義，作出輔助線構(gòu)

造出全等三角形是解題的關鍵.

七.等腰直角三角形（共1小題）

7.（2020?崇州市模擬）如果點P是AABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點叫△

ABC的費馬點.己經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當時，

尸就是△ABC的費馬點.若點尸是腰長為血的等腰直角三角形。EF的費馬點，則尸。+尸石+「尸=_\后

+1

【分析】過點。作。于點在內(nèi)部過E、尸分別作NMEP=NMfP=30°,則

ZFPD=ZEPD=nQ°，點尸就是費馬點，求出PE,PF,0P的長即可解決問題；

【解答】解：如圖：過點。作。M_LEF于點在△8OE內(nèi)部過E、F分別作NMEP=/MFP=30°,

則/￡尸尸=/五尸。=/石尸。=120°,點尸就是費馬點，

在等腰中，DE=DF=?,DM±EF,

：.EF=42DE=2

：.EM=DM=1,

故cos30。=四，

PE

解得：巨，則加=返，

33

故。p=l-返，同法可得尸尸=2巨

33

貝UPD+PE+PF-2X41一近出+1.

33

故答案為F+1.

【點評】此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關鍵.

A.三角形綜合題(共2小題)

8.(2023春?渠縣校級期末)如圖1,D、E、尸是等邊三角形ABC中不共線三點，連接A。、BE、CF,三

條線段兩兩分別相交于。、E、F.已知ZEDF=60°.

(1)證明：EF=DF；

(2)如圖2,點〃是上一點，連接CM,以CM為邊向右作△CMG,連接EG.若EG=EC+EM,

CM=GM,ZGMC=ZGEC,證明：CG=CM.

(3)如圖3,在(2)的條件下，當點M與點D重合時，若COLA。，G￡)=4,請問在△AC。內(nèi)部是否

存在點尸使得P到△AC。三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試

說明理由.

【分析】(1)可先推出再證△ACFg/XBAZ),即可得出結(jié)論;

(2)在EP上截取EN=EM,連接MN,可推出△EMN是等邊三角形，可證△NCM0△EGM,然后推出

△CMG是等邊三角形，從而問題得證；

(3)先求得人。=竺巨，將△￡＞「(？繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°至△DQG,連接AG,可得△PDQ是等邊三

3

角形，＞AP+PD+CP^AP+PQ+QG,故當A、P、0、G共線時，AP+PD+CP最小=AG,最后解斜三

角形AOG,從而求得.

【解答】(1)證明：如圖1,

圖1

VAABC是等邊三角形,

：.AC=AB,

ZACB=6Q°,

.,.ZCAF+Z￡)AB=60o,

*：ZEDF=6Q°,

AZDAB+ZABD=60°,

AZCAF=NABD,

'：AF=BDf

AAACF^ABAD(SAS),

：.EF=DF；

(2)證明：如圖2,

由(1)知，

EF=DF,ZEDF=60°,

???△OE/是等邊三角形，

；?/DEF=60°,

在E廠上截取EN=EM,連接MN,

CN=CE+EN=CE+EM=EG,

「?△EMN是等邊三角形，

：.ZCNM=60°,

?：/GMC=/GEC,Na=N0,

???ZNCM=ZEGM,

?：CM=GM,

:?叢NCM沿叢EGM(SAS),

AZMEG=ZCNM=60°,

AZCEG=180°-ZMEG-ZFE￡)=60°,

：.ZGME=ZGEC=60°,

?:CM=GM,

???△CMG是等邊三角形,

ACG=CM；

(3)解：如圖3,

A

由(1)(2)知，

XDEF和△COG是等邊三角形,

：.ZCFD=60°,CD=GD=4,

u：CDLAD,

：.ZCDF=90°,

CD

：.AD=CF=to

sin603

將△QPC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°至△OQG,連接AG,

：.AD=DQ,CP=QG,

：.^PDQ是等邊三角形，

：.PD=PQ,

：.AP+PD+CP^AP+PQ+QG,

.?.當A、P、Q、G共線時，AP+PO+CP最小=AG,

作GH±AD于H,

在RtZXOGH中，

GH=LDG=2,

2

DH=^-DG=2\/3,

2

：.AH~AD+DH~約回+2焉=31,

33

AAG=VGH2+AH2

J.AP+PD+CP的最小值是件圖.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應用等知識，解決問

題的關鍵是掌握“費馬點”模型及“截長補短”等題型.

9.（2017秋?祁江區(qū)期末）背景資料：

在已知△ABC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.

這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬

點”.

如圖①，當△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點尸在△ABC內(nèi)部，此時

120°,此時，B4+P8+PC的值最小.

解決問題：

（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求NAPB的度

數(shù).

為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時△ACP烏AABP,這樣就可以利

用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段抬，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出乙4尸8=150°；

基本運用：

（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖③，TXABC中，ZCAB=9Q°,AB=AC,E,尸為BC上的點，且/EAF=45°,判斷BE,EF,FC

之間的數(shù)量關系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=1,/A3C=30°,點尸為Rt^ABC的費馬點，連接

AP,BP,CP,求B4+P2+PC的值.

A

P'

圖③圖④

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以

及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;

(2)把△A2E繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE',根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE'=AE,CE'CE,Z

CAE'=NBAE,NACE'=NB,NEAE'=90°，再求出NE'AF=45°，從而得到NEAB=NE'AF,

然后利用“邊角邊”證明和AF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得E'F=EF,再利用

勾股定理列式即可得證.

(3)將AAPB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至P'B處，連接PP',根據(jù)直角三角形30°角所對的直

角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即A'B的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根

據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP=PP',等邊三角形三個角都是60°求出ZBP'P=

60°,然后求出C、P、A'、P'四點共線，再利用勾股定理列式求出A'C,從而得到B4+P8+PC=A,

C.

【解答】解：(1);△ACP咨AABP,

：.AP'=A尸=3、CP'=BP=4、ZAP'C=NAPB,

由題意知旋轉(zhuǎn)角NB4P=60°,

:AAPP'為等邊三角形,

PP'=AP=3,ZAP'P=60°,

易證C為直角三角形，且/PPC=90°,

：.ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：150。；

(2)EF^^BE^+FC1,理由如下：

如圖2,把aABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE',

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,ACAE'=ZBAE,ZACE'=NB,ZEAE'=90°

VZEAF=45°,

：.ZE'AF^ZCAE'+ZCAF^ZBAE+ZCAF=ZBAC-ZEAF=90°-45°=45°,

：.ZEAF=ZE'AF,

在△￡>1/和AF中，

，AE=AE,

-ZEAF=ZE?AF,

AF=AF

:.叢EAF"叢E'AF(SAS),

：.E'F=EF,

VZCAB=90°,AB^AC,

：.ZB^ZACB^45°,

：.ZE'CF=450+45°=90°,

由勾股定理得，E'F2=CE'2+FC2,即EF2=BE2+FC2.

(3)如圖④，將△APB繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°至P'8處，連接PP',

A'

在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,NA8C=30°，：.AB=2,

BC=JAB2-AC2=M，

「△APB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,.?.△A'P'B如圖所示；

/A'BC=ZABC+60°=30°+60°=90°,

.?.AB=2AC=2,

「△APB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△?!'P'B,

：.A'B=AB=2,BP=BP',A'P'=AP,

:.△BPP，是等邊三角形，

：.BP=PP',ZBPP'=ZBP'P=60°,

VZAPC^ZCPB^ZBPA^120°,

：.ZCPB+ZBPP'=ZBP'A'+ZBP'P=120°+60°=180°,

；.C、P、N、P'四點共線，

在RtZkA'8c中，A'C=WB2+BC?={（V§）2+22=*，

：.PA+PB+PC^A'P'+PP'+PC=A'C=V7.

【點評】本題考查三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識,

解題的關鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

九.正方形的性質(zhì)（共1小題）

10.（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為6的正方形ABC。中，點M,N分別為A3、BC上的動點,

且始終保持8M=CN.連接MN,以九W為斜邊在矩形內(nèi)作等腰RtZWNQ,若在正方形內(nèi)還存在一點P,

則點P到點A、點。、點。的距離之和的最小值為3+3我.

【分析】根據(jù)勾股定理得到關于尤的一元二次方程，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得當BM=8N=3時，。點到

距離最近，止匕時Q點是AC和BD的交點，過點Q作于點M',在△AOQ內(nèi)部過A、D分別

作NM'DP=/M'AP=30°，則/4尸￡)=/4尸0=/。尸0=120°，點尸就是費馬點，此時B4+PD+P0

最小，根據(jù)特殊直角三角形才求出A。，PA,PD,PQ的長，進而得出答案.

【解答】解：設則BN=6-x,

'：MN2=BM2+BN2,

:.Ma=a+(6-X)2=2(尤-3)2+18,

.?.當x=3時，MN最小，

此時Q點離AD最近，

,:BM=BN=3,

二。點是AC和8。的交點，

:.AQ=DQ=^-AD=3?,

過點。作QM'_