熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題06數(shù)列求通項(xiàng)

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型oiS“法...................................................................................1

n

題型02類S“法已知等式中左側(cè)含有：￡咕...................................................2

?=1

題型03累加法.................................................................................3

題型04累乘法..................................................................................4

題型05用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列..........................................................5

題型06用“同除法”構(gòu)造數(shù)列...................................................................6

題型07用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列..........................................................6

題型08形如an+1=pan+4"+（〃w1）型.......................................................7

題型09形如an+l=pan+qan_x(p^O)型.........................................................7

o------------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01S“法

【解題規(guī)律?提分快招】

①S"=%+。2+“3+an-l+a”；

②S“T=q+4+。3+?a吁I（n>2）

①-②：S“-=a,（〃22）

a

【典例14】（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）已知遞增數(shù)列｛%｝的前a項(xiàng)和為4，若q=l,S向+2%+「3=：S”，

則上的取值范圍為（）

A.（0,4）B,（4,+oo）C.（0,3）D.（3,+oo）

【典例1-2】（2023?北京東城?一模）已知數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，%=3%,S”為其前〃項(xiàng)和.若｛瘋｝是公

差為I?的等差數(shù)列，則％=，??=.

【變式1-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S“，2%+l=3S,，若0<2”對(duì)任意的〃wN*

恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為（）

A.(-3,2)B.[-3,2)C.[-3,2]D.(-3,2]

【變式1-2］（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S〃="2+3”+2SeN*）,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)

公式為.

【變式1-3］（2023?北京?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列料,｝的前〃項(xiàng)和S“=4"T-1,則a“=；使得命題

">乂,"eN*,都有an+1-an>100"為真命題的一個(gè)No的值為.

題型02類S”法已知等式中左側(cè)含有：￡咕

i=l

【解題規(guī)律?提分快招】

已知等式中左側(cè)含有：￡。,偽作差法（類似例：已知4+2%+3%+…+嗎,=2"求4,

（典例1-11（2024?江蘇鹽城,模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列｛。"｝滿足2%+T-'a2+■??+2%=4",｛%｝的前〃項(xiàng)和為5?,

則（）

2,n=l

【典例1-2】（2024,廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足4+30+9/+…+3"一&=（，設(shè)數(shù)列｛%｝的

前n項(xiàng)和為S,，則滿足S,、<k的實(shí)數(shù)k的最小值為.

【變式1-1］（2024?天津北辰?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列｛4｝滿足％+2g+3%+…+"4=2"+l（〃eN*）,則數(shù)列

【變式1-2］（23-24高二下?吉林長(zhǎng)春?期中）已知數(shù)列｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，且

樞T---\-yfa~-n2+3n｛neN*）,則^■+與+…+,=（）

A.216B.260C.290D.316

【變式1-3](24-25高三上?甘肅蘭州?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足4+2%+3/++次?”=〃("+2),則

題型03累加法

【解題規(guī)律?提分快招】

若數(shù)列｛%｝滿足冊(cè)+「%=/(〃)(〃eN*),則稱數(shù)列｛許｝為“變差數(shù)列"，求變差數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)時(shí)，利

用恒等式4=%+Q-％)+(。3-。2)+…+(4-4-1)=%+用1)+用恒+/⑶+…+/(九一1)(〃22)求

通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。

具體步驟：

/一=/(I)

%-4=/(2)

。4一%=/◎)

=/("T)

將上述1個(gè)式子相加(左邊加左邊，右邊加右邊)得：

(“2-4)+(“3—”2)+(。4-%)+「+("”一凡-1)=/(1)+/(2)+/(3)++/(?—1)

整理得：??-a1=/(l)+/(2)+/(3)++/(n-l)

【典例1-1】(2023?北京大興?三模)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，

后人稱為"三角垛三角垛"的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，

設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛%｝9=1,%=3,%=6,?4=10,則a=()

〃9

【典例1-2】(2024?北京西城?一模)在數(shù)列｛%｝中，%=2,4=-3.數(shù)列也｝滿足6“=4+「%(女河9.

若也｝是公差為1的等差數(shù)列，則｛b?｝的通項(xiàng)公式為2=,an的最小值為.

【變式1-1](23-24高二下?北京大興?期中)已知數(shù)歹式?！埃凉M足％且4=10,則。“的最小

值是()

A.-15-14

C.-110

【變式1-2](2024?河北唐山?二模)已知數(shù)列｛4｝滿足。用=。,+%+2",即)=130,則4=()

【變式1-3](2023?云南紅河?一模)已知數(shù)列｛q｝滿足：ai=9,an+l-an=2n,貝!]/=()

題型04累乘法

【解題規(guī)律?提分快招】

若數(shù)列｛許｝滿足&"=/(〃)(〃eN*),則稱數(shù)列｛%｝為“變比數(shù)列"，求變比數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)時(shí)，利用

a

n--------4-=q./⑴"(2)"(3)?…("22)求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。

。2。3an-\

具體步驟：

■⑴

ax

%=八2)

。2

幺=/(3)

2=/5-1)

將上述1個(gè)式子相乘(左邊乘左邊，右邊乘右邊)得：

"?&="1)./⑵/⑶."("—1)

a]CI3〃1

整理得：^=/(1)-/(2)/(3)-

【典例1-11(22-23高二下?河南南陽?階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的項(xiàng)滿足“用=號(hào)％,而q=1,則冊(cè)=()

2211

（〃+l）n（n+l）2"-I2n-l

【典例1-2］（23-24高二上?江蘇鹽城?期末）數(shù)列｛%｝滿足％=2,%+尸亞口氏（”eN*）,則

n

。2024__

+^^4+???I^^2023

【變式1-1］（23-24高二下?山西晉城?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足，4=1,nan+l=（2n+2）an,則

"100/、

二（）

I^^3+^^4++Cl-yQ0

50515051

A.----B.----C.—D.—

1011019999

【變式1-2］（2022?山西太原?二模）己知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,前力項(xiàng)和為S“，且“S角=（”+2）S“，則數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式%=.

【變式1-3］（2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=2,且當(dāng)=普、（〃eN*且〃>1）,若｛q｝

3〃+13n—2

的前〃項(xiàng)和為S",貝IJ滿足S,>R217的最小正整數(shù)〃的值為.

題型05用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

【解題規(guī)律?提分快招】

形如40+1=而〃+"（左Q為常數(shù)，切片0）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為

許+1+〃?=%（%+咽（其中：m=-^―）,由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛冊(cè)+，科，先求出｛?！?利｝的通項(xiàng)，從而

K-1

求出數(shù)列｛見｝的通項(xiàng)公式.

標(biāo)準(zhǔn)模型：??+1=kan+p（匕P為常數(shù)，3#0）或％=總?］+。（匕2為常數(shù)，kp^O）

2

【典例1-1］已知數(shù)列｛%｝滿足。用=§%+4,且4=1,則｛%｝的通項(xiàng)公式為（）

…3t「C—］「D.…+（|「

【典例1-2］若數(shù)列｛《,｝滿足，%=2,a?+1=3o?+2（?>l,?eN）,則數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S“=.

【變式1-1］已知數(shù)列｛q｝滿足%+i=24+2,4=1,則。“=.

【變式1-2］已知數(shù)列｛4｝滿足%M=2%+g,且｛叫前8項(xiàng)和為761,則％=.

【變式1-3］已知數(shù)列｛%｝滿足%=-2,且a“+i=3a,+6,貝！|。"=.

題型06用“同除法”構(gòu)造數(shù)列

【解題規(guī)律?提分快招】

(1)形如%+i=4%+pq"+i("eN*),可通過兩邊同除將它轉(zhuǎn)化為寢■=2+",從而構(gòu)造數(shù)列?

qq［qJ

為等差數(shù)列，先求出I3］的通項(xiàng)，便可求得｛《,｝的通項(xiàng)公式.

n+in+l

(2)形如4用=kan+q(〃eN*),可通過兩邊同除q,將它轉(zhuǎn)化為索=+1，換元令：仇=之,

qqqq

k

則原式化為：bn+l=-bn+l,先利用構(gòu)造法類型1求出4，再求出｛凡｝的通項(xiàng)公式.

q

(3)形如許-%+1=3"+1即(左工。)的數(shù)列，可通過兩邊同除以即+1%,變形為」--2=-左的形式，從而

?！?1冊(cè)

構(gòu)造出新的等差數(shù)列先求出］，1的通項(xiàng)，便可求得｛aJ的通項(xiàng)公式.

【典例1-1］已知數(shù)列｛q｝滿足。角=34+3"(〃wN*),且弓=1,則數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式為.

【典例1-2】數(shù)列｛?！埃凉M足卬=2,〃用=2%+2用，則數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為%=.

【變式1-11數(shù)歹！］｛%｝滿足％=2,。同=3%+2M,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=.

【變式1-2］記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為3若為=2,2.用-3%=2",則十晨=.

【變式1-3］已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為4=1,且滿足。用+%=3x2",則a“=.

題型07用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

【解題規(guī)律?提分快招】

類型1:形如冊(cè)+1=上」(。應(yīng)為常數(shù)，。行。)的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，=工+'，

pan+qan+lanq

即：從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列先求出的通項(xiàng)，即可求得冊(cè).

ka

類型2：形如4+i=——n(PM為常數(shù)，〃w0,鄉(xiāng)。0,左。0)的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變

PM+q

qIpap

形為——1=￡—+：，可通過換元：〃7=一1，化簡(jiǎn)為：優(yōu)+i=/d+f(此類型符構(gòu)造法類型1：用“待

%+ikankankk

定系數(shù)法''構(gòu)造等比數(shù)列：形如。“+1=肌”+。(匕。為常數(shù)，kp片0)的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原

等式變形為即+1+機(jī)=左（即+〃，）（其中：“7=4），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+m｝,先求出｛許+相｝的

k-1

通項(xiàng)，從而求出數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式.）

【典例1-1］己知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4="且a用=J］，,+,+L+'<2025,則滿足條件的最大整數(shù)

n=.

「、1

【典例1-2】數(shù)列｛。“｝中，若4=1,凡包=式尸，則—=-

【變式1-1］己知數(shù)列｛4｝滿足4=1,a向=肅力，（〃eN*）,則氏=.

【變式1-2］已知數(shù)列｛%｝滿足％=l,2an+1-an+a?an+l=0（neN*）,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

【變式1-3］已知數(shù)列｛”“｝滿足％=；,且““+L/R，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=.

題型08形如4+1=夕%+W+77?（。/1）型

【解題規(guī)律?提分快招】

滿足%+i=P%,+w（2。1）的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式的求法：

設(shè)a?+1++1）+5=p［an+An+B］,通過待定系數(shù)法確定A,5的值，轉(zhuǎn)化成以4+A+8為首項(xiàng)，

以P為公比的等比數(shù)列｛4+An+B｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛an+A”+5｝的通項(xiàng)整理可得an

【典例1-1］在數(shù)列｛叫中，已知弓=2,且〃向=4見-3〃+l（“eN*）,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

【典例1-2］在數(shù)列｛《,｝中，%=3,且％=3a“+4〃-6（/eN*）,則｛4｝的通項(xiàng)公式為.

【變式1-1］設(shè)數(shù)列｛4｝滿足q=4,%=3%+2K“22）,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

【變式1-2］若4=1，%+i=2a,-3"，wwN*,則?！?;

【變式1-3］在數(shù)列｛%｝中，已知q=3,且q用=3q,+4〃-6（〃eN*）,若7004a047000,則九取值的集合

為.（用列舉法表示）

題型09形如??+i=Pa“+qa“_［（pX0）型

【解題規(guī)律?提分快招】

滿足a.=P%+qa.i（。w0）的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式的求法：

可以將遞推式化為。用一當(dāng)%=%（4-芯/_1）,其中再，馬是方程/一小―4=0的兩個(gè)根，若1

是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列｛氏-a—J;若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求

數(shù)列｛4｝.

【典例1-1］已知數(shù)列｛%｝滿足。“+2+3凡=4乙+1,且。2=5,%=17,對(duì)VwwN*,（-iy'2（a?+l）<a?,則

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是;實(shí)數(shù)％的取值范圍是.

【典例1-2］已知數(shù)列｛4｝中％=1,a2=-,且滿足4a4+i=4a“-a“_i（neN,心2）,則?！?.

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、單選題

1.（2024?廣東河源?模擬預(yù)測(cè)）記S,為非零數(shù)列何｝的前〃項(xiàng)和，若S,M=2S“，”WN*,則?=（）

A.2B.4C.8D.16

2.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝,｛"｝中，fl］=2,b1=6,an+x=2an,bn+l=2bn-an,若冊(cè)=粼，則機(jī)=

（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2024洞北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃》）滿足〃》+1）-〃力=2》-1,且〃0）=1,設(shè)數(shù)列｛風(fēng)｝滿足％,=〃“）,

則數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和的表達(dá)式為（）

A./—2〃+2B.n2—n+1

9-1)(21)n(n+I).

cD.———--n+l

?62

4.（23-24高二下?山西晉城?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足，%=1,〃。用=（2"+2）%，則

“100-zX

一()

CL??^^3+^^4++QQ

50515051

A.B.---C.—D.—

1011019999

5.(2024?山東濟(jì)寧?三模)已知數(shù)列｛%｝中，4=2,%=1,a?+1=a?-a?_1(?>2,〃wN*),則%024=()

A.-2B.-1C.1D.2

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足」一=:,且%=：,則％ou=（）

an+l5%$4

口丫?！?1011031010rriY010

bJi+31011i+31010bJ

7.（2024?湖南永州?三模）已知非零數(shù)列｛%｝滿足2%用-2"+2a,=0,貝|］詠=（）