專題18最值問題中的胡不歸模型

解決方案構(gòu)造射線An使得sinNZMAMt,CH/AC=k,CH=kAC.

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-爐+法+3的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（3,0）,

若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-D,連接尸D,則拒尸O+PC的最小值是（）

32

A.4B.2+20C.2A/2D.-+JA/2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/-2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)2（0,

-3）,若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）在y軸上，連接PD,則&PD+PC的最小值是（）

2

a9

A.4B.2-F2^/2C.2.y2D.—+—y/2

二、填空題

3.如圖，矩形ABC。中AB=3,BC=AE為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則3AE+CE的最小值為

4.如圖，在△ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,半徑為5的。O經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直

徑M在線段AE上，設(shè)點(diǎn)。是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則。叫。的最小值為一.

5.如圖，△ABC中，ZBAC=15°,ZACB=60°,AC=4,則△ABC的面積為一；點(diǎn)D,點(diǎn)、E,點(diǎn)尸分別為

BC,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接。E,EF,FD,則△DEF的周長最小值為一.

備用圖

6.如圖，正方形48co的邊長為4,點(diǎn)E為邊40上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)廠在邊CO上，且線段EE=4,點(diǎn)G為

3

線段EP的中點(diǎn)，連接2G、CG,則2G+gcG的最小值為

7.如圖，口A3co中/A=60。，AB=6,AD=2,P為邊C￡＞上一點(diǎn)，則石PD+2PB的最小值為

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=#x-石分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一

動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為.

9.如圖，在AABC中，AB=AC^4,ZCAB=30°,AD±BC,垂足為。，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接

PB、PC.貝!]PA+2PB的最小值為.

10.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，且BP=@.連接CP,將線段PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段PQ.連接CQ、DQ,則gDQ+CQ的最小值為一.

4

D

三、解答題

11.ZAOB=30°,0M=2,。為08上動(dòng)點(diǎn)，求MD+g。。的最小值.

12.已知，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別為AO上的兩點(diǎn),連接BE、CF,并延長交于點(diǎn)G,連接。G,

H為CF上一點(diǎn)、,連接28、DH,ZGBH+ZGED=90°

(1)如圖1,若”為CF的中點(diǎn)，且AF=2OF,DH=

5

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)8作于點(diǎn)/,求證：BI+—DG=CG;

2

(3)如圖2,在(1)的條件下，P為線段(包含端點(diǎn)A、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)3作8。，。尸于

點(diǎn)Q,將△BC。沿BC翻折得ABCN,N為直線4B上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)ABCW面積最大時(shí)，直接寫出

、一AN+MN的最小值.

2

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=-%-4分另ij與x,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線y=尤2+樂+。恰

3lo

好經(jīng)過這兩點(diǎn).

5

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AECF，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

②若點(diǎn)p是y軸上的任一點(diǎn)，求：BP+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

14.如圖1,拋物線丁=加+(。+3卜+3("0)與x軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交于點(diǎn)2,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)

⑵設(shè)△產(chǎn)阿的周長為G，AAEN的周長為c?,若g=g求機(jī)的值.

⑶如圖2,在⑵的條件下，將線段繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)角為a(0°<(z<90°),連接用A、

2

E'B,求E'A+§E'B的最小值.

15.如圖1,已知正方形ABCD,42=4,以頂點(diǎn)2為直角頂點(diǎn)的等腰R3B所繞點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)，如，

連接AE,CF.

6

(1)求證：AABEMACBF.

(2)如圖2,連接。E,當(dāng)OE=BE時(shí)，求S/BCF的值.(SzBCF表示ABC尸的面積)

(3)如圖3,當(dāng)RQBEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部,且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，

P是線段OG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足0Mp+PG的值最小時(shí)，求的值.

16.如圖，矩形。RC的頂點(diǎn)A、C分別在X、y軸的正半軸上，點(diǎn)2的坐標(biāo)為(2百,4),一次函數(shù)y=-1x+6

的圖象與邊OC、AB.X軸分別交于點(diǎn)。、E、F,NDFO=30。,并且滿足OD=3E,點(diǎn)M是線段D尸上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求b的值；

(2)連接OM,若AODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求。/的最小值.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞=加+a+(?的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),B(0,-6)，C(2,

0),其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)M為拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱

形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，求g尸8+PD的最小值.

7

18.已知拋物線y=a?+bx+c與x軸交于A（-1,0）,B（5,0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對

4

稱軸交X軸于點(diǎn)O,連接8C,且tan/CBO=§,如圖所示.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段2C于點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作斯，PE交拋物線于點(diǎn)F連接加、FC,求△BCF

的面積的最大值；

19.在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)丁=以25>0）的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得

到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)A、8（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），。4=1,經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)

>=區(qū)+6（%工0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，A4BD的面積為5.

8

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

3

(3)若點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值.

20.已知拋物線〉=。12+/+￡?(。*0)過點(diǎn)4(1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作AM_LBC,垂足為求證：四邊形AOBM為正方形；

(3)點(diǎn)P為拋物線在直線2c下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP3C面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)。為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+：QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在,

請說明理由.

21.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=一也/一述X+0與X軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的

33

左側(cè))，與〉軸交于點(diǎn)C.

圖2

(1)求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)連接AC,點(diǎn)尸為直線AC上方拋物線上(不與A、C重合)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作POLAC交AC于點(diǎn)O,

PELx軸交AC于點(diǎn)E,求PD+DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將原拋物線沿射線CB方向平移36個(gè)單位得到新拋物線y,點(diǎn)M為新拋物線y對稱軸上一點(diǎn),

9

在新拋物線V上是否存在一點(diǎn)N,使以點(diǎn)C、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫

出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)你喜歡的點(diǎn)寫出求解過程；若不存在，請說明理由.

22.如圖，已知拋物線y=：（x+2）（x-4）（左為常數(shù)，且%>0）與》軸從左至右依次交于A,B兩點(diǎn)，與

O

y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的直線>=一且x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D.

3

（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若在第一象限的拋物線上有點(diǎn)P,使得以A,B,P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求上的值；

（3）在（1）的條件下，設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段

AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)

是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少.

10

專題18最值問題中的胡不歸模型

解決方構(gòu)造射線A。使得sinNZMAMt,CH/AC=k,CH=kAC.

案

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+6x+3的圖像與無軸交于A、C兩點(diǎn)，與

x軸交于點(diǎn)C(3,0),若尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)為連接尸D,則夜尸。+PC的

最小值是()

32

A.4B.2+2&C.2A/2D.-+-72

【答案】A

【分析】過點(diǎn)尸作R/LBC于J,過點(diǎn)。作。HLBC于“，根據(jù)

12

&PD+PC=&PD+^PCf(PD+PJ),求出OP+PJ的最小值即可解決問題.

\7

【詳解】解：連接3C,過點(diǎn)尸作/VL3C于J,過點(diǎn)。作07/L5C于H.

???二次函數(shù)y=-V+法+3的圖像與入軸交于點(diǎn)C(3,0),

:?b=2,

，二次函數(shù)的解析式為y=—f+2x+3,令y=0,-f+Zx+Bu。,

解得％=-1或3,

/.A(-1,0),

令％=Oy=3,

：.B(0,3),

：.OB=OC=3,

?.*ZBOC=90°,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

VD(0,-1),

：.OD=lf80=4,

VDHXBC,

???NDHB=9。。,

設(shè)DH=x,貝1」明=九，

,-*DH2+BH2=BD2，

f=42,

X=2\/2，

???DH=2五，

■:PJLCB,

：.ZPJC=90°,

/.42PD+PC=42PD+^PCj=y/2(PD+PJ),

?:DP+PJNDH,

13

DP+PJ>2y/2,

...DP+/V的最小值為2夜，

叵PD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，得到/OBC=NOCB=45。，是解題的關(guān)鍵.

2

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=--2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)8(0,-3),若P是無軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0(0,1)在y軸上，連接尸。，則0尸。

+PC的最小值是()

A.4B.2+2^/2C.2y/2D.—+—V2

【答案】A

【分析】過點(diǎn)P作PJ.LBC于J,過點(diǎn)D作DHLBC于H.根據(jù)

冊PD+PC=6PD+^PC^=^2(PD+PJ),求出。尸+川的最小值即可解決問題.

【詳解】解：過點(diǎn)P作PJ±BC于J,過點(diǎn)D作DHLBC于H.

:二次函數(shù)y=f-2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B(0,-3),

，c=-3,

,二次函數(shù)的解析式為-2x-3,令y=0,x2-2x-3=0,

解得％=-1或3,

AA(-1,0),B(0,-3),

：.OB=OC=3,

14

*.*/BOC=90。,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

9：D(0,1),

???OD=1,BD=4,

9：DH±BC,

NDHB=90。,

設(shè)DH=x,則BH=x,

DH2+BH2=BD2

x2+x2=A2,

??x=2^2，

.*?DH=242，

■:PJLCB,

：.ZPJC=90°,

AS/2PD+PC=42PD+^PCj=y/2（PD+PJ）,

,:DP+PJNDH,

?*-DP+PJN26，

???DP+/V的最小值為2頁，

**?yflPD+PC的最小值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

、填空題

3.如圖，矩形ABCO中AB=3,BC=6,￡為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE,則3AE+CE

的最小值為_.

【答案】3

【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作NMAB=30。，過點(diǎn)E作ETLAM于T,過點(diǎn)C作

15

C8_LAM于易證ET=gAE,推出;AE+EC=CE+E史CH,求出CW即可解決問題.

答案詳解：；四邊形ABCO是矩形，

：.ZB=90°,

?./「AQCB^3

??tanNCAB==—,

AB3

：.ZCAB=30°,

：.AC=2BC=2y/3,

在射線AB的下方作NMAB=30。，過點(diǎn)E作ET_LAM于T,過點(diǎn)C作C”_LAM于H.

VZC4H=60°,ZCHA=90°,AC=26,

/.CH=AC?sin60=2V3x=3,

,?-AE+EC=CE+ET>CH,

2

：.-AE+EC>3,

2

；.；AE+EC的最小值為3,

故答案為3.

4.如圖，在“小中，CA=CE,/。歸=30。，半徑為5的。O經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的

切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)O是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則

OD+^CD的最小值為.

16

【答案】任

2

【分析】過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作?！ù怪庇谠撈叫芯€于可將gc。轉(zhuǎn)化

為DH,此時(shí)OO+gc。就等于OD+D",當(dāng)共線時(shí)，即為所要求的最小值.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作關(guān)于AE的平行線，過點(diǎn)。作加垂直于該平行線于

-.-CH//AB,ZCAE^30°,OC=OA,

ZHCA=ZOCA=30o,

sinZHCD=-="CO=60。，

CD2

:.-CD=HD,

2

:.OD+-CD=OD+DH,

2

?.?當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線，即在圖中H在引位置，。在。位置的時(shí)候有OD+D”最小，

當(dāng)。，D,H三點(diǎn)共線時(shí)，OD+gc￡>有最小值，

此時(shí)OH'=OCxsinZHCO=OCxsin60°=5x3=必，

22

.?.OQ+1。的最小值為在，

22

故答案為羋.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將;。。進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

5.如圖，△ABC中，ZBAC=75°,ZACB=60°,AC=4,則△ABC的面積為一；點(diǎn)。，點(diǎn)

E,點(diǎn),F分別為BC,AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE,EF,FD,則△￡>￡尸的周長最小值為一

17

AA

備用圖

【答案】6+27330+逐

【分析】(1)過點(diǎn)A作A//，3c于X,根據(jù)NBAC=75。，ZC=60°,即可得到

(2)過點(diǎn)B作B/LAC于J,作點(diǎn)P關(guān)于A3的對稱點(diǎn)點(diǎn)廠關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N,連接

BM,BN,BJ,MN,MN交AB于E',交BC于D,此時(shí)△尸￡。的周長=MV的長，然后證

明是等腰直角三角形，的值最小時(shí)，的值最小，再根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)

8/與B/重合時(shí)，的值最小，由此求解即可.

【詳解】解：①如圖，過點(diǎn)A作AHLBC于H.

ZAHB=ZAHC=9Q°,

VZBAC=15°,ZC=60°,

ZB=180°-ZBAC-ZC=45°,ZHAC=30°

：.BH=AH,HC^-AC=2

2

?*-AH=7AC2-HC2=2G

：.AH=BH=2y/3,

:.BC=BH+CH=26+2,

：.SAABC^-BC-AH=?(26+2).0,=6+2出.

②如圖，過點(diǎn)B作R/LAC于J,作點(diǎn)/關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M,點(diǎn)/關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N,

連接BM,BN,BJ,MN,MN交AB于E',交BC于D,此時(shí)△尸￡。的周長二MN的長.

,:BF=BM=BM,ZABM=ZABJ,ZCBJ=ZCBN,

：.ZMBN=2ZABC=90°,

.?.△BMN是等腰直角三角形，

的值最小時(shí)，MN的值最小，

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)BF與87重合時(shí)，的值最小,

?；BJ=2s*=12+4君=3+6.

AC4

18

MN的最小值為及BJ=3五+瓜,

4DEF的周長的最小值為372+76.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)與判定，垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

6.如圖，正方形的邊長為4,點(diǎn)￡為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)廠在邊CD上，且線段

EF=4,點(diǎn)G為線段E歹的中點(diǎn)，連接BG、CG,則BG+gcG的最小值為.

【分析】因?yàn)閞>G=：EP=2,所以G在以。為圓心，2為半徑圓上運(yùn)動(dòng)，取。/=1,可證

AGDI^/\CDG,從而得出G/=：CG,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出2/是其最小值

：.DG=^EF=2,

...點(diǎn)G在以。為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

19

在CO上截取。/=1,連接G/,

.DI_DG_1

,?麗一記一萬’

ZGDI=ZCDG,

：./\GDI^/\CDG,

.IGDIi

'*CG-BG2)

：.IG=-CG,

2

：.BG+-CG=BG+IG>BI,

2

...當(dāng)8、G、/共線時(shí)，BG+gcG最小=8/,

在RQBC7中，CI=3,BC=4,

故答案是：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的

關(guān)鍵.

7.如圖，DABC。中NA=60。，AB=6,AD=2,P為邊8上一點(diǎn)，則+的最

小值為?

【答案】6G

【分析】作PH,A。交AD的延長線于H,由直角三角形的性質(zhì)可得"P=E。尸，因此百

2

/7_

PD+2PB=2日DP+PB)=2(PH+PB),當(dāng)X、尸、B三點(diǎn)共線時(shí)8P+P2有最小值，即近PD十

2

2PB有最小值，即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)尸作尸以LAD,交AD的延長線于

四邊形A3CD是平行四邊形,

20

:.AB//CD,

：.ZA=ZPDH=60°

VPHLAD

：.ZDPH=30°

DH=-PD,PH=y[3DH=—PD,

22

y/3PD+2PB=2(?PD+PB)=2(PH+PB)

,當(dāng)點(diǎn)H,點(diǎn)尸，點(diǎn)B三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即石PD+2P2有最小值，

此時(shí)BH1AH,ZABH=30°,ZA=60°,

：.AH=1AB=3,BH<AH=36

則#>PD+2PB最小值為6A,

故答案為：6A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知

識(shí).構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=/x-正分別交無軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若

C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則23C+AC的最小值為.

【答案】6

【分析】先求出點(diǎn)4點(diǎn)3坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點(diǎn)8關(guān)于的對稱點(diǎn)5',

可證AA班'是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH=3AC,則

2BC+AC^2(B'C+CH),即當(dāng)點(diǎn)？，點(diǎn)C,點(diǎn)”三點(diǎn)共線時(shí)，"C+CH有最小值，即2BC

+AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：二.一次函數(shù)y=分別交x軸、y軸于A、8兩點(diǎn)，

...點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)網(wǎng)0,-6),

：.AO=3,BO=s/3,

/.AB=y/o^+OB2=J3^+陰2=2百，

21

作點(diǎn)8關(guān)于。4的對稱點(diǎn)3'，連接AB',B'C,過點(diǎn)C作于〃，如圖所示:

OB=OB'=y/3,

BB'=273,AB=AB=273

AB^AB'=BB',

AAB8是等邊三角形，

AOLBB',

：.ABAO^-ZBAB'^30°,

2

'：CH.LAB,

：.CH=-AC,

2

/.2BC+AC=21BC+1AC|=2（B,C+CH）,

當(dāng)點(diǎn)3',點(diǎn)C,點(diǎn)X三點(diǎn)共線時(shí)，3'C+S有最小值，即22C+AC有最小值，

此時(shí)，B'HIAB，AAB8是等邊三角形，

:.BH=AH=日ZBB'H=30°,

；?B'H=dBW-AH。=“2可一（⑹2=3.

.*.22C+AC的最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角

形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,AD±BC,垂足為D,尸為線段AD上

的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC.則R1+2PB的最小值為.

22

【答案】4&

【分析】在/BAC的外部作/CAE=15。，作B/QLAE于R交AO于尸，止匕時(shí)B4+2PB=2

^PA+PB^=^PF+PB')^2BF,通過解直角三角形A2F,進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖，

在/BAC的外部作/CAE=15。，作BF_LAE于冗交AO于P,

此時(shí)以+2P8最小，

ZAFB=90°

'：AB=AC,ADLBC,

：.ZCAD=ZBAD=-ZBAC=~x30°=15°,

22

：.ZEAD=ZCAE+ZCAD=30°,

：.PF=-PA,

2

：.PA+2PB=2^PA+PB^=^PF+PB)=2BF,

在RtAAB/中，AB=4,ZBAF=ZBAC+ZCAE=45°,

：.8/=4B?sin45°=4x正=2后，

2

(E4+2PB)最大=2BF=，

故答案為：4V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線.

10.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)尸，且BP=6.連接CP,將線段PC

繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸Q.連接C。、DQ,則goQ+CQ的最小值為一.

23

【答案】5

【分析】連接AC、AQ,先證明ABCPSAAC。得器=5即AQ=2,在A。上取AE=1,

證明△QAEsADAQ得￡。=：QD,故gDQ+CQ=EQ+CQ>CE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

?；四邊形ABC。是正方形，PC繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段尸。，

ZACB=ZPCQ^45°,

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=^,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

:.ZACB=ZPCO,

:.XBCPsXACQ,

.AQA/2

?.---------

BP2

VBP=V2，

：.AQ=2,

二。在以A為圓心，AQ為半徑的圓上，

在AD上取AE=1,

AE1AQ1

△QAEsADAQ,

EQ1?

"2D2。。2。

???^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=y/DE2+CD2=5，

???5OQ+CQ的最小值為5.

故答案為：5.

24

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù),

解題的關(guān)鍵在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

三、解答題

11.ZAOB=30°,0M=2,。為08上動(dòng)點(diǎn)，求MD+goD的最小值.

【詳解】思路引領(lǐng)：（胡不歸經(jīng)典）作/BON=N4OB=30。，過點(diǎn)M作MCLON于點(diǎn)C,交

OB于點(diǎn)當(dāng)MC_LON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)。，即為點(diǎn)O）的值最小，最小

值是CM的長，

答案詳解：如圖，

作NBON=/AO2=30。，過點(diǎn)M作MC_LON于點(diǎn)C,交08于點(diǎn)少，

所以當(dāng)MCLLON時(shí)，（此時(shí)點(diǎn)O即為點(diǎn)O）

MD+^0D=MD+CD的值最小，最小值是CM的長，

.?.在RtAOCM中，ZC>MC=30°,OM=2

：.OC=1,

：.CM=y/3.

答：MO+；O￡>的最小值為百.

12.已知，在正方形ABC。中，點(diǎn)E,P分別為AD上的兩點(diǎn)，連接BE、CF,并延長交于

點(diǎn)G,連接OG,H為CF上一點(diǎn)，連接8”、DH,ZGBH+ZGED=90°

25

GGG

(1)如圖1,若"為CF的中點(diǎn)，且4F=2D尸，DH=—,求線段4B的長；

2

(2汝口圖2,若BH=BC,過點(diǎn)B作以，C”于點(diǎn)/,求證：BI+—DG=CG-,

2

(3)如圖2,在(1)的條件下，P為線段AD(包含端點(diǎn)A、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)3

作伙2LCP于點(diǎn)。，將△BCQ沿BC翻折得ABCM,N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接當(dāng)

△3CM面積最大時(shí)，直接寫出走AN+MN的最小值.

2

【答案】⑴3

(2)見解析

⑶3亞

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得

FC=2DH=屈,設(shè)正方形的邊長為3尤，AF=2DF,可得F￡>=x,在Rt^FDC中，根據(jù)

勾股定理建立方程，即可求解；

(2)過點(diǎn)。作DMLGC于點(diǎn)M,證明AG&是等腰直角三角形，的C均CMD,進(jìn)而證

明AGMD是等腰直角三角形，根據(jù)GC=G/+/C=8/+=3/+變G。即可得證；

2

(3)取2C的中點(diǎn)S,連接SM,連接尸N,以尸N為底邊，在PN的左側(cè)作等腰直角三角形

13

TPN,根據(jù)直角三角形中斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半可得SM=-BC=-,^SMLBC

時(shí)，ABCM的面積最大，由TN+MNAN+MN2TM,可得當(dāng)T,N,M三點(diǎn)共線時(shí)，

2

—AN+MN取得最小值,證明四邊形A7MC是矩形，可得7加=AC=30，即走AN+

22

的最小值為3VL

(1)

解：：四邊形A3CD是正方形，

ZADC=90°,AB=AD=DC,

26

V”為C尸的中點(diǎn)，DH=叵,

2

FC=2DH=V10,

設(shè)正方形的邊長為3x,AF=2DF,可得FD=x,

在RSEDC中，F(xiàn)D2+DC2=FC2,

IP(3X)2+X2=10,

解得X=1,

AB=3x=3；

(2)

如圖，過點(diǎn)。作DMLGC于點(diǎn)M,

?.?ZAEB=NGED,NGBH+NGED=960,

?.?NA￡B+NA3￡=90。，

/.ZABE=ZGBH=-ZABH,

2

?,BH=BC,BILCH,

ZHBI=ZCBIJ/HBC,

2

?.?ZABC=90°,

ZGBI=ZGBH+ZHBI=-/ABH+-ZHBC=-ZABC=45°,

222

.??△G3/是等腰直角三角形，

:.G1=BI,

???ABIC=NCMD=90°,ZICB=90°-ZDCM=ZCDM,BC=DC,

:.ABIC沿衛(wèi)MD,

:.MD=IC,MC=BI,

.\GM=GC-CM=GC-BI=GC-GI=ICf

:.GM=MD,

「.△GMD是等腰直角三角形，

:.MD=—GD,

2

B

...GC=GI+IC=BI+MD=BI+—GD,

2

即BI+—DG=CG；

2

27

G

圖2

(3)

如圖甲所示，取BC的中點(diǎn)S,連接SN,連接尸N,以PN為底邊，在PN的左側(cè)作等腰直

角三角形TPN,

:.TN=—PN,

2

???BQ工PC,

△BCQ是直角三角形，

將沿BC翻折得.BCM,

.?.△BMC是直角三角形，

13

:.SM=-BC=~,

22

當(dāng)3c時(shí)，ABCM的面積最大，

S是2C的中點(diǎn)，

是等腰直角三角形，

則ABQC也是等腰直角三角形，

-,CQ=BQ=^BC=^AC,

此時(shí)如圖乙所示，則點(diǎn)尸與A重合，

TN+MN=—AN+MN>TM,

2

三點(diǎn)共線時(shí)，+取得最小值，

2

ZPCM=ZACB+NBCM=90°,

ZBMC=90°,ZTAC=ZTAB+ABAC=90°,

則四邊形A7MC是矩形，

TM=AC=3A/2,

即事AN+MN的最小值為372.

28

GG

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，兩點(diǎn)

之間線段最短，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-§x-4分別與x,y軸交于點(diǎn)A,B,拋物線

(1)求此拋物線的解析式；

⑵若點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,6),將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AECF,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)

是點(diǎn)E.

①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；

_3

②若點(diǎn)尸是y軸上的任一點(diǎn)，求,3尸+E尸取最小值時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo).

【答案】⑴交卷二一

lo2

3

⑵①點(diǎn)E在拋物線上；②P(0,

【分析】(1)先求出A、2坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出EF=AO=3,CF=CO=6,從而可求E的坐標(biāo)，然后把E的坐標(biāo)

29

代入(1)的函數(shù)解析式中，從而判斷出點(diǎn)E是否在拋物線上;

HP33

②過點(diǎn)E作即，A8,交y軸于P,垂足為H,sinZABO=—=——=-,則HP=—5P,

ABBP55

3

%-BP+EP=HP+PE,可知"尸+PE的最小值為EH的長，從而解決問題.

(1)

解：當(dāng)尸。時(shí)，y=-4,

4

當(dāng)y=0時(shí)，一§1一4=0,

.".x=-3,

AA(-3,0),B(0,-4),

把A、8代入拋物線y=+bx+c,

18

—X(-3)2-3Z?+C=0

得18

b=--

2,

c=-4

???拋物線解析式為y尤2-9-4.

Io2

(2)

解：①(-3,0),C(0,6),

：.AO=3,CO=6,

由旋轉(zhuǎn)知：EF=AO=3,CF=CO=6,ZFCO=90°

至Ux軸的距離為6-3=3,

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,3),

當(dāng)x=3時(shí)，y=—x62--x6-4=3,

182

點(diǎn)E在拋物線上；

②過點(diǎn)E作交y軸于尸，垂足為〃，

30

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角

3

函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為小的長是解題的關(guān)鍵.

14.如圖1,拋物線y=a?+(a+3)x+3(a*0)與無軸交于點(diǎn)4(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,在

x軸上有一動(dòng)點(diǎn)雙〃?,0)(0<m<4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N,交拋物線于

點(diǎn)、P,過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)

31

C,6

(2)設(shè)△PAW的周長為AAEN的周長為C?,若后L=M求相的值.

⑶如圖2,在⑵的條件下，將線段0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。夕，旋轉(zhuǎn)角為&(0。<￡<90。),

2

連接E'A、E'B,求E'A+jE'B的最小值.

【答案】⑴-；3直線A2解析式為三3白+3；

44

(2)2

⑶亞

【分析】(1)令y=0,求出拋物線與x軸交點(diǎn)，列出方程即可求出。，根據(jù)待定系數(shù)法可以

確定直線AB解析式；

PN6

(2)由APNMs^ANE,推出r==,列出方程即可解決問題；

AN5

42

(3)在y軸上取一點(diǎn)M使得。M'=￡，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM僦是EA+a￡3的

最小值.

(1)

令y=0,則加+(。+3)x+3=0,

(x+1)(ax+3)=0,

??x=-l或--,

a

:拋物線y=af+(〃+3)x+3(〃邦)與x軸交于點(diǎn)A(4,0),

VA(4,0),B(0,3),

32

設(shè)直線AB解析式為產(chǎn)履+6,則I[：1八,

[4k+b=0

\3

解得'一=—4,

b=3

3

???直線A8解析式為產(chǎn)-丁+3；

(2)

*：PMLAB,PE±OA,

：.ZPMN=ZAEN,

丁ZPNM=ZANE,

:.APNMs^ANE,

?.邑=9

?G5

.PN_6

??一，

AN5

,:NE〃OB,

.ANAE

**AB-04,

：.AN=-(4-m),

4

3Q

???拋物線解析式為尸-X2+。+3,

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

32

——m+3m右

.4=6

**55，

解得m=2或4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是分式方程的增根，

/.m=2；

33

(3)

4

如圖2,在y軸上取一點(diǎn)M使得。連接AAT,在AM上取一點(diǎn)E使得OE=OE.

圖2

4

:0E'=2,OM'-OB=-x3=4,

3

OE'2=OM'-OB,

.OEOB

"OM'~OE''

"：ZBOE'=ZM'OE',

.ME'OE'2

,?BE'-OB一屋

2

M'E'=-BE',

3

22

AE'+^BE'=AE'+E'M'=AM',此時(shí)AE'+§2E'最小(兩點(diǎn)間線段最短，A、￡共

線時(shí)),

【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值

2

問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM'就是4￡+§2引的最小值.

15.如圖1,已知正方形ABCD,AB=4,以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰R3BEF繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，

BE=BF=^/10,連接AE,CF.

(1)求證：AABE汜dCBF.