專題07全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在小ABC中，D為AC中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)到E使得DE=BD,連接AE則：BC平行

且等于AE.

特點(diǎn)

【證明】

延長(zhǎng)BD到E,使DE=BD,連接CE,

,：AD是斜邊5c的中線

：.AD=CD

■:ZADE=ZBDC

：./\ADE^/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

J.AE//BC

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，

則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法多用于構(gòu)造全等三角形和證

結(jié)論

明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中

線的時(shí)候）。

【模型證明】

2

：.ZF=ZCGE^9Q0.

義,：NBEF=/CEG,BE=CE,

在ABEF和^CEG中，

，ZF=ZCGE

-ZBEF=ZCEG,

BE=CE

△BFEgLCGE.

：.BF=CG.

在小ABF和4DCG中，

2F=NDGC

???<ZBAE=ZCDE,

BF=CG

AABF^ADCG.

J.AB^CD.

方法三:

作CF〃AB,交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

D

：.ZF=ZBAE.

3

文?：NBAE=ND,

：.ZF=ZD,

：.CF=CD.

<ZAEB=ZFEC

???<ZF=ZBAE,

BE=CE

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，AABC中，是2C邊上的中線，E,E為直線上的點(diǎn)，連接BE,CF,且族〃B.

(1)求證：&BDE絲ACDF；

⑵若AE=15,AF=8,試求。E的長(zhǎng).

2.如圖，在RMABC中，NAC2=90。，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用已學(xué)過(guò)的“倍長(zhǎng)中線''加倍構(gòu)造全

等，就可以測(cè)量與數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫(xiě)出C。與的數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，OA=OB,OC=OD,

ZAOB=ZCOD^90°,回答下列問(wèn)題：

4

B

P

(1)求證：△O4C和△是兄弟三角形.

(2)“取8。的中點(diǎn)P,連接0P,試說(shuō)明AC=2OP.”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想起了老師上課講

的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，按照這個(gè)思路回答下列問(wèn)題.

①請(qǐng)?jiān)趫D中通過(guò)作輔助線構(gòu)造仆BPE出ADPO,并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

4.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了下面的問(wèn)題：

如圖1,是AABC的中線，若A8=8,AC=6,求的取值范圍.

【探究方法】

小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使連接BE.可證出△AOC與△利用全等

三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與AD轉(zhuǎn)化到同一個(gè)AABE中，進(jìn)而求出AO的取值范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種

方法叫做倍長(zhǎng)中線法.

【應(yīng)用方法】

(1)請(qǐng)你利用上面解答問(wèn)題的方法思路，寫(xiě)出求的取值范圍的過(guò)程；

【拓展應(yīng)用】

(2)已知：如圖2,是△ABC的中線，8A=BC,點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，EC=BC.寫(xiě)出與AE之

間的數(shù)量關(guān)系并證明.

圖1

圖2

5

5.［問(wèn)題背景］

①如圖1,C￡）為AA8C的中線，則有必4。￡）=幺2。￡）；

②如圖2,將①中的/AC8特殊化，使/ACB=90。，則可借助“面積法”或“中線倍長(zhǎng)法”證明A8=2C。；

［問(wèn)題應(yīng)用］如圖3,若點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)），CGL2G,若AGxBC=16,則4BGC

面積的最大值是（）

A.2B.8C.4D.6

6.先閱讀，再回答問(wèn)題：如圖1,已知△ABC中，AD為中線.延長(zhǎng)A。至E,使。E=AD.在△A3。和△EC。

中，AD=DE,ZADB=ZEDC,BD=CD,所以，XABD%AECD（SAS）,進(jìn)一步可得到AB=CE,AB//CE

等結(jié)論.

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算

或證明題.

解決問(wèn)題：如圖2,在AABC中，是三角形的中線，尸為上一點(diǎn)，5.BF=AC,連結(jié)并延長(zhǎng)B尸交AC

于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

7.（1）如圖1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,

連接CE,可以得到△ABD之AECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長(zhǎng)中線法”.求證：△ACE是直

角三角形

6

(2)如圖2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn),

且DE_LDF.試說(shuō)明BE2+CF2=EF2；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積.

圖I國(guó)3

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中;

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條

件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

(3)思考：己知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,NBAE=NFAC=90。.試探究線段

AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明.

圖1圖2

9.在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問(wèn)題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在AABC中，AB

=8,AC=6,點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，怎樣求的取值范圍呢？我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使

7

AD=DE

然后連接BE（如圖①），這樣，在AADC和△￡!陽(yáng)中，由于，/ADC=/EDB,:.△ADCdEDB,：.AC

BD=CD

=EB,接下來(lái)，在△ABE中通過(guò)AE的長(zhǎng)可求出的取值范圍.

(1)在圖①中，中線的取值范圍是.

(2)應(yīng)用上述方法，解決下面問(wèn)題

①如圖②，在AA8C中，點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，作。fUOE交AC邊于點(diǎn)E連

接ER若BE=4,CF=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出所的取值范圍.

②如圖③，在四邊形ABC。中，ZBCD=150°,/A￡)C=30。，點(diǎn)E是A8中點(diǎn)，點(diǎn)廠在。C上，且滿足BC

=CF,DF=AD,連接CE、ED,請(qǐng)判斷CE與瓦>的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

10.閱讀材料，解答下列問(wèn)題.

如圖1,已知AABC中，AD為中線.延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中，AD=DE,

ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD咨LEBD,進(jìn)一步可得至UAC=BE,AC〃8E等結(jié)論.

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算

或證明題.

解決問(wèn)題：如圖2,在△ABC中，是三角形的中線，點(diǎn)尸為AD上一點(diǎn)，且BF=AC,連結(jié)并延長(zhǎng)BP交

AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

11.(1)如圖1所示，在AABC中，D為3c的中點(diǎn)，求證：AB+AC>2AD

8

A

A

AM

甲說(shuō)：不可能出現(xiàn)△ABD/Z\ACD,所以此題無(wú)法解決；

乙說(shuō)：根據(jù)倍長(zhǎng)中線法，結(jié)合我們新學(xué)的平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得=

連接BE、CE,由于5。=。。，所以可得四邊形ABEC是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出此處的依據(jù)

________________________________________(平行四邊形判定的文字描述)

所以AC=3E,AABE中，AB+BE>AE,

即AB+AC>2AD

請(qǐng)根據(jù)乙提供的思路解決下列問(wèn)題：

(2)如圖2,在AABC中，。為8C的中點(diǎn)，AB=5,AC=3,AD=2,求AABC的面積；

(3)如圖3,在44BC中，。為BC的中點(diǎn)，/為AC的中點(diǎn)，連接2M交AD于尸，若AM=MF.求證:

BF=AC.

12.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問(wèn)題：如圖1,在△ABC中，AB=8,AC=6,

求邊上的中線的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),

圖1圖2圖3

①延長(zhǎng)到使得。

②連接通過(guò)三角形全等把AB、AC、2AO轉(zhuǎn)化在中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍

是;

方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長(zhǎng)中線法”.“倍長(zhǎng)中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出圖2中AC與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.

(3)深入思考：如圖3,是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZCAF=9Q°,請(qǐng)直接利用(2)

的結(jié)論，試判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

9

13.【閱讀理解】倍長(zhǎng)中線是初中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，如圖①，在AABC中，AD是8C邊上的中線,

若延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE,可根據(jù)SAS證明△板)/△￡；€?,則AB=EC.

E

圖①圖②

(1)【類(lèi)比探究】如圖②，在ADEF中,DE=3,DF=1,點(diǎn)G是E尸的中點(diǎn),求中線OG的取值范圍;

(2)【拓展應(yīng)用】如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).若AE是的平分線.試

探究AB,AD,。。之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

14.閱讀下面材料：小軍遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,△ABC中，AB=6,AC=4,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求

AD的取值范圍.

圖1圖3

(1)小軍發(fā)現(xiàn)老師講過(guò)的“倍長(zhǎng)中線法”可以解決這個(gè)問(wèn)題.他的做法是：如圖2,延長(zhǎng)AD到E,使DE=

AD,連接BE,構(gòu)造ABED絲ACAD,經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)回答：AD的取值范圍是.

(2)參考小軍思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3,AABC中，E為AB中點(diǎn)，P是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

連接PE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：PA?CD=POBD.

15.在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線法.

10

⑴如圖1,是AABC的中線，AB=7,AC=5求AD的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)〃，使mf=AD,

連接BM,易證△ADCZ&WZJB,所以=接下來(lái)，在AABM中利用三角形的三邊關(guān)系可求得40

的取值范圍，從而得到中線相＞的取值范圍是.

⑵如圖2,AD是AABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AD于點(diǎn)、F,且AE=EF,求證：AC=BF；

16.在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,4)是AABC的中線，Ag=7,AC=5,求Ar)的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)AO到點(diǎn)V,使DM=AD,

連接8M,易證AADCMAMDB,所以瀏/=AC.接下來(lái)，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得AM的

取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是;

(2)如圖2,AD是AABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，3E交AQ于點(diǎn)尸，且AE=EF,求證：AC=BF；

(3)如圖3,在四邊形A3CD中，AD//BC,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE,ED且CELDE,試猜想線段

BC,CD,A。之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

17.問(wèn)題探究：數(shù)學(xué)課上老師讓同學(xué)們解決這樣的一個(gè)問(wèn)題：如圖①，已知E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，

S.ZBAE=ZCDE.求證：AB=CD.

分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或者等腰三角形的性質(zhì).本題中要證相等的兩條

11

線段不在同一個(gè)三角形中，所以考慮從全等三角形入手，而AB與8所在的兩個(gè)三角形不全等.因此，要

證AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形.以下是兩位同學(xué)添加輔助線的方法.

第一種輔助線做法：如圖②，延長(zhǎng)QE到點(diǎn)孔使DE=EF,連接3尸；

第二種輔助線做法：如圖③，作CGLOE于點(diǎn)G,MLDE交DE延長(zhǎng)線于點(diǎn)冗

圖①圖③

圖④

(1)請(qǐng)你任意選擇其中一種對(duì)原題進(jìn)行證明：

方法總結(jié)：以上方法稱之為“倍長(zhǎng)中線”法，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線

構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問(wèn)題.

(2)方法運(yùn)用：如圖④，AD是AABC的中線，BE與交于點(diǎn)/且AE=EF.求證：BF=AC.

12

專題07全等三角形中的倍長(zhǎng)中線模型

【模型展示】

B

\/

\/

V

E

已知：在△ABC中，D為AC中點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)到E使得DE=BD,連接AE

特點(diǎn)則：BC平行且等于AE.

【證明】

延長(zhǎng)BD到E,使DE=BD,連接CE,

\'AD是斜邊BC的中線

：.AD=CD

'：ZADE=ZBDC

:AADE出/\BDC（SAS）

：.AE=BC,ZDBC=ZAED

J.AE//BC

倍長(zhǎng)中線是指加倍延長(zhǎng)中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接

相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長(zhǎng)法

結(jié)論

多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是

原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫(huà)中線的時(shí)候）。

【模型證明】

方法一

解決方

案已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，JLZBAE=ZCDE,則：AB=CD.

13

14

15

'Z?￡B=ZFEC

ZF=ZBAE,

BE=CE

AABE^AFCE.

：.AB=CF.

：.AB=CD.

【題型演練】

一、解答題

1.如圖，AABC中,是BC邊上的中線,EI為直線上的點(diǎn)，連接且BE〃CF.

⑴求證：xBDE9CDF；

⑵若AE=15,Ab=8,試求。E的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；

【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；全等三角形的判定（角角邊）；即可證明；

（2）由（1）結(jié)論計(jì)算線段差即可解答；

（1）

證明：'：BE//CF,:./BED=NCFD,

VZBDE=ZCDF,BD=CD,

：.J\BDE^/\CDF（AAS）；

（2）

解：由（1）結(jié)論可得

EF=AE-AF=15-8=1,

7

：.DE=--,

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定（AAS）和性質(zhì)；掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在RdABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，用己學(xué)過(guò)的“倍長(zhǎng)中

線”加倍構(gòu)造全等，就可以測(cè)量C。與數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)小明的思路，寫(xiě)出。與A8的

數(shù)景關(guān)系，并證明這個(gè)結(jié)論.

16

A

【答案】CD=gA2,證明過(guò)程詳見(jiàn)解析

【分析】延長(zhǎng)C。到點(diǎn)E,使ED=CD,連接BE,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：CD=^AB,證明：如圖，延長(zhǎng)C。到點(diǎn)E,使EC=CD,連接BE,

在4和△AOC中,

BD=AD

<ZBDE=ZADC

ED=CD

：.ABDEmAADQSAS),

：.EB=AC,ZDBE=ZA,

：.BE//ACf

,/ZACB=90°,

：.ZEBC=180°-ZACB=90°,

：?/EBC=/ACB,

在^ECB和△ABC中，

EB=AC

<ZEBC=ZACB

CB=BC

：.AECB^AABQSAS),

：.EC=AB,

：.CD=^-EC=^-AB.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線.

3.我們規(guī)定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫兄弟三角形.如圖，on

=OB,OC=OD,NAOB=NCOZ)=90。，回答下列問(wèn)題：

17

B

P

(1)求證：△OAC和△是兄弟三角形.

(2)“取8。的中點(diǎn)尸，連接。尸，試說(shuō)明AC=20P”聰明的小王同學(xué)根據(jù)所要求的結(jié)論，想

起了老師上課講的“中線倍長(zhǎng)”的輔助線構(gòu)造方法，解決了這個(gè)問(wèn)題，按照這個(gè)思路回答下列

問(wèn)題.

①請(qǐng)?jiān)趫D中通過(guò)作輔助線構(gòu)造仆BPE冬&DPO,并證明BE=OD；

②求證：AC=2OP.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

【分析】(1)證出N40C+N20D=180。，由兄弟三角形的定義可得出結(jié)論；

(2)①延長(zhǎng)。尸至E,使PE=OP,證明△也△OP。(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出

BE=OD；

②證明△EBO名△COA(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出OE=AC,則可得出結(jié)論.

(1)

證明：VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOC+ZBOD=3600-ZAOB-ZC(9D=360o-90o-90°=180°,

又,：AO=OB,OC=OD,

...△。4(7和4。8￡)是兄弟三角形；

(2)

①證明：延長(zhǎng)OP至E,使PE=OP,

:尸為2。的中點(diǎn),

18

：.BP=PD,

又,：NBPE=NDPO,PE=OP,

:.△BPEQXDPO(SAS),

：.BE=OD；

②證明：：△BPE0△￡>P。，

:./E=/DOP,

：.BE//OD,

：.ZEBO+ZBOD=ISO°,

又：/8OO+/AOC=180。，

：.ZEBO=ZAOC,

:BE=OD,OD=OC,

：.BE=OC,

又：OB=OA,

.?.△EBO注△COA(SAS),

OE=AC,

又〈OE=2OP,

：.AC=2OP.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了新定義兄弟三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】

小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了下面的問(wèn)題：

如圖1,是AABC的中線，若AB=8,AC=6,求的取值范圍.

【探究方法】

小強(qiáng)所在學(xué)習(xí)小組探究發(fā)現(xiàn):延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使即=AD,連接3E.可證出△4。。與4EDB,

利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△A3E中，進(jìn)而求出AD的取值

范圍.

方法小結(jié)：從上面思路可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角

形，我們把這種方法叫做倍長(zhǎng)中線法.

【應(yīng)用方法】

(1)請(qǐng)你利用上面解答問(wèn)題的方法思路，寫(xiě)出求的取值范圍的過(guò)程；

【拓展應(yīng)用】

(2)已知：如圖2,是AA8C的中線，BA=BC,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，EC=BC.寫(xiě)

出與AE之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

19

圖1

圖2

【答案】(1)1<AD<7；(2)2AD=AE.理由見(jiàn)解析

【分析1(1)延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,證明△BDE^ACDACSAS),得出AC=BE=6,

由三角形三邊關(guān)系可得出答案；

(2)延長(zhǎng)AD至R使由S4S證明△瓦加烏△CD4,利用己知條件推出

再由SAS1證明△ACEmAFBA即可得到2AO=AE.

【詳解】(1)證明：延長(zhǎng)A￡)至E,使DE=AD,

是2C邊上的中線，

：.BD=CD,

在48?！旰?CDA中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDA,

DE=DA

:.ABDE冬/XCDA(SAS),

：.AC=BE=6,

在AABE中,AB-BE<AE<AB+BE,

：.8-6<2AD<8+6,

：.1<AD<1；

(2)2AD=AE.理由如下：

證明：延長(zhǎng)A￡)至凡使￡>B=A￡>,

是BC的中線,

：.BD=CD,

20

在48。尸和△CDA中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDA,

DF=DA

???△BDF咨ACDA(SAS),

：.AC=BFfZCAD=ZFf

：.AC//BF,

：.ZFBA+ZBAC=lSO°f

U：BA=BC,

：.ZBAC=ZBCAf

???NACE+N3cA=180。，

JZFBA=ZACE,

9

：BA=BCfEC=BC,

：.BA=EC,

在△FA4中，

CE=BA

<NACE=NFBA,

AC=BF

：./\ACE^/\FBA(SAS),

：.AE=AF,

'：2AD=AF,

：.2AD=AE.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

5.［問(wèn)題背景］

①如圖1,C0為△ABC的中線，則有S』ACD=S』3C。；

②如圖2,將①中的NAC3特殊化，使NAC8=90。，則可借助“面積法”或“中線倍長(zhǎng)法”證明

AB=2CD；

［問(wèn)題應(yīng)用］如圖3,若點(diǎn)G為△A3C的重心(△ABC的三條中線的交點(diǎn))，CGL3G,若AGxBC

=16,則△BGC面積的最大值是()

A.2B.8C.4D.6

21

【答案】［問(wèn)題背景］①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；［問(wèn)題應(yīng)用］c

【分析】［問(wèn)題背景］①設(shè)A8邊的高長(zhǎng)為/7,可得5/8=；/1。＞＜九5/8=；8。*人再由

AD-BD,即可求證；

②延長(zhǎng)CD至點(diǎn)E,DE=CD,連接AE,BE,根據(jù)AD=BD,可得四邊形ACBE是平行四

邊形，再由NACB=90。，可得到四邊形ACBE是矩形，即可求證

［問(wèn)題應(yīng)用］如圖，過(guò)點(diǎn)G作GHLBC于點(diǎn)〃，根據(jù)題意可得點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，AG=2DG,

從而得至|JDG=；8C,得至IJAG=BC,再由AGX8C=16,可得至UAG=BC=4,再由GH_LBC,

可得G比。G,從而得到當(dāng)G〃=DG時(shí)，ABGC面積的最大，即可求解.

【詳解】解：［問(wèn)題背景］①設(shè)AB邊的高長(zhǎng)為人，

S^ACD=5A。xh,S#CD=5BDxh,

〈CO為△ABC的中線，即AO=3D,

?q―q

,?-°ABCD；

②如圖，延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E,使DE=CD,連接AE,BE,

二,CO為△ABC的中線，

：.AD=BD,

■:DE=CD,

???四邊形AC3E是平行四邊形，

,/ZACB=90°,

???四邊形AC3E是矩形，

：.AB=CE,

?；DE=CD,

：.AB=CD-^DE=2CD；

［問(wèn)題應(yīng)用］如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH_L3C于點(diǎn)H,

22

H

E

AFB

圖3

?.?點(diǎn)G為△ABC的重心（△ABC的三條中線的交點(diǎn)），

二點(diǎn)。是2C的中點(diǎn)，AG=2DG,

?：CG±BG,

：.DG=-BC,

2

：.AG=BC,

；AGxBC=16,

,\AG=BC=4,

DG=2,

'：GH±BC,

：.GH<DG,

.?.當(dāng)GH=2,即G8=￡）G時(shí)，ABGC面積的最大，最大值為

-DGxBC=-x2x4=4.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，重心的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)定理，

重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.先閱讀，再回答問(wèn)題：如圖1,已知AABC中，為中線.延長(zhǎng)至E,?DE=AD.在

△48。和4￡0）中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，△A8O0ZXEC。（SAS）,

進(jìn)一步可得到A2=CE,AB〃CE等結(jié)論.

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計(jì)算或證明題.

解決問(wèn)題：如圖2,在△ABC中，是三角形的中線，尸為4。上一點(diǎn)，5.BF^AC,連結(jié)

并延長(zhǎng)3P交AC于點(diǎn)E,求證：AE=EF.

23

A

【答案】證明見(jiàn)試題解析.

【分析】延長(zhǎng)AD到G,使DF=DG,連接CG,得至UBD=DC,根據(jù)&4S推出△BDFdCDG,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出出三CG,ZBFD=ZG,求出NAPE=NG,CG=AC,推出

ZG=ZCAF,求出ZAFE=ZCAF即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)A。到G,DF=DG,連接CG,

是中線，

：.BD=DC,

在△BDF^DACOG中，

;BD=DC,ZBDF=ZCDG,DF=DG,

：.4BDFm叢CDG,

：.BF=CG,ZBFD=ZG,

'：NAFE=/BFD,

：.NAFE=NG,

;BF=CG,且已知BF=AC,

CG=AC,

：.ZG=ZCAF,

：.ZAFE^ZCAF,

：.AE=EF.

24

【點(diǎn)睛】本題考查了倍長(zhǎng)中線法、三角形全等的判定、性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等，本題的

關(guān)鍵是借助閱讀材料中提供的方法延長(zhǎng)AD到G,使。尸=OG,進(jìn)而構(gòu)造三角形全等.

7.(1)如圖1,若AABC是直角三角形，NBAC=90。，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)

E,使DE=AD,連接CE,可以得到△ABDgAECD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍

長(zhǎng)中線法”.求證：AACE是直角三角形

(2)如圖2,△ABC是直角三角形，ZBAC=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、

AC邊上的點(diǎn)，且DEDF.試說(shuō)明BE2+CF2=EF2；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面積.

圖1'\/圖2圖3

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)—.

4

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的判定解答即可；

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接FG,CG,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行解

答；

(3)連接AD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可.

【詳解】(1)VAABD^AECD

.\ZECD=ZB

ZBAC=90°

.?.ZB+ZBCA=90°

ZBCE+ZBCA=90。,即ZACE=90°

/.△ACE是直角三角形

(2)延長(zhǎng)ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接FG,CG,

VDE=DG,DF±DE,

；.DF垂直平分DE,

；.EF=FG,

25

??，D是BC中點(diǎn)，

???BD=CD,

在^BDE和^CDG中，

BD=CD

<ZBDE=ZCDG,

DE=DG

AABDE^ACDG(SAS),

ABE=CG,NDCG=NDBE,

VZACB+ZDBE=90°,

AZACB+ZDCG=90°,即NFCG=90。,

,.,CG2+CF2=FG2,

.*.BE2+CF2=EF2；

(3)連接AD,

VAB=AC,D是BC中點(diǎn)，

.\ZBAD=ZC=45O,AD=BD=CD,

VZADE+ZADF=90°,ZADF+ZCDF=90°,

???ZADE=ZCDF,

在^ADE和^CDF中，

NBAD=NC

<AD=CD,

/ADE=/CDF

AAADE^ACDF(ASA),

AAE=CF,BE=AF,AB=AC=17,

S四邊形AEDF=~SAABC,

.'.SAAEF=—X5X12=30,

2

???△DEF的面積==SAABC-SAAEF=-^—.

24

【點(diǎn)睛】考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等

是解題基礎(chǔ)，將待求線段轉(zhuǎn)化成求等長(zhǎng)線段是解題的關(guān)鍵.

8.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

26

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形,

把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

(3)思考：已知，如圖2,AD是AABC的中線，AB=AE,AC=AF,ZBAE=ZFAC=

90°.試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明.

圖1圖2

【答案】(1)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由見(jiàn)解析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由見(jiàn)解

析

【分析】(1)先判斷出進(jìn)而得出△QDBg/XAOC(&4S),得出8Q=AC=5,最

后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)由(1)知，△QDB^/\ADC(SAS),得出/CA￡),即可得出結(jié)論；

(3)同(1)的方法得出(SAS),則/。BQ=/AC￡>,BQ=AC,進(jìn)而判斷

出進(jìn)而判斷出△得出NBAQ=NAEF,即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：(1)延長(zhǎng)到。使得。。=4。，連接80,

:是△ABC的中線，

：.BD=CD,

BD=CD

在△QO8和AADC中，■ZBDQ=ZCDA,

DQ=DA

:.AQDB”AADC(S4S),

.?.BQ=AC=5,

在AAB。中，AB-BQ<AQ<AB+BQ,

27

.'.4<Ae<14,

A2<AD<7,

故答案為2VAOV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，△QDB^AADC,

:?NBQD=NCAD,

：.AC//BQ；

(3)EF=2AD,ADLEF,

理由：如圖2,延長(zhǎng)AO到。使得3Q=A。，連接3Q,

由(1)知，△BDQ^/\CDA(SAS),

：?/DBQ=/ACD,BQ=AC,

'：AC=AFf

：.BQ=AF,

在△ABC中，ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

???ZBAC+ZABC+ZDBQ=180°,

ZBAC+ABQ=1SO°9

'：ZBAE=ZFAC=90°9

：.ZBAC+ZEAF=180°f

：.ZABQ=ZEAFf

AB=EA

在和△耳1尸中，<ZABQ=ZEAF,

BQ=AF

：.AABQ^/\EAF,

：.AQ=EF,ZBAQ=ZAEF9

延長(zhǎng)D4交E尸于P,

9：ZBAE=90°,

???N8AQ+NEAP=90。，

ZAEF+ZEAP=90°f

：.ZAPE=90°,

：.AD±EFf

*：AD=DQ,

???AQ=2A。，

9

\AQ=EFf

:?EF=2AD,

即：EF=2AD,AD±EF.

28

E

Q

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線法，構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

9.在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問(wèn)題中，有一種典型的利用倍延中線的方法，例如：在

△ABC中，AB=8,AC=6,點(diǎn)。是BC邊上的中點(diǎn)，怎樣求的取值范圍呢？我們可以

延長(zhǎng)到點(diǎn)E,?AD=DE,然后連接BE（如圖①），這樣，在△AOC和△即8中，由于

AD=DE

<ZADC=ZEDB,:.AADC烏AEDB,：.AC^EB,接下來(lái)，在△ABE中通過(guò)AE■的長(zhǎng)可求

BD=CD

出的取值范圍.

請(qǐng)你回答：

圖①圖②圖③

（1）在圖①中，中線AD的取值范圍是.

（2）應(yīng)用上述方法，解決下面問(wèn)題

①如圖②，在AABC中，點(diǎn)。是8c邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，作DFLDE交

AC邊于點(diǎn)P,連接EF若BE=4,CF=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出跖的取值范圍.

②如圖③，在四邊形ABC。中，ZBC￡>=150°,NAOC=30。，點(diǎn)E是48中點(diǎn)，點(diǎn)廠在。C

上，且滿足BC=CRDF=AD,連接“、ED,請(qǐng)判斷CE與即的位置關(guān)系，并證明你的

結(jié)論.

【答案】（1）1<AD<7；（2）①2<EF<6；②CELED,理由見(jiàn)解析

【分析】（1）在△ABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)果；

（2）①延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N,使ED=DN,連接CN、FN,由SAS證得NVDC三AEDB,得出

BE=CN=4,由等腰三角形的性質(zhì)得出跖=骯，在ACFN中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定

理即可得出結(jié)果；

29

②延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,易證DG〃:BC,得出NG4E=/CBE,由ASA證得

AGAE=ACBE,得出GK=CK,AG=3C,即可證得CD=GD,由GE=CE,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)可得出CELED.

【詳解】(1)在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：AB-BE<AE<AB+BE

8—6<AE<8+6,即2<AE<14

.-.2<2AD<14,即1<AD<7

故答案為：1<AD<7；

(2)①如圖②，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N,使ED=DN,連接CN、FN

?.?點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)

:.BD=CD

CD=BD

在ANDC和AEDB中，<ZCDN=ZBDE

DN=ED

:.ANDC=AEDB(SAS)

:.BE=CN=4

DFA.DE,ED=DN

??.ASW是等腰三角形，EF=FN

在ACFN中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：CN-CF<FN<CN+CF

:.4-2<FN<4+2,即2<KV<6

:.2<EF<6；

②CE上ED；理由如下：

如圖③，延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G

??,點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

:.BE=AE

???Z.BCD=150°,ZADC=30°

J.DGHBC

.\ZGAE=ZCBE

ZGAE=ZCBE

在4GAE和ACBE中，?AE=BE

ZAEG=ZBEC

:.AGAE^ACBE(ASA)

:.GE=CE,AG=BC

???BC=CF,DF=AD

:.CF+DF=BC+AD=AG+AD,即CD=GD

?;GE=CE

.?.CE，E?.(等腰三角形的三線合一)

30

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理、等腰三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）②，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

10.閱讀材料，解答下列問(wèn)題.

如圖1,已知AABC中，AD為中線.延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使DE=AD.在△AOC和△EDB中，

AD=DE,ZADC=ZEDB,BD=CD,所以，4ACD沿4EBD,進(jìn)一步可得至〕JAC=BE,AC//BE

等結(jié)論.

圖1圖2

在已知三角形的中線時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線”的輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決

一些相關(guān)的計(jì)算或證明題.

解決問(wèn)題：如圖2,在△ABC中，4。是三角形的中線，點(diǎn)廠為4。上一點(diǎn)，＞BF=AC,連

結(jié)并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)￡,求證：AE=EF.

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】延長(zhǎng)AD到M,使DM=AD,連接BM,根據(jù)SAS推出△BDMgZkCDA,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得出BM=AC,NCAD=NM，根據(jù)BF=AC可得BF=BM，推出/BFM=NM,

求出/AFE=NEAF即可.

【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)〃，使得=并連結(jié)

31

E

：是三角形的中線,

:.BD=CD,

在△MD3和△ADC中,

BD=CD,

<ZBDM=ZCDA,

DM=DA,

：.AMDB沿AADC,

AAC=MB,NBMD=NCAD,

'：BF=AC,

BF=BM,

：.NBMD=NBFD,

VZBFD=ZEFA,NBMD=NCAD,

：.NEFA=NEAF,^AE=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查

學(xué)生的運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)“倍長(zhǎng)中線”法作出輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形.

11.(1)如圖1所示，在