胡不歸模型

一、知識導航

在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如24+%最值，除此之外我們還可能會遇上形如

“PA+kPET這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓.本

文簡單介紹"胡不歸”模型.

【故事介紹】

從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最

短”，雖然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽

了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”

（“胡”同“何”）

而如果先沿著驛道/C先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？

【模型建立】

如圖，一動點P在直線AGV外的運動速度為VI,在直線ACV上運動的速度為V2,且V1<V2,4、B

為定點，點C在直線MV上，確定點。的位置使生+生

的值最小.

%K

B

%

MN

A%c

【問題分析】

ACBC1BC+^-AC\,己左=乜

----1----二——1

匕匕匕%尸匕

即求A4C的最小值.

【問題解決】

構(gòu)造射線AD使得sinZDAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+S最小值,過B點作BHLAD交MN于黑C,交/。于〃點，此時取

到最小值，即8C+A4C最小.

【模型總結(jié)】

在求形如?PA+kPB?的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與MS相等的線段，將?PA+kPe型問題轉(zhuǎn)

化為型.

而這里的心必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到叱B的等線段.

二、典例精析

2

如圖，△A5C中，AB=AC=10,tanA=2,5E_LAC于點E,。是線段BE?上的一個動點，則CQ+BD的最

5

小值是_______.

A

【分析】本題關(guān)鍵在于處理“日EID”,考慮tanA=2,△ABE三邊之比為1:2:百，sinNABE與,故作

交A8于”點，則DH=[-BD.

AA

問題轉(zhuǎn)化為CD+O8最小值，故C、D、反共線時值最小，此時C￡>+D/f=CH=BE=445.

【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將54線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值,作出垂線?！?，即可解決問

題，若稍作改變，將圖形改造如下：

則需自行構(gòu)造應(yīng)如下圖，這一步正是解決"胡不歸''問題關(guān)鍵所在.

A

E

sina二—D

5

三、中考真題演練

3

1.（2023?山東?中考真題）已知拋物線丁=-/+陵+。與無軸交于A,B兩點，與y軸交于點C（0,4）,其對稱

（3）如圖2,動點P在直線AC上方的拋物線上，過點尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段BC于點E,

F,過點尸作/軸，垂足為G,求/G+&EP的最大值.

2.（2023?黑龍江綏化?中考真題）如圖，拋物線四="+法+。的圖象經(jīng)過4-6,0）,5（-2,0）,C（0,6）三點,

且一次函數(shù)>=履+6的圖象經(jīng)過點8.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

（3）將拋物線=ax1+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線必，此拋物線的圖象與％軸交于M,N

兩點（M點在N點左側(cè)）.點P是拋物線上上的一個動點且在直線NC下方.已知點P的橫坐標為加.過點

P作「DLNC于點O.求"?為何值時，8+!如有最大值，最大值是多少？

2

3.（2023?四川內(nèi)江?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中,拋物線>=加+a+°與工軸交于3（4,0）,。（-2,0）

兩點.與y軸交于點A（0,-2）.

4

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵若點尸是直線A3下方拋物線上的一動點，過點P作尤軸的平行線交A3于點K,過點尸作y軸的平行線

交x軸于點D,求與gpK+PD的最大值及此時點P的坐標；

4.（2023?天津?中考真題）已知拋物線y=--+法+c（b,c為常數(shù)，c>l）的頂點為尸，與無軸相交于A,

b

3兩點（點A在點5的左側(cè)），與y軸相父于點C,拋物線上的點M的橫坐標為機，且-c<7,過點M

作兒W_LAC,垂足為N.

⑴若匕=-2,c=3.

①求點尸和點A的坐標；

②當MN=0時，求點Af的坐標；

⑵若點A的坐標為（-。,0）,且M尸〃AC,當4V+3〃N=90時，求點M的坐標.

k

5.（2023?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=g（x+2）（x-4）（%為常數(shù)，且左>0）與尤軸從左至右

O

依次交于A,3兩點，與y軸交于點。，經(jīng)過點5的直線丁=.3％+〃與拋物線的另一交點為。.

3

⑴若點。的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式;

5

⑵在(1)條件下，設(shè)尸為線段3D上一點(不含端點)，連接針，一動點M從點A出發(fā)，沿線段”以每

秒1個單位的速度運動到歹，再沿線段ED以每秒2個單位的速度運動到。后停止.當點尸的坐標是多少

時，點M在整個運動過程中用時最少？

6.(2023?廣西柳州?二模)已知拋物線y=ox2+bx+c(awO)過點4(1,0),8(3,0)兩點，與〉軸交于點C,

備用圖

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)點尸為拋物線上位于直線下方的一動點，當APBC面積最大時，求點P的坐標；

(3)若點。為線段OC上的一動點，問：AQ+#C。是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,

請說明理由.

7.(2022?四川成都?模擬預(yù)測)拋物線丫=加+版+石分別交x軸于點A(l,0),3(-3,0),交y軸于點C,

拋物線的對稱軸與x軸相交于點。，點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MNLAC.

6

y.

A/

D

圖1圖2

⑴求拋物線的表達式；

⑵線段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

(3)在M,N移動的過程中，是否有最小值，如果有，請寫出理由.

4

8.(2022?廣西梧州?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-§x-4分另ij與x,y軸交于點A,B,

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點C的坐標是(0,6),將△ACO繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到，點A的對應(yīng)點是點E.

①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；

3

②若點尸是y軸上的任一點，求gBP+EP取最小值時，點P的坐標.

9.(2018?江蘇徐州?一模)如圖,拋物線y=-N+bx+c與直線A8交于A(-4,-4),B(0,4)兩點，直線AC：

y=-gx-6交y軸與點C,點E是直線AB上的動點，過點EP〃y軸交AC于點R交拋物線于點G.

7

(1)直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為；

(2)在y軸上存在一點H,連接即，HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點的四邊形是

矩形？求出此時點E,H的坐標；

(3)在(2)的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為圓E上一動點，求;AM+CN的最小值.

10.(2021九年級?全國?專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)>=以2+法+。的圖象經(jīng)過點4(-

1,0),B(0,-石)，C(2,0),其對稱軸與尤軸交于點D

(1)求二次函數(shù)的表達式及其頂點坐標；

(2)點M為拋物線的對稱軸上的一個動點，若平面內(nèi)存在點N,使得以A,B,M,N為頂點的四邊形為菱

形，求點M的坐標；

H.(2019?四川綿陽?中考真題)在平面直角坐標系中，將二次函數(shù),=依2(。>0)的圖象向右平移1個單位,

再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點A、8(點A在點8的左側(cè))，OA=1,

經(jīng)過點A的一次函數(shù)y=kx+b(kX0)的圖象與>軸正半軸交于點C,且與拋物線的另一個交點為D,AABD

的面積為5.

8

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動點E在一次函數(shù)的圖象下方，求AACE面積的最大值，并求出此時點E的坐標;

3

(3)若點尸為x軸上任意?點，在(2)的結(jié)論下，求尸E+yPA的最小值.

9

胡不歸模型

一、知識導航

在前面的最值問題中往往都是求某個線段最值或者形如24+%最值，除此之外我們還可能會遇上形如

“PA+kPET這樣的式子的最值，此類式子一般可以分為兩類問題：（1）胡不歸問題；（2）阿氏圓.本

文簡單介紹"胡不歸”模型.

【故事介紹】

從前有個少年外出求學，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最

短”，雖然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當趕到家時，老人剛咽

了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”

（“胡”同“何”）

而如果先沿著驛道/C先走一段，再走砂石地，會不會更早些到家？

【模型建立】

如圖，一動點P在直線AGV外的運動速度為VI,在直線ACV上運動的速度為V2,且V1<V2,4、B

為定點，點C在直線MV上，確定點。的位置使生+生

的值最小.

%K

10

【問題分析】

ACBC1BC+^-AC\,己左=乜

----1----二——1

匕匕匕%尸匕

即求A4C的最小值.

【問題解決】

構(gòu)造射線AD使得sinZDAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.

將問題轉(zhuǎn)化為求BC+S最小值,過B點作BHLAD交MN于黑C,交/。于〃點，此時取

到最小值，即8C+A4C最小.

【模型總結(jié)】

在求形如?PA+kPB?的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與MS相等的線段，將?PA+kPe型問題轉(zhuǎn)

化為型.

而這里的心必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到叱B的等線段.

二、典例精析

11

如圖，△A5C中，AB=AC=10,tanA=2,5E_LAC于點E,。是線段BE?上的一個動點，則CQ+BD的最

5

小值是_______.

A

【分析】本題關(guān)鍵在于處理“日EID”,考慮tanA=2,△ABE三邊之比為1:2:百，sinNABE與,故作

交A8于”點，則DH=[-BD.

AA

問題轉(zhuǎn)化為CD+O8最小值，故C、D、反共線時值最小，此時C￡>+D/f=CH=BE=445.

【小結(jié)】本題簡單在于題目已經(jīng)將54線作出來，只需分析角度的三角函數(shù)值,作出垂線?！?，即可解決問

題，若稍作改變，將圖形改造如下：

則需自行構(gòu)造應(yīng)如下圖，這一步正是解決"胡不歸''問題關(guān)鍵所在.

A

E

sina二—D

5

三、中考真題演練

12

1.（2023?山東?中考真題）已知拋物線丁=-/+陵+。與無軸交于A,B兩點，與y軸交于點C（0,4）,其對稱

（3）如圖2,動點P在直線AC上方的拋物線上，過點尸作直線AC的垂線，分別交直線AC,線段BC于點E,

F,過點尸作/軸，垂足為G,求/G+&EP的最大值.

【分析】（1）由題易得c的值，再根據(jù)對稱軸求出6的值，即可解答;

（3）求得BC所在直線的解析式為％=-4x+4,設(shè)尸的-病一版+4）,設(shè)PE所在直線的解析式為：

%=-X+4，得%=-X-/-2加+4,令%=%，解得X=m3m，分別表示出FG和41PF,再對FG+&FP

進行化簡計算，配方成頂點式即可求解.

【詳解】（1）解：拋物線與y軸交于點。（0,4）,

3

???對稱軸為一旌

_b___3

^2--2b=-3,

拋物線的解析式為y=-Y-3x+4；

（3）設(shè)BC所在直線的解析式為％=左環(huán)+4,

k+b=0

把8、C坐標代入得:YY

4=4

^=-4

解得

4=4

%=—4x+4,

9：OA=OC,

：.ZCAO=45°,

13

ZAEB=90°,

?,?直線尸石與x軸所成夾角為45。,

設(shè)尸(m,—m2-3m+4),

設(shè)尸E所在直線的解析式為：y2=-x+b2,

把點P代入得瓦=~m2-2m+4,

2

y2=—x—m—2m+4,

令%=為，則Tx+4=—%—加之一2機+4，

m2+2m

解得x=

3

.-4fm2+2m

??FG=y=—-----------+4

汴F3

2

-J2PF=A/2^—^=A/2-A/2-(XF-xp)=-^m—m

cos453

.l-4(m2+2m)2(m2-m)1(5丫49

,?FG+y[2FP=—---------^+4+-^---------/=--m+-+—

332)6

???點P在直線AC上方,

-4<m<0,

549

當八-5時，F(xiàn)G+危產(chǎn)的最大值為『

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?黑龍江綏化?中考真題)如圖，拋物線M=』+/+c的圖象經(jīng)過4-6,0),仇-2,0),C(0,6)三點,

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

14

(3)將拋物線y^a^+bx+c的圖象向右平移8個單位長度得到拋物線％，此拋物線的圖象與x軸交于M,N

兩點(M點在N點左側(cè)).點尸是拋物線當上的一個動點且在直線NC下方.已知點P的橫坐標為機.過點

尸作PDJ.NC于點O.求加為何值時，有最大值，最大值是多少？

2

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)得出ACON是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則加=。尸=正打，點P在拋物線為上,

2

且橫坐標為加，得出五(見一機+6),進而可得m==機2+3機)=一乎機2+呼利，則

CD+\pD=-^!l[m-^\+也1,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

2813J24

【詳解】(1)解：把A(-6,0),3(-2,0),C(0,6)代入)=加+4+>

36〃-6。+c=0

得<-2Z?+c=0

c=6

.1

d———

2

解得。=4

。=6

1

Vi=—x9+4x+6

2

把5(—2,0)代入>=h+6得上=3

y=3x+6

11

(3)???%=]%2+4%+6向右平移8個單位長度得至！J拋物線為=,(%—8『9+4(%—8)+6

1

當〉2=0，即5(x_8)9+4(尤_8)+6=0

解得：石=2,%=6

AM(2,0),N(6,0)

???當過M，N,。三點

12

=x

y2~~-41+6

在直線NC下方的拋物線為上任取一點尸，作?〃，尤軸交NC于點H,過點H作HG，y軸于點G.

15

?.?N(6,0),C(0,6)

：.ON=OC

???△CON是等腰直角三角形

VZCHG=45°,/GHP=90。

：.NPHD=45。

又PD1CN

???△HPD是等腰直角三角形

HD=DP=—HP

2

???點尸在拋物線為上，且橫坐標為機

CG=GH=m

CH=亞m

,?*ycN=-兀+6

H(m,-m+6)

HP=-m+6-1—m2-4m+6i=--m2+3m

ii33([2

.??CD+-PD=CH+HD+-PD=CH+-PD=yf2m+———mz+—L-m

2222142

372f13丫169收

=------m----H-------

8I3)24

當初時，的最大值為史述.

3224

16

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?四川內(nèi)江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+6x+c與x軸交于3(4,0),C(-2,0)

兩點.與y軸交于點4(。,-2).

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

⑵若點尸是直線A3下方拋物線上的一動點，過點尸作無軸的平行線交A3于點K,過點尸作y軸的平行線

交x軸于點D,求與;PK+PD的最大值及此時點P的坐標；

【分析】(1)將A、8、C代入拋物線解析式求解即可；

(2)可求直線A3的解析式為y=—設(shè)尸[九;m2根_2](0<m<4),可求

K\-m2--m-l],從而可求工尸K+PD=-L/+』〃?+2,即可求解；

1242J222

【詳解】(1)解：由題意得

16Q+4Z?+C=0

<4a-2b+c=0,

c=-2

1

ci———

4

解得：6=-;,

c=-2

二拋物線的解析式為廠%-*2.

(2)解：設(shè)直線A2的解析式為〉=豆+萬，則有

4k+b=0

b=-2

17

解得：<2,

b=-2

???直線AB的解析式為y=^x-2；

設(shè)“2一；加一2](0<m<4),

：.—1x—2c=—1m2——1m-C2,

242

解得：x=^m12-m,

(121211

(242J

(1、

PK=m-\—m2-m

(2)

2口

=—1m+2m,

2

_PK=—nt2+機,

24

PD=-\—m2--m-2\

U2J

11

=——m2+—m+2,

42

1111

/.—PK+PD=——m9+m—m9+—m+2

2442

13c

=——m2+—m+2

22

3125

，當加=3時，（PK+尸。的最大值為

22o

125/335、

故JK+尸。的最大值為弓，P.

2812loy

4.（2023?天津?中考真題）已知拋物線》=-12+法+。（b，c為常數(shù)，。>1）的頂點為尸，與％軸相交于A,

8兩點（點A在點8的左側(cè)），與y軸相交于點C,拋物線上的點M的橫坐標為機，且-c<〃z<5，過點Af

作MN_LAC,垂足為N.

18

(1)若b=-2,c=3.

①求點尸和點A的坐標；

②當MN=友時，求點M的坐標；

⑵若點A的坐標為(-。,0),且M尸〃AC,當4V+3〃N=90時，求點M的坐標.

【答案】⑴①點尸的坐標為(T4)；點A的坐標為(-3,0)；②點M的坐標為(-2,3)

【分析】(1)①待定系數(shù)法求解析式，然后化為頂點式，即可求得尸的坐標，令>=0,解方程，即可求得A

的坐標；

②過點M作軸于點E,與直線AC相交于點得出。4=OC.可得REAOC中，

ZOAC=45°.RsAE尸中，EF=AE.設(shè)點”(加,一/-2m+3),點E(7%0).根據(jù)MN=0,解方程即可

求解；

(2)根據(jù)題意得出拋物線的解析式為>一c)x+c.得點-蘇+(l-c)加+c),其中

_c<m<lz￡.則頂點p的坐標為［/，嚀匚］,對稱軸為直線/?=寧.過點M作于點Q,

則NMQP=90。，點。］一,-加+(l-c)m+［.由〃4C,得NPMQ=45°.于是MQ=QP.得出

。=-2加-19=-2〃?+1(舍).，同(I),過點M作軸于點E,與直線AC相交于點尸，則點后。%0),

點網(wǎng)辦-根-1),點M(九療-1).根據(jù)已知條件式，建立方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：①由》=-2,c=3,得拋物線的解析式為y=/-2x+3.

y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

.?.點尸的坐標為(T,4).

當y=0時，-X2-2X+3=0.解得占=-3,%=l.又點A在點B的左側(cè)，

點A的坐標為(-3,0).

②過點M作軸于點E,與直線AC相交于點

19

?點A(—3,0),點C(0,3),

AOA=OC.可得RbAOC中，ZOAC=45°.

/中，EF=AE.

:拋物線y=-/_2x+3上的點M的橫坐標為加，其中

工設(shè)點M(m,-療-2m+3),點E,0).

得斯=AE=加一(-3)=%+3.即點F(777,777+3).

FM=(-〃，-2m+3)—(〃z+3)=-m2-3m.

RSFMV中，可得NMRV=45。.

:.FM=yJiMN.又MN=正，

得FM=2.BP-m2-3m=2.解得叫=-2,/%=-1(舍).

；?點M的坐標為(一2,3).

(2),點A(-c,0)在拋物線丁=-彳2+匕尤+。上，其中c>l,

—c2—bc+c—0■得>=1—c.

拋物線的解析式為y=-x2+(l-c)x+c.

得點”(加,-〃/+(l-c)：〃+c),其中一(?<"?<]^.

,,,._y2,fl------fr1—*(1+。)

?y——X-T\L—C]X-rC——\X--------H--------------,

')I2J4

頂點P的坐標為[寧，W*；對稱軸為直線/：X=1.

過點〃作MQL/于點Q,則/MQP=90。，點。[寧，-蘇+(l-c)機+

由MP〃AC,得/PMQ=45。.于是"。=。尸.

20

m=

12'~（1:C）——[―機2+（1―c）+c].

即（c+2%）2=1.解得C]=-2m-l,c2=-2"7+1（舍）.

同（I）,過點M作軸于點E,與直線AC相交于點尸,

則點E（/居0）,點打機,-優(yōu)-1）,點--1）.

AN+3MN=AF+FN+3MN=y/2EF+2.y/2FM=9y/2,

.,.3（—m—1）+2&（/-1+根+1）=9底.

即2m2+/M-10=0.解得網(wǎng)=-5,7n2=2（舍）.

...點M的坐標為.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，角度問題，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

k

5.（2023?福建泉州?模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=?（x+2）（x-4）（左為常數(shù)，且上＞0）與x軸從左至右

O

依次交于A,8兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點8的直線y=-且尤+b與拋物線的另一交點為D.

3

（1）若點。的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式；

⑵在（1）條件下，設(shè)尸為線段上一點（不含端點），連接AF,一動點〃從點A出發(fā)，沿線段AF以每

21

秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到。后停止.當點、F的坐標是多少

時，點M在整個運動過程中用時最少？

【答案】(l)y=3尤2一友無一這

999

(2)(-2,2⑹

【分析】(1)由點B的坐標求出直線3D的解析式，再由點。的橫坐標代入直線8。的解析式求出點。的坐

標，然后將點。的坐標代入拋物線解析式求3從而得到拋物線的函數(shù)表達式;

(2)過點。作DELx軸于點E,過點O和點尸分別作x軸的平行線和y軸的平行線，交于點N,過點A作

于點由點B和點。的坐標求線段DE、BE和3。的長度，得到/。跖=30。，結(jié)合速度可知

時間為4尸+；。尸，然后利用“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”得=從而得到

+=(AF+NF)mn=AH,進而求得此時點P坐標.

【詳解】(1)解：對于y=：(x+2)(龍-4),當產(chǎn)。時，x=-2或x=4,

8

/.A(-2,0),3(4,0),

將點B(4,0)代入y=-,得：-(^x4+6=0

.,4g

??D=--，

3

則直線9的解析式為：y=_3x+亞，

33

當x=-5時，y=一弓？(5)+苧=3若，

/.D(-5,3A/3),

將點￡(卜5,3碼代入y=：(x+2)(x-4),得：|(-5+2)(-5-4)=3V3,

.,8^

??K---，

9

???拋物線的表達式為：y=q(x+2)(x-4)=4f一手無一苧；

(2)由題意得：點M的運動時間為AF+；。尸，

過點。作DE，x軸于點E,

22

:.DE=3^,EB=9,BD=6y/3,

：.ZDBE=3Q°,

過點D和點F分別作X軸的平行線和y軸的平行線，交于點N,

ZDBE=ZFDN=30。,

：.NF=-DF,

2

AF+-DF=AF+NF,

2

過點A作A/fLDN于點此時(AF+NF)1rmi=AH,

AH與直線3。的交點即為所求點尸，

YA(-2,0),

.?.當x=-2時，y一冬(~2)+當=26,

A點F的坐標為(-2,2g)時，點M在整個運動過程中用時最少.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求拋物線解析式、特殊角的直

角三角形三邊關(guān)系，第2問的突破點是利用轉(zhuǎn)化的思想結(jié)合“30。角所對的直角邊是斜邊的一半”將3。廠進

行轉(zhuǎn)化，然后利用垂線段最短求得用時最小時的點P坐標.

6.(2023?廣西柳州?二模)已知拋物線丫=改2+法+。(。W0)過點4(1,0),8(3,0)兩點，與V軸交于點C,

OC=3,

23

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;

(2)點尸為拋物線上位于直線BC下方的一動點，當APBC面積最大時，求點P的坐標；

(3)若點。為線段0C上的一動點，問：AQ+#C。是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)解析式為y=f-4x+3,頂點。的坐標為。(2,-1)

3_3

⑵點尸的坐標為尸

2，-4

⑶存在,最小值為好

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點式，然后代入點c的坐標，求解即可；

(2)作PM//y軸，交BC于點M,通過設(shè)P和M的坐標，利用“割補法”表示出“BC，從而利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解最值即可；

(3)將直線CQ繞著Q點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，并過點C作其垂線，垂足為N,分別連接AQ,QN,CN,構(gòu)

造出含30。角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求AQ+NQ得最小值，繼而確定當A、Q、N三點共線時，滿足

AQ+NQ取得最小值，此時利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意，設(shè)拋物線解析式為y=a(x-l)(x-3),其中。片0,

?/OC=3,

...點C的坐標為C(0,3),

將C(0,3)代入y=a(x—l)(x—3),解得：a=l,

y=(x—l)(x—3)=廠—4x+3,

24

，拋物線的解析式為y=犬-4x+3,

-4

,對稱軸為直線x=--=2,

.,.將x=2代入y=f-4%+3,得：y=-1,

頂點。的坐標為。(2,-1)；

(2)解：：3(3,0),C(0,3),

直線"的解析式為：y=f+3,

:點尸在拋物線上，且位于直線BC下方，

，設(shè)P(P，p2-4p+3),其中，0<p<3,

如圖所示，作尸M//V軸，交BC于點M,

M(p,-p+3),

2

PM=yM-yp=-p+3P,

?S^PBC=SdPMB+S*MC，SAPMB=-PM^xB-Xp),S^PMC=-

,?S^PBC=—PM^XB-xp)+—PM^xp-xc)=—PM^xB-xc)f

2

?，-S，PBC=1PM^XB-xc)=I(-p+3/7)X3,

整理可得：5MC=-|+—,其中0<。<3,

8

3

???當P=；時，S“BC取得最大值，

將P=；代入y=f-4x+3,得：＞=一］,

3_3

，此時點尸的坐標為尸2，-4

25

如下圖所示，將直線C。繞著2點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，并過點C作其垂線，垂足為N,

分別連接AQ,QN,CN,則NCQV=30。，ZCNQ=90°,

.?.在RLCNQ中，cosZCQN=cos30°=,

CQ2

隨著。點的運動，總有N0=?CQ,

,AQ+^-CQ=AQ+NQ,

要使得AQ+^-CQ取得最小值，即要使得AQ+NQ取得最小值,

如下圖，當A、@、N三點共線時，滿足AQ+NQ取得最小值，

26

此時，ZCNQ=ZAOQ=90°,ZCQN=ZAQO=30°,

0A=1,

：.AQ=2,OQ=y/3,

：.CQ=OC-OQ=3-y/3,

33

NQ=CQcos30。=(3-⑹x#=^1~,

??.AQ+NQ=2+H=H，

AQ+#C。存在最小值，最小值為當口.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和

最值問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運用函數(shù)思想解決圖形面積問題是解題關(guān)鍵.

7.(2022?四川成都?模擬預(yù)測)拋物線>="2+桁+班分別交x軸于點A(L0),B(-3,0),交y軸于點C,

拋物線的對稱軸與x軸相交于點Z),點M為線段OC上的動點，點N為線段AC上的動點，且MNLAC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)線段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請寫出你的理由；

(3)在M,N移動的過程中，是否有最小值，如果有，請寫出理由.

27

【答案】⑴y=-旦2-基尤+6

-33

Q)NC=6MN,見解析

(3)有，最小值為G

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)在RJAOC中，oc=5Q4=l,根據(jù)MVLAC,有NM?VC=90。，即可得1皿/0。4=絲=”生，

OCNC

問題得解；

(3)先求出NOC4=30。，即NQ4C=60。，即有MN=」CM,則。M+，MC的最小值是DM+MN的最小

22

值，即點。到AC的垂線段。N的長，問題隨之得解.

【詳解】(1)把點A(LO),3(-3,0)代入拋物線〉=辦2+如+石中得：

73

a+b+y/3=0a=----

3

解得:

9a-3b+^=0

b=-----

3

；?拋物線的解析式為：y=-3尤2一亞lx+石;

'33

(2)NC=yf3MN,

理由是：如圖1,

令x=0,則>=8，即C(0,道)，

VA(l,0),C(0,⑹，

oc=6OA=\,

在RtziAOC中，OC=y/3,OA=1,

'：MN±AC,

：.NMNC=9Q°,

28

?/八…OAMN

??tanN^OCA==

OCNC

.1_MN

?‘耳一旅’

NC=gMN；

(3)在M,N移動的過程中，DM+gMC有最小值是百，理由如下:

由（2）知：tanZOCA=-=-^==—,

OC63

ZOCA=30°f即NCMC=60。，

：.MN=-CM,

2

OM+gMC的最小值是ZW+MN的最小值，即。、M、N三點共線時，點。到AC的垂線段OV的長,

如圖2,

拋物線解析式為：y=一2￡一巫x+百;

33

???對稱軸是：x=—l,即。(—1,0),

AD=OA+OD=1+1=2,

在RtZkADN中，Z