第四章三角形

（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿(mǎn)分：120分）

一.選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）

1.下面幾何體中，是圓錐的為（）

【答案】B

【分析】觀察所給幾何體，可以直接得出答案.

【詳解】解：A選項(xiàng)為圓柱，不合題意;

B選項(xiàng)為圓錐，符合題意;

C選項(xiàng)為三棱錐，不合題意;

D選項(xiàng)為球，不合題意;

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)幾何體的識(shí)別,熟練掌握常見(jiàn)幾何體的特征是解題的關(guān)鍵.圓錐面和一個(gè)截它的平

面，組成的空間幾何圖形叫圓錐.

【答案】C

【分析】根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征,11種不同情況進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)正方體的展開(kāi)圖的特征，只有第2個(gè)圖不是正方體的展開(kāi)圖，故四個(gè)圖中有3個(gè)圖是正

方體的展開(kāi)圖.

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查正方體的展開(kāi)圖的特征，“一線不過(guò)四，田凹應(yīng)棄之”應(yīng)用比較廣泛簡(jiǎn)潔.

3.如圖，ZXOC=2LB0D=90°,乙4。。=126。，貝UNBOC的大小為（）

A.36°B.44°C.54°D.63°

【答案】C

【分析】由乙4。。=48。0=90。，乙4。。=126。，可求出4。。。的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系求解.

【詳解】\'^AOC=90°,4/。0=126。，

SD=/.AOD-/,AOC=36°,

■:(BOD=90°,

:.（BOC=乙BOD-乙COD=90°-36°=54°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角的計(jì)算，注意此題的解題技巧：兩個(gè)直角相加和乙4。。相比，多加了

乙BOC.

4.如圖，在中，D、E分別在AB邊和AC邊上，DE//BC,M為BC邊上一點(diǎn)（不與B、C重

合），連結(jié)AM交DE于點(diǎn)N,則（）

AADAN「BDMNCDN_NEnDNNE

A.—=—B.——=——D.——=—

ANAEMNCE?BM-MCMCBM

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定可得△ADNS^ABM,△ANEs^AMC,再根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)即可得到答案.

NEDNNE44、4一

【詳解】-DE//BC,AAADN^AABM.AANE^AAMC,=蔬=嬴=贏,故選c-

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)、相似

三角形的判定和性質(zhì).

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一一利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

5.如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線/與出射光線相平

行.若入射光線/與鏡面48的夾角N1=40。10，，則N6的度數(shù)為（）

A.1000407B.99080,C.99040,D.99020,

【答案】C

【分析】由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得Nl=/2,可求出N5,由〃An可得

Z6=Z5

【詳解】解：由入射光線與鏡面的夾角等于反射光線與鏡面的夾角，可得Nl=/2,

Vzl=40°10,

."2=40°10,

.,.Z5=180°—N1—42=180°-40°10'-40°10,=99°40'

l//m

Z.Z6=N5=99°40,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解答本題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與實(shí)際生活一一利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

6.如圖是脊柱側(cè)彎的檢測(cè)示意圖，在體檢時(shí)為方便測(cè)出Cobb角N。的大面小，需將NO轉(zhuǎn)化為與它相等的

角，則圖中與4。相等的角是（）

凸面I凹面

寬a當(dāng)cobb>10。為脊柱側(cè)彎

A.乙BEAB.乙DEBC./.ECAD./.ADO

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：4。與N4D。互余，NDEB與乙4。。互余，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)

論.

【詳解】由示意圖可知：和ADBE都是直角三角形，

???4。+4ADO=90°,乙DEB+/.ADO=90°,

?1?乙DEB=Z-0,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵.

7.【易錯(cuò)題】若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3c7W和5cm則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是()

A.8cmB.13cmC.8cwz或13cmD.lie"或13cm

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和5,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還

要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，

：3+3>5,

；.3,3,5能組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為3+3+5=11(cm),

當(dāng)5是腰時(shí)，

：3+5>5,

5,5,3能夠組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)為5+5+3=13(cm),

則三角形的周長(zhǎng)為11cm或13cm.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情

況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】三角形折疊模型

8.如圖，三角形紙片42c中，/BAC=90。，AB=2,AC=3.沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)8落在

邊BC上的點(diǎn)。處；再折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)。重合，若折痕與AC的交點(diǎn)為E,則AE的長(zhǎng)是()

B

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得=A8=2,NB=NADB,CE=DE,NC=NCDE,可得NAOE=90。，繼而

設(shè)AEr,則CE=OE=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：???沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)3落在邊3c上的點(diǎn)。處，

：.AD=AB=2,ZB=AADB,

,??折疊紙片，使點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，

:.CE=DE,ZC=ZCDE,

VZBAC=90°,

AZB+ZC=90°,

???ZADB+ZCDE=90%

：.NAOE=90。，

:.AD2+DE2=AE2,

設(shè)AE=xf則CE=DE=3-x,

22+(3-X)2=/,

解得X=o

即AE=-

6

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】一線三垂直模型

9.如圖，點(diǎn)4(0,3)、B(l,0),將線段4B平移得到線段0C,若乙4BC=90。,BC=24B,則點(diǎn)。的坐標(biāo)是

)

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

【答案】D

【分析】先過(guò)點(diǎn)C做出％軸垂線段CE,根據(jù)相似三角形找出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)計(jì)算出對(duì)應(yīng)。

點(diǎn)的坐標(biāo).

如圖過(guò)點(diǎn)。作％軸垂線，垂足為點(diǎn)區(qū)

■:乙ABC=90°

：./LABO+Z.CBE=90°

'：ACBE+BCE=90°

：.^ABO=乙BCE

在448。和ABCE中，

(Z.ABO=乙BCE

^Z.AOB=乙BEC=90°'

：.LABO?ABCE,

,AB_AO_OB_1

'*BC~BE~EC~2'

則BE=2AO=6,EC=2OB=2

???點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到，

???點(diǎn)D同樣是由點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到,

???點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3),

.?.點(diǎn)O坐標(biāo)為(6,5),選項(xiàng)D符合題意，

故答案選D

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)找出圖象左

右、上下平移的距離是解題的關(guān)鍵.

10.如圖①，在矩形4BCD中，X為CD邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AH—HC—CB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停

止，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)2停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是lcm/s,若點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為t(s),△AMN的面積為S(cm2),已知S與r之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是

()

①當(dāng)0<tW6時(shí)，A/IMN是等邊三角形.

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得AADM為等腰三角形的點(diǎn)M一共有3個(gè).

③當(dāng)0<tW6時(shí)，S=—t2.

4

④當(dāng)t=9+舊時(shí)，AADHMABM.

⑤當(dāng)9<t<9+3百時(shí)，S=-3t+9+3V3.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

【答案】A

【分析】由圖②可知：當(dāng)0<區(qū)6時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)〃在點(diǎn)X處，點(diǎn)N在點(diǎn)

8處并停止不動(dòng)；由點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,所以可得A/f=AR=6cm,利用四邊形A2C￡>是矩形

可知。=AB=6cm；當(dāng)6f區(qū)9時(shí)，S=98且保持不變，說(shuō)明點(diǎn)N在B處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段"C上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為(9-6)秒，可得8C=3cm,即點(diǎn)H為CD的中點(diǎn)；利用以上的信息對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析判斷后得

出結(jié)論.

【詳解】解：由圖②可知：點(diǎn)M、N兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)6秒時(shí)，S最大，此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)〃處，點(diǎn)N在點(diǎn)B處并停止

不動(dòng)，如圖,

①：點(diǎn)M、N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,

?\AH=AB=6cm,

?.?四邊形ABC。是矩形，

CD=AB=6cm.

當(dāng)t=6s時(shí),5=9V3cm2,

.?JXABXBC=9?

:.BC=35

:當(dāng)6WV9時(shí)，5=9百且保持不變，

.?.點(diǎn)N在8處不動(dòng)，點(diǎn)M在線段HC上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（9-6）秒,

：.HC=3cm,即點(diǎn)//為。的中點(diǎn).

：.BH^CH2+BC2=6.

：.AB=AH=BH=6,

...△ABM為等邊三角形.

ZHAB=60°.

:點(diǎn)M、N同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，速度均為lcm/s,

：.AM=AN,

...當(dāng)0〈也6時(shí)，AAMN為等邊三角形.

故①正確；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在A。的垂直平分線上時(shí)，為等腰三角形：

此時(shí)有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，如圖:

綜上所述，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，使得為等腰三角形的點(diǎn)M一共有4個(gè).

，②不正確；

由題意：AM=AN=t,

由①知：ZHAB=60°.

在RtAAME中，

：

'sinZMAE=A—M,

：.ME=AMsm600=^-t,

2

S=-ANxME=-x—txt^—t2.

2224

...③正確；

④當(dāng)Z=9+g時(shí)，CM=?如圖，

由①知：BC=3V3,

：.MB=BC-CM=2y/3.

\'AB=6,

：.ZMAB=30°.

\'ZHAB=6Q°,

：.ZDAH=90o-60°=30°.

ZDAH=ZBAM.

'：ZD=ZB=90°,

：.AADHs^ABM.

...④正確；

⑤當(dāng)9?9+3B時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M在邊2c上，如圖,

此時(shí)MB=9+343-t,

：.S=^xABxMB=|x6x（9+3V3-t）=27+9V3-3t.

⑤不正確；

綜上，結(jié)論正確的有：①③④.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義，三角形的面

積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值.對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,

依據(jù)已知條件畫(huà)出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）

11.如圖，己知ANBC三△￡）￡1/,點(diǎn)、B,E,C,尸依次在同一條直線上.若BC=8,CE=5,貝!的長(zhǎng)

為.

【答案】3

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：EF=BC=8,

：.CF=EF-CE=8-E>=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和5,則第三邊長(zhǎng)可以是.（只填一個(gè)即可）

【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得5-

3cx<5+3,再解即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為X,由題意得：

5—3<x<5+3,

則2<x<8,

故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和.

13?【原創(chuàng)題】若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，則該直三棱柱的表面

積為.

【答案】36+2V3/2V3+36

【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長(zhǎng)為2,進(jìn)而根據(jù)表面積等于兩個(gè)底面積加上側(cè)面正方形的面積即可

求解.

【詳解】解：\.側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6的正方形，

底面周長(zhǎng)為6,

?.?底面為正三角形，

正三角形的邊長(zhǎng)為2

作CD1AB,

???△4BC是等邊三角形，AB=BC=AC=2,

AD—1,

???在直角A4QC中，

CD=y/AC2-AD2=V3,

SUBC=5X2XV3=V3;

該直三棱柱的表面積為6X6+28=36+2V3,

故答案為：36+2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的面積，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC<AC.點(diǎn)、D,E分另U在邊BC上，連接DE,將ABDE沿DE

折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)次.若點(diǎn)剛好落在邊2C上，LCB'E=30°,CE=3,貝UBC的長(zhǎng)為.

【答案】9

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出B'E=BE=2CE=6,即可求解.

【詳解】解：：將ABDE沿DE折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)9.點(diǎn)夕剛好落在邊4C上，在RtAABC中，NC=

90°,BC<AC,/LCB'E=30°,CE=3,

J.B'E=BE=2CE=6,

：.BC=CE+BE=3+6=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【新考法】數(shù)學(xué)與規(guī)律探究—圖形類(lèi)規(guī)律

15.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,44…在X軸的正半軸上，點(diǎn)Bl、B2,B3…在直線曠=

yx(x>0)±,若點(diǎn)&的坐標(biāo)為(2,0),且^A2B2A3,△438344…均為等邊三角形.貝IJ點(diǎn)B2023

的縱坐標(biāo)為.

【答案】22022百

【分析】過(guò)點(diǎn)兒作_Lx軸，交直線y=20)于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)/作/C_Lx軸于點(diǎn)C,先求出

N&OM=30。，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得&%=。&=2,然后解直角三角形可

得的長(zhǎng)，即可得點(diǎn)名的縱坐標(biāo)，同樣的方法分別求出點(diǎn)殳,叢,34的縱坐標(biāo)，最后歸納類(lèi)推出一般規(guī)

律，由此即可得.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)必作1汽軸，交直線y=y%(x>0)于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Bi作Bi。1%軸于點(diǎn)C,

???4(2,0),

???OAr=2,

當(dāng)％=2時(shí)，y=誓，即M(2,誓),&M=誓，

??.tan乙4]1OM=,

ArO3

???N&OM=30°,

???△4/送2是等邊三角形，

**?Z-A2A1B1=60°MI^2=a/i，

:.Z-OB1A1=30°=Z-ArOM,

???A1B1=OAr=2,

???BrC=4祖?sin60°=2Xy,即點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2Xy,

同理可得：點(diǎn)B?的縱坐標(biāo)為22x4，

點(diǎn)當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為23xf,

點(diǎn)風(fēng)的縱坐標(biāo)為24X爭(zhēng)

歸納類(lèi)推得：點(diǎn)%的縱坐標(biāo)為2nx?=2"T8(n為正整數(shù))，

2022

則點(diǎn)B2023的縱坐標(biāo)為22°23-1百=2V3,

故答案為：22。22次.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探索、等邊三角形的性質(zhì)、正比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形等知識(shí)

點(diǎn)，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

16.【創(chuàng)新題】如圖，在AZBC中，力B=4C,乙4<90。，點(diǎn)D,E,F分別在邊4B,BC,CA上，連接

DE,EF,FD,已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng).設(shè)篇=屋若皿=DF，則葛=（結(jié)果用含k的代數(shù)

式表示）.

【分析】先根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和已知條件證明DEII4C,再證△BDEsABAC,推出=通過(guò)證

明AABCMECF,推出CF=L/C2.AB,即可求出生的值.

2FA

【詳解】解：,點(diǎn)B和點(diǎn)尸關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，

DB=DF9

AD=DF,

AD=DB.

vAD—DF,

Z.A=Z,DFA,

???點(diǎn)3和點(diǎn)F關(guān)于直線。E對(duì)稱(chēng)，

???(BDE=Z.FDE,

又???(BDE+Z.FDE=Z.BDF=Z-A+Z-DFA,

???Z.FDE=乙DFA,

???DEWAC,

???Z.C=(DEB,Z.DEF=(EFC,

,??點(diǎn)B和點(diǎn)尸關(guān)于直線DE對(duì)稱(chēng)，

???Z-DEB=Z-DEF,

Z.C=Z,EFC,

???AB=ACf

???Z-C—Z-B,

在和△￡1（村,

（Z.B=zf

l^ACB=/.EFC'

???△ABCs>ECF.

???在△ABC中，DE\\AC,

Z.BDE=Zi4,乙BED=乙C,

???△BDE—△BAC,

.BE_BD_1

??BC~~BA一2’

I

???EC=-BC

29

BC,

—=k,

AB

i

???BC=k?AB,EC=-k-AB,

2

???△ABCECF.

.AB_BC

,?—,

ECCF

AB_k-AB

#ABCF

解得CF=[1.a-

.CF__CF_CF_*WB_H

"FA~AC-CF-AB-CF-AB--k2AB-2-k2*

2

故答案為：/包.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，

三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明AABCMECF.

三.解答題（共9小題，滿(mǎn)分72分，其中17、18、19題每題6分，20題、21題每題7分，22題8分，23

題9分，24題10分，25題13分）

17.如圖，ABWCD,直線MN與分別交于點(diǎn)E,F,CD上有一點(diǎn)G且GE=GF,Z1=122°.求42的

度數(shù).

【答案】64°

【分析】根據(jù)4BIICD,可得ADFE=N1=122。，從而得到NEFG=58。，再由GE=GF,可得NFEG=

AEFG=58°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解.

【詳解】解：??FBIICD,41=122。

J.Z.DFE=Z1=122°,

C.Z.EFG=180°-乙DFE=58°,

VGE=GF,

:.乙FEG=Z.EFG=58°,

/.Z2=180°-4FEG-乙EFG=64°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性

質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】射影定理（相似）

18.在RtAZBC中，ABAC=90°,4。是斜邊8C上的高.

⑴證明：AABDfCBA；

（2）若2B=6,BC=10,求BD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵BD=Y

【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出乙4DB=90。，根據(jù)等角的余角相等，得出4艮4D=NC,結(jié)合公共

角=乙B,即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：??,乙84。=90。，4。是斜邊BC上的高.

：,Z.ADB=90°,乙8+4。=90°

???4B+4BAD=90°,

：.^LBAD=ZC

又?：乙B=乙B

△ABD?XCBAj

（2）'：LABD-LCBA

.AB_BD

**CB~AB'

又AB=6,BC=10

.AB23618

??DDDn=----=—=—?

CB105

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

19.△ABC在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示.

①以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△AiBiC,使其位似比為1：2.且4A,B,C位于點(diǎn)C的異

側(cè)，并表示出Ai的坐標(biāo).

②作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的圖形4A2B2C.

③在②的條件下求出點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【答案】①作圖見(jiàn)解析，點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（3,-3）；②作圖見(jiàn)解析；③督兀

【分析】①延長(zhǎng)AC到Ai使AiC=2AC,延長(zhǎng)BC到以使BiC=2BC,貝必A1B1C滿(mǎn)足條件;

②利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2,從而得到AAzB2c.

③先計(jì)算出OB的長(zhǎng)，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

【詳解】解：①如圖，△AiBiC為所作，點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（3,-3）；

②如圖，AA2B2c為所作；

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-位似變換：畫(huà)位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中

心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得

到放大或縮小的圖形.也考查了旋轉(zhuǎn)變換.

20.如圖，在梯形4BCD中AD||BC,點(diǎn)、F,E分另U在線段BC,4c上，1.ZF4C=AADE,AC=AD

⑴求證：DE=AF

(2)若A4BC=NCDE,求證：AF2=BF-CE

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ACME=N4CF,再根據(jù)三角形的全等的判定可得AZMEWA4CF,

然后根據(jù)全等的三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得N4FC=4DEA,從而可得乙4F8=NCED,再根據(jù)相似三角形的判定

可得△力BF?△CDE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)證明：AD||BC,

???Z.DAE=Z.ACF,

Z.DAE=Z-ACF

在和△4CF中，AD=CA，

Z.ADE=4CAF

DAE=Ai4CF(ASA),

???DE=AF.

(2)證明：???△ZME=LACF,

???Z.AFC=Z.DEAf

???180°-/-AFC=180°-乙DEA,^Z,AFB=4CED,

在△,和△血中，｛發(fā)覆:靄,

???AABF~&CDE,

.AF_BF

"CE—DE'

由(1)已證：DE=AF,

_AF__BF_

"CE~AF,

AF2=BF-CE.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.綜合與實(shí)踐

主題：制作無(wú)蓋正方體形紙盒

素材：一張正方形紙板.

步驟1：如圖1,將正方形紙板的邊長(zhǎng)三等分，畫(huà)出九個(gè)相同的小正方形，并剪去四個(gè)角上的小正方形；

步驟2：如圖2,把剪好的紙板折成無(wú)蓋正方體形紙盒.

猜想與證明:

圖1圖2

(1)直接寫(xiě)出紙板上乙48c與紙盒上乙4181cl的大小關(guān)系;

⑵證明(1)中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

【答案】(1)N4BC=z"BiQ

⑵證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)AABC和A&B1C1均是等腰直角三角形，N4BC=44/16=45。；

(2)證明AABC是等腰直角三角形即可.

【詳解】(1)解：乙4BC=乙4/iQ

(2)證明：連接4C,

設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1,則AC=BC=V12+22=Vs,AB=V12+32=VTU,

VAC2+BC2=5+5=叔，

??.△ABC為等腰直角三角形，

=B[C]=1,力iG±BiQ,

??.△必當(dāng)?shù)臑榈妊苯侨切危?/p>

Z.ABC—=45°,

故/ABC=zHiBiCi

【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解答此題的關(guān)

鍵.

22.如圖，一次函數(shù)丫=for+((k為常數(shù)，k力0)的圖象與反比例函數(shù)y=?(爪為常數(shù)，小70)的圖象

在第一象限交于點(diǎn)4(1,n),與x軸交于點(diǎn)8(-3,0).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)P在x軸上，a/lBP是以4B為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為y=5%+[,反比例函數(shù)的解析式為y=：

(2)(-8,0)或(2,0)或(5,0)

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案；

(2)首先利用勾股定理求出得4B的長(zhǎng)，再分兩種情形討論即可.

【詳解】(1)解：把點(diǎn)B(—3,0)代入一次函數(shù)y=依+：得，

9

—3k+1=°,

4

解得：k=j

4

故一次函數(shù)的解析式為y=|x+￡

把點(diǎn)4(1,幾)代入y=-x+得=-+-=3,

???4(1,3),

把點(diǎn)4(1,3)代入丫=?,得巾=3,

故反比例函數(shù)的解析式為y=|；

(2)解：B(-3,0),力(1,3),AB=732+[1-(-3)]2=5,

當(dāng)ZB=PB=5時(shí)，P(-8,0)或(2,0),

當(dāng)R4=4B時(shí)，點(diǎn)P,B關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，

P(5,0),

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一8,0)或(2,0)或(5,0).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，

運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵.

23.【原創(chuàng)題】如圖，AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC,C4上運(yùn)動(dòng)，滿(mǎn)足

AD=BE=CF.

c

E

I\

ADB

⑴求證：AADFmABED；

(2)設(shè)力。的長(zhǎng)為尤，△DEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)結(jié)合(2)所得的函數(shù)，描述ADEF的面積隨4。的增大如何變化.

【答案】(1)見(jiàn)詳解

(2)y=W%2_3百久+4V3

(3)當(dāng)2Vx<4時(shí)，AOEF的面積隨40的增大而增大，當(dāng)0<x<2時(shí)，ADEF的面積隨4。的增大而減小

【分析】(1)由題意易得4F=BD,乙4=NB=60。，然后根據(jù)“SAS”可進(jìn)行求證；

(2)分別過(guò)點(diǎn)C、尸作CHLAB,FG1AB,垂足分別為點(diǎn)H、G,根據(jù)題意可得SA^BC=4瓜4尸=4—

%,然后可得FG=/(4-x),由(1)易得4ADFWABED三ACFE,則有S-DF=SABED=S^CFE=

yx(4-x),進(jìn)而問(wèn)題可求解；

(3)由(2)和二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)證明：???△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

：.Z.A=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=4,

'：AD=BE=CF,

：.AF=BD=CE,

在△力DF和ABED中，

AF=BD

乙4=Z-B,

AD=BE

：.△ADF三△BED(SAS)；

(2)解：分別過(guò)點(diǎn)C、尸作CHI力B,FG1AB,垂足分別為點(diǎn)〃、G,如圖所示：

c

在等邊△力BC中，=ZB=AACB=60°,AB=BC=AC=4,

.,.C//=i4C-sin60°=2V3,

???SMBC=?CH=4g,

設(shè)2D的長(zhǎng)為x,貝?。?D=BE=CF=x,AF=4-x,

：.FG=AF-sin60°=亨(4-x),

?'?^hADF=,FG=亨x(4—%),

同理(1)可知AAOF任BED=△CFE,

^^ADF=SABED=S^CFE彳*(4—%)，

的面積為y,

?'?y=SXABC3sAADF=4V3—j-x(4—%)=---x2—3V3x+4V3；

解：由(可知：y=—x2-3V3x+443,

(3)2)4

?'?a=乎>0,對(duì)稱(chēng)軸為直線式=-2,

4

2X幽4

當(dāng)尤>2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減小；

即當(dāng)2<x<4時(shí)，ADEF的面積隨4D的增大而增大，當(dāng)0<%<2時(shí)，△DEF的面積隨4。的增大而減小.

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)、二次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)、二

次函數(shù)的綜合及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【幾何模型】手拉手模型

24.如圖1,AABC是等邊三角形，點(diǎn)。在△ABC的內(nèi)部，連接AQ,將線段AO繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)60。，得到線段AE,連接B。，DE,CE.

(1)判斷線段2D與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；

(2)延長(zhǎng)ED交直線BC于點(diǎn)F.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)2重合時(shí)，直接用等式表示線段AE,BE和5的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)歹為線段中點(diǎn)，且即=EC時(shí)，猜想的度數(shù)，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)80=CE,理由見(jiàn)解析

(2)①BE=AE+CE；②484。=45。，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得到△4BD三△4CE(SAS),再由全等三角形的性質(zhì)求

解；

(2)①根據(jù)線段2D繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到4E得到△力DE是等邊三角形，

由等邊三角形的性質(zhì)和(1)的結(jié)論來(lái)求解；②過(guò)點(diǎn)A作4G，EF于點(diǎn)G,連接AF,根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)和銳角三角函數(shù)求值得到4BAF=NZMG,—=進(jìn)而得到ABADSAFAG,進(jìn)而求出N4DB=90。，

ADAB

結(jié)合=EO=￡C得到BO=40,再用等腰直角三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】(1)解：BD=CE.

證明：是等邊二角形,

：.AB=AC,Z.BAC=60°.

??,線段40繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到ZE,

：.AD=AE,/.DAE=60°,

：.^BAC=乙DAE,

：.^BAC-ADAC=乙DAE-乙DAC,

即々BAD=/.CAE.

在△ABO和中

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE，

、AD=AE

：.△ABDACE{SAS},

：.BD=CE-,

(2)解：①BE=HE+CE

理由：：線段40繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到4E,

；.△ADE是等邊三角形，

：.AD=DE=AE,

由(1)得BD=CE,

：.BEDE+BDAE+CE；

②過(guò)點(diǎn)A作4G_LEF于點(diǎn)G,連接AR如下圖.

.,△4DE是等邊三角形，4GIDE,

1

\^LDAG=-Z-DAE=30°,

2

——AG=cosZ-Dr\AAG=——v3

AD2

△是等邊三角形,點(diǎn)廠為線段5c中點(diǎn)，

BF=CF,AF1BC,Z.BAF=-ABAC=30°,

2

—AF=cosZ,-DBA/iFl=——V3

AB2

AF

ABAF="AG,第

AB"

：.^BAF+Z-DAF=/-DAG+Z-DAF,

=/.FAG,

??△BADFAG9

：./.ADB=/-AGF=90°.

?：BD=CE,ED=EC,

：.BD=ADf

即△48。是等腰直角三角形，

：.Z.BAD=45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相

似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵.

25.已知拋物線〉=/+法+°與％軸交于4-2,0)、8(6,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)尸在直線8C下方的拋物線上，連接A尸交BC于點(diǎn)當(dāng)會(huì)最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及受的最大

AMAM

值；

(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線/,在/上是否存在點(diǎn)D使△BCD是直角三角形，若存在，

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=ix