壓軸題解題模板03

幾何背景下的線段最值問(wèn)題

目錄

|5下型H解｝I讀）

題型一垂線段最短問(wèn)題

題型二將軍飲馬問(wèn)題

題型三旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題

幾何背景下的線段最值問(wèn)題

題型三旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題題型一垂線段最短問(wèn)題

題型二將軍飲馬問(wèn)題

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問(wèn)題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

線段最值問(wèn)題在中考中常常以選擇題和填空題的

考試熱度

形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類(lèi)題型多綜合考查

垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題，一般要用到

特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二

次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與

化歸等數(shù)學(xué)思想.此類(lèi)題型常涉及以下問(wèn)題:①線段和

差最值問(wèn)題;②尺規(guī)作圖問(wèn)題;③旋轉(zhuǎn)“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題;

④點(diǎn)到直線的距離最值問(wèn)題等.

題型一垂線段最短問(wèn)題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為垂線段最短模型

利用模型技巧構(gòu)造垂線段，確定動(dòng)點(diǎn)位置

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計(jì)算

技巧精講：垂線段最短模型

模型問(wèn)題情境圖示技巧

已知直線/外一定點(diǎn)A和直線1上A

過(guò)點(diǎn)4作48JJ于點(diǎn)B,48即為所求距離

垂線段最短一動(dòng)點(diǎn)3,求4,8之間距離的最小

人的最小值

值8’BB”

A

已知4408的內(nèi)部有一定點(diǎn)P,在作點(diǎn)P關(guān)于直線0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'

作對(duì)稱(chēng)+垂線段最短O(píng)A上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,作PW1O4于點(diǎn)M,與08相交于點(diǎn)N,

使得PN+MN的值最小0-BP'M即為所求的最小值

【例1】如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,點(diǎn)。是斜邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。

分別作。于點(diǎn)OVLAC于點(diǎn)N,連接MN,則線段MN的最小值為（）

52

【變式1T】如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,A。是/BAC的平分線，點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn).若CD

=5,則。E的最小值等于（）

【變式1-2］如圖,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,

以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是（

A-TB.1C.V2D.|

題型二將軍飲馬問(wèn)題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為“將軍飲馬"模型

利用模型技巧作對(duì)稱(chēng)點(diǎn)并連線，確定動(dòng)點(diǎn)位置

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計(jì)算

技巧精講:

1、〃將軍飲馬”模型

模型問(wèn)題情境圖示技巧

已知直線1異側(cè)的兩定點(diǎn)4,&在直A

線1上找一點(diǎn)尸，使得以+總的值連接AB與直線l交于點(diǎn)PyAB即為所求的最小值

最小

“兩定一動(dòng)”

已知直線1同側(cè)的兩定點(diǎn)4,當(dāng)在直A

作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)*，連接力*與直線1

線1上找一點(diǎn)尸,使得PA+PB的值

交于點(diǎn)匕4"即為所求的最小值

最小加

Pl

已知NAOB內(nèi)部有一定點(diǎn)P,在。4分別作點(diǎn)P關(guān)于直線。4,。8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',產(chǎn)，連接

“一定兩動(dòng)”上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)N,使P'P",交OA,OB于點(diǎn)M,N,P'P"即為APMN周長(zhǎng)

得△口!/N的周長(zhǎng)最小x的最小值

-

模型問(wèn)題情境技巧

名

已知440B內(nèi)部有兩個(gè)定點(diǎn)P,Q,分別作P,Q關(guān)于直線OA,0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P',Q',連

“兩定兩動(dòng)”在。4上找一點(diǎn)M,在0B上找一點(diǎn)接PQ',分別交Q4,0B于點(diǎn)M,N,PQ+PQ的值

M使得四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小即為四邊形PQNM周長(zhǎng)的最小值

。

A

已知4〃。，匕4之間的距離為d,將點(diǎn)A向下平移d個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)1,連接A'B交

在1/上分別找”,N兩點(diǎn)，使得d\A'<_/直線4于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)M,/VB+

N、%

MNll,,S.AM+MN+NB的值最小MN即為所求的最小值

B

“架橋”問(wèn)題已知直線1同側(cè)的兩定點(diǎn)4潭,在直將點(diǎn)4向右平移d個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)4,作點(diǎn)火關(guān)

4I~

線/上找M,N兩點(diǎn)（M在N左側(cè)），弋'B于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4",連接A"B交直線1于點(diǎn)N,將

1

使得MN=d,且AM+MN+NB的值點(diǎn)N向左平移d個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)M,A"B+MN即

V

最小4〃為所求的最小值

2、線段差最大值問(wèn)題模型:

模型問(wèn)題情境圖示技巧

已知直線Z同側(cè)的兩定點(diǎn)4,凡在直A

連接48并延長(zhǎng)，與直線1交于點(diǎn)尸,48即為所求的

同側(cè)線1上找一點(diǎn)P,使得1尸4-PB1的

最大值

值最大X

已知直線1異側(cè)的兩定點(diǎn)兒&在直A

作點(diǎn)B關(guān)于直線1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)小，連接4"并延長(zhǎng)與

異側(cè)線1上找一點(diǎn)P,使得1P4-PB1的-----?>1

直線1交于點(diǎn)匕4*即為所求的最大值

值最大Br

【例2】（德州中考）如圖，正方形4BC。的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E在BC上，CE=2.點(diǎn)M是對(duì)角線8。上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+CM的最小值是（)

C.2任D.4713

【變式2-1］（荷澤中考）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M是對(duì)角線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

CF=BF,則的最小值為（）

C.V3D.2

【變式2-2］如圖，等腰三角形A3C的底邊8C長(zhǎng)為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,A2于點(diǎn)E,

F,。為邊的中點(diǎn)，M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若△COM的周長(zhǎng)的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積

為（）

A.78B.39C.42D.30

【變式2-3】已知點(diǎn)尸在/MQV內(nèi).

⑴如圖①，點(diǎn)尸關(guān)于射線OM、ON的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是G、H,連接OG、OH、OP、CH.

①若/MON=30。,則AOGH是什么特殊三角形？為什么？

②若NMON=90。,試判斷G”與OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，若/MON=30。，A、8分別是射線OM、ON上的點(diǎn)，A3LON于點(diǎn)B,點(diǎn)尸、。分別為OAAB

上的兩個(gè)定點(diǎn)，且Q3=L5,OP=AQ=2,在03上有一動(dòng)點(diǎn)E,試求尸E+QE的最小值.

【變式2-4](2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點(diǎn)尸在對(duì)角線3D上,

過(guò)點(diǎn)尸作交邊AD,8C于點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作交3D于點(diǎn)￡,連接EN,BM,DN.下

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列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形"BAD的面積不變；③當(dāng)AM:MD=1:2時(shí)，SAMP￡=—；?BM+MN+ND

的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

題型三旋轉(zhuǎn)最值問(wèn)題

解題模板:

根據(jù)條俏斷該題為旋轉(zhuǎn)最值模型

根據(jù)模型技巧進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖

借助幾何關(guān)系或勾股定理列式計(jì)算

技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型

類(lèi)別問(wèn)題情境圖示技巧.

A

已知△48C內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接將△4PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到△即C,連接

“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題求P4+P8+PC的PO,8M當(dāng)B,P,O,E四點(diǎn)共線時(shí)，尸4+P8+PC取

最小值紗得最小值，最小值為BE

BC

已知在四邊形ABPC中，=將△回「繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到△4＜戶(hù),連接

三角形三邊

PC,AB=a,AC=b,乙BPC=Q,一A4',當(dāng)4,C,4'三點(diǎn)共線時(shí),/bC的值最大，此時(shí)4P

關(guān)系問(wèn)題

求4尸的最大值\的值最大

P

【例3】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高上的動(dòng)點(diǎn).連

接CE,將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到C/.連接AT,EF,DF,貝UACD廠周長(zhǎng)的最小值是.

【變式3-1】如圖，在AABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，求X4+PB+PC的最小值

為.

p.

【變式3-2］如圖，已知矩形AB。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為8c邊上任意一點(diǎn)，則

MA+MD+ME的最小值為.

BE

【變式3-3］如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2P3+6PC的最小值.

一、單選題

1.如圖，YABCD的面積為12,AC=3D=6,AC與30交于點(diǎn)。分別過(guò)點(diǎn)C,。作BD,AC的平行線

相交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G是8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是四邊形OCED邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）

D

G

B.立C.-D.3

2.已知在RhACB中，ZC=90°,ZABC=75°,AB=5.點(diǎn)E為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為邊A3上的動(dòng)點(diǎn),

則線段FE+EB的最小值是（）

C

A.在B.-C.加D.也

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二、填空題

3.如圖，P是菱形A8CD對(duì)角線8。上一點(diǎn)，PELA8于點(diǎn)E,PE=4cm,

則點(diǎn)P到BC的距離是cm.

4.如圖，在"LBC中，NC=90o,AC=3C=6.P為邊A3上一動(dòng)點(diǎn)，作PDL3c于點(diǎn)。，PELAC于點(diǎn)E,

則DE的最小值為.

A

5.如圖，在RtaABC中，NACB=90。，ZABC=30°,AC=4,按下列步驟作圖：①在AC和A3上分別

截取AD、AE,使=②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/54C

內(nèi)交于點(diǎn)③作射線AM交BC于點(diǎn)足若點(diǎn)P是線段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,貝。。尸+：4尸的最小

值是.

6.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,—ABO45。，點(diǎn)尸、。分別是3C、3。上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為.

7.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)C在直線MN上，NBCN=60。,點(diǎn)尸為MN上一動(dòng)

點(diǎn)，連接AP,BP.

(I)使AP+3尸取最小值的動(dòng)點(diǎn)尸的位置在點(diǎn)C的側(cè).(填“左''或"右”).

(II)當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出NCBP的度數(shù)..

三、解答題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,3).點(diǎn)8的坐標(biāo)為(-3,1),

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-2).

⑴作出AABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的AA