第2章有理數(shù)的運算全章復習與測試

0【知識梳理】

—.有理數(shù)的加法

（1）有理數(shù)加法法則：

①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.

②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的

兩個數(shù)相加得0.

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0.從而確定用那一條法

則.在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”.）

（2）相關運算律

交換律：a+b—b+a；結合律（a+b）+c—a+（b+c）.

二.有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：a-b=a+（-b）

（2）方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)的性質符號（減

數(shù)變相反數(shù)）；

【注意】：在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算.

三.有理數(shù)的加減混合運算

（1）有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法.

（2）方法指引：

①在一個式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉化成加法，并寫成省略括號的和的形

式.

②轉化成省略括號的代數(shù)和的形式，就可以應用加法的運算律，使計算簡化.

四.有理數(shù)的乘法

（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

（2）任何數(shù)同零相乘，都得0.

（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)

個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0.

（4）方法指引：

①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.

②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單.

五.倒數(shù)

（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，。?工=1（aWO）,就說a（aWO）的倒數(shù)是工.

aa

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要.倒

數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法

求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“-”即可

求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一

求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數(shù).

六.有理數(shù)的除法

（1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a+?工（bWO）

b

（2）方法指引：

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.

（2）有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負，并把絕

對值相除”.如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分.乘除混合運

算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左到右.

七.有理數(shù)的乘方

（1）有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.

乘方的結果叫做暴，在a"中，a叫做底數(shù)，。叫做指數(shù).a"讀作。的。次方.（將a"看作是a的。次方的結

果時，也可以讀作a的八次幕.)

(2)乘方的法則：正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)；0的任何正整

數(shù)次幕都是0.

(3)方法指引:

①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定塞的符號，然后再計算幕的絕對值；

②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除，最后做加減.

指數(shù)

八.非負數(shù)的性質：偶次方

偶次方具有非負性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.

九.有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；

如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉化為

分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為

整數(shù)的兩個數(shù)分別結合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

十.科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成aXIO"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，

這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aX10",其中：LWa<10,"為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結：

①科學記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1：按此規(guī)

律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)n.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此法表示，只是

前面多一個負號.

1【考點剖析】

有理數(shù)的加法（共6小題）

1.（2022秋?蘭溪市期末）比-2大1的數(shù)（）

A.-3B.-1C.」D.2

2

【分析】利用題意列出算式解答即可.

【解答】解：-2+1=-1,

...比-2大1的數(shù)是-1.

故選：B.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加法，利用題意列出算式是解題的關鍵.

2.（2022秋?漢陽區(qū)校級期末）若尤的相反數(shù)是2,|y|=5,則x+y的值為（）

A.-7B.7或3C.7或-3D.3或-7

【分析】x的相反數(shù)是2,|y|=5得出對應的x,y的值.

【解答】解：的相反數(shù)是2,

.'.X--2.

,?,|y|=5,

±5.

；.x+y=-7或3.

故選：D.

【點評】本題考查相反數(shù)，絕對值的知識點，掌握相反數(shù)，絕對值定義在實際問題中的應用，有理數(shù)的

加減運算是解題關鍵.

3.（2023?秀洲區(qū)校級二模）計算：（-2）+3的結果是（）

A.-5B.-1C.1D.5

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則：絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的

絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

【解答】解：（-2）+3=3-2=1

故選：C.

【點評】此題主要考查了有理數(shù)的加法，關鍵是掌握異號兩數(shù)相加的計算法則，注意結果符號的判斷.

4.（2022秋?長興縣月考）若兩個有理數(shù)A、8滿足A+B=8,則稱A、B互為“吉祥數(shù)”.如5和3就是一

對''吉祥數(shù)”.回答下列問題：

⑴求-5的“吉祥數(shù)”；

（2）若標的“吉祥數(shù)”是-4,求x的值；

（3）尤和9能否互為“吉祥數(shù)”？若能，請求出；若不能，請說明理由.

【分析】（1）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義即可得到答案；

（2）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義列出方程即可解決問題；

（3）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義，計算尤的值判斷即可.

【解答】解：（1）根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義可得，

-5的吉祥數(shù)為8-（-5）=13,

/.-5的吉祥數(shù)為13；

（2）由題意得，3x-4=8,

解得尤=4,

答：尤的值是4；

（3）能，

由題意得，x+9=8,

則x=-1,

??.X和9可以互為“吉祥數(shù)”.

【點評】本題考查了有理數(shù)的加法運算、“吉祥數(shù)”的定義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識

解決問題.

5.（2022秋?新昌縣期中）設計一個可用加法計算的實際問題，要求用一個正數(shù)和一個負數(shù)的加法來解決,

寫出算式并說明結果的實際意義.

【分析】畢業(yè)的學生用負數(shù)表示,招收的新生用正數(shù)表示,根據(jù)有理數(shù)的加法的意義列出算式-347+289,

再根據(jù)有理數(shù)的加法的計算法則計算即可求解.

【解答】解：實際問題：某校上半年畢業(yè)學生347人.下半年招收新生289人，用有理數(shù)加法計算該校

這一年學生的增減情況.

-347+289=-58（人）.

說明該校這一年學生減少了58人.

【點評】考查了有理數(shù)的加法，關鍵是根據(jù)題意正確列出算式進行計算.

6.(2021秋?越城區(qū)期中)王先生到市行政中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1,向下一樓記作-1,

王先生從1樓出發(fā)，電梯上下樓層依次記錄如下(單位：層)：+6,-3,+10,-8,+12,-7,-10.

(1)請你通過計算說明王先生最后是否回到出發(fā)點1樓.

(2)該中心大樓每層高3m,電梯每向上或下1根需要耗電0.2度，根據(jù)王先生現(xiàn)在所處位置，請你算算，

他辦事時電梯需要耗電多少度？

【分析】(1)把上下樓層的記錄相加，根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則進行計算，如果等于0則能回到1樓，

否則不能；

(2)求出上下樓層所走過的總路程，然后乘以0.2即可得解.

【解答】解：(1)(+6)+(-3)+(+10)+(-8)+(+12)+(-7)+(-10),

=6-3+10-8+12-7-10,

=28-28,

=0,

王先生最后能回到出發(fā)點1樓；

(2)王先生走過的路程是3X(|+6|+|-3|+|+10|+|-8|+|+12|+|-7|+|-10|),

=3X(6+3+10+8+12+7+10),

=3X56,

=168(m),

他辦事時電梯需要耗電168X0.2=33.6(度).

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加法運算，(2)中注意要求出上下樓層的絕對值，而不是利用(1)中

的結論求解，這是本題容易出錯的地方.

有理數(shù)的減法(共2小題)

7.(2022秋?鹿城區(qū)期中)計算1-3的結果是()

A.2B.4C.-4D.-2

【分析】原式利用減法法則計算即可求出值.

【解答】解：原式=1+(-3)

=-2.

故選：D.

【點評】此題考查了有理數(shù)的減法，熟練掌握減法法則是解本題的關鍵.

8.(2021秋?吳興區(qū)期中)閱讀理解：

數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點表示的數(shù)進行減法運算得到，例如圖，線段AB=l=0-(-1)；線段

BC=2=2-0；線段AC=3=2-(-1)

問題

(1)數(shù)軸上點M、N代表的數(shù)分別為-9和1,則線段MN=10；

(2)數(shù)軸上點E、F代表的數(shù)分別為-6和-3,則線段EF=3；

(3)數(shù)軸上的兩個點之間的距離為5,其中一個點表示的數(shù)為2,則另一個點表示的數(shù)為相，求相.

ABC

―:2:161234^

【分析】(1)根據(jù)點M、N代表的數(shù)分別為-9和1,可得線段MN=1-(-9)；

(2)根據(jù)點E、尸代表的數(shù)分別為-6和-3,可得線段石/=-3-(-6)；

(3)根據(jù)一個點表示的數(shù)為2,另一個點表示的數(shù)為〃2,即可得到加-2|=5.

【解答】解：(1):點〃、N代表的數(shù)分別為-9和1,

二線段A/N=l-(-9)=10；

故答案為：10；

(2)；點E、尸代表的數(shù)分別為-6和-3,

.?.線段EF=-3-(-6)=3；

故答案為：3；

(3)由題可得，\m-2|=5,

解得m=-3或7,

加值為-3或7.

【點評】此題考查了有理數(shù)的減法，數(shù)軸以及兩點間的距離，弄清題意是解本題的關鍵.

三.有理數(shù)的加減混合運算(共5小題)

9.(2020秋?吳興區(qū)校級期中)下列各式可以寫成a-b+c的是()

A.a-(+6)-(+c)B.a-(+b)-(-c)

C.a+(-6)+(-c)D.a+(-b)-(+c)

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算的符號省略法則化簡，即可求得結果.

【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算的符號省略法則化簡，得，

A的結果為a-b-c,

B的結果為a-b+c,

C的結果為a-b-c,

D的結果為a-b-c,

故選：B.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的加減混合運算，化簡即可.去括號法則為+(+)=+,+(-)=-,-

(+)=-,-(-)=+.

10.(2022秋?衢江區(qū)校級月考)下列各式中與2-3+4相等的是()

A.2-(+3)-(+4)B.2-(+3)-(-4)

C.2+(-3)+(-4)D.2+(-3)-(+4)

【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法則進行計算，再根據(jù)有理數(shù)大小比較法則進行判斷.

【解答】解：2-3+4=-1+4=3,

A.原式=-1-4=-5=3,選項不符合題意；

B.原式=-1+4=3,選項符合題意；

C.原式=-1-4=-5W3,選項不符合題意；

D.原式=-1-4=-5W3,選項不符合題意；

故選：B.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)加減法則，有理數(shù)大小比較法則，熟記這兩個法則是解題的關鍵.

11.(2022秋?衢江區(qū)校級月考)設同表示取。的整數(shù)部分，例如：[2,31=2,[5]=5,[-4—]=-5-

3

⑴求+的值；

(2)令｛a｝=a-[a],求｛號｝-[-2.4]+｛-申-

【分析】(1)根據(jù)題意⑷表示取。的整數(shù)部分即可求解；

(2)先根據(jù)｛a｝=。-同，將｛得｝-[-2.4]+｛4｝化成21-2十2.4]+(-6^)-(-7),再根

據(jù)⑷表示取a的整數(shù)部分即可求解.

【解答】解：⑴[21]+[-3.6]-[-7]

=2+(-4)-(-7)

=2+(-4)+7

⑵{*)-[-2.4]+{-法)

=22-2-(-3)+(-6工)-(-7)

=2苫-2+3+（-6工）+7

44

=4—.

2

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運算，理解題意掌握有理數(shù)的加減混合運算法則是解題的關

鍵.

12.（2022秋?椒江區(qū)校級月考）在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉，例如：|6+7|=

6+7；|6-7|=7-6；|7-6|=7-6；|-6-7|=6+7.

（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；①17-211=21-7；②-一乙|=

1718

17.18一

（2）用合理的方法計算：|上

5.H455^742I-I42

(3)用簡單的方法計算：a-ii+a-士+心-A|+|_L-…+i

232435420212020

【分析】（1）根據(jù)去絕對值法則去掉絕對值即可;

（2）先去絕對值，再計算;

（3）先去掉絕對值，再把相加得。的先相加即可.

故答案為：①21-7,②二-上

18

(2)原式=&-a+2-150

557525572

(3)原式=1-—+—-—+—-—+—-—+.....+-------

223344520202021

2021

_2020

2021,

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握去絕對值的方法.

13.(2022秋?南湖區(qū)校級月考)點A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)°、b,則A、8兩點之間的表示為距離

AB=\a-b\,利用數(shù)形結合思想回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和-1的兩點之間的距離為3.

(2)數(shù)軸上表示x和-1兩點之間的距離為|x+11.若x表示一個有理數(shù)，且-4<x<2,則|x-2|+|x+4|

=6.

(3)數(shù)軸上從左到右的三個點A,B,C所對應的數(shù)分別為a,b,c.其中48=2020,BC=1000,如圖

2所示.

①若以8為原點，寫出點A,C所對應的數(shù)，并計算a+6+c的值.

②若。是原點，且。8=18,求a+b-c的值.

ABC

??1,1,1?|>

-6-5-4-3-2-10123456

圖1

20201000

----------二--------------------------------i-------------->

A-------------BC

圖2

【分析】(1)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離直接求解即可；

(2)根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離，可得x和-1兩點之間的距離為仇-(-1)|；再根據(jù)絕對值的性質計算

即可；

(3)①根據(jù)題意分別求出。、b、c的值，再代入計算即可；

②根據(jù)題意分別求出。、。、c的值，再代入計算即可.

【解答】解：(1)數(shù)軸上表示2和-1的兩點之間的距離為：2-(-1)=3,

故答案為：3；

(2)數(shù)軸上表示％和-1兩點之間的距離為|%-(-1)|=|X+1|；

:-4<x<2,

Ak-2|+k+4|

=-(x-2)+(x+4)

=-x+2+x+4

=6.

故答案為:k+i|；6；

（3）①若以8為原點，貝!]a=-2020,b=Q,c=1000,

：.a+b+c=-2020+0+1000=-1020；

②若。是原點，且。8=18,

當。在點2的左側時，a=-2020+18=-2002,b=18,c=1000+18=1018,

此時a+b-c=-2002+18-1018=-3002；

當。在點8的右側時，a=-2020-18=-2038,b=-18,c=1000-18=982,

此時a+b-c=-2038-18-982=-3038.

綜上所述，a+b-c的值為-3002或-3038.

【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法，絕對值的幾何意義是解

題的關鍵.

四.有理數(shù)的乘法（共4小題）

14.（2020秋?溫州月考）計算8義（-A）的結果是（）

2

A.16B.-16C.-4D.4

【分析】兩數(shù)相乘，異號得負，并把絕對值相乘.

【解答】解：8X（-1）=-（8XA）=-4.

22

故選：C.

【點評】本題主要考查的是有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關鍵.

15.（2022秋?溫州期末）計算：-工*4=-2.

2

【分析】先確定符號，再約分.

【解答】解：-1x4=-2.

2

故答案為：-2.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關鍵.

16.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）已知：\a\=2,\b\=5,若|a-例=a-6,則一=±10

【分析】根據(jù)絕對值的意義先確定。、6的值，再計算。與b的積.

【解答】解：?.,同=2,\b\=5,

；.a=±2,b=±5.

'：\a-b\^0,

.'.a-b》0,

.'.a=+2,b=-5.

：.ab=±2X（-5）=±10.

故答案為：±10.

【點評】本題主要考查了絕對值的意義，理解絕對值的意義是解決本題的關鍵.

17.（2022秋?湖北期末）如果4個不等的偶數(shù)很，n,p,g滿足（3-M（3-n）（3-p）（3-q）=9,那么

m+n+p+q等于12.

【分析】根據(jù)題意可知（3-m\（3-"）、（3-p）、（3-q）均為整數(shù)，然后將9分解因數(shù)即可求得答案.

【解答】解：?，小n,0,4是4個不等的偶數(shù)，

（3-（3-〃）、（3-p）、（3-q）均為整數(shù).

：9=3X1X（-1）X（-3）,

,可令3-機=3,3-n=\,3-p=-3-q=-3.

解得：m—0,n—2,p—4,q—6.

m+n+p+q—0+2+4+6—12.

故答案為：12.

【點評】本題主要考查的是有理數(shù)的乘法，判斷出（3-加）、（3-〃）、（3-p）、（3-q）均為整數(shù)是解題

的關鍵.

五.有理數(shù)的除法（共4小題）

18.（2012秋?臺州期中）計算：（-4）小（4）的結果是（）

A.-8B.8C.2D.-2

【分析】根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)進行計算即可求解.

【解答】解：（-4）+（-1）=4X2=8.

2

故選：B.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)的除法運算，是基礎題，有理數(shù)的運算要注意運算符號的處理，這也是

七年級同學最容易出錯的地方.

19.（2022秋?余杭區(qū)校級月考）（1）」■+（-5）+（-0.25）；

123

（2）-99^X34.

17

【分析】（1）先確定最后結果的符號，并變除法運算為乘法進行求解;

(2)先確定結果的符號，再運用乘法分配律進行計算.

【解答】解：(1)上+(-$)+(-0.25)

123

=工

5,

(2)-99—X34

17

=-(100-2)X34

17

=-(100X34-2x34)

17

=-(3400-4)

=-3396.

【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算能力，關鍵是能準確確定正確的運算順序和方法.

20.(2022秋?杭州月考)(1)士■+(-!*)+(-0.25)；

123

(2)-99型義34.

17

【分析】(1)原式利用除法法則變形，約分即可得到結果；

(2)原式變形后，利用乘法分配律計算即可求出值.

【解答】解：(1)原式=」-X3X4

125

—,—1;

5

(2)原式=(-100+2)X34

17

=-100X34+2x34

17

=-3400+4

=-3396.

【點評】此題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

21.(2022秋?越城區(qū)期中)閱讀下題解答：

計算：(二-).(2二/).

k24；k348；

分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值.

解：小一侏）嗚高專

/4X(-24)16+18-21=-19.

所以原式=-°.

19

2

根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：（一9）+[_|W+（V）X（-6）].

【分析】原式根據(jù)閱讀材料中的計算方法變形，計算即可即可得到結果.

【解答】解：根據(jù)題意得：-工+5+(-2)2x(-6)]-(-A)

237342

=[l-l+5+4x(-6)]X(-42)

2379

=-21+14-30+112

=75,

則原式=」_.

75

【點評】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

六.有理數(shù)的乘方（共3小題）

22.（2022秋?永康市期中）-32的值等于（）

A.-9B.9C.6D.-6

【分析】利用有理數(shù)的乘方判斷.

【解答】解：-32=-9,

故選:A.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘方.

23.（2019秋?蕭山區(qū)期中）計算：23=8.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方計算即可

【解答】解:23=8.

故答案為：8.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義.

3

24.（2022秋?寧波期中）已知⑷=7,廬=4,c=-8,

（1）若a〈b,求的值；

（2）若abc>0,求a-36-2c的值.

【分析】（1）根據(jù)絕對值以及平方根的定義，求得a與"進而解決此題.

（2）根據(jù)絕對值、平方根、立方根的定義解決此題.

【解答】解；(1)=13=7,廬=4,

;?4=±7,。=±2.

,:a〈b,

???當〃=7,此時b不存在；當4=-7,此時匕=2或-2.

/.a+b=-5或-9.

(2)V\a\=7,廿=4,(?=-8,

.??。=±7,Z?=±2,c=-2.

*.*abc>。,

：.ab<0.

：.a與b異號.

:?當〃=7,b=-2,此時〃-3。-2c=7-(-6)-(-4)=17；

當a=-7,b=2,止匕時a-3b-2c=-7-6-(-4)=-9.

綜上:2c=17或-9.

【點評】本題主要考查絕對值、平方根、立方根，熟練掌握絕對值、平方根、立方根的定義是解決本題

的關鍵.

七.非負數(shù)的性質：偶次方(共2小題)

25.(2020秋?金東區(qū)校級月考)若|“+2|+(6-4)2=0,則?=16.

【分析】根據(jù)絕對值和偶次方的非負數(shù)的性質列出方程求出“、b的值，代入所求代數(shù)式計算即可.

【解答】解：:a、b滿足|a+2|+(6-4)2=0,而|a+2］》0,(6-4)2^0,

.,?〃+2=0,b-4=0,

解得a=-2,b=4,

ab=(-2)4=16.

故答案為：16.

【點評】本題考查了非負數(shù)的性質：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為①

26.(2022秋?蘭溪市期中)已知(a-2)?與步+1|互為相反數(shù),求(a-6)。+"的值.

【分析】根據(jù)偶次方的非負性、絕對值的非負性、有理數(shù)的乘方解決此題.

【解答】解：由題意得：(a-2)2+|/?+l|=0.

(a-2)2>o,\b+l\^0,

.\a-2=0,Z?+l=0.

??。=2,b~~~1.

...(o-b)a+b=\2-(-1)]2+=31=3.

【點評】本題主要考查偶次方的非負性、絕對值的非負性、有理數(shù)的乘方，熟練掌握偶次方的非負性、

絕對值的非負性、有理數(shù)的乘方是解決本題的關鍵.

八.有理數(shù)的混合運算(共21小題)

27.(2022秋?杭州期末)計算：

(1)15+(-13)+18；

(2)-10.25X(-4)；

(3)-124-4X3；

(4)-23X3+2X(-3)2.

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加減法則進行計算即可；

(2)先根據(jù)負負得正消除負號，再將10.25改寫為(10+0.25),再根據(jù)乘法分配律進行計算即可；

(3)根據(jù)有理數(shù)的乘除法則計算即可；

(4)先算乘方，再算乘除，最后算加減即可.

【解答】解(1)原式=2+18

=20；

(2)原式=10.25X4

=(10+0.25)X4

=10X4+0.25X4

=41；

(3)原式=-3X3

=-9；

(4)原式=-8X3+2X9

=-24+18

=-6.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則是解題關鍵.

28.(2022秋?南湖區(qū)校級月考)簡便計算：

(1)(-A)+(-3.75)+(+3鼻)+(--li).

17417

(2)(A-1+1)X(-30).

235

【分析】(1)把同分母的和互為相反數(shù)的先相加；

(2)用乘法分配律計算.

【解答】解：(1)原式=(----)+(-3.75+3.75)

1717

=-1+0

=-1;

(2)原式=』X(-30)-Ax(-30)+工義(-30)

235

=-15+10-6

=-11.

【點評】本題考查有理數(shù)混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)運算律和相關運算的法則.

29.(2022秋?青田縣期中)小明有五張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求抽出卡片，完成下列問題.

(1)從中抽出2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是20.

(2)從中抽出4張卡片，用學過的運算方法，使結果為24,(例如-3X(-5-3+0)=24與(-5-

3+0)X(-3)=24視為同一種方法)，請你再寫出兩種不同的運算式子.

HEOQCDEU

【分析】(1)根據(jù)題意可以找到四張卡片中乘積最大的兩張；

(2)根據(jù)題意可以得到用運算符號連接結果為24的四張卡片，本題得以解決.

【解答】解：(1)由題意可得，

從中抽出2張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字乘積最大，最大值是：(-5)X(-4)=20,

故答案為：20；

(2)[0-(-3-5)]義3=24,[-5+(-3)4-3]X(-4)=24(答案不唯一).

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題的關鍵是掌握有理數(shù)相關運算的法則.

30.(2022秋?青田縣期中)規(guī)定一種新的運算：aifb=aXb-a-b+1,例如3*(-4)=3X(-4)-3-

(-4)+1.請計算下列各式的值：

(1)2*5；

(2)(-2)★(-5).

【分析】正確理解新的運算法則，套用公式直接解答.

【解答】解：⑴2*5=2X5-2-5+1

=10-7+1

=4；

(2)(-2)★(-5)=(-2)X(-5)-(-2)-(-5)+1

=10+2+5+1

=18.

【點評】此題考查有理數(shù)的混合運算，解題關鍵是嚴格按照題中給出的運算關系進行計算.

31.(2022秋?鹿城區(qū)期中)小明在計算“工+3給出了以下解答：

254

解：記s=」+±-8.

254

因為20s=20(工+旦-$)=20xl+20xA-20X-^=10+12-25=-3.

254254

所以即工+3-5=-￡.

2025420

請你模仿小明的計算方法計算：工-3+S.

386

【分析】理解題意，根據(jù)有理數(shù)的混合運算即可解答.

【解答】解：記5=1?二金，

386

：24S=24XGV*)

125

=24X《-24X5+24X冬

38b

=8-9+20

=19,

?.19

24

即上二總」1

38624

【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，理清題意和掌握有理數(shù)混合運算法則是解答本題關鍵.

32.(2022秋?杭州期中)出租車司機小張某天上午某個時段的營運全是在東西走向的文一路上進行.如果

規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午行車里程(單位：km｝如下：

+5,-3,+6,-7,+6,-2,-5,+4,+6,-8

(1)將第幾名乘客送到目的地時，小張剛好回到上午出發(fā)點？

(2)將最后一名乘客送到目的地時，小張距上午出發(fā)點多遠？在出發(fā)點的東面還是西面？

(3)若出租車的收費標準為：起步價11元(不超過3千米)，超過3千米，超過部分每千米2元.則小

張在這天上午這個時段一共收入多少元？

【分析】(1)根據(jù)正、負數(shù)的意義，求出前7個數(shù)的值為。即可得出結果；

(2)把行車里程相加，然后根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的意義解答；

(3)先求出這天的行車里程，再用行車里程乘每千米的耗油量，即可解答.

【解答】解：(1)(+5)+(-3)+(+6)+(-7)+(+6)+(-2)+(-5)=0,

答：將第7名乘客送到目的地時，小張剛好回到上午出發(fā)點.

(2)(+5)+(-3)+(+6)+(-7)+(+6)+(-2)+(-5)+(+4)+(+6)+(-8)

=5-3+6-7+6-2-5+4+6-8

=2,

答：將最后一名乘客送到目的地時，小張距上午出發(fā)點2千米，在出發(fā)點的東面.

(3)8+2X2+8+8+2X3+8+2X4+8+2X3+8+8+2X2+8+2+8+2X3+8+2X5=126(元)，

答：小張在這天上午這個時段一共收入126元.

【點評】本題考查了正數(shù)和負數(shù)以及有理數(shù)的混合運算，正確列出算式并掌握相關運算法則是解答本題

的關鍵.

33.(2022秋?仙居縣期末)計算：

(1)-2+3-5；

(2)(-1)2X5-(-2)34-4.

【分析】(1)再按照從左到右的順序，進行計算即可解答；

(2)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答.

【解答】解：(1)-2+3-5

=1-5

=-4；

(2)(-1)2X5-(-2)34-4

=1X5-(-8)4-4

=5-(-2)

=5+2

=7.

【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

34.(2021秋?金華期末)計算：

(1)-8+4+(-2)；

(2)-24-[(-2)-(-4)].

【分析】(1)先算除法，再算加減即可；

(2)先算括號內(nèi)的減法，再算除法即可.

【解答】解:(1)-8+4+(-2)

=-8-2

=-10；

(2)-2+[(-2)-(-4)]

=-2+2

=-1.

【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，

再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.進

行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

35.(2022秋?浦江縣月考)概念學習

規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)(均不等于0)的除法運算叫做除方，如2+2+2,

(-3)4-(-3)4-(-3)4-(-3)等.類比有理數(shù)的乘方，我們把2?2+2記作2③，讀作“2的圈

3次方”，(-3)4-(-3)+(-3)+(-3)記作(-3)④，讀作“-3的圈4次方”，一般地，把

a+a.+a記作a＞讀作ua的圈n次方

初步探究

(1)直接寫出計算結果：2a=1,(-1)-8；

一2一2

深入思考

我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算

如何轉化為乘方運算呢？

(2)試一試：仿照如圖的算式，將下列運算結果直接寫成哥的形式.

(3)想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈〃次方寫成累的形式等于

(4)算一算：244-23+(-16)X2?.

2④=2?2+2?2

=2XT4XT

乘方

幕的形式

【分析】根據(jù)新定義內(nèi)容列出算式，然后將除法轉化為乘法，再根據(jù)乘法和乘方的運算法則進行化簡計

算.

【解答】解：⑴2③=2+2+2=工,

2

222222

故答案為：—,-8；

2

(2)(-3)@=(-3)4-(-3)4-(-3)+(-3)=上

32

5⑥=5+5+5+5+5+5=上

54

?=(-1)4-(--1)1)4-(-1))4-(-1)4-(-1)4-(-1)

2222222

(-A)=28；

2

故答案為:上28；

3254

(3)”=a~.c.i~a.......~.a=_-----1---

n-2

a

故答案為：

n-2

a

(4)244-23+(-16)X2?

=24+8+(-16)X-L

22

=3+(-16)xl

4

=3-4

=-1.

【點評】本題屬于新定義題型，考查有理數(shù)乘除運算法則及對有理數(shù)乘方運算的理解，理解新定義內(nèi)容，

掌握有理數(shù)乘除法和有理數(shù)乘方的運算法則是解題關鍵.

36.（2022秋?浦江縣月考）已知a,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x的絕對值是2,求2/+工一匕一的

cdcd

值.

【分析】根據(jù)a,b互為相反數(shù)，c,1互為倒數(shù)，x的絕對值是2,可以得到a+6=0,cd=\,x=+2,然

后代入所求式子計算即可.

【解答】解：6互為相反數(shù)，c,1互為倒數(shù)，x的絕對值是2,

/.a+b=O,cd=l,x=+2,

當x=2時，2：+^--2a+2b

cdcd

=2X22+2-2Ia+bJ

11

=2X4+2-2義°

1

=8+2-0

=10；

當x=-2時，2?+d___2a+2b

cdcd

=2X(-2)2+---(3+bJ

11

=2X4-2-2'X」

1

=8-2-0

=6；

由上可得，2/+工-2&+2目的值為10或6.

cdcd

【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，求出a+6=0,cd=l,尤=±2,利用

分類討論的方法解答.

37.(2022秋?東陽市期中)計算：-22x2+(-6)2乂0■-/)-9+(-/).

【分析】先算乘方，括號里的運算，除法轉為乘法，再算乘法，最后算加減即可.

【解答】解:-22x2+(-6)2X(^-1)-9-=-(-1^-)

119

=-4X2+36X(y^-)-9X(力)

=-4X2+36*(-A)-9X(-2)

63

=-8-6+6

=-8.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握與運用.

38.(2022秋?鄲州區(qū)期中)已知〃、b互為相反數(shù)(〃，b不為0),c、d互為倒數(shù)，|刑=2,且機>0,求

2〃+2b+旦-(cd)2°22_3m的值.

b

【分析】由題意可得〃+。=0,cd=l,m=2,再把相應的值代入進行運算即可.

【解答】解：:〃、Z?互為相反數(shù)(。，/?不為0),c、d互為倒數(shù)，|加=2,且相>0,

??.〃+/?=(),cd=\,m=2,—=-1,

b

???2q+2b+包-(cJ)2022-3m

b

=2(〃+8)+A-(cd)2022-3m

b

=2X0+(-1)-I2022-3X2

=0-1-1-6

=-8.

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握.

39.(2022秋?寧?？h校級期中)(1)若用A、B、C分別表示有理數(shù)a,b,c,。為原點，如圖所示：

化簡：|c+a|-\a+b\-|c-Z?|；

(2)有理數(shù)a、b、m、聯(lián)、尤滿足下列條件：。與b互為倒數(shù)，相與”互為相反數(shù)，x的絕對值為最小的

正整數(shù)，求2022(/〃+")+202lx3