第09講有理數(shù)的乘方(4種題型)

二》【知識(shí)梳理】

一、有理數(shù)的乘方

1、求〃個(gè)相同因數(shù)。的積的運(yùn)算叫乘方，乘方的結(jié)果叫幕。。叫底數(shù)，〃叫指數(shù)，屋讀作：。的幾次幕(a

的〃次方)。

、指數(shù)

“底數(shù)

2、乘方的意義：a"表示〃個(gè)a相乘。a-

〃個(gè)Q

,-----------------------A-----------------------x

axaxax--xa=an

3、寫法的注意：

當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，底數(shù)一定要打括號(hào)，不然意義就全變了.

如：(—)~=(—)x(—),表示兩個(gè)—相乘.

3333

227x2

而——=------,表示2個(gè)2相乘的積除以3的相反數(shù).

33

4、a"與一a"的區(qū)別.

(1)a"表示〃個(gè)a相乘，底數(shù)是a,指數(shù)是〃，讀作：a的〃次方.

⑵一屋表示〃個(gè)。乘積的相反數(shù)，底數(shù)是a,指數(shù)是“，讀作：a的〃次方的相反數(shù).

如：(-2)3底數(shù)是—2,指數(shù)是3,讀作(-2)的3次方,表示3個(gè)(-2)相乘.

(-2)3=(-2)X(-2)X(-2)=-8.

一23底數(shù)是2,指數(shù)是3,讀作2的3次方的相反數(shù).—23=—(2X2X2)=—8.

注：(-2)3與-23的結(jié)果雖然都是一8,但表示的含義并不同。

5、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律.

(1)正數(shù)的任何次暴都是正數(shù).

(2)負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù).

(3)負(fù)數(shù)的偶次暴是正數(shù).

(4)0的奇數(shù)次幕，偶次幕都是0.

所以，任何數(shù)的偶次幕都是正數(shù)或0。

二、有理數(shù)的混合運(yùn)算

1、有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)

外面的。

2、括號(hào)前帶負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要變號(hào)，即

一(<?+/?)=—ci—b,—(a—b)=—ci+b

三.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)大于10的數(shù)記成。義10"的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，

這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法.【科學(xué)記數(shù)法形式：aXIO",其中"為正整數(shù).】

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學(xué)記數(shù)法中a的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關(guān)鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位數(shù)少1；按此規(guī)

律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)小

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學(xué)記數(shù)法表示，實(shí)質(zhì)上絕對(duì)值大于10的負(fù)數(shù)同樣可用此法表示，只是

前面多一個(gè)負(fù)號(hào).

W【考點(diǎn)剖析】

一.有理數(shù)的乘方(共11小題)

1.(2022秋?南濤區(qū)期末)下列各組數(shù)中，運(yùn)算結(jié)果相等的是()

A.(-5)3與-53B.23與32

2

C.-22^(-2)2D.號(hào))2與名

【分析】利用乘方運(yùn)算法則計(jì)算后判斷即可.

【解答】解：A、(-5)3=-125,-53=-125,故相等，符合題意；

B、23=8,32=9,故不相等，不符合題意；

C、-22=-4,(-2)2=4,故不相等，不符合題意；

D、(鼻)2上，21=旦，故不相等，不符合題意；

1644

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的意義.

2.（2022秋?蒼南縣期中）把2x2x2x2x2寫成賽的形式是（2）5.

333333

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方得出結(jié)論即可.

【解答】解：—X—X—X—X—=（2）5,

333333

故答案為：（2）5.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?柯橋區(qū)月考）如果mb,c是整數(shù)，且才=6,那么我們規(guī)定一種記號(hào)Q,6）=c,例如3?=

9,那么記作（3,9）=2,根據(jù)以上規(guī)定，求（-3,-27）=3.

【分析】利用規(guī)定記號(hào)的意義將式子表示出乘方的形式，利用有理數(shù)乘方的意義解答即可.

【解答】解：設(shè)（-3,-27）=x,

Vac=b,那么我們規(guī)定一種記號(hào)（a,b）=c,

：.（-3）』-27.

（-3）3=-27,

.,.尤=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，本題是新定義型題目，理解題干中的新規(guī)定并列出算式是解題

的關(guān)鍵.

4.（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）-33=（）

A.-9B.9C.-27D.27

【分析】運(yùn)用乘方知識(shí)進(jìn)行計(jì)算、求解.

【解答】解:-33=-27,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的立方運(yùn)算能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

5.（2022秋?青田縣期末）一張紙的厚度為0.09〃m，假設(shè)連續(xù)對(duì)折始終都是可能的，那么至少對(duì)折”次后，

所得的厚度可以超過厚度為0.9cm的數(shù)學(xué)課本.則w的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】一張紙的厚度為0.09〃制，對(duì)折1次后紙的厚度為0.09X2〃制；對(duì)折2次后紙的厚度為0.09X2

><2=0.09X22機(jī)機(jī)；對(duì)折3次后紙的厚度為0.09義23%加；對(duì)折w次后紙的厚度為0.09X2"加以據(jù)此列出

不等式，求出〃的取值范圍即可.

【解答】解：..?折一次厚度變成這張紙的2倍，

折兩次厚度變成這張紙的22倍，

折三次厚度變成這張紙的23倍，

折〃次厚度變成這張紙的2〃倍，

設(shè)對(duì)折n次后紙的厚度超過9mm,

則0.09X2n>9,

解得2">100.

而26<100<27.

：.n為7.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查從實(shí)際中尋找規(guī)律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的運(yùn)算可以利用乘法的運(yùn)算來進(jìn)

行，乘方的意義就是多少個(gè)某個(gè)數(shù)字的乘積.

6.(2022秋?文成縣期中)下面的計(jì)算錯(cuò)在哪里？指出錯(cuò)誤步驟的序號(hào)，并給出正確的解答過程.

工+(-2)3X(—)=9+(-8)X(―)……①

OO

=94-1.......②=9........③

錯(cuò)誤步驟的序號(hào)：①；

正確解答：-a；

—64―

【分析】根據(jù)有理的乘除法則及運(yùn)算順序進(jìn)行判斷，并計(jì)算便可.

【解答】解：：-32=-9,

；?步驟①錯(cuò)誤；

正確的解答如下：

3

*+(-2)X(4)

O

=-9+(-8)X

'8'

=-9X-1.x—

88

一9

64,

故答案為：①；

64

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘除法，關(guān)鍵是熟記運(yùn)算法則與運(yùn)算順序.

7.(2019秋?蕭山區(qū)期中)計(jì)算：23=8.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方計(jì)算即可

【解答］解:23=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義.

8.(2020秋?義烏市校級(jí)月考)定義：如果10，=〃，那么稱Z?為〃的勞格數(shù)，記為b=d.

(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d(10)=1,d(102)=2,那么：d(IO3)=3.

(2)勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：若m,幾為正數(shù)，則d(加?)=d(m)+d(n)；d(—)=d(m)-d(n).若

n

d(3)=0.48,d(4)=06根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空：d(12)=1.08，d(3)=-0.12，d(目)

42

=0.66.

【分析】(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d(103)求得是10〃=1。3中的6值；

(2)由勞格數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知，兩數(shù)積的勞格數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)的勞格數(shù)的和；兩數(shù)商的勞格數(shù)等于這兩

個(gè)數(shù)的勞格數(shù)的差，據(jù)此可解.

【解答】解：(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，可知：d(103)=3；

故答案為：3.

(2)由勞格數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

若d(3)=0.48,d(4)=0.6,

貝!(12)=d(3)+d(4)=0.48+0.6=1.08,

則d(W)=d(3)-d(4)=0.48-0.6=-0.12,

4

,:d(4)=d(2X2)=d(2)+d(2)=0.6,

：.d(2)=0.3,

d(a)=d(9)-d(2)=d(3X3)-d(2)=d(3)+d(3)-d(2)=0.48+0.48-0.3=0.66,

2

故答案為：1.08,-0.12,0.66.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方，定義新運(yùn)算，讀懂題中的定義及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

9.(2021秋?吳興區(qū)期中)已知三個(gè)互不相等有理數(shù)a,b,c,既可以表示為1,a,a+b的形式，又可以表

示為0,電，6的形式，則/020*21值是1.

a

【分析】由土有意義，則則應(yīng)有a+b=O,電=-b故只能b=l,。=-1了，再代入代數(shù)式求解.

aa

【解答】解：因?yàn)槿齻€(gè)互不相等的有理數(shù)1,a,a+b分別與0,上，b對(duì)應(yīng)相等，土為有理數(shù)，

aa

Q+Z?=O,

=-1,b=l,

a

??-1f

...屋。20/21=(7)2020xl2021=b

故答案為：L

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，屬于探索性題目，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出未知數(shù)的值再計(jì)算.

10.(2020秋?吳興區(qū)校級(jí)期中)請(qǐng)你研究以下分析過程，并嘗試完成下列問題.

13=12

13+23=9=32=(1+2)2

13+23+33=36=62=(1+2+3)2

13+23+33+43=100=102=(1+2+3+4)2

(1)13+23+33+-+103=3025

(2)13+23+33+-+203=44100

22

(3)l3+23+33+--+n3=—~_

一4—

(4)計(jì)算:1/+123+133+…+2()3的值.

【分析】根據(jù)已知一系列等式，得出一般性規(guī)律，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：⑴13+23+33+-+103=3025；

(2)13+23+33+-+203=44100；

(3)l3+23+33+--+n3=___In+1J_.

4

(4)113+123+133+-+203=44100-3025=41075.

故答案為：(1)3025；(2)44100；(3)?(n+1)[4J075.

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵.

11.(2020秋?蕭山區(qū)期中)閱讀下列各式：(a?b)2=a2b2,(a%))=a%3,(〃?》)4=〃％4….

回答下列三個(gè)問題：①驗(yàn)證：(2X1)100=1,2100X(1)100=1；

22

②通過上述驗(yàn)證，歸納得出：n-anbn；(a*b?c)"=c1nb""；

③請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：(-0.125)2O19X22O18X42O17.

【分析】①根據(jù)有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題.

②通過猜想歸納解決此題.

③根據(jù)積的乘方、有理數(shù)的乘法法則、有理數(shù)的乘方解決此題.

［解答］解：①(2X、)2100x(y)100=2100X―奈=L

故答案為：1,1.

②Qa,b)n=anbn,Ca-b-c)n=anbn^.

故答案為：0nb",0nb5

③(-0.125)2019X22018X42017

2017

=/\2019x22018x4

=(-^)2X(4產(chǎn)17X2X22017x42017

88

=(2x2)x(一X2X4)2°17

648

=ix(<)

_—-?i

32

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的乘法、積的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則、積的乘方是解決本題的

關(guān)鍵.

二.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方(共5小題)

12.(2022秋?麗水期中)已知a,b滿足|a+3|+(6-2)2=0,貝!1a+6的值為()

A.1B.5C.-1D.-5

【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)得出a,6的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：|a+3|+(6-2)2=O,

.??“+3=0,b-2=0,

解得：a=-3,b=2,

故a+b=-3+2=-1.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出a,b的值是解題關(guān)鍵.

13.(2022秋?青田縣期中)若依+1|+(?-3)2=0,則/的值為()

A.1B.-1C.3D.-3

【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，〃與“的值，代入所求式子計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：V|m+l|+(n-3)2=0,|〃7+1]20,(〃-3)220,

???根+1=0,n-3=0,

即m=-1,n=3,

則m"=(-1)3=-1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出出w的值是解題關(guān)鍵.

14.(2021秋?蘭山區(qū)校級(jí)月考)若|x-2|+(y+3)2=0,則干=9.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出尤、y的值，再將它們代入爐中求解即可.

【解答】解：：尤、y滿足|x-2|+(y+3)2=0,'.x-2=0,尤=2；y+3=0,y=-3；則.=(-3)2=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零.

15.(2022秋?蘭溪市期中)已知(a-2)2與族+1|互為相反數(shù),求(a-6)。+〃的值.

【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方解決此題.

【解答】解：由題意得：(a-2)2+步+1|=0.

(a-2)220,|6+1|20,

'?a-2=0,Z?+l=0.

??a=2,b~~~1.

Ca-b)a+b=[2-(-1)]2+(-11=31=3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查偶次方的非負(fù)性、絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方，熟練掌握偶次方的非負(fù)性、

絕對(duì)值的非負(fù)性、有理數(shù)的乘方是解決本題的關(guān)鍵.

16.(2022秋?衢州期中)已知(a」)2+|b+2|=0'則Qab)2022=1.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值和偶次方是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出。、6的值然后代入代數(shù)式計(jì)算即可.

【解答】解：：(a-2+|b+2|=0,

a——=0,6+2=0,

2

a=1'b="2,

2

(ab)2022=[yX(-2)]2022=1

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)算式都等于零求出八6的值

是解此類題的關(guān)鍵.

三.科學(xué)記數(shù)法一表示較大的數(shù)（共9小題）

17.（2022秋?臨海市期末）我國倡議的“一帶一路”惠及約為4400000000人，用科學(xué)記數(shù)法表示該數(shù)為

4.4義1。9?

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為aXl（T,其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，且〃比原來的

整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【解答】解：4400000000=4.4X109,

故答案為：4.4X109.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為。義10”,其中

iwia<io,”為整數(shù)，且”比原來的整數(shù)位數(shù)少1,解題的關(guān)鍵是要正確確定。和”的值.

18.（2023?杭州）杭州奧體中心體育場又稱“大蓮花”，里面有80800個(gè)座位.數(shù)據(jù)80800用科學(xué)記數(shù)法表

示為（）

A.8.8X104B.8.08X104C.8.8X105D.8.08X105

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是

正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：80800=8.08X104,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

w為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

19.（2023?路橋區(qū)校級(jí)二模）2022年12月28日，臺(tái)州市域鐵路S1線開通運(yùn)營，標(biāo)志著臺(tái)州城市發(fā)展邁入

軌道時(shí)代臺(tái)州市域鐵路S1線全長約52.4公里，總投資約228.19億元，是連接椒江區(qū)、路橋區(qū)及溫嶺市

之間重要的城市快速通道.其中數(shù)據(jù)228.19億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.O.22819X1O10B.0.22819X1011

C.2.2819X1O10D.2.2819X1011

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是

正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：228.19億=22819000000=2.2819X101°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

"為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及〃的值.

20.（2023?郵陽區(qū)模擬）2022年5月10日凌晨，長征7號(hào)火箭托舉著天舟四號(hào)貨運(yùn)飛船發(fā)射升空，在距地

面390000米的高度，與空間站完成自主交會(huì)對(duì)接任務(wù).390000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.9X1（）5.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中，”為整數(shù).確定”的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是

正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，"是負(fù)整數(shù).

【解答】解：390000=3.9X1（）5

故答案為：3.9X105.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

w為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及w的值.

21.（2022秋?拱墅區(qū)月考）北京冬奧會(huì)標(biāo)志性場館國家速滑館“冰絲帶”近12000平方米的冰面采用分模

塊控制技術(shù).可根據(jù)不同項(xiàng)目分區(qū)域、分標(biāo)準(zhǔn)制冰.將數(shù)據(jù)12000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.2X104.

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中"為整數(shù).確定”的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，w的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是

正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，〃是負(fù)整數(shù).

【解答】解：12000=1.2X104.

故答案為：1.2X104.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

力為整數(shù)，正確確定。的值以及w的值是解決問題的關(guān)鍵.

22.（2023?余姚市二模）中國空間站2022年建成，軌道高度為400?450千米.“450千米”用科學(xué)記數(shù)法

表示是（）

A.4.5X1（）5米B.045X1（）7米C.45X1（）5米D.4.5XIff米

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。義10"的形式，其中1W間<10,〃為整數(shù).確定w的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值N10時(shí)，”是

正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值<1時(shí)，力是負(fù)整數(shù).

【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科學(xué)記數(shù)法表示是4.5X105米.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

”為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

23.（2021秋?越城區(qū)校級(jí)月考）一次自然災(zāi)害導(dǎo)致大約20萬人受困，急需準(zhǔn)備一批帳篷和糧食進(jìn)行援助.估

計(jì)每頂帳篷可以住10人，平均每人每天需要糧食（）.4千克，共維持15天，那么有關(guān)部門需要籌集多少

頂帳篷？多少噸糧食？（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）

【分析】根據(jù)題意列式計(jì)算，并用科學(xué)記數(shù)法表示結(jié)果即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

20萬=200000,

所以有關(guān)部門需要籌集200000+10=20000（頂）帳篷，即2X1（）4頂帳篷；

需要籌集200000X0.4X15=1200000（千克）糧食，1200000千克=1200噸

即1200=1.2X103噸糧食.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為"X10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

”為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

24.（2022秋?慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以達(dá)到3X10%/5,如果我們用

光速行駛3.6X10\,請(qǐng)問我們行駛的路程為多少m?

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10，”為整數(shù).確定”的值時(shí)，要看把原

數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，〃是

正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，”是負(fù)數(shù).

【解答】解：3X108X3.6X103=3X3.6X108X103=10.8X10u=1.08X1012（m）.

答：行駛的路程為1.08Xiojw.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,

w為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及w的值.

25.（2022秋?永嘉縣校級(jí)月考）已知一個(gè)U盤的名義內(nèi)存為10GB,平均每個(gè)視頻的內(nèi)存為512M3,平均

每首音樂的內(nèi)存為10.24MB,平均每篇文章的內(nèi)存為10.24KB.現(xiàn)該U盤已存16個(gè)視頻，50首音樂.若

該U盤的內(nèi)存的實(shí)際利用率為90%,求還可以存文章的最多篇數(shù)（用科學(xué)記數(shù)法表示）.（注：已知1GB

=1024MB,1024KB）

【分析】根據(jù)題意列式求解，最后化成科學(xué)記數(shù)法.

【解答】解：（10X1024X1024X0.9-512X1024X16-10.24X50X1024）4-10.24=5.12X104,

答：還可以存文章的最多篇數(shù)是5.12義1。4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，掌握科學(xué)記數(shù)法的形式是解題的關(guān)鍵.

四.科學(xué)記數(shù)法一原數(shù)（共1小題）

26.（2021秋?平陽縣期中）用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315X1（）3,這個(gè)數(shù)原來是（）

A.4315B.431.5C.43.15D.4.315

【分析】將小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)3位即可得出原數(shù).

【解答】解:用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)為4.315X103,這個(gè)數(shù)原來是4315,

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法一原數(shù)，科學(xué)記數(shù)法aX10〃表示的數(shù)，“還原”成通常表示的數(shù)，就是

把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)“位所得到的數(shù).若科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)a義10”,還原為原來的數(shù)，需要

把a(bǔ)的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)n位得到原數(shù).

V【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）（-3）2的相反數(shù)為（）

A.-3B.3C.-9D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)乘方運(yùn)算以及相反數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解:（-3）、9,

根據(jù)相反數(shù)的定義可知：9的相反數(shù)是-9.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方運(yùn)算以及相反數(shù)的定義，一個(gè)數(shù)的相反數(shù)就是在這個(gè)數(shù)前面添上號(hào)；正數(shù)的相

反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，0的相反數(shù)是①

2.（2022秋,浙江?七年級(jí)期末）23的意義是（）

A.2x3B.2+3C.2+2+2D.2x2x2

【答案】D

【分析】根據(jù)募的意義即可得出答案.

【詳解】解:,23=2x2x2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，掌握能表示幾個(gè)a相乘是解題的關(guān)鍵.

〃個(gè)2

3.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）代數(shù)式丁廣----可以表示為（）

，X，X，X,?,X，

A.2+幾B.2nC.2〃D.n2

【答案】C

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的意義解答即可得.

〃個(gè)2

【詳解】解：代數(shù)式5—^——R可以表示為2";

2x2x2x---x2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，理解乘方的意義是關(guān)鍵.

4.（2023春?浙江衢州?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若|。+5|與弧-6|互為相反數(shù)，則（a+6）2°2的值為（）

A.-2021B.2021C.1D.-1

【答案】C

【分析】由相反數(shù)的定義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出6的值，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：國“+5|與卜-6|互為相反數(shù)，

/.|?+5|+|Z?-6|=0,

「.々+5=0,人一6二0,

解得a=-5,b=6,

.?.3+5）2021=（—5+6）2021=12021=1.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出a、b的值.

5.（2022春?浙江金華?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列對(duì)于式子（-3）2的說法，錯(cuò)誤的是（）

A.指數(shù)是2B.底數(shù)是-3C.嘉為-3D.表示2個(gè)-3相乘

【答案】C

【分析】根據(jù)乘方的定義解答即可.

【詳解】A.指數(shù)是2,正確；

B.底數(shù)是-3,正確；

C.幕為9,故錯(cuò)誤；

D.表不2個(gè)-3相乘，正確；.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了乘方的意義，熟練掌握乘方的意義是解本題的關(guān)鍵.乘方的定義為：求〃個(gè)相同因數(shù)

。的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫做事.在屋中，它表示“個(gè)。相乘，其中。叫做底數(shù)，”叫做指

數(shù).

6.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）觀察下列等式:7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,

75=16807,…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+7+7?+…+72團(tuán)的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（）

A.0B.1C.7D.8

【答案】A

【分析】由已知可得尾數(shù)1,7,9,3的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，則70+7]+7?+…+72陽的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字

與7°+了+72+73的個(gè)位數(shù)字相同，即可求解.

【詳解】解：07°=1,71=7,72=49,7^=343,74=2401,75=16807,

團(tuán)尾數(shù)1,7,9,3的規(guī)律是4個(gè)數(shù)一循環(huán)，

町+7+9+3=20,

07°+7]+7?+73的個(gè)位數(shù)字是0,

又132024+4=506,

國7°+7]+7?+…+72023的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字與70+7]+7?+73的個(gè)位數(shù)字相同，

團(tuán)7°+71+7?+…+7283的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是0.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?浙江紹興?七年級(jí)校聯(lián)考期中）某種細(xì)胞每過15秒便由1個(gè)分裂成2個(gè).經(jīng)過3分鐘，這種細(xì)胞

由2個(gè)分裂成（）個(gè).

A.210B.211C.212D.213

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得3分鐘有12個(gè)15秒，進(jìn)而根據(jù)有理數(shù)乘方的意義即可求解.

【詳解】解：回3分鐘=3x60=12x15秒，

團(tuán)經(jīng)過3分鐘，這種細(xì)胞由2個(gè)分裂成產(chǎn)個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）已知〃為正整數(shù)，計(jì)算（-1廣-（-1廣+’的結(jié)果是（）

A.1B.-1C.0D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：（-1）2"-（-1）2"+，=1+1=2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則以及乘方的符號(hào)規(guī)律是解本題的關(guān)

鍵.

9.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）已知8.62?=74.3044,=0.743044,貝”的值（）

A.86.2B.0.862C.±0.862D.±86.2

【答案】C

【分析】根據(jù)兩式結(jié)果相差2位小數(shù)點(diǎn)，利用乘方的意義即可求出尤的值.

【詳解】解：回8.62，=73.96,4h0.7396,

Elx2=0.8622,

則x=±0.862.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

10.（2022秋,浙江?七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：-32乂（-2丫=.

【答案】72

【分析】直接利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】解：-32x（-2）3=-9x（-8）=72.

故答案為：72.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

11.（2022秋?浙江紹興?七年級(jí)校考期中）把2x2x2x2x2寫成幕的形式是.

【答案】25

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義及累的定義解答即可.

【詳解】解：2x2x2x2x2寫成幕的形式為：25.

故答案為：25.

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方及塞的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）若|3-4+（6+2）2=0,則①+^儂的值等于.

【答案】1

【分析】先根據(jù)|3-4+9+2）2=0求出0和b的值，再把a(bǔ)和。的值代入⑺+療儂即可求解.

【詳解】解：回|3-a|+（6+2）2=0,

團(tuán)>—a=0,0+N=0,解得：a=3,b=—2,

回（a+6產(chǎn)=（>-Z產(chǎn)=7,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值與偶次基的非負(fù)性，累的運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值與偶次哥的非負(fù)性是解題

的關(guān)鍵.

13.（2022秋?浙江,七年級(jí)專題練習(xí)）的底數(shù)是指數(shù)是，計(jì)算的結(jié)果是

327

【答案】-3

64

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義和意義，在屋中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)；屋表示"個(gè)。相乘，即

可.

【詳解】回在屋中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù)

3

的底數(shù)是“指數(shù)是3

Ela”表示〃個(gè)。相乘

27

64

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的定義和意義.

14.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）已知2"'=4，則機(jī)=.

【答案】2

【分析】把4寫成2。即可求出機(jī)的值.

【詳解】解：回2"'=4且4=22,

132'"=2?,

團(tuán)機(jī)=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘方的意義，正確把4寫成22是解答本題的關(guān)鍵.

15.（2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè)）一根1米長的木棒，小明第一次截去全長的;，第二次截去余下的;，

依次截去每一次余下的;，則第五次截去后剩下的木棒長為米.

【答案】羌32

2

【分析】根據(jù)題意可求出第一次截去全長的：1，剩下1X2；米，第二次截去余下的1：，剩下1x?4,從而即可

3333

得出第五次截去余下的《，剩下1x2，=衛(wèi)米.

33243

【詳解】解：第一次截去全長的g,剩下1x11-J=lxg米，

第二次截去余下的《，剩下lx[l--/=1義22=壯米，

3I3）I3J39

第五次截去余下的《，剩下心丁二衛(wèi)米.

33243

32

故答案為：——.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘方的應(yīng)用，數(shù)字類規(guī)律探索.理解乘方的定義是解題關(guān)鍵.

三、解答題

16.(2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè))判斷下列各式計(jì)算結(jié)果的正負(fù):

(D(-6)12；

⑵(-0.0033)9；

(3)-58;

【答案】⑴正

(2)負(fù)

⑶負(fù)

⑷負(fù)

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律解答即可.

【詳解】(1)解：團(tuán)(-6嚴(yán)的指數(shù)是12,為偶數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù),

回(-6產(chǎn)的結(jié)果為正;

(2)解：團(tuán)(-0.0033)9的指數(shù)是9,為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù),

團(tuán)(-0.0033)9的結(jié)果為負(fù)；

(3)解：團(tuán)-58表示的是58的相反數(shù)，正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)，

5'的結(jié)果為正，所以-58的結(jié)果為負(fù)；

(4)解：回，I]"的指數(shù)是11,為奇數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次幕是負(fù)數(shù)，

11"的結(jié)果為負(fù).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘方的符號(hào)規(guī)律，掌握負(fù)數(shù)的偶次幕為正、奇次幕為負(fù)成為解答本題的關(guān)

鍵.

17.(2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè))計(jì)算:

⑴(-5)4；

23

⑵---;

⑶-(-CW.

【答案】⑴625

(2)-|

(3)0.027

【分析】(1)(-5)4表示4個(gè)-5相乘，即可得出答案；

(2)先計(jì)算2的立方，即可得出答案；

(3)根據(jù)在一個(gè)數(shù)的前面加上負(fù)號(hào)就是這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，乘方是幾個(gè)相同因數(shù)的簡便運(yùn)算，可得答案.

【詳解】(1)(一5)4=(-5)x(-5)x(-5)x(-5)=625；

232x2x28

(2)---=--------=---；

555

(3)-(-0.3)3=_[(_o.3)x(-0.3)x(-0.3)]=-(-0.027)=0.027.

【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的定義，理解乘方的意義是解題的關(guān)鍵.

18.(2023?浙江?七年級(jí)假期作業(yè))(1)計(jì)算下面兩組算式：

①(3x5)2與3?x5?;②[(-2)x3]2與(-2)2x32；

(2)根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：(“6)3等于什么？(直接寫出結(jié)果)

(3)猜想與驗(yàn)證：當(dāng)”為正整數(shù)時(shí)，(演)"等于什么？請(qǐng)你利用乘方的意義說明理由.

(4)利用上述結(jié)論，求(-4)2°2°義。.25皿1的值.

【答案】(1)

①225,225,(3x5)2=32x5z@36,36,[(-2)x3]2=(-2)2x32,

(2)a3b3

(3)見詳解

(4)0.25.

【分析】(1)①先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，

②先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，

(2)直接按(1)寫結(jié)果即可，

(3)利用乘方(")”的意義寫成n個(gè)數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為竺上二巴與竺出乘積即可.

n個(gè)n個(gè)

(4)利用積的乘方的逆運(yùn)算把Q25誣(-4)2020xO.252021=(-lxO.25)2020x0.25,再簡便

運(yùn)算即可.

【詳解】(1)①(3x5)2=152=225,

32x52=9x25=225,

(3X5)2=32X52，

②[(-2)x3『=(-6)2=36,

(-2)2*32=4x9=36,

[(-2)X3]2=(-2)2X32,

(2)(ab)3=a3b3

(\/、

(3)(。6)"=(。6).(必)..(a/?)=a?a?…嗎?b4j----b=anbn.

'環(huán)'k"個(gè)/V—7

(4)(-4)2020X0.252021=(-4X0.25)202°xO.25=1x0.25=0.25.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘法法則問題，先通過不同形式的計(jì)算，驗(yàn)證結(jié)果相同，達(dá)到初步認(rèn)證，再次認(rèn)

證結(jié)果，通過證明先算計(jì)積再算乘法，與先算每個(gè)數(shù)的乘方再算積，驗(yàn)證結(jié)論成立，會(huì)逆用積的乘方運(yùn)算

來簡便運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

19.(2023,浙江?七年級(jí)假期作業(yè))閱讀計(jì)算：

閱讀下列各式：Qab>2=a2b2,(,ab)3=a3b3,(ab)4=a4b4...

回答下列三個(gè)問題：

⑴驗(yàn)證：(4x0.25)100=；4looxO.25loo=.

(2)通過上述驗(yàn)證，歸納得出：(_)n—；(_)n—.

(3)請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算:(-0.125)2。15'22。1儀42。14.

【答案】(1)1,1;

(2)ab,anbn,abc,anbncn-

(3)-0.125

【分析】(1)先算括號(hào)內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法.

(2)根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；

(3)根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得(-0.125x2x4)2。取(-0.125),再計(jì)算，即可得出答案.

【詳解】(1)解：(4x0.25)ioo=lioo=l；

4looxO.25loo=l,

故答案為：1,1.

(2)解：(ab)n-anbn,(abc)n—anbncn,

故答案為：ab,anbn,abc,anbncn.

(3)解：原式=(-0.125)2014X22014X42014X(_0.125)

=(-0.125x2x4)2014X(-0.125)

=(-1)2叫(-0.125)

=1X(-0.125)

=-0.125

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵.

20.(2022秋?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))先閱讀下列材料，再解答后面的問題

材料：一般地，九個(gè)相同的因數(shù)a相乘23,記為即.如2x2x2=23=8,此時(shí)，3叫做以2為底8的

〃個(gè)

對(duì)數(shù)，iE^log28(Bpiog28^3).

一般地，若a"=6(。>0且awl,b>0),則“叫做以。為底6的對(duì)數(shù)，記為log.6(即log06=〃).如

3，=81,貝I4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為1嗝81(即1唯81=4).

問題：

(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：

log24=,log216=,log264=.

(2)通過觀察(1),思考：logZ"log216、log?64之間滿足怎樣的關(guān)系式？

⑶由(2)的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？logflM+logaN=(a>0且

axl,M>0,N>0).

⑷利用(3)的結(jié)論計(jì)算Iog42+log432=.

【答案】(1)2,4,6

(2)log,4+log,16=log264

⑶log")

(4)3

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；

(2)認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：4x16=64,log24+log216=log264；

(3)由特殊到一般，