PAGEPAGE1第三節(jié)圓的方程[最新考綱]1.駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標準方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2．點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])圓的三特性質(zhì)(1)圓心在過切點且垂直于切線的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．一、思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)D[圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標是(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).]2．已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中點坐標為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，所以圓的方程為x2＋y2＝2.]3．過點A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[設(shè)圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r.因為圓心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.]4．在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________．x2＋y2－2x＝0[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝0.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]考點1圓的方程求圓的方程的2種方法(1)幾何法：依據(jù)圓的幾何性質(zhì)，干脆求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．(1)[一題多解]已知圓E經(jīng)過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)(2)[一題多解]已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，則圓C的方程為________．(1)C(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2[(1)法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).法二：(幾何法)因為圓E經(jīng)過點A(0,1)，B(2,0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).(2)法一：由圓C的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)圓C的圓心為(a，－a)．又∵圓C與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又圓C在直線x－y－3＝0上截得的弦長為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，即eq\f(2a－32,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，∵圓心在直線x＋y＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)＝0，即D＋E＝0，①又∵圓C與直線x－y＝0相切，∴eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2))),\r(2))＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.又知圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＋\f(E,2)－3)),\r(2))，由已知得d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝0，))故所求圓的方程為x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問題的兩種常用方法，求解圓的方程時，可采納數(shù)形結(jié)合的思想充分運用圓的幾何性質(zhì)，達到事半功倍的效果．1.若不同的四點A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為________．7[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分別代入A，B，Ceq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋5D＋F＝0，,1－D＋F＝0，,9＋9－3D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－\f(25,3)，,F＝－5.))所以A，B，C三點確定的圓的方程為x2＋y2－4x－eq\f(25,3)y－5＝0.因為D(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.]2．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a(－2，－4)5[由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，方程不滿意表示圓的條件，故舍去．當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．]考點2與圓有關(guān)的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問題與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題．(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．已知實數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).圖1圖2圖3(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何學問知，x2＋y2在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).與圓有關(guān)的斜率型、截距型、距離型最值問題一般依據(jù)相應(yīng)幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．已知點A(－1,0)，B(0,2)，點P是圓C：(x－1)2＋y2＝1上隨意一點，則△PAB面積的最大值與最小值分別是()A．2,2－eq\f(\r(5),2) B．2＋eq\f(\r(5),2)，2－eq\f(\r(5),2)C.eq\r(5)，4－eq\r(5) D．eq\f(\r(5),2)＋1，eq\f(\r(5),2)－1B[由題意知|AB|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，lAB：2x－y＋2＝0，由題意知圓C的圓心坐標為(1,0)，∴圓心到直線lAB的距離d＝eq\f(|2－0＋2|,\r(4＋1))＝eq\f(4\r(5),5).∴S△PAB的最大值為eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)＋1))＝2＋eq\f(\r(5),2)，S△PAB的最小值為eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)－1))＝2－eq\f(\r(5),2).]利用對稱性求最值求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離．(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同始終線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．5eq\r(2)－4 B．eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D．eq\r(17)A[(圖略)P是x軸上隨意一點，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.]本題在求解中要立足了兩點：(1)削減動點的個數(shù)，借助圓的幾何性質(zhì)化圓上隨意一點到點(a，b)的距離的最大(小)值為圓心到點(a，b)的距離加(減)半徑問題；(2)“曲化直”，即借助對稱性把折線段轉(zhuǎn)化為同始終線上的兩線段之和的最值問題解決．[老師備選例題](1)設(shè)點P是函數(shù)y＝－eq\r(4－x－12)圖像上的隨意一點，點Q坐標為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________．(2)已知A(0,2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．(1)eq\r(5)－2(2)2eq\r(5)[(1)函數(shù)y＝－eq\r(4－x－12)的圖像表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點Q的坐標為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a，,y＝a－3))得y＝eq\f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出圖像如圖所示，由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝eq\f(|1－2×0－6|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是eq\r(5)－2.(2)因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓．設(shè)點A(0,2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．連接A′C交圓C于Q(圖略)，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).](2024·上饒模擬)一束光線從點A(－3,2)動身，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是()A．4 B．5C．5eq\r(2)－1 D．2eq\r(6)－1C[依據(jù)題意，設(shè)A′與A關(guān)于x軸對稱，且A(－3,2)，則A′的坐標為(－3，－2)，又由|A′C|＝eq\r(25＋25)＝5eq\r(2)，則A′到圓C上的點的最短距離為5eq\r(2)－1.故這束光線從點A(－3,2)動身，經(jīng)x軸反射到圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路徑的長度是5eq\r(2)－1，故選C.]考點3與圓有關(guān)的軌跡問題求與圓有關(guān)的軌跡問題的4種方法(1)干脆法：干脆依據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：依據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解．(4)代入法(相關(guān)點法)：找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿意的關(guān)系式求解．[一題多解](2024·衡水調(diào)研)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．[解](1)法一：設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：設(shè)AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．此類問題在解題過程中，常因忽視對特別點的驗證而造成解題失誤．[老師備選例題]已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B.(1)求圓C1的圓心坐標；(2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程．[解](1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標為(3,0)．(2)設(shè)M(x，y)，因為點M為線段AB的中點，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，當x≠3時可得eq\f(y,x－3)·eq\f(y,x)＝－1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(9,4)，又當直線l與x軸重合時，M點坐標為(3,0)，代入上式成立．設(shè)直線l的方程為y＝kx，與x2＋y2