人教A版高二（下）數(shù)學(xué)必修第三冊6.3.1二項式定理教學(xué)設(shè)計課題6.3.1二項式定理課型新授課課時1課時學(xué)習(xí)目標1、通過發(fā)現(xiàn)多項式乘法的本質(zhì)特征，建立多項式乘法與計數(shù)原理之間的聯(lián)系，運用計數(shù)原理推導(dǎo)二項式系數(shù)的方法。發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。2、通過對二項式定理及其結(jié)構(gòu)特點研究過程，體會“從特殊到一般”、“類比歸納”等數(shù)學(xué)思想。發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。3、能用二項式定理解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)。學(xué)習(xí)重點利用多項式運算法則和計數(shù)原理推導(dǎo)出二項式定理，并會用它解決有關(guān)的簡單問題。學(xué)習(xí)難點使用組合數(shù)表達二項展開式中各項的系數(shù)學(xué)情分析問題是有效開展課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的抓手。本節(jié)課以十個問題為驅(qū)動，采用“問題鏈+任務(wù)單”的形式層層遞進，以“情境—問題—活動—結(jié)果”為主線，誘發(fā)學(xué)生去主動探究學(xué)習(xí)。從而增強學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括等能力，在分析和解決問題的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。核心知識使用組合數(shù)表達二項展開式中各項的系數(shù)教學(xué)內(nèi)容及教師活動設(shè)計（含情景設(shè)計、問題設(shè)計、學(xué)生活動設(shè)計等內(nèi)容）教師個人復(fù)備環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn學(xué)生先獨立思考，然后小組討論交流，代表展示討論交流的結(jié)果.問題1：我們知道，，．（1）觀察以上展開式，分析其運算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出的展開式嗎？（3）進一步地，你能寫出的展開式嗎？我們來分析的展開過程．根據(jù)多項式乘法法則，可以看到，是2個相乘，只要從一個中選一項（選或），再從另一個中選一項（選或），就得到展開式的一項．于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項之前，的展開式共有項，而且每一項都是的形式．設(shè)計意圖：通過問題串引入二項式定理，讓學(xué)生體會知識的發(fā)展是建立在已有的知識基礎(chǔ)上的.通過分析已有知識得出規(guī)律，進而發(fā)展構(gòu)建新知識.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念下面我們再來分析一下形如的同類項的個數(shù)．當(dāng)時，，這是由2個中都不選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取0個（都?。┑慕M合數(shù)，即只有1個．當(dāng)時，，這是由1個中選，另1個中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取1個的組合數(shù)，即共有2個．當(dāng)時，，這是由2個中都選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取2個的組合數(shù)，即只有1個．由上述分析可以得到．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問題1：依照上述過程，你能利用計數(shù)原理，寫出，的展開式嗎？；．問題2：你能猜想出(a＋b)n展開式嗎？從上述對具體問題的分析得到啟發(fā)，對于任意正整數(shù)，我們有如下猜想：（1）追問：你能說明這一猜想的正確性嗎？學(xué)生思考、討論、交流.教師找?guī)酌砭瓦@一猜想的正確性進行說明，教師給予適當(dāng)?shù)脑u價與指導(dǎo).1．二項式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)這個公式所表示的規(guī)律叫做二項式定理．(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有______項．(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數(shù)．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)設(shè)計意圖：通過得出猜想，并說明其正確性，讓學(xué)生體會從特殊到一般的思想方法，體會歸納猜想在知識產(chǎn)生過程中的重要性.環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念下面我們對上述猜想的正確性予以說明．由于是個相乘，每個在相乘時有兩種選擇，選或，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項．因此，由分步乘法計數(shù)原理可知，在合并同類項之前，的展開式共有項，其中每一項都是的形式．對于每個，對應(yīng)的項是由個選，另外個中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從個中取個的組合數(shù)，這樣，的展開式中，共有個，將它們合并同類項，就可以得以上述二項展開式．公式（1）叫做二項式定理（binomialtheorem），右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：．在二項式定理中，若設(shè)，，則得到公式：．2．二項展開式的通項公式(a＋b)n展開式的第______項叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項式定理形式上的特點(1)二項展開式有n+1項,而不是n項.(2)二項式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,…,n(3)二項展開式中的二項式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+C(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n次逐項減少1次直到0次,同時字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項增加1次直到n次.組織學(xué)生分析二項展開式的結(jié)構(gòu)特點，教師要強調(diào)二項式系數(shù)是與二項式的次數(shù)有關(guān)的組合數(shù).2.教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生理解二項式定理:(1)二項展開式有多少項?提示:項.(2)各項的次數(shù)有什么規(guī)律?提示:各項的次數(shù)都等于的次數(shù).(3)如果令,你能寫出二項式的展開式嗎?從函數(shù)的觀點看這個展開式,它是一個什么函數(shù)?提示:,它是一個一元次多項式函數(shù).學(xué)生通過觀察二項式定理的表達式回答以上問題.3.對于二項展開式的通項,教師提出以下問題幫助學(xué)生理解:(1)如果把看作一個數(shù)列的通項公式,這個數(shù)列有多少項?提示:項.(2)字母代表的是什么?提示:只是一種符號,可以是任意的數(shù)或式子.學(xué)生思考、討論解答以上問題,教師點評指導(dǎo).設(shè)計意圖:通過提出問題,引導(dǎo)學(xué)生思考,強化記憶,辨析概念,加深學(xué)生對二項式定理的理解與認識.環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1求的展開式．解：根據(jù)二項式定理，．1.(a+b)n的二項展開式有n+1項,是和的形式,各項的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由0逐項加1直到n.2.逆用二項式定理可以化簡多項式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點,向二項展開式的形式靠攏.例2（1）求的展開式的第4項的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)．解：（1）的展開式的第4項是．因此，展開式第4項的系數(shù)是280．的展開式的第4項的二項式系數(shù)是．一個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù)是兩個不同的概念．（2）的展開式的通項是．根據(jù)題意，得，．因此，的系數(shù)是．二項式系數(shù)與項的系數(shù)的求解策略(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k∈{0,1,2,…,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念.(2)第k+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)展開式中,第4項是T4=C