8．4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：平面的概念及其表示題型二：平面的確定題型三：點(diǎn)線共面題型四：三點(diǎn)共線題型五：三線共點(diǎn)問(wèn)題題型六：截面問(wèn)題題型七：直線與直線的位置關(guān)系題型八：異面直線所成的角題型九：直線與平面的位置關(guān)系題型十：平面與平面的位置關(guān)系【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、平面的基本概念1、平面的概念：“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見(jiàn)的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象．幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來(lái)的，但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；（2）“平面”無(wú)厚薄之分；（3）“平面”無(wú)邊界，它可以向四周無(wú)限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．2、平面的畫(huà)法：通常畫(huà)平行四邊形表示平面．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫(huà)成，橫邊長(zhǎng)是其鄰邊的兩倍；（2）兩個(gè)相交平面的畫(huà)法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫(huà)為虛線或者不畫(huà)；3、平面的表示法：（1）用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面或者平面；4、點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)A在直線a上，記作；點(diǎn)A在直線a外，記作；（2）點(diǎn)A在平面上，記作；點(diǎn)A在平面外，記作；（3）直線在平面內(nèi)，記作；直線不在平面內(nèi)，記作．知識(shí)點(diǎn)二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書(shū)中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)．1、公理1：（1）文字語(yǔ)言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：，，，；（3）圖形語(yǔ)言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理1是判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)．證明一條直線在某一平面內(nèi)，只需證明這條直線上有兩個(gè)不同的點(diǎn)在該平面內(nèi)．“直線在平面內(nèi)”是指“直線上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)”．2、公理2：（1）文字語(yǔ)言表述：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使得，，；（3）圖形語(yǔ)言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理2的作用是確定平面，是把空間問(wèn)題化歸成平面問(wèn)題的重要依據(jù)．它還可用來(lái)證明“兩個(gè)平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．“有且只有一個(gè)”的含義可以分開(kāi)來(lái)理解．“有”是說(shuō)明“存在”，“只有一個(gè)”說(shuō)明“唯一”，所以“有且只有一個(gè)”也可以說(shuō)成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①過(guò)一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；③過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．（5）作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)．3、公理3：（1）文字語(yǔ)言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：且；（3）圖形語(yǔ)言表述：知識(shí)點(diǎn)詮釋：公理3的作用是判定兩個(gè)平面相交及證明點(diǎn)在直線上的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)三、點(diǎn)線共面的證明所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題．1、證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2及其推論）．2、證明點(diǎn)線共面的常用方法：（1）證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)四、證明三點(diǎn)共線問(wèn)題所謂點(diǎn)共線問(wèn)題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同—條直線上．1、證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．也就說(shuō)一個(gè)點(diǎn)若是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．對(duì)于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過(guò)這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一個(gè)平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)平面的交線上．2、證明三點(diǎn)共線的常用方法方法1：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)．根據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上．方法2：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上．知識(shí)點(diǎn)五、證明三線共點(diǎn)問(wèn)題所謂線共點(diǎn)問(wèn)題就是證明三條或三條以上的直線交于一點(diǎn)．1、證明三線共點(diǎn)的依據(jù)是公理3．2、證明三線共點(diǎn)的思路：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)六、異面直線1、定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．2、畫(huà)法：3、兩異面直線所成角的常用方法平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)七、空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無(wú)公共點(diǎn)相交在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)八、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a與平面α平行無(wú)公共點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)九、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩平面平行無(wú)公共點(diǎn)兩平面相交有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，這些點(diǎn)在一條直線上【典型例題】題型一：平面的概念及其表示【例1】點(diǎn)A在直線l上，而直線l在平面β上．用集合符號(hào)表示為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知：點(diǎn)為元素，線和面均為集合，結(jié)合元素、集合之間的關(guān)系可知.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】（三種語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的注意事項(xiàng)）（1）用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示．（2）符號(hào)語(yǔ)言的意義．如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．（3）由符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意把被遮擋的部分畫(huà)成虛線．【變式1-1】（2025·高二·上?！ふn后作業(yè)）若一直線a在平面上，則正確的作圖是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】B選項(xiàng)中直線超出平面，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中沒(méi)有畫(huà)出直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)直線與平面相交，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【變式1-2】（2025·高一·北京房山·期末）“點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】“點(diǎn)A在直線l上，l在平面內(nèi)”用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為，.故選：D.【變式1-3】（2025·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示的平行四邊形表示的平面不能記為（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】A【解析】表示平面不能用一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)表示，但可以表示為平面MP．由題可知A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：A.題型二：平面的確定【例2】（2025·高一·河北石家莊·期中）有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B【變式2-1】（2025·四川內(nèi)江·三模）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成個(gè)部分，則的最小值與最大值之和為（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類：（1）三個(gè)平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；（2）兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；（3）三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面：（i）三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；（ii）三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4，可將空間分成部分；（iii）三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分，

所以三個(gè)不平面將空間分成、、、部分，的最小值與最大值之和為12.故選：B【變式2-2】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成個(gè)部分，則不可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類：（1）三個(gè)平面兩兩平行，如圖1，可將空間分成部分；（2）兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2，可將空間分成部分；（3）三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面：（i）三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3，可將空間分成部分；（ii）三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4，可將空間分成部分.（iii）三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5，可將空間分成部分；綜上，可以為、、、部分，不能為部分，故選：B.【變式2-3】（2025·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)圓B．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域C．三條直線兩兩相交，則確定一個(gè)平面D．四邊形一定是平面圖形【答案】B【解析】A，過(guò)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；B，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，正確；C，三條直線兩兩相交，若第三條在另兩條確定的平面內(nèi)可以確定一個(gè)平面，否則不能確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；D，四邊形可以是平面圖形，也可以是空間四邊形，錯(cuò)誤.故選：B題型三：點(diǎn)線共面【例3】（2025·高二·上?！て谥校┰谡襟w中，、分別為與的中點(diǎn)，求證：、、、四點(diǎn)共面【解析】連接，因?yàn)?，可知為平行四邊形，則，因?yàn)?、分別為與的中點(diǎn)，由中位線可知，所以，所以、、、四點(diǎn)共面.【方法技巧與總結(jié)】（證明點(diǎn)線共面問(wèn)題的常用方法）（1）納入法：先由部分直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線在這個(gè)平面內(nèi)．（2）重合法：先說(shuō)明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合．【變式3-1】（2025·高二·上海·階段練習(xí)）已知：，求證：直線共面于.

【解析】，.同理可得，，所以直線共面于.【變式3-2】（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，是的中點(diǎn)，分別在上，且．證明：四點(diǎn)共面；【解析】在四棱錐中，取的中點(diǎn)，連接，由分別是的中點(diǎn)，得，又，則且，而，，于是，且，即四邊形為平行四邊形，則，所以四點(diǎn)共面．【變式3-3】（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)分別在棱，，，上，，，．證明：點(diǎn)在平面中.【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，則，，由正四棱柱，可得，則，又點(diǎn)為中點(diǎn)，所以，即四邊形為平行四邊形，同理可得，四邊形為平行四邊形，所以且，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面中．【變式3-4】（2025·高二·上海·階段練習(xí)）如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別在、上，且．(1)求證：、、、四點(diǎn)共面；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線．【解析】（1）因?yàn)椤⒎謩e是、的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?、分別在、上，且．所以，于是有，所以、、、四點(diǎn)共面；（2）∵EG與HF交于點(diǎn)P，∴P在面ABC內(nèi)，同理P在面DAC內(nèi).又∵面面，∴P在直線AC上，∴P、A、C三點(diǎn)共線．題型四：三點(diǎn)共線【例4】（2025·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知與所在平面相交，并且交于一點(diǎn).若，求證:共線.【解析】因?yàn)?所以平面平面,因?yàn)槠矫?平面,且,所以,即三點(diǎn)位于同一直線上.【變式4-1】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，，，，與，分別在平面的兩側(cè)，，．求證：，，三點(diǎn)共線.【解析】證明：，，，與，分別在平面的兩側(cè)，，、、、構(gòu)成一個(gè)平面，，．，，、、是平面與平面的公共點(diǎn)，、、都在平面與平面的交線上，，，三點(diǎn)共線．【變式4-2】（2025·高一·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，分別為上的點(diǎn)且．求證：點(diǎn)三點(diǎn)共線．

【解析】因?yàn)?，且平面，所以平面，同理平面，從而M在兩個(gè)平面的交線上，因?yàn)槠矫妗善矫?，所以成立．所以點(diǎn)三點(diǎn)共線．【變式4-3】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，已知四面體中，E，F(xiàn)分別是AB，AD上的點(diǎn)，G，H分別是BC，CD上的點(diǎn)，且四邊形是以EF，GH為底的梯形．求證：直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)．【解析】四邊形是梯形，其兩腰所在直線必相交．設(shè)兩腰EG，F(xiàn)H的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD．又平面平面，，故直線EG，F(xiàn)H，AC相交于同一點(diǎn)．題型五：三線共點(diǎn)問(wèn)題【例5】（2025·高二·上?！るA段練習(xí)）如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：

(1)直線和在同一平面上；(2)直線、和交于一點(diǎn)．【解析】（1）如圖，連結(jié).∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴.∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴四點(diǎn)共面，即和共面．（2）證明：正方體中，∵點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴且∵四邊形為平行四邊形，∴，且∴∥且∴與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，∵，平面，∴平面；又∵，平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴三線交于點(diǎn)P.【方法技巧與總結(jié)】（證明多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn)的常用方法）（1）證明三線共點(diǎn)常用的方法：先證明兩條直線相交于一點(diǎn)，然后證明這個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)，第三條線是這兩個(gè)平面的交線，于是該點(diǎn)在第三條直線上，從而得到三線共點(diǎn)．也可以先證明a，b相交于一點(diǎn)A，b與c相交于一點(diǎn)B，再證明A，B是同一點(diǎn)，從而得到a，b，c三線共點(diǎn)．（2）類比線共點(diǎn)的證明方法，可得到三點(diǎn)共線的證明方法：①首先找出兩個(gè)平面的交線，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3，可推知這些點(diǎn)都在交線上，即三點(diǎn)共線．②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明第三個(gè)點(diǎn)也在這條直線上．【變式5-1】（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)中，分別為棱，，，上的點(diǎn).已知，，，，正四棱臺(tái)的高為6.證明：直線，，相交于同一點(diǎn).【解析】在正四棱臺(tái)中，因?yàn)椋?，，，所以四邊形，均為梯形，則直線與必相交，與必相交.延長(zhǎng)，，，設(shè)的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．在正四棱臺(tái)中，，，則，，得，所以點(diǎn)重合，即直線，，相交于同一點(diǎn).【變式5-2】（2025·高一·安徽合肥·期中）如圖，正四棱柱.(1)請(qǐng)?jiān)谡睦庵?，?huà)出經(jīng)過(guò)P、Q、R三點(diǎn)的截面（無(wú)需證明）；(2)若Q、R分別為中點(diǎn)，證明：AQ、CR、三線共點(diǎn).【解析】（1）作直線分別交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為所求，如圖：（2）如圖，連接，，，四邊形是正四棱柱的對(duì)角面，則，，由Q、R分別為中點(diǎn)，得，則，且，即四邊形為梯形，令，則，而平面，則平面，同理平面，又平面平面，因此，所以三線共點(diǎn).題型六：截面問(wèn)題【例6】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a，M、N分別是、AD的中點(diǎn)，P在上且滿足，過(guò)M、N、P三點(diǎn)作正方體的截面．

【解析】如圖，連接MP并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于E，連接NE交BC于G，連接PG，延長(zhǎng)PM交的延長(zhǎng)線于F，連接NF交于H，連接MH，則五邊形MHNGP為過(guò)M、N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面．【變式6-1】（2025·高三·安徽·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線.

(1)畫(huà)出直線的位置，并說(shuō)明作圖依據(jù)；(2)正方體被平面截成兩部分，求較小部分幾何體的體積.【解析】（1）如圖所示即為所求：依據(jù)如下：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接，則即為直線的位置.∵，∴平面，平面，∴平面平面，又由題意顯然有平面平面，∴平面平面，則即為直線的位置.（也可根據(jù)線面平行性質(zhì)確定直線位置）（2）如圖所示：設(shè)直線與交于點(diǎn)，則為四等分點(diǎn)，正方體被平面截成兩部分，較小部分為三棱臺(tái)，其體積為.【變式6-2】（2025·高一·遼寧·期末）如圖，直四棱柱的底面為正方形，為的中點(diǎn)．(1)請(qǐng)?jiān)谥彼睦庵?，?huà)出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面并寫(xiě)出作法（無(wú)需證明）．(2)求截面的面積．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、、，則四邊形即為過(guò)點(diǎn)、和的平面截直四棱柱所得截面；取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為直四棱柱，底面為正方形，所以且，且，所以且，所以為平行四邊形，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點(diǎn)共面.（2）在直四棱柱中，，、分別為、的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為菱形，連接，，則，又，，所以.【變式6-3】（2025·高一·湖北武漢·期末）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，

(1)求作過(guò)，，三點(diǎn)的截面（寫(xiě)出作圖過(guò)程）；(2)求截面圖形的面積【解析】（1）在正方體中，畫(huà)直線與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，連接，分別與棱交于點(diǎn)，連接，如圖1，抹去和得過(guò)三點(diǎn)的正方體的截面五邊形，如圖2.（2）在正方體中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，由（1）及圖1知，，即，，則，，等腰底邊上的高，的面積，由，得，即有，因此，于是，同理，所以截面五邊形的面積.【變式6-4】（2025·高一·重慶北碚·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近C）．

(1)經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)作平面，平面截正方體所得截面可能是n邊形，請(qǐng)根據(jù)n的不同取值分別作出截面圖形（每種情況作一個(gè)代表類型，例如只需要畫(huà)一種，下面給了四幅圖，可以不用完，如果不夠請(qǐng)自行增加），保留作圖痕跡；

(2)若M為AB的中點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)P，Q，M的截面的面積．【解析】（1）截面可以分別為三角形，四邊形，五邊形，六邊形,如圖，取上一點(diǎn)，連結(jié)，即為截面三角形；如圖，取線段上，靠近點(diǎn)處的一點(diǎn)，延長(zhǎng)，連結(jié)，，連結(jié)，則四邊形為截面四邊形；和取上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)，如圖五邊形為截面五邊形.如圖，延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)，交于點(diǎn)，六邊形為截面六邊形.（2）如圖：連接PQ所在直線交DC延長(zhǎng)線于X，交的延長(zhǎng)線于Z；連接直線MX交BC于R，交DA延長(zhǎng)線于Y；連接YZ分別交，于S，T．則六邊形PQRMST即為截面．∵P為的中點(diǎn)，Q為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近C），∴，，，可得，，，，又，，所以，，，，又，M為AB的中點(diǎn)，，，所以YDZ為等腰直角三角形，所以，，，，，∴為等腰三角形，等邊上的高為，，所以方法二：可證明PQRM與PTSM是全等的等腰梯形，，，，所以等腰梯形PQRM的高為，所以．題型七：直線與直線的位置關(guān)系【例7】（2025·高二·云南·期末）如圖，在正方體中，直線與直線BD（

）A．異面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直【答案】A【解析】法一：由圖形可知，直線與直線不同在任何一個(gè)平面，這兩條直線為異面直線.法二：（反證法）假設(shè)直線與直線不異面，則直線與直線共面，設(shè)直線與直線確定的平面，又不共線，所以確定平面，所以平面與平面重合，從而可得平面，與平面矛盾，所以直線與直線異面.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】（判定兩直線異面的常用方法）（1）定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)；（2）排除法（反證法）：排除兩直線共面（平行或相交）的情況．【變式7-1】（2025·高一·上海嘉定·期中）已知點(diǎn)是平行六面體的面對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與恒為異面直線的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，證明與直線相交，A錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)位于位置時(shí)，證明與直線相交，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)位于的中點(diǎn)時(shí)，如圖，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以也為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，所以與共面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線平面，直線平面，點(diǎn)不在直線上，所以直線與直線為異面直線，C正確；故選：C.【變式7-2】（2025·高二·重慶·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)共面的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【解析】對(duì)于①，分別連接，在長(zhǎng)方體中，因?yàn)?，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，所以，，則，所以四點(diǎn)共面.對(duì)于②，設(shè)為所在棱的中點(diǎn)，分別連接，由A的討論可得，故四點(diǎn)共面，同理可得，故，同理可得，，故平面，平面，所以六點(diǎn)共面.對(duì)于③，連接，因?yàn)?，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，所以，，故，所以四點(diǎn)共面.對(duì)于④，連接，因?yàn)槠矫?，平面，且不過(guò)點(diǎn)，所以為異面直線，所以四點(diǎn)不共面.故選：A.【變式7-3】（2025·上?！つM預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正方體的性質(zhì)易知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，而，所以共面，則、在平面上，故A不符題意；因?yàn)?，即共面，易知平面，而平面，，，故與異面，故B符合題意；當(dāng)重合時(shí)，易知，則四邊形是平行四邊形，則此時(shí)，故C不符合題意；當(dāng)重合時(shí)，顯然，相交，故D不符合題意.故選：B.題型八：異面直線所成的角【例8】（2025·高一·湖南岳陽(yáng)·期末）在如圖所示的圓錐中，AB為底面圓O的直徑，C為的中點(diǎn)，，則異面直線AP與BC所成角的余弦值為．【答案】/．【解析】連接，連接，又為中點(diǎn)，則，，異面直線AP與BC所成角即直線與所成角，圓錐中，AB為底面圓O的直徑，C為的中點(diǎn)，，則，，為等邊三角形，直線與所成角為，所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（兩異面直線所成角的常用方法）平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．【變式8-1】（2025·高一·廣西桂林·期末）在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為．【答案】/【解析】在正方體中，因,故直線與所成角即直線與所成角，即.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，于是,即直線與所成角的余弦值為.故答案為：.【變式8-2】（2025·高一·四川德陽(yáng)·期末）正方體的棱與體對(duì)角線所成角的正切值為．【答案】【解析】如圖，由正方體的對(duì)稱性可知，體對(duì)角線與正方體的八條棱所成的角都相等，現(xiàn)僅以與所成的角為例來(lái)求解.在正方體中，因,故即與所成的角或其補(bǔ)角.因平面，平面，則,在中，,即正方體的棱與體對(duì)角線所成角的正切值為.故答案為：【變式8-3】（2025·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四面體中，，，、分別為、中點(diǎn)，并且異面直線與所成的角為，則的長(zhǎng)為．【答案】5【解析】取中點(diǎn)，連接，，又因?yàn)?，，，分別為，的中點(diǎn)，所以且，且，則為異面直線與所成的角（或補(bǔ)角），又因?yàn)楫惷嬷本€與所成的角為，所以，所以，所以，故答案為：5題型九：直線與平面的位置關(guān)系【例9】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）直線a，b是異面直線，是不在a，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是（

）A．過(guò)A有且只有一個(gè)平面平行于a，b B．過(guò)至少有一個(gè)平面平行于a，bC．過(guò)有無(wú)數(shù)個(gè)平面平行于a，b D．過(guò)且平行于a，b的平面可能不存在【答案】D【解析】如：且異面，均在面內(nèi)時(shí)，如下圖示，此時(shí)，將平移至與相交，則與所在平面即為，若要過(guò)點(diǎn)作與平行的平面，則過(guò)點(diǎn)可以作另一個(gè)平面與平行，而，顯然有矛盾，故上述情況不可能有過(guò)點(diǎn)A的平面同時(shí)平行于a，b，故A、B、C錯(cuò)，D對(duì)；故選：D【方法技巧與總結(jié)】（直線與平面位置關(guān)系的解題思路）解決此類問(wèn)題首先要搞清楚直線與平面各種位置關(guān)系的特征，利用其定義作出判斷，要有畫(huà)圖意識(shí)，并借助空間想象能力進(jìn)行細(xì)致的分析．【變式9-1】（2025·高一·北京通州·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)平面 B．直線平面C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線是異面直線【答案】D【解析】在長(zhǎng)方體中，直線平面，點(diǎn)，且不重合，即點(diǎn)平面，A不正確；點(diǎn)平面，點(diǎn)平面，即直線平面，B不正確；直線平面，則與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線平面，所以直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，C不正確；直線平面，即直線與平面無(wú)公共點(diǎn)，直線平面，則直線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，又，直線，即直線與直線不平行，因此直線與直線是異面直線，D正確.故選：D【變式9-2】（2025·高二·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，直線與平面的位置關(guān)系為（

）A．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【答案】B【解析】由正方體的性質(zhì)知：面即為面，而直線與面交于，但不垂直.故選：B【變式9-3】（2025·高一·北京·期末）過(guò)平面外一點(diǎn)，能做（

）條直線與平面平行.A．0 B．1 C．2 D．無(wú)數(shù)【答案】D【解析】過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，這些直線在與這個(gè)平面平行的平面內(nèi)故選：D題型十：平面與平面的位置關(guān)系【例10】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在四棱臺(tái)中，平面與平面的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行C．不確定 D．異面【答案】A【解析】如圖所示，由棱臺(tái)的定義可知，平面與平面一定相交.故選：A.【方法技巧與總結(jié)】（平面與平面位置關(guān)系的解題思路）判斷線線、線面、面面的位置關(guān)系，要牢牢地抓住其特征與定義、要有畫(huà)圖的意識(shí)，結(jié)合空間想象能力全方位、多角度地去考慮問(wèn)題，作出判斷．常借助長(zhǎng)方體模型進(jìn)行判斷．【變式10-1】（2025·高二·吉林通化·期中）平面滿足則與的位置關(guān)系為（

）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】根據(jù)平面與平面間的位置關(guān)系判斷．例如正方體的四個(gè)側(cè)面都與底面垂直，它們之間有平行有相交．故選：C．【變式10-2】（2025·高二·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）平面與平面相交于直線l，點(diǎn)A、B在平面上，點(diǎn)C在平面上但不在直線l上，直線AB與直線l相交于點(diǎn)D．設(shè)A、B、C三點(diǎn)確定的平面為，則與的交線是（

）A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC【答案】C【解析】因?yàn)橹本€AB與直線l相交于點(diǎn)D，，所以平面，又點(diǎn)C在平面上，所以平面，因?yàn)槠矫?，點(diǎn)在直線AB上，所以平面，又平面，所以平面，所以與的交線是直線.故選：C.【變式10-3】（多選題）（2025·江蘇南京·一模）如圖，是長(zhǎng)方體，是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．四點(diǎn)共面 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．三點(diǎn)共線【答案】BCD【解析】對(duì)于A，連接，，，如下圖：在長(zhǎng)方形，由為對(duì)角線的中點(diǎn)，則，則平面平面，由平面，平面，則，在長(zhǎng)方體中，平面，由平面，所以與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知：，，易知平面，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知：，，易知平面，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A可知：，故D正確.故選：BCD.

【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等是這兩條直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由題意，當(dāng)直線與平面所成的角相等時(shí)，兩條直線可能平行、相交或異面，則充分性不成立，當(dāng)兩條直線平行時(shí)，此時(shí)與平面所成的角相等的，必要性成立，所以兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等是這兩條直線平行的必要不充分條件.故選：B2．如圖，在長(zhǎng)方體中，已知為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)F，連接EF，CF，，又為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，可得，所以為異面直線BD與CE所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)?，所以，，所以在中，由余弦定理?故選：A.3．兩個(gè)相交平面畫(huà)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，需要畫(huà)出兩相交平面的交線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩平面的交線需從平面的上邊界畫(huà)到平面的下邊界，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，需要畫(huà)出兩相交平面的交線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因被擋住的部分應(yīng)畫(huà)虛線，不被擋住的畫(huà)出實(shí)線，且兩平面的交線需從平面的上邊界畫(huà)到平面的下邊界，故D正確.故選：D4．下列選項(xiàng)中，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在A圖中，分別連接，由正方體可得四邊形為矩形，則，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，則，所以四點(diǎn)共面.在B圖中，設(shè)為所在棱的中點(diǎn)，分別連接，由A的討論可得，故四點(diǎn)共面，同理可得，故，同理可得，故平面，平面，所以六點(diǎn)共面.在C圖中，由為中點(diǎn)可得，同理，故，所以四點(diǎn)共面.在D圖中，為異面直線，四點(diǎn)不共面.故選：D.5．如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交C．異面 D．以上都不是【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?，平面，，所以直線與是異面直線.故選：C6．在直三棱柱中，，且，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角），設(shè)，由，所以，，，，所以由余弦定理可得：.則異面直線與所成角的余弦值是.故選：A.7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，，，過(guò)B，P，Q三點(diǎn)的平面截該正方體，則所截得的截面面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，即為的中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，則，所以，，，四點(diǎn)共面，故梯形即為截面圖形，，，，記邊上的高為，則解得所以．故選：D．8．（多選題）如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，有以下結(jié)論正確的是（

）

A．與平行；B．與共面；C．與的交點(diǎn)可能在直線上，也可能不在直線上；D．與的交點(diǎn)一定在直線上．【答案】BD【解析】如圖所示．連接，，依題意，可得，，所以，所以共面，所以選項(xiàng)B正確，因?yàn)?，所以四邊形是梯形，與必相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，故點(diǎn)在平面上．同理，點(diǎn)在平面上，所以點(diǎn)在平面與平面的交線上，又是這兩個(gè)平面的交線，所以點(diǎn)一定在直線上，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確，故選：BD．9．（多選題）下列命題中正確的有（

）A．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形B．空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個(gè)平面C．分別在兩個(gè)相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個(gè)平面的交線上D．一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)【答