2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國(guó)通用）

專題25解直角三角形（含勾股定理）及其應(yīng)用

一、選擇題

1.（2024四川眉山）如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦

圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將

這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）

A.24B.36C.40D.44

【答案】D

【解析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，根據(jù)圖1，結(jié)合已知

2

條件得到a2b2c224，aba2b22ab4，進(jìn)而求出ab的值，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】如圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，

圖1中大正方形的面積是24，

a2b2c224，

小正方形的面積是4，

2

aba2b22ab4，

ab10，

1

圖2中最大的正方形的面積c24ab2421044；

2

故選：D．

4

2.（2024甘肅臨夏）如圖，在ABC中，ABAC5，sinB，則BC的長(zhǎng)是（）

5

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)

1AD4

A作ADBC于點(diǎn)D．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BDCDBC．根據(jù)sinB，

2AB5

可求出AD4，最后根據(jù)勾股定理可求出BD3，即得出BC2BD6．

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D．

∵ABAC5，

1

∴BDCDBC．

2

AD4

在Rt△ABD中，sinB，

AB5

44

∴ADAB54，

55

∴BDAB2AD252423，

∴BC2BD6．

故選B．

3.（2024四川達(dá)州）如圖，由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中，每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2，ABD120，

其中點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tanBCD的值為（）

3

A.2B.23C.D.3

2

【答案】B

【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，延長(zhǎng)BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在

格點(diǎn)上，根據(jù)菱形的性質(zhì)，進(jìn)而得出AFC90，解直角三角形求得AF,FC的長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)頂角相

等，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．

【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)BC交格點(diǎn)于點(diǎn)F，連接AF，E,G分別在格點(diǎn)上，

依題意，EGF120,EGGF，GFGC,FGC60

∴CEF30,ECF60

∴AFC90

又FC2，

3

∴AF2EF4EGcos304243

2

AF43

∴tanBCDtanACF23

FC2

故選：B．

4.（2024四川德陽(yáng)）某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一高

度為10米的小樓房AB，小李同學(xué)在小樓房樓底B處測(cè)得C處的仰角為60，在小樓房樓頂A處測(cè)

得C處的仰角為30．（AB、CD在同一平面內(nèi)，B、D在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）

米

A.20B.15C.12D.1053

【答案】B

【解析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，如圖，過(guò)A作AECD于E，則四邊形ABDE為

CE

矩形，設(shè)CEx，而CAE30，可得AE3xBD，CDx10，結(jié)合

tan30

CDx10

tan603，再解方程即可．

BD3x

【詳解】如圖，過(guò)A作AECD于E，

依題意，ABBD，CDBD

∴四邊形ABDE為矩形，

∴ABDE10，AEBD，

設(shè)CEx，而CAE30，

CE

∴AE3xBD，

tan30

∵CDx10，

CDx10

∴tan603，

BD3x

解得：x5，

經(jīng)檢驗(yàn)x5是原方程的解，且符合題意；

∴CDx1015m，

故選B

5.（2024深圳）如圖，為了測(cè)量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測(cè)量?jī)xEF測(cè)得的仰角為45，

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得的仰角為53，則電子廠AB的高度為（）

434

（參考數(shù)據(jù)：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

【答案】A

【解析】本題考查了與仰角有關(guān)的解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形EFDG、

EFBM、CDBN是矩形，再設(shè)GMxm，表示EMx5m，然后在

AMAN

RtAEM，tanAEM，以及RtACN，tanACN，運(yùn)用線段和差關(guān)系，即

EMCN

4

MNANAMxx50.3，再求出x15.9m，即可作答．

3

【詳解】如圖：延長(zhǎng)DC交EM于一點(diǎn)G，

∵M(jìn)EFEFBCDF90

∴四邊形EFDG是矩形

∵M(jìn)EFEFBB90

∴四邊形EFBM是矩形

同理得四邊形CDBN是矩形

依題意，得EFMB1.8m，CD1.5m，AEM45，ACN53

∴CG1.81.5m0.3m，F(xiàn)DEG5m

∴CGMN0.3m

∴設(shè)GMxm，則EMx5m

AM

在RtAEM，tanAEM，

EM

∴EM1AM

即AMx5m

AN

在RtACN，tanACN，

CN

4

∴CNtan53xAN

3

4

即ANxm

3

4

∴MNANAMxx50.3

3

∴x15.9m

∴AM15.9520.9m

∴ABAMEFAMMB20.91.822.7m

故選：A

6.（2024安徽省）如圖，在Rt△ABC中，ACBC2，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，且CDAB，

則BD的長(zhǎng)是（）

A.102B.62C.222D.226

【答案】B

【解析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)D作DECB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BED90，由ACB90，ACBC2，可得AB22，

AABC45，進(jìn)而得到CD22，DBE45，即得△BDE為等腰直角三角形，得到

22

DEBE，設(shè)DEBEx，由勾股定理得2xx222，求出x即可求解，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DECB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則BED90，

∵ACB90，ACBC2，

∴AB222222，AABC45，

∴CD22，DBE45，

∴△BDE為等腰直角三角形，

∴DEBE，

設(shè)DEBEx，則CE2x，

在Rt△CDE中，CE2DE2CD2，

22

∴2xx222，

解得，（舍去），

x131x231

∴DEBE31，

22

∴BD313162，

故選：B．

二、填空題

5BD8

1.（2024深圳）如圖，在ABC中，ABBC，tanB，D為BC上一點(diǎn)，且滿足，

12CD5

CE

過(guò)D作DEAD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則________．

AC

20

【答案】

21

【解析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)ABBC13x，根據(jù)

5

tanB，AHCB，得出AH5x，BH12x，再分別用勾股定理求出

12

DH441

AD41x，AC26x，故cosADC，再運(yùn)用解直角三角形得出

AD41

20412141CEMD

DMx，AMx，代入，化簡(jiǎn)即可作答．

4141ACAM

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHCB垂足為H,

BD8

∵，ABBC，

DC5

設(shè)ABBC13x，

∴BD8x，DC5x，

5

∵tanB，AHCB，

12

AH5

∴，

BH12

∵ABBC13x，

∴AH2BH2AB2169x2，

解得AH5x，BH12x，

∴DH12x8x4x，HC5x4xx，

∴ADAH2DH241x，ACAH2CH226x，

DH441

∴cosADC，

AD41

過(guò)點(diǎn)C作CMAD垂足為M，

20412141

∴DMCDcosADCx，AMADDMx，

4141

∵DEAD,CMAD，

∴MC∥DE，

2041

x

CEDM20

∴41，

ACAM214121

x

41

20

故答案為：．

21

2.（2024內(nèi)蒙古赤峰）綜合實(shí)踐課上，航模小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量古樹(shù)AB的高度．如圖，點(diǎn)C處與古

樹(shù)底部A處在同一水平面上，且AC10米，無(wú)人機(jī)從C處豎直上升到達(dá)D處，測(cè)得古樹(shù)頂部B的

俯角為45，古樹(shù)底部A的俯角為65，則古樹(shù)AB的高度約為_(kāi)_______米（結(jié)果精確到0.1米；參

考數(shù)據(jù)：sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

【答案】11.5

【解析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用．過(guò)點(diǎn)D作DMAB，由題意知：DMAC10米，

BDM45，ADM65，推出BDM是等腰直角三角形，在Rt△ADM中，利用正切函數(shù)

求出AM的值，根據(jù)ABAMBM計(jì)算求解可得AB的值．

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DMAB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴四邊形ACDM是矩形，

∴DMAC10米，

∵BDM45，ADM65，M90，

∴BDM是等腰直角三角形，

∴BMDM10米，

在Rt△ADM中，AMDMtanADM10tan65102.14521.45（米），

∴ABAMBM21.451011.4511.5（米），

∴古樹(shù)AB的高度約為11.5米．

故答案為：11.5．

3.（2024江西?。D1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則

tanCAB______．

1

【答案】##

20.5

【解析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，如圖1，設(shè)等腰

直角△MNQ的直角邊為a，利用圖形的位置關(guān)系求出大正方形的邊長(zhǎng)和大等腰直角三角形的直角邊

長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖1，設(shè)等腰直角△MNQ的直角邊為a，則MQ2a，小正方形的邊長(zhǎng)為a，

∴MP2a，

22

∴EM2a2a22a，

∴MTEM22a，

∴QT22a2a2a，

如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CHAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則CHBD，BHCD，

由圖（1）可得，ABBD22a，CD2a2a22a，

∴CH22a，BH22a，

∴AH22a22a42a，

CH22a1

∴tanCAB，

AH42a2

故答案為：1．

2

4.（2024江蘇鹽城）如圖，小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度，將無(wú)人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P

處，測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37，再將無(wú)人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處，測(cè)得

教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45，則教學(xué)樓AB的高度約為_(kāi)_______m．（精確到1m，參考數(shù)據(jù)：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】17

【解析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長(zhǎng)AB交直線PQ于點(diǎn)H，先用三角函數(shù)解

Rt△PHA求出PH，進(jìn)而求出QH，再證QHBH，最后根據(jù)ABAHBH即可求解．

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交直線PQ于點(diǎn)H，則PHA90，

由題意知AH30m，

AH30

在Rt△PHA中，tanPHA，即tan370.75，

PHPH

解得PH40m，

QHPHPQ4026.613.4m，

PHA90，QHB45，

QBHQHB45，

QHBH13.4m，

ABAHBH3013.416.617m，

故答案為：17．

5.（2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測(cè)器測(cè)一棟樓的高度，從熱氣球上的點(diǎn)A測(cè)得該樓頂部

點(diǎn)C的仰角為60，測(cè)得底部點(diǎn)B的俯角為45，點(diǎn)A與樓BC的水平距離AD50m，則這棟樓的

高度為_(kāi)_____m（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】50503##50350

【解析】本題考查解直角三角形—仰角俯角問(wèn)題．注意準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)

題意得BAD45，CAD60，AD50m，然后利用三角函數(shù)求解即可．

【詳解】依題意，BAD45，CAD60，AD50m．

在Rt△ABD中，BDADtan4550150m，

在Rt△ACD中，CDADtan60503503m，

∴BCBDCD50503m．

故答案為：50503．

6.（2024武漢市）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合

實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量黃鶴樓AB的高度，具體過(guò)程如下：如圖，將無(wú)人機(jī)垂直上升

至距水平地面102m的C處，測(cè)得黃鶴樓頂端A的俯角為45，底端B的俯角為63，則測(cè)得黃鶴樓

的高度是__________m．（參考數(shù)據(jù)：tan632）

【答案】51

【解析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長(zhǎng)BA交距水平

地面102m的水平線于點(diǎn)D，根據(jù)tan632，求出DCAD51m，即可求解．

【詳解】延長(zhǎng)BA交距水平地面102m的水平線于點(diǎn)D，如圖，

由題可知，BD102m，

設(shè)ADx，

∵DCA45

∴DCADx

BD102

∴tan632

DCx

∴DCAD51m

∴ABBDAD1025151m

故答案為：51．

7.（2024四川達(dá)州）如圖，在Rt△ABC中，C90．點(diǎn)D在線段BC上，BAD45．若

AC4，CD1，則ABC的面積是______．

40

【答案】

3

【解析】本題考查解直角三角形，勾股定理．過(guò)D作DEAB于E，設(shè)DBx，則CB=x+1，

ACDE

利用sinDB==列出等式即可．

ABDB

【詳解】解：過(guò)D作DEAB于E，

C90，AC4，CD1，

\AD=42+12=17

BAD45

VADE是等腰直角三角形

234

\DE=AD=

22

設(shè)DBx，則CB=x+1

\AB=42+(x+1)2

ACDE

sinDB==

ABDB

34

\4=2

42+(x+1)2x

1717

解得x（舍去）或x

53

17

經(jīng)檢驗(yàn)x是原分式方程的解，

3

111740

\S△=鬃CBAC=?(1)?4．

ABC2233

40

故答案為：．

3

8.（2024四川眉山）如圖，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)AB，當(dāng)

太陽(yáng)光與水平面的夾角為60時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子BE長(zhǎng)為10米，則大樹(shù)AB的高為_(kāi)_____米．

【答案】41525##25415

【解析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．

如圖，過(guò)點(diǎn)E作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)BHx米，EH2x米，勾股定

理求出x25，解直角三角形求出AHtanAEHEH3EH415，進(jìn)而求解即可．

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作水平地面的平行線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

則BEHDCF，

BH1

在Rt△BEH中，tanBEHtanBCFi，

EH2

設(shè)BHx米，EH2x米，

BEEH2BH25x10，

x25，

BH25米，EH45米，

QAEH60，

AHtanAEHEH3EH415（米），

ABAHBH41525（米），

答：大樹(shù)AB的高度為41525米．

故答案為：41525．

三、解答題

1.（2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內(nèi)，共九級(jí)，為砼框架式結(jié)構(gòu)，

造型獨(dú)特別致，遠(yuǎn)可眺太子山露骨風(fēng)月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數(shù)學(xué)興

趣小組在學(xué)習(xí)了“解直角三角形”之后，開(kāi)展了測(cè)量乾元塔高度AB的實(shí)踐活動(dòng)．A為乾元塔的頂端，

ABBC，點(diǎn)C，D在點(diǎn)B的正東方向，在C點(diǎn)用高度為1.6米的測(cè)角儀（即CE1.6米）測(cè)得A

點(diǎn)仰角為37，向西平移14.5米至點(diǎn)D，測(cè)得A點(diǎn)仰角為45，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求乾元塔的高度

AB．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

【答案】乾元塔的高度AB約為45米

【解析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)CE平移后得到DG，延長(zhǎng)EG交AB于點(diǎn)F，設(shè)FGx，

分別解RtAFE,RtAFG，表示出AF的長(zhǎng)，列出方程進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：設(shè)CE平移后得到DG，延長(zhǎng)EG交AB于點(diǎn)F，則：CEDGBF1.6，EFAB，

EG14.5，

設(shè)GFx，則：EF14.5x，

在RtAFE中，AFEFtan370.75x14.5，

在Rt△AFG中，AFFGtan45x，

∴0.75x14.5x，

∴x43.5，

∴AF43.5，

∴ABAFBF43.51.645；

答：乾元塔的高度AB約為45米．

2.（2024甘肅威武）習(xí)近平總書記于2021年指出，中國(guó)將力爭(zhēng)2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰、2060年前實(shí)

現(xiàn)碳中和．甘肅省風(fēng)能資源豐富，風(fēng)力發(fā)電發(fā)展迅速．某學(xué)習(xí)小組成員查閱資料得知，在風(fēng)力發(fā)電機(jī)

組中，“風(fēng)電塔筒”非常重要，它的高度是一個(gè)重要的設(shè)計(jì)參數(shù)．于是小組成員開(kāi)展了“測(cè)量風(fēng)電塔

筒高度”的實(shí)踐活動(dòng)．如圖，已知一風(fēng)電塔筒AH垂直于地面，測(cè)角儀CD，EF在AH兩側(cè)，

CDEF1.6m，點(diǎn)C與點(diǎn)E相距182m（點(diǎn)C，H，E在同一條直線上），在D處測(cè)得簡(jiǎn)尖頂點(diǎn)

A的仰角為45，在F處測(cè)得筒尖頂點(diǎn)A的仰角為53．求風(fēng)電塔筒AH的高度．（參考數(shù)據(jù)：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

【答案】105.6m

【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)D作DGAH

于G，連接FG，則四邊形CDGH是矩形，可得GHCD1.6m，DGCH，再證明四邊形

EFGH是矩形，則FGHE，HGF90，進(jìn)一步證明D、G、F三點(diǎn)共線，得到DF182m；

33

設(shè)AGxm，解RtADG得到DGxm；解Rt△AFG得到FGxm；則xx182，解

44

得x104，即AG104m，則AHAGGH105.6m．

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DGAH于G，連接FG，則四邊形CDGH是矩形，

∴GHCD1.6m，DGCH，

∵CDEF1.6m，

∴GHEF，

由題意可得GH⊥CE，EF⊥CE，

∴GHEF，

∴四邊形EFGH是矩形，

∴FGHE，HGF90，

∴∠DGH∠FGH180，

∴D、G、F三點(diǎn)共線，

∴DFDGFGCHHECE182m；

設(shè)AGxm，

AG

在RtADG中，tanADG，

DG

x

∴tan45

DG

∴DGxm；

AG

在Rt△AFG中，tanAFG，

FG

x

∴tan53

FG

3

∴FGxm；

4

3

∴xx182，

4

解得x104，

∴AG104m，

∴AHAGGH105.6m，

∴風(fēng)電塔筒AH的高度約為105.6m．

3.（2024河北?。┲袊?guó)的探月工程激發(fā)了同學(xué)們對(duì)太空的興趣．某晚，淇淇在家透過(guò)窗戶的最高點(diǎn)

P恰好看到一顆星星，此時(shí)淇淇距窗戶的水平距離BQ4m，仰角為；淇淇向前走了3m后到達(dá)

點(diǎn)D，透過(guò)點(diǎn)P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距

離ABCD1.6m，點(diǎn)P到BQ的距離PQ2.6m，AC的延長(zhǎng)線交PQ于點(diǎn)E．（注：圖中所

有點(diǎn)均在同一平面）

（1）求的大小及tan的值；

（2）求CP的長(zhǎng)及sinAPC的值．

1334

【答案】（1）45，（2）2m，

434

【解析】【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義以及三角函數(shù)的定義是

解本題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)題意先求解CEPE1m，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與正切的定義可得答案；

（2）利用勾股定理先求解CP2m，如圖，過(guò)C作CHAP于H，結(jié)合

CH1

tantanPAE，設(shè)CHxm，則AH4xm，再建立方程求解x，即可得到答案．

AH4

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意可得：PQAE，PQ2.6m，ABCDEQ1.6m，

AEBQ4m，ACBD3m，

∴CE431m，PE2.61.61m，CEP90，

∴CEPE，

PE1

∴PCE45，tantanPAE；

AE4

【小問(wèn)2詳解】

解：∵CEPE1m，CEP90，

∴CP12122m，

如圖，過(guò)C作CHAP于H，

CH1

∵tantanPAE，設(shè)CHxm，則AH4xm，

AH4

2

∴x24xAC29，

317

解得：x，

17

317

∴CHm，

17

317

∴CH334．

sinAPC17

CP234

4.（2024河南?。┤鐖D1，塑像AB在底座BC上，點(diǎn)D是人眼所在的位置．當(dāng)點(diǎn)B高于人的水平

視線DE時(shí)，由遠(yuǎn)及近看塑像，會(huì)在某處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)視角最大．?dāng)?shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)

經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓與水平視線DE相切時(shí)（如圖2），在切點(diǎn)P處感覺(jué)看到的塑像最大，此時(shí)APB

為最大視角．

（1）請(qǐng)僅就圖2的情形證明APBADB．

（2）經(jīng)測(cè)量，最大視角APB為30，在點(diǎn)P處看塑像頂部點(diǎn)A的仰角APE為60，點(diǎn)P到塑

像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：31.73）．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）塑像AB的高約為6.9m

【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是：

（1）連接BM，根據(jù)圓周角定理得出AMBAPB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出

AMBADB，然后等量代換即可得證；

（2）在RtAHP中，利用正切的定義求出AH，在Rt△BHP中，利用正切的定義求出BH，即可

求解．

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖，連接BM．

則AMBAPB．

∵AMBADB，

∴APBADB．

【小問(wèn)2詳解】

解：在RtAHP中，APH60，PH6．

AH

∵tanAPH，

PH

∴AHPHtan606363．

∵APB30，

∴BPHAPHAPB603030．

BH

在Rt△BHP中，tanBPH，

PH

3

∴BHPHtan30623．

3

∴ABAHBH63234341.736.9m．

答：塑像AB的高約為6.9m．

5.（2024江蘇蘇州）圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿ABBC，活動(dòng)

桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD為液壓可．伸．縮．支撐桿，已知AB10cm，BC20cm，AD50cm．

（1）如圖②，當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí)，求可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；

3

（2）如圖③，當(dāng)活動(dòng)桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，且tan（為銳角），

4

求此時(shí)可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】（1）CD1010cm（2）CD205cm

【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

（1）過(guò)點(diǎn)C作CEAD，垂足為E，判斷四邊形ABCE為矩形，可求出CE，DE，然后在RtCED

中，根據(jù)勾股定理求出CD即可；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G．判斷四邊形ABFG為矩形，

3

得出AGD90．在RtAGD中，利用正切定義求出DGAG．利用勾股定理求出

4

5

ADAG，由AD50，可求出BFAG40，F(xiàn)GAB10，CF20，DF40．在

4

RtCFD中，根據(jù)勾股定理求出CD即可．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEAD，垂足為E，

由題意可知，BA90，

又CEAD，

四邊形ABCE為矩形．

AB10，BC20，

AE20，CE10．

AD50，

ED30．

在RtCED中，CDCE2ED21023021010．

即可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度為1010cm；

【小問(wèn)2詳解】

解：過(guò)點(diǎn)D作DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G．

由題意可知，四邊形ABFG為矩形，

AGD90．

DG3

在RtAGD中，tan，

AG4

3

DGAG．

4

5

ADAG2DG2AG，

4

AD50，

AG40，DG30．

BFAG40，F(xiàn)GAB10，

CF20，DF40．

在RtCFD中，CDCF2DF2202402205．

即可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度為205cm．

6.（2024山東威海）某校九年級(jí)學(xué)生開(kāi)展利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)之一

是測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角．測(cè)量報(bào)告如下表（尚不完整）

課題測(cè)量某護(hù)堤石壩與地平面的傾斜角

成員組長(zhǎng)：×××組員：×××，×××，×××

測(cè)量

竹竿，米尺

工具

說(shuō)明：AC是一根筆直的竹竿．點(diǎn)D

測(cè)量

是竹竿上一點(diǎn)．線段DE的長(zhǎng)度是

示意

點(diǎn)D到地面的距離．是要測(cè)量

圖

的傾斜角．

測(cè)量

數(shù)據(jù)

…………

（1）設(shè)AB=a，BCb，ACc，CEd，DEe，CDf，BEg，ADh，請(qǐng)根據(jù)

表中的測(cè)量示意圖，從以上線段中選出你認(rèn)為需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，把表示數(shù)據(jù)的小寫字母填寫在“測(cè)量

數(shù)據(jù)”一欄．

（2）根據(jù)（1）中選擇的數(shù)據(jù)，寫出求的一種三角函數(shù)值的推導(dǎo)過(guò)程．

（3）假設(shè)sin0.86，cos0.52，tan1.66，根據(jù)（2）中的推導(dǎo)結(jié)果，利用計(jì)算器求出

的度數(shù)，你選擇的按鍵順序?yàn)開(kāi)_______．

【答案】（1）AB=a，ACc，DEe，CDf；

ec

（2）sin，推導(dǎo)見(jiàn)解析；

af

（3）①．

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意選擇需要的數(shù)據(jù)即可；

DECDef

（2）過(guò)點(diǎn)A作AMCB于點(diǎn)M，可得CDE∽CAM，得到，即得，得

AMCAAMc

ec

到AM，再根據(jù)正弦的定義即可求解；

f

（3）根據(jù)（2）的結(jié)果即可求解；

本題考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

【小問(wèn)1詳解】

解：需要的數(shù)據(jù)為：AB=a，ACc，DEe，CDf；

【小問(wèn)2詳解】

解：過(guò)點(diǎn)A作AMCB于點(diǎn)M，則AMB90，

∵DECB，

∴DE∥AM，

∴CDE∽CAM

DECD

∴，

AMCA

ef

即

AMc

ec

∴AM，

f

ec

∴AMfec；

sin

ABaaf

【小問(wèn)3詳解】

ec

解：∵sin，

af

∴按鍵順序?yàn)椋?/p>

故答案為：①．

7.（2024天津市）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖

①）．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖②，點(diǎn)C,D,E依次在同一條水平直線上，

DE36m,ECAB，垂足為C．在D處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（CDB）為45，測(cè)得橋塔底

部A的俯角（CDA）為6，又在E處測(cè)得橋塔頂部B的仰角（CEB）為31．

（1）求線段CD的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）；

（2）求橋塔AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：tan310.6,tan60.1．

【答案】（1）54m（2）59m

【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)CDx，在RtBCD中，BCCDtanCDBxtan45x．在RtBCE中，

BCCEtanCEBx36tan31．則xx36tan31．解方程即可；

（2）求出AC，根據(jù)ABACBC即可得到答案．

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)CDx，由DE36，得CECDDEx36．

ECAB，垂足為C，

BCEACD90．

BC

在RtBCD中，tanCDB，CDB45，

CD

BCCDtanCDBxtan45x．

BC

在RtBCE中，tanCEB，CEB31，

CE

BCCEtanCEBx36tan31．

xx36tan31．

36tan31360.6

得x54．

1tan3110.6

答：線段CD的長(zhǎng)約為54m．

【小問(wèn)2詳解】

AC

在Rt△ACD中，tanCDA，CDA6，

CD

ACCDtanCDA54tan6540.15.4．

ABACBC5.45459．

答：橋塔AB的高度約為59m．

8.（2024重慶市B）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個(gè)景點(diǎn)，B在A的正東方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏東30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（參考數(shù)據(jù)：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點(diǎn)D出發(fā)去景點(diǎn)B，甲選擇的路線為：DCB，乙選擇的路線為：DAB．請(qǐng)

計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)選擇的路線較近？

【答案】（1）2.5千米

（2）甲選擇的路線較近

【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：

（1）過(guò)點(diǎn)B作BEAC于E，先求出ACB45，再解Rt△ABE得到BE3千米，進(jìn)一步

BE

解RtBCE即可得到BC62.5千米；

sin∠BCE

（2）過(guò)點(diǎn)C作CFAD于D，先解Rt△ABE得到AE1千米，則ACAECE13千

133333

米，再Rt△AFC得到CF千米，AF千米，最后解RtDCF得到DF

226

3333

千米，CD千米，即可得到CDBC64.03千米，ADAB5.15千米，

33

據(jù)此可得答案．

【小問(wèn)1詳解】

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BEAC于E，

由題意得，∠CAB903060，∠ABC901575，

∴ACB180CABABC45，

在Rt△ABE中，∠AEB90，AB2千米，

∴BEABcos∠BAE2cos603千米，

BE3

在RtBCE中，BC62.5千米，

sin∠BCEsin45

∴BC的長(zhǎng)度約為2.5千米；

【小問(wèn)2詳解】

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CFAD于D，

在Rt△ABE中，AEABcos∠BAE2cos601千米，

∴ACAECE13千米，

13

在Rt△AFC中，CFACsinCAF13sin30千米，

2

33

AFACcosCAF13cos30千米，

2

在RtDCF中，∠DCF30，∠DFC90，

1333

∴DFCFtan∠DCFtan30千米，

26

13

CF33千米，

CD2

cos∠DCFcos303

33

∴CDBC64.03千米，

3

3333

ADABDFAFAB25.15千米，

62

∵4.035.15，

∴甲選擇的路線較近．

9.（2024四川樂(lè)山）我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩

秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地．

送行二步與人齊，五尺人高曾記．

仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．

良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？

詞寫得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)

10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很

直）

（1）如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β

的地方OA，兩次位置的高度差PQh．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)

用含α、β和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺

h

（2）能，OA

coscos

【解析】

【分析】該題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．

（1）如