福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)高中、城關(guān)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三第一次質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．2．已知拋物線(xiàn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦，若，，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．4．某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)五個(gè)方向展開(kāi)研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種5．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是拋物線(xiàn)上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為（）A．5 B．3 C． D．26．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．7．函數(shù)的大致圖象為A． B．C． D．8．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，若為等腰三角形，則橢圓的離心率A． B．C． D．10．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．11．在中，分別為所對(duì)的邊，若函數(shù)有極值點(diǎn)，則的范圍是（）A． B．C． D．12．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線(xiàn)y＝e－5x＋2在點(diǎn)(0，3)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．14．若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的值等于______________.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______．16．若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍有___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過(guò)程中，居民生活垃圾分類(lèi)逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門(mén)為宣傳垃圾分類(lèi)知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類(lèi)知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過(guò)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（）；（2）在（1）的條件下，有關(guān)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話(huà)費(fèi)，得分低于則只有1次：（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話(huà)費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：贈(zèng)送話(huà)費(fèi)（單位：元）1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話(huà)費(fèi)，求X的分布列.附：，若，則，.18．（12分）如圖，在直角中，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上.（1）若，求的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，，且，求的值.19．（12分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿(mǎn)足，其前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.證明：.21．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學(xué)生在語(yǔ)數(shù)外3門(mén)全國(guó)統(tǒng)考科目之外，在歷史和物理2門(mén)科目中必選且只選1門(mén)，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、地理、政治4門(mén)科目中任選2門(mén)，后三科的高考成績(jī)按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地，高校在招生時(shí)可對(duì)特定專(zhuān)業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查，用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科，得到如下的統(tǒng)計(jì)表：序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學(xué)規(guī)定：每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿(mǎn)額編班，每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班（當(dāng)且僅當(dāng)一門(mén)科目的選課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí)，允許這門(mén)科目的1位老師只教1個(gè)班）.已知雙超中學(xué)高一年級(jí)現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人，用樣本估計(jì)總體，則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整？如果需要調(diào)整，各需增加或減少多少人？（2）請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表，運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行分析，探究是否有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門(mén)人文專(zhuān)業(yè)的招生簡(jiǎn)章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門(mén)中至少選修了1門(mén)的考生報(bào)名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)具備高校專(zhuān)業(yè)報(bào)名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計(jì)概率，求的分布列與期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法，以及復(fù)數(shù)的基本概念求解即可.【詳解】，又的實(shí)部與虛部相等，，解得.故選:C本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念運(yùn)用.2．A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線(xiàn)方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線(xiàn)定義知,,則.由得,則.又MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選：A本題考查拋物線(xiàn)的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.3．C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解．【詳解】，，，．故選：C．本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用．掌握正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．4．B【解析】

將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí)，有種，當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí)，有種，∴共有360種.故選：B本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程,由拋物線(xiàn)的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即為中點(diǎn)到軸的距離.【詳解】解：由拋物線(xiàn)方程可知，，即，.設(shè)則，即，所以.所以線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離為.故選:D.本題考查了拋物線(xiàn)的定義，考查了拋物線(xiàn)的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線(xiàn)的定義求得兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.6．A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡(jiǎn)即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，排除B、D，又，排除C，故選A．8．C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因?yàn)榈囊粋€(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C本題考查零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9．B【解析】

設(shè)，則，，因?yàn)?，所以．若，則，所以，所以，不符合題意，所以，則，所以，所以，，設(shè)，則，在中，易得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以橢圓的離心率．故選B．10．C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.11．D【解析】試題分析：由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn)：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，從而可得.12．B【解析】

根據(jù)交集的定義，，可知，代入計(jì)算即可求出.【詳解】由，可知，又因?yàn)?，所以時(shí)，，解得.故選：B.本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率，再寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)閥′＝－5e－5x，所以切線(xiàn)的斜率k＝－5e0＝－5，所以切線(xiàn)方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.故答案為y＝－5x＋3.(1)本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的求導(dǎo)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，相應(yīng)的切線(xiàn)方程是14．【解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，.故答案為：.本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．【解析】

先求得時(shí)；再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得；由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.16．或【解析】

函數(shù)的零點(diǎn)方程的根，求出方程的兩根為，，從而可得或，即或.【詳解】函數(shù)在區(qū)間的零點(diǎn)方程在區(qū)間的根，所以，解得：，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以或，即或.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，在求含絕對(duì)值方程時(shí)，要注意對(duì)絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解.（2）寫(xiě)出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，再列表得到其分布列.【詳解】解：（1）從這1000人問(wèn)卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布，（2）設(shè)得分不低于分的概率為p，（或由頻率分布直方圖知）法一：X的取值為10，20，30，40；；；；所以X的分布列為X10203040P法二：2次隨機(jī)贈(zèng)送的話(huà)費(fèi)及對(duì)應(yīng)概率如下2次話(huà)費(fèi)總和203040PX的取值為10，20，30，40；；；；所以X的分布列為X10203040P本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【詳解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因?yàn)?，所以，解?在中，由余弦定理得，，即，，故.本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.19．（1），；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令，由得出，兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，運(yùn)用數(shù)列的分組求和和裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.；（2）由（1）知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，.，.所以.本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和法和裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（1）或；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點(diǎn)分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫(xiě)成后，化簡(jiǎn)變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1°時(shí)，，即，解得；2°時(shí)，，即，解得；3°時(shí)，，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則，即，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）故，得證.此題考查了絕對(duì)值不等式的解法，絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用，考查了分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，即可求出結(jié)論；（2）化簡(jiǎn)集合，根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置，建立的不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題考查集合的運(yùn)算，集合間的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.22．（1）不需調(diào)整（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析；有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)（3）詳見(jiàn)解析【解析】

（1）可估計(jì)高一年級(jí)選修相應(yīng)科