力矩與力偶第一節(jié)力對點(diǎn)之矩一、力矩的概念力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對該點(diǎn)之矩。例如扳手旋轉(zhuǎn)螺母。FOLdAB力F對O點(diǎn)之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號，以符號mo(F)表示，記為:Mo(F)＝±Fd

通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正，反之為負(fù)。1力F對O點(diǎn)之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍表示，即Mo(F)＝±2ΔABC

在國際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N?m）或千牛頓?米（kN?m）。由上述分析可得力矩的性質(zhì)：（1）力對點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩隨矩心的位置變化而變化。（2）力對任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變，再次說明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零。233.1力矩的概念與計(jì)算一、平面中力矩的概念二、平面匯交力系的合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即利用合力矩定理，可以寫出力對坐標(biāo)原點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式，即4例3－1試計(jì)算力對A點(diǎn)之矩。解本題有兩種解法。方法一：

按力矩的定義計(jì)算由圖中幾何關(guān)系有：

d=ADsinα=(AB-DB)sinα

=(AB-BCxctg)sinα

=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα

所以

mA(F)=F?d

=F(asinα-bcosα)5（2）根據(jù)合力矩定理計(jì)算。將力F在C點(diǎn)分解為兩個(gè)正交的分力，由合力矩定理可得mA(F)=mA(Fx)+

mA(Fy)=－Fx?b+Fy?a=－F(bcosα＋asinα)=F(asinα-bcosα)當(dāng)力臂不易確定時(shí)，用后一種方法較為簡便。

方法二：6例2求圖中荷載對A、B兩點(diǎn)之矩(b)解：圖（a）：MA=-8×2=-16kN·mMB=8×2=16kN·m圖（b）：MA=-4×2×2

=-16kN

·m

MB=4×2×2=16kN·m(a)7[例]

已知：如圖F、Q、l,求：和 靜力學(xué)解：①用力對點(diǎn)的矩法

②應(yīng)用合力矩定理

80.6m0.4mCBAF300例、已知：機(jī)構(gòu)如圖，F(xiàn)=10kN，求：MA(F)=?dFxFy解:方法一:MA(F)=-F?d=-100.6

sin600方法二:MA(F)=-F?cos300?0.6+0=-100.6

cos300Fx

=Fcos300

MA(Fx)Fy

=-Fsin300

MA(Fy)=0MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)9例題.圖示F=5kN,sin

=0.8試求力F對A點(diǎn)的矩.A

B2015F10A

B2015F解:(1)hCDCD=18.75×0.6=11.25AC=20-11.25=8.75h=8.75×0.8=7mo(F)=hF

=7×5=3511A

B2015F(2)FxFyFx

=Fcos

=5×0.6=3Fy

=Fsin

=5×0.8=4Dmo(Fx)=-BD·Fx

=-15×3=-45mo(Fy)=AD·Fy

=20×4=80mo(F)=mo(Fx)+mo(Fy)

=-45+80=3512靜力分析[練習(xí)]圖示膠帶輪，已知T1=200N,T2=100N,D=160mm,求MB(T1)+MB(T2)=?B解：13第二節(jié)力偶

一、力偶力偶矩

在日常生活和工程實(shí)際中經(jīng)常見到物體受動(dòng)兩個(gè)大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個(gè)平行力作用的情況。例如

（圖a）司機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)駕駛汽車時(shí)兩手作用在方向盤上的力；

（圖b）工人用絲錐攻螺紋時(shí)兩手加在扳手上的力；（圖c）以及用兩個(gè)手指擰動(dòng)水龍頭所加的力等等。1．力偶：在力學(xué)中把這樣一對等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(F,F′)表示。兩個(gè)力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個(gè)力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。14

作為力偶對物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用m或m(F,F′)表示。在平面問題中，將力偶中的一個(gè)力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號，如圖所示，2．力偶矩：即m(F)＝F?d=±2ΔABC

通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在國際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N?m）或千牛頓?米（kN?m）。15力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：（1）力偶不能簡化為一個(gè)力，即力偶不能用一個(gè)力等效替代。因此力偶不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。（2）無合力，故不能與一個(gè)力等效；（3）力偶對其作在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。二、力偶的性質(zhì)16

在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要兩力偶的力偶矩的代數(shù)值相等，則這兩個(gè)力偶相等。這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個(gè)推論：推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會改變它對物體的效應(yīng)。推論2只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會改變它對物體的作用效應(yīng)。結(jié)論：17

力偶的作用效果取決于三個(gè)因素：構(gòu)成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的轉(zhuǎn)向。

故在平面問題中用一帶箭頭的弧線來表示如圖所求，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小m表示。

18一、平面力偶系的合成

作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2

，

－P3?d

＝－F3?d3FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′第三節(jié)平面力偶系的合成與平衡

19M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以

M＝m1＋m2＋m320

若作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，則上式可以推廣為M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。21

平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：二、平面力偶系的平衡條件即Σm＝0平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。22例：如圖所示，電動(dòng)機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試求每個(gè)螺栓所受的力為多少？解取聯(lián)軸器為研究對象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖所示。設(shè)4個(gè)螺栓的受力均勻.

即F1＝F2＝F3＝F4＝F則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡由Σm＝0，

m－F×AC－F×d＝0解得23靜力學(xué)[例](p32)

在一鉆床上水平放置工件,在工件上同時(shí)鉆四個(gè)等直徑的孔,每個(gè)鉆頭的力偶矩為求工件的總切削力偶矩和A

、B端水平反力?

解:合力偶距平面力偶系平衡24靜力分析[例](p39)圖示結(jié)構(gòu)，求A、B處反力。解：1、取研究對象整體2、受力分析特點(diǎn)：力偶系3、平衡條件∑mi=P·2a－YA·l=0思考

∑mi=0P·2a－RB·

cos

·l=025

求圖示簡支梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖。解之得：26例題.在梁AB上作用一個(gè)力偶,其矩為m,梁長為l.自重不計(jì).試求支座A和B的約束反力.45oABlm27解:取梁AB為研究對象45oABlmRARB45o45oRA=RB=Rm(RA,

RB)=Rlcos45o

mi=0Rlcos45o-m=0R=RA=RB=28例題.圖示鉸鏈四連桿機(jī)構(gòu)OABO1處于平衡位置.已知OA=40cm,O1B=60cm,m1=1N·m,各桿自重不計(jì).試求力偶矩m2的大小及桿AB所受的力.OABO1m2m130o29解:

AB為二力桿OABO1m2m130oSA=SB=SSSSS取OA桿為研究對象.

mi=0m2–0.6S=0(1)取O1B桿為研究對象.

mi=00.4sin30o

S-m1=0(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:S=5m2=330例題.不計(jì)自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為m1與m2的力偶作用,轉(zhuǎn)向如圖.問m1與m2的比值為多大,結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDm1m231解:取桿AB為研究對象畫受力圖.桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束.則A處約束反力的方位可定.ABCm1RARC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)32取桿CD為研究對象.因C點(diǎn)約束方位已定,則D點(diǎn)約束反力方

位亦可確定.畫受力圖.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:33例題

圖示剛架，其上作用三個(gè)力偶，其中

F1=F1′=5KN，m2=20KN.m,m3=9KN.m,

試求支座A、B處的反力。ABm2m130oF1F1′m3m2m330o30oFAFB1m1m1mABm1=F1×1=5KN.m34m1m1-m2+m3+FBd=0m2m330o30oFAFBABd解：因?yàn)樽饔迷趧偧苌系闹鲃?dòng)力全是力偶，則A、B處的約束反力一定形成力偶。根據(jù)平面力偶系的平衡方程：

mi=05-20+9+FBABCOS300=0解得：FA=FB=2.31kN35靜力分析[例]圖示桿系，已知m,l,求A、B處約束力。解：1、研究對象二力桿：AD2、研究對象：CB桿思考：CB