高等數(shù)學(xué)下冊（第2版）課件：二重積分的概念與性質(zhì)

上傳人：熊*** IP屬地：山東上傳時(shí)間：2025-03-19 格式：PPT 頁數(shù)：16 大?。?.15MB 積分：25 舉報(bào) 版權(quán)申訴

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三、二重積分的性質(zhì)

一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)

解法:類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,近似,求和,取極限”

1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n個(gè)2)“近似”在每個(gè)3)“求和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體

4)“取極限”令

2.平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy平面上占有區(qū)域D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.其面密度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用“分割,近似,求和,取極限”解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.

2)“近似”中任取一點(diǎn)3)“求和”4)“取極限”則第k小塊的質(zhì)量

兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:

二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),

引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常記作二重積分記作這時(shí)直線來劃分區(qū)域D,此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的因

二重積分存在定理:若函數(shù)在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則例如,在D:上連續(xù)，二重積分存在;

三、二重積分的性質(zhì)(k為常數(shù))

為D的面積,則

特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為

,則有

7.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此區(qū)域D上

例1.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上

內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)3.曲頂柱體體積的計(jì)算二次積分法

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