二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂

一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法

級數(shù)斂散性的概念：對于級數(shù)收斂部分和，部分和數(shù)列對于一些特殊形式的級數(shù)，其斂散性是否會有什么特殊結(jié)論呢？

一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法若∴部分和數(shù)列為有界數(shù)列則稱為正項(xiàng)級數(shù).為單調(diào)遞增數(shù)列對于正項(xiàng)級數(shù)單調(diào)遞增數(shù)列極限存在

正項(xiàng)級數(shù)審斂法的基本定理定理1.正項(xiàng)級數(shù)收斂有界部分和數(shù)列定理2(正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法)設(shè)(1)若級數(shù)，則級數(shù)(2)若級數(shù)，則級數(shù)收斂,也收斂發(fā)散,也發(fā)散是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù),且且

對比較審斂法的補(bǔ)充說明(1)存在正整數(shù)及常數(shù)k>0,滿足若，則若，則收斂,也收斂發(fā)散,也發(fā)散且且(2)

失效情形若若收斂,發(fā)散,且且(3)本方法僅適用于正項(xiàng)級數(shù)方法都

失效

例1.討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)當(dāng)因?yàn)閷σ磺卸{(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,時(shí)，

由基本定理可知p級數(shù)收斂。時(shí),2)當(dāng)表明有界

討論級數(shù)的斂散性解:因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.

定理3.(比較審斂法的極限形式)兩個(gè)級數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù)滿足則當(dāng)0<l<∞時(shí),通常選擇參與比較的已知斂散性的級數(shù)主要有：p級數(shù)調(diào)和級數(shù)等比級數(shù)

例3.討論級數(shù)的斂散性解:因?yàn)槎諗浚允諗?/p>

例4.討論級數(shù)的斂散性解:因?yàn)槎l(fā)散，所以發(fā)散

例5.判別級數(shù)的斂散性.解:

而收斂，所以收斂

的斂散性.例6.判別級數(shù)解:～而收斂，所以

定理4.比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時(shí),級數(shù)收斂;或時(shí),級數(shù)發(fā)散.級數(shù)發(fā)散，注意：當(dāng)其發(fā)散的原因是(3)當(dāng)時(shí),本方法失效

例7.討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;

例8.討論級數(shù)斂散性解:

級數(shù)收斂

二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法

則各項(xiàng)符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,余項(xiàng)滿足和

收斂例9.判別級數(shù)的斂散性（常數(shù)p>0）解：該級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)由萊布尼茲（Leibnitz）判別法得級數(shù)

收斂收斂例10.判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項(xiàng)取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂

三、絕對收斂與條件收斂

定義:對任意項(xiàng)級數(shù)如果則稱原級收斂,數(shù)絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.討論任意項(xiàng)級數(shù)斂散性所產(chǎn)生的概念如果發(fā)散,而原級數(shù)收斂,將各項(xiàng)取絕對值構(gòu)成正項(xiàng)級數(shù)，

例如：

為條件收斂.均為絕對收斂.定理7.絕對收斂的級數(shù)一定收斂.

例11.

證明下列級數(shù)絕對收斂：證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.

(2)因此收斂,絕對收斂.

例12.討論下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂（1）發(fā)散解：原級數(shù)條件收斂

（2）（常數(shù)p>0）解：當(dāng)p>1時(shí)，收斂，絕對收斂發(fā)散，條件收斂當(dāng)

時(shí)，

（3）解：發(fā)散，發(fā)散的原因是原級數(shù)也發(fā)散

作業(yè)P1391(3,4,5);

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