學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)知識梳理1。一個函數(shù)可以寫成y=f［φ（x)］,即y=f(u),u=φ(x）的形式,則稱其為_____________。2.函數(shù)u=φ（x)在點x處有導數(shù)u′x=φ′(x），函數(shù)y=f(u）在點x的_____________u處有導數(shù)y′u=f′(u），則復合函數(shù)y=f［φ（x)］在點x處有導數(shù)，即_____________或?qū)懗蒧____________。知識導學要學好本節(jié)內(nèi)容,需弄清幾個基本概念,如:復合函數(shù)、中間變量，同時對基本公式的記憶要熟，即“熟能生巧”.對復合函數(shù)的求導要注意中間變量的選取要適當.另外要搞清每一步是哪個變量對哪個變量求導,不能混淆。新課標要求能求簡單的復合函數(shù)〔僅限于形如f(ax+b)〕的導數(shù)。疑難突破對于復合函數(shù)求導,一定要理清中間的復合關(guān)系。本節(jié)難點是對復合函數(shù)求導.剖析：中間變量應選擇簡單初等函數(shù)，判斷一個函數(shù)是否是簡單初等函數(shù)的標準是:存在求導公式則直接求導，弄清各分解函數(shù)中應對哪個變量求導,對一個函數(shù)的復合關(guān)系的分解予以足夠的重視，要用換元的思想及基本初等函數(shù)的觀點來理解復合關(guān)系,理解復合函數(shù)的概念。典題精講【例1】求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(2x3—x+)4;（2)y=;（3)y=sin2（2x+）；（4）y=x(x-)100.思路分析：選擇中間變量是復合函數(shù)求導的關(guān)鍵,必須正確分析復合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復合而成的，分清其間的復合關(guān)系。要善于把一部分量的式子暫時當作一個整體，這個暫時的整體就是中間變量.求導時需要記住中間變量，注意逐層求導，不遺漏。而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導數(shù)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).解：(1)解法一:設(shè)u=2x3-x+,y=u4，則y′x=y′u·u′x=4u3·(6x2-1—）=4(2x3-x+）3（6x2-—1)。解法二：y′=［(2x3—x+）4]′=4(2x3—x+）3·（2x3—x+)′=4(2x3—x+)3（6x2-1-）.(2)解法一：設(shè)y′=，u=1—2x2，則y′x=y′u·u′x=()·（-4x）=·(—4x)=.解法二：y′=（)′=［]′=·（1—2x2)′=·(—4x)=。(3)解法一：設(shè)y=u2,u=sinv，v=2x+，則y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cosv·2=2sin(2x+）·cos(2x+)·2=2sin(4x+）。解法二:y′=［sin2(2x+）］′=2sin（2x+）·［sin(2x+)]′=2sin(2x+)·cos(2x+）·（2x+）′=2sin（2x+)·cos(2x+）·2=2sin(4x+).(4)解：y′=[x(x-)100］′=x′（x-)100+x［(x—)100］′=（x—)100+x·100(x—）99·(x-)′=（x—）100+x·100(x—)99·(1+）.綠色通道：對于復合函數(shù)的求導，要注意分析問題的具體特征,靈活恰當?shù)剡x擇中間變量，不可機械照搬某種固定的模式,否則會使確定的復合關(guān)系不準確，不能有效地進行求導運算.復合函數(shù)的求導法則,通常稱為鏈條法則.變式訓練:求下列函數(shù)的導數(shù).（1)y=(2x—1)5；(2）y=；（3)y=。解:(1)設(shè)u=2x—1,則y=u5?！鄖′x=y′u·u′x=5u4·（2x—1)′=5（2x-1）4·2=10（2x—1）4(2)設(shè)u=ax2+bx+c,則y=.∴y′x=y′u·u′x=(3)方法一：u=1—2x，y=u-5,y′x=y′u·u′x=—5u—6·（—2）=10（1-2x)-6.方法二：∵y=,令y=u5,u=，v=1—2x.y′x=y′u·u′v·v′x=5u4·(—v-2)·（—2）=10（)4·v—2=100—6=10(1—2x)-6.【例2】已知f(x)=xloga(x2+x-2）,求f′(x）。思路分析：函數(shù)y=loga(x2+x—2）是由y=logau與u=x2+x—2復合而成的，根據(jù)復合函數(shù)的求導步驟進行求導。解:f′（x)=loga（x2+x-2)+x··logae·（2x+1）=loga（x2+x—2）+.綠色通道：求復合函數(shù)的導數(shù),關(guān)鍵要分清此函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)復合而成的，然后根據(jù)求復合函數(shù)導數(shù)的法則進行求導即可.變式訓練：已知f（x）=，求f′(x).解：y=logau,u=logax，∴f′（x)=y′u·u′x=·logae·logae=.【例3】求下列函數(shù)的導數(shù)。(1)y=;(2）y=.思路分析：在公式(logax)′=與（ax)′=ax·lna中，求導后的系數(shù)很容易混淆，要注意掌握公式。并通過比較加以記憶。解:（1）y′=+bx·（—2ax+b)=（—2ax+b）·.（2）y′=綠色通道：復合函數(shù)求導是一個連鎖求導過程，每次選擇中間變量都根據(jù)問題的具體特點及基本導數(shù)公式為準，達到可以直接求導為止.變式訓練:（1）f(x)=;（2）f（x)=cos2(）。解:（1)f′(x）=(1+sin2x）′=·2sinx·cosx=。(2）f′(x）=[cos2(）］′=2cos(）·（cos）′=2cos（）［—sin（)］·(）′=2cos()［—sin(）］·[］=—sin2()·=.問題探究問題：請思考如何利用導數(shù)進行求和。1.Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1（x≠0，n∈N*);2。Sn=+…+n(n∈N*）.導思：1。一般很容易想到通過錯位相減的方法及構(gòu)造二項式定理的方法來解決，轉(zhuǎn)換思維角度.由求導公式(xn）=nxn—1可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù)，因此可轉(zhuǎn)化求和。利用導數(shù)運算，可使問題解法更加簡捷.2。通過對數(shù)列的通項進行聯(lián)想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數(shù)列的求和問題得到解決,其關(guān)鍵是抓住了數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu),這也有助于培養(yǎng)善于聯(lián)想的好習慣。探究:1.當x=1時,Sn=1+2+3+…+n=n（