重積分

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)工科數(shù)學分析二重積分的概念與性質(zhì)問題的提出二重積分的概念二重積分的存在性及幾何意義二重積分的性質(zhì)小結(jié)重積分引言在初等數(shù)學中，我們只會求規(guī)則體的體積，如正方體、長方體、球體、圓柱體、錐體等。清壽山石印章徐三庚刻

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Dimension:2.11"x0.84";56.61而對于一般曲頂柱體、曲底柱體的體積卻沒有辦法，而規(guī)則體的體積公式大多數(shù)是由幾何方法得來的，那么有沒有一種方法可以計算一般曲頂、曲底柱體的體積，從而給出計算體積的一個統(tǒng)一方法？二重積分的學習就是為了解決這個問題。從物理學的角度出發(fā)，我們常常需要對待解問題做一些簡化，如可以把一個薄板簡化為一個二維區(qū)域，但如果薄板各處密度不同，如何計算薄板的質(zhì)量？有時需要把一處淺水區(qū)域簡化成平面區(qū)域，但由于水里礦物質(zhì)等物質(zhì)分布不均導致海水密度不同，已知密度函數(shù)如何求海水質(zhì)量？所有這些問題在我們學習完二重積分就能解決了。正如我們在學習定積分概念時所強調(diào)的那樣，積分實質(zhì)上是對連續(xù)函數(shù)求和，是離散函數(shù)求和的極限?；貞浺幌挛覀兪褂枚ǚe分求曲邊梯形面積的步驟，首先對積分區(qū)域劃分，然后在每個小區(qū)間上任取一函數(shù)值與區(qū)間長度相乘，近似這一小段的面積，接著對這些小面積求和，最后使劃分逐漸加密，對上一步得到的和式取極限，極限值就是定積分值?？偠灾牟襟E：分割、近似、求和、取極限。接下來我們所學的各類積分的定義都遵從這四步驟。不同之處在于積分區(qū)域不同，導致積分元不同，所以各類積分不同之處在于積分元，能區(qū)別開積分元，就能區(qū)別出各類積分，這一點需要大家在接下來的學習中慢慢體會。柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．

求曲頂柱體的體積采用“分割、近似、求和、取極限”的方法，如下動畫演示．求曲頂柱體的體積方法：分割、近似、求和、取極限步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量二、二重積分的概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為１、２、三、二重積分的存在性及幾何意義二重積分存在的充分條件二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．性質(zhì)１當為常數(shù)時，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）四、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）性質(zhì)8性質(zhì)8’解解解解二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（和式的極限）五、小結(jié)二重積分的存在性作業(yè)P109-110

2，3，5第二節(jié)二重積分的計算工科數(shù)學分析直角坐標系中二重積分的計算

極坐標系中二重積分的計算

二重積分的換元法利用定義（和式的極限）計算困難二重積分轉(zhuǎn)化成兩個定積分---累次積分二重積分的計算法（1）利用直角坐標系計算二重積分小結(jié)如果積分區(qū)域為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分［X－型］應用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得ab

累次積分如果積分區(qū)域為：［Y－型］

X型區(qū)域的特點：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖解原式解解解解曲面圍成的立體如圖.雙曲拋物面(馬鞍面)O二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］二重積分的計算法（2）利用極坐標系計算二重積分小結(jié)一、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖極坐標系下區(qū)域的面積極坐標系中面積元素區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖解解解

解解解雙紐線Lemniscate●二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）二、小結(jié)二重積分的計算法（3）二重積分的換元法小結(jié)

一、二重積分的換元法例1解例2解

二、小結(jié)基本要求:變換后定限簡便，求積容易．作業(yè)P116-118

1(2)，(3)，(5);

2；

4;

7；

9(1);

10(1)

第三節(jié)三重積分工科數(shù)學分析三重積分三重積分的定義利用直角坐標系計算三重積分小結(jié)一、三重積分的定義由于探討引力、多體力學等問題，法國數(shù)學家拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德等人開始了關于三重積分的研究。三重積分的定義可以形象地用求一個土豆的質(zhì)量來理解，土豆的形狀很不規(guī)則，即使其密度是常數(shù)，它的體積也很難求得。如果把土豆切成很小的、規(guī)則的土豆丁，而每個土豆丁的質(zhì)量可以求出來，然后把所有的土豆丁相加，就得到了整個土豆的質(zhì)量的一個近似值，顯然土豆切得越細，則這樣求出的土豆的質(zhì)量就越接近于土豆質(zhì)量的真實值，數(shù)學上這可以通過取極限的過程達到。這里，土豆丁的體積就是三重積分的微元，求和的極限就是三重積分，密度函數(shù)就是被積函數(shù)。三重積分的定義三重積分的存在性與二重積分的存在性是一樣的；性質(zhì)也相類似。1.直角坐標系中將三重積分化為三次積分---投影法二、利用直角坐標系計算三重積分如圖，得注意解故

：解如圖，解2.計算三重積分的截面法原式解原式解如圖,三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結(jié)利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分利用柱面坐標計算三重積分利用球面坐標計算三重積分小結(jié)一、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平面．如圖，柱面坐標系中的體積元素為柱坐標系中三重積分的計算實質(zhì)上是一個方向采用直角坐標系，另外兩個方向采用極坐標系。在投影法中，投影區(qū)域上的二重積分采用極坐標系計算；在截面法中，截面上的二重積分采用極坐標計算。投影區(qū)域或截面為圓域或扇形最好。解知交線為解所圍成的立體如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖，

原式本題也可使用截面法求解。二、利用球面坐標計算三重積分球面坐標與直角坐標的關系為如圖，規(guī)定：如圖，三坐標面分別為圓錐面；球面；半平面．如圖，球面坐標系中的體積元素為解2

采用柱面坐標(投影法)本題也可使用截面法求解。解補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關于三個坐標軸的奇偶性．解積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解

是關于的奇函數(shù),同理×φ

不容易求出采用何種坐標系計算三重積分？在計算三重積分的時候，第一步驟就是選擇合適的坐標系，注意到不同坐標系下積分計算的難易程度是有區(qū)別的。常見的坐標系有直角坐標系、柱坐標系和球坐標系。從換元的角度來說，后兩個坐標系分別對應的是柱坐標變換和球坐標變換。積分變換做換元首要考慮的就是積分區(qū)域的性狀，當然還要照顧被積函數(shù)的形式。1、直角坐標系：如果積分區(qū)域是長方體、四面體或一般的任意形體時，采用直角坐標系進行積分計算；2、柱面坐標系：如果積分區(qū)域是柱形體域、錐形體域或拋物體域時，采用柱面坐標系進行積分計算；3、球面坐標系：如果積分區(qū)域是球形體域或球形體域的一部分時，采用球面坐標系進行積分計算。球面坐標系下的積分計算有一定的適用范圍，即積分區(qū)域要和球體相關，其次積分區(qū)域與z

軸正向的夾角，也就是φ

要容易求出才行。補充：兩個有趣的立體維維安尼體牟合方蓋1、維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體,p131維維安尼（Viviani）曲線與維維安尼體2、牟合方蓋:兩個直交圓柱面所圍成的立體，我國古代

數(shù)學家劉徽把這個立體稱為牟合方蓋(Steinmetzsolid).(p.139,習題8?4，題目1（8）的幾何體?兩個直交圓柱面x2

+y2

=R2和x2+z2=R2所圍成的立體)牟合方蓋（1）柱面坐標的體積元素（2）球面坐標的體積元素（3）對稱性簡化運算三重積分換元法柱面坐標球面坐標三、小結(jié)作業(yè)P127-129

1(1),(2);2(2),(4);

3(1),(2);4(2);

5(1);

6(1).

第四節(jié)重積分的應用工科數(shù)學分析重積分的應用問題的提出曲面的面積平面薄片的質(zhì)心（形心）平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量引力小結(jié)一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中.若要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達式為二、曲面的面積衛(wèi)星１．設曲面的方程為：如圖，?曲面S的面積元素曲面面積公式為：周口店猿人洞“魚鱗”保護棚３．設曲面的方程為：曲面面積公式為：２．設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得分析：Viviani曲線含在圓柱面內(nèi)的部分球體解面積xyzoa2a解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為三、平面薄片的質(zhì)心當薄片是均勻的，質(zhì)心稱為形心.由元素法由元素法旋輪線（一拱）旋輪線（Cycloid）也叫擺線。一個半徑為a

的圓在x軸上滾動時，圓上一個點的軌跡就是旋輪線。brachistochrone解旋輪線（一拱）四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量是剛體繞軸轉(zhuǎn)動時慣性(回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性)的量度。一質(zhì)量為m的質(zhì)點，到直線或點的距離為d,則I=m

d

2

為質(zhì)點對直線或點的轉(zhuǎn)動慣量.

質(zhì)點系對于原點的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于原點的轉(zhuǎn)動慣量

對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量

對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量對于原點的轉(zhuǎn)動慣量解解五、引力物體對質(zhì)點的引力為引力常數(shù)平面薄片對質(zhì)點的引力為引力常數(shù)薄片對

軸上單位質(zhì)點的引力解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為幾何應用：曲面的面積物理應用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結(jié)作業(yè)P139-141

1(1),(2),(4);

2;3;

4(1);8(1),(2);

9(2);

13;16

第五節(jié)重積分的換元法及

含參變量的積分工科數(shù)學分析重積分的換元法及含參變量的積分重積分的換元法含參變量的積分的連續(xù)性含參變量的積分的微分萊布尼茨公式小結(jié)0、重積分的換元法

注意：基本要求:變換后定限簡便，求積容易．(A).二重積分換元法（1）的面積元素

（2）的面積元素（1）柱面坐標的體積元素（2）球面坐標的體積元素(B).三重積分換元法柱面坐標球面坐標（3）廣義球面坐標的體積元素一、含參變量積分的連續(xù)性設函數(shù)是在矩形是變量在上的一個一元連續(xù)函數(shù),上的連續(xù)函數(shù).在上任意確定的一個值,于是從而積分存在,這個積分的值依賴于取定的值.當?shù)闹蹈淖儠r,一般來說這個積分的值也跟著改變.這個積分確定一個定義在上的的函數(shù),

我們把它記作即這里變量在積分過程中是一個常量，通常稱它為參變量.uniformlycontinuous一致連續(xù)的函數(shù)必連續(xù)，連續(xù)的未必一致連續(xù)。圖像區(qū)別:

閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必一致連續(xù)，所以在閉區(qū)間上來講二者是一致的；在開區(qū)間連續(xù)的未必一致連續(xù)，一致連續(xù)的函數(shù)圖像不存在上升或者下降的坡度無限變陡的情況，連續(xù)的卻有可能出現(xiàn)，比如在（0，1）上連續(xù)的函數(shù)y=1/x。一致連續(xù)，就是要求當函數(shù)的自變量的改變很小時，其函數(shù)值的改變也很小，從而要求函數(shù)的導數(shù)值不能太大——當然只要有界即可。函數(shù)f(x)在[a,b]上一致連續(xù)的充分必要條件是在[a,b]上連續(xù)。函數(shù)f(x)在[a,b)上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在(a,b)上連續(xù)

且f(b-)存在。定理1

如果函數(shù)在矩形確定的函數(shù)在上也連續(xù).

上連續(xù)，那么由積分證設和是上的兩點，則就有于是由（1）式有由于在閉區(qū)域上連續(xù)，從而一致連續(xù).因此對于任意取定的,存在,使得對于內(nèi)的任意兩點及,只要它們之間的距離小于,即因為點與的距離等于,所以當

時,就有所以在上連續(xù).定理得證注====即當f(x,y)在區(qū)域R上連續(xù)時，求極限與求積分可以交換次序.注

既然函數(shù)在上連續(xù),那么它在上的積分存在,這個積分可以寫為右端積分式函數(shù)先對后對的二次積分.定理2

如果函數(shù)在矩形上連續(xù),則公式（2）也可寫成即定理刻畫了積分次序交換性.

我們在實際中還會遇到對于參變量的不同的值，積分限也不同的情形，這時積分限也是參變量的函數(shù).這樣,積分也是參變量的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).證設和是上的兩點，則則由積分（3）確定的函數(shù)在上也連續(xù).定理3

如果函數(shù)在矩形上連續(xù),又函數(shù)與在區(qū)間上連續(xù)，并且當時，上式右端最后一個積分的積分限不變，根據(jù)證明定理1時同樣的理由，這個積分趨于零.其中是在矩形上的最大值.根據(jù)與在上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，當時，（4）式右端的前兩個積分都趨于零.于是，當時，所以函數(shù)在上連續(xù).定理得證又下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)的微分問題.二、含參變量的函數(shù)的微分矩形上連續(xù),那么由積分(*)確定的函數(shù)在上可微分,并且定理4

如果函數(shù)及其偏導數(shù)都在即求導與積分可交換次序.證因為為了求，先利用公式(1)作出增量之比由拉格朗日中值定理，以及的連續(xù)性，我們有

小于某個正數(shù).因此其中，可小于任意給定的正數(shù)，只要這就是說綜上所述有令取上式的極限，即得公式（5）.##三、萊布尼茨公式則由積分(3)確定的函數(shù)在上可微，并且定理5

如果函數(shù)及其偏導數(shù)都在矩形上連續(xù)，又函數(shù)與在區(qū)間上可微，并且證由(4)式有當時，上式右端的第一個積分的積分限

不變，則由定理4對于(8)右端的第二項，應用積分中值定理得其中在與之間.當時,類似地可證,當時,因此，令，取(8)式的極限便得公式(7).##

公式(7)稱為萊布尼茨公式.于是應用萊布尼茨公式，得例1設求解例2

求解

這里函數(shù)在矩形上連續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有例3

計算定積分

考慮含參變量的積分所確定的函數(shù)顯然，根據(jù)公式(5)得解把被積函數(shù)分解為部分分式,得到于是上式在上對積分,得到即從而1、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義；四、小結(jié)2、含參變量的積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性；3、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；4、萊布尼茨公式及其應用.作業(yè)P148-149

1;

2;

4(1);

5(1);

6(1).第八章重積分

習題課工科數(shù)學分析重積分習題課主要內(nèi)容典型例題定義幾何意義性質(zhì)計算法應用二重積分定義幾何意義性質(zhì)計算法應用三重積分