PAGEPAGE1第2講空間幾何體的表面積與體積一、學(xué)問梳理1．多面體的表(側(cè))面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是全部側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l3.空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3常用結(jié)論1．正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.2．長方體共頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).二、習(xí)題改編1．(必修2P27練習(xí)1改編)已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為cm.解析：由題意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．答案：22．(必修2P27例4改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V球∶V柱為．解析：設(shè)球的半徑為R，則eq\f(V球,V柱)＝eq\f(\f(4,3)πR3,πR2×2R)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)一、思索辨析推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．()(2)錐體的體積等于底面積與高之積．()(3)球的體積之比等于半徑比的平方．()(4)簡潔組合體的體積等于組成它的簡潔幾何體體積的和或差．()(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見誤區(qū))(1)錐體的高與底面不清晰致誤；(2)不會分類探討致誤．1．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是．解析：設(shè)長方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，所以VE-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.答案：102．將一個相鄰邊長分別為4π，8π的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是．解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L為4π時，底面圓的半徑為2，兩個底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L為8π時，底面圓的半徑為4，兩個底面的面積之和為32π.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π空間幾何體的表面積(師生共研)(1)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π(2)(2024·湖南省五市十校聯(lián)考)某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為()A．8 B．4eq\r(5)C．8eq\r(2) D．12eq\r(2)【解析】(1)因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2eq\r(2)，底面圓的直徑為2eq\r(2)，所以該圓柱的表面積為2×π×(eq\r(2))2＋2eq\r(2)π×2eq\r(2)＝12π.(2)由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝2eq\r(5)，PD＝6，PB＝4eq\r(2)，連接AC，則AC＝4eq\r(2)，所以PC＝4eq\r(3)，明顯在各側(cè)面面積中△PCD的面積最大，又PD＝CD＝6，所以PC邊上的高為eq\r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(6)，所以S△PCD＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2eq\r(6)＝12eq\r(2)，故該四棱錐的各側(cè)面面積的最大值為12eq\r(2)，故選D.【答案】(1)B(2)Deq\a\vs4\al()空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積問題應(yīng)留意連接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題應(yīng)留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．1.(2024·江西七校第一次聯(lián)考)一個半徑為1的球?qū)ΨQ削去了三部分，其俯視圖如圖所示，那么該立體圖形的表面積為()A．3π B．4πC．5π D．6π解析：選C.由題中俯視圖可知該球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分為該幾何體，所以該立體圖形的表面積為2×π×12＋3×π×12＝5π，故選C.2．(2024·遼寧丹東質(zhì)量測試(一))一個圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則這個圓錐的側(cè)面積為．解析：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，因?yàn)閳A錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的斜邊長為2r，斜邊上的高為r，所以eq\f(1,2)×2r×r＝1，解得r＝1，圓錐的母線長l＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為πrl＝eq\r(2)π.答案：eq\r(2)π空間幾何體的體積(多維探究)角度一求簡潔幾何體的體積(1)(2024·石家莊質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形網(wǎng)格的邊長為1)，則該幾何體的體積是()A．8 B．6C．4 D．2(2)將一張邊長為12cm的正方形紙片按如圖(1)所示將陰影部分的四個全等的等腰三角形裁去，余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐，如圖(2)放置，假如正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A.eq\f(32,3)eq\r(6)cm3 B.eq\f(64,3)eq\r(6)cm3C.eq\f(32,3)eq\r(2)cm3 D．eq\f(64,3)eq\r(2)cm3【解析】(1)由三視圖可得該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱(如圖所示)，其中底面直角梯形的上、下底分別為1，2，高為2，直四棱柱的高為2，所以該幾何體的體積為eq\f(（1＋2）×2,2)×2＝6，故選B.(2)設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為acm，高為hcm，則h＝eq\f(\r(3),2)acm，由題設(shè)可得四棱錐側(cè)面的高等于四棱錐的底面邊長，所以eq\f(1,2)a＋a＝12×eq\f(\r(2),2)?a＝4eq\r(2)，所以四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×(4eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)×4eq\r(2)＝eq\f(64\r(6),3)cm3，故選B.【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()簡潔幾何體體積的求法對于規(guī)則幾何體，干脆利用公式計算即可．若已知三視圖求體積，應(yīng)留意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解．角度二求組合體的體積(2024·唐山市摸底考試)已知某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中曲線為四分之一圓弧)，則該幾何體的表面積為()A．1－eq\f(π,4) B．3＋eq\f(π,2)C．2＋eq\f(π,4) D．4【解析】由題設(shè)知，該幾何體是棱長為1的正方體被截去底面半徑為1的eq\f(1,4)圓柱后得到的，如圖所示，所以表面積S＝2×(1×1－eq\f(1,4)×π×12)＋2×(1×1)＋eq\f(1,4)×2π×1×1＝4.故選D.【答案】Deq\a\vs4\al()(1)處理體積問題的思路(2)求體積的常用方法干脆法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式干脆計算割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟識的幾何體補(bǔ)成熟識的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換1．(2024·高考北京卷)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．假如網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為．解析：如圖，由三視圖可知，該幾何體為正方體ABCD-A1B1C1D1去掉四棱柱B1C1GF-A1D1HE所得，其中正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為64，VB1C1GF-A1D1HE＝(4＋2)×2×eq\f(1,2)×4＝24，所以該幾何體的體積為64－24＝40.答案：402．(2024·高考全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.解析：長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V1＝6×6×4＝144(cm3)，而四棱錐O-EFGH的底面積為矩形BB1C1C的面積的一半，高為AB長的一半，所以四棱錐O-EFGH的體積V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)，所以長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體的體積V＝V1－V2＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球與空間幾何體的接、切問題(師生共研)(1)若直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的表面積為．(2)(一題多解)(2024·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為．【解析】(1)將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC-A1B1E1C1，則球O是長方體ABEC-A1B1E1C1的外接球．所以體對角線BC1的長為球O的直徑．因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13.故S球＝4πR2＝169π.(2)法一：由題意得圓柱的高為四棱錐高的一半，底面圓的直徑為以四棱錐側(cè)棱的四個中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的對角線，易求得圓柱的底面圓的直徑為1，高為1，所以該圓柱的體積V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).法二：由題可得，四棱錐底面對角線的長為2，則圓柱底面的半徑為eq\f(1,2)，易知四棱錐的高為eq\r(5－1)＝2，故圓柱的高為1，所以該圓柱的體積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).【答案】(1)169π(2)eq\f(π,4)eq\a\vs4\al()處理球的“切”“接”問題的求解策略解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：1．正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長都等于2eq\r(2)，則它的外接球的表面積是()A．16π B．12πC．8π D．4π解析：選A.設(shè)正四棱錐的外接球半徑為R，頂點(diǎn)P在底面上的射影為O，因?yàn)镺A＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)eq\r(AB2＋BC2)＝eq\f(1,2)eq\r(（2\r(2)）2＋（2\r(2)）2)＝2，所以PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(（2\r(2)）2－22)＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.2．設(shè)球O內(nèi)切于正三棱柱ABC-A1B1C1，則球O的體積與正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為．解析：設(shè)球O半徑為R，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3),6)a，即a＝2eq\r(3)R，又正三棱柱ABC-A1B1C1的高為2R，所以球O的體積與正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為eq\f(\f(4,3)πR3,\f(\r(3),4)a2×2R)＝eq\f(\f(4,3)πR3,\f(\r(3),4)×12R2×2R)＝eq\f(2\r(3)π,27).答案：eq\f(2\r(3)π,27)核心素養(yǎng)系列14直觀想象——數(shù)學(xué)文化與空間幾何體(2024·甘肅、青海、寧夏3月聯(lián)考)漢朝時，張衡得出圓周率的平方除以16等于eq\f(5,8).如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，俯視圖中的曲線為圓，利用張衡的結(jié)論可得該幾何體的體積為()A．32 B．40C.eq\f(32\r(10),3) D．eq\f(40\r(10),3)【解析】將三視圖還原成如圖所示的幾何體：半個圓柱和半個圓錐的組合體，底面半徑為2，高為4，則體積V＝eq\f(1,2)π×22×4＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×22×4＝eq\f(32,3)π，因?yàn)閳A周率的平方除以16等于eq\f(5,8)，即eq\f(π2,16)＝eq\f(5,8)，所以π＝eq\r(10)，所以V＝eq\f(32\r(10),3).故選C.【答案】Ceq\a\vs4\al()本題是數(shù)學(xué)文化與三視圖結(jié)合，主要是依據(jù)幾何體的三視圖及三視圖中的數(shù)據(jù)，求幾何體的體積或側(cè)(表)面積．此類問題難點(diǎn)：一是依據(jù)三視圖的形態(tài)特征確定幾何體的結(jié)構(gòu)特征；二是將三視圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的幾何度量．考查了直觀想象這一核心素養(yǎng)．(2024·安徽六安一中模擬(四))我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β隨意距離d處的平面截這兩個幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短半軸長為1，長半軸長為3的橢球體的體積是．解析：因?yàn)镾圓＝S環(huán)總成立，所以半橢球體的體積為πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a，所以橢球體的體積V＝eq\f(4,3)πb2a.因?yàn)闄E球體的短半軸長為1，長半軸長為3.所以橢球體的體積V＝eq\f(4,3)πb2a＝eq\f(4,3)π×12×3＝4π.答案：4π[基礎(chǔ)題組練]1．(2024·安徽合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3，底面半徑為4，若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑為()A．5 B.eq\r(5)C．9 D．3解析：選B.因?yàn)閳A錐的底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝3，所以圓錐的母線l＝5，所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝20π，設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，所以R＝eq\r(5)，故選B.2．(2024·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形(如圖2所示)，則此幾何體的體積為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選B.依據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是2和eq\r(2)的直角三角形(如圖所示)，依據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3，所以體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(2)))×3＝eq\r(2).故選B.3．(2024·武漢市武昌調(diào)研考試)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若π取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為()A．1.2 B．1.6C．1.8 D．2.4解析：選B.該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為eq\f(1,2)的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4－x，3，1的長方體，所以組合體的體積V＝V圓柱＋V長方體＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π＝3)，解得x＝1.6.故選B.4．(2024·遼寧大連第一次(3月)雙基測試)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何”．羨除是一個五面體，其中三個面是梯形，另兩個面是三角形，已知一個羨除的三視圖如圖中粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則該羨除的表面中，三個梯形的面積之和為()A．40 B．43C．46 D．47解析：選C.由三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中平面ABCD⊥平面ABEF，CD＝2，AB＝6，EF＝4，等腰梯形ABEF的高為3，等腰梯形ABCD的高為4，等腰梯形FECD的高為eq\r(9＋16)＝5，三個梯形的面積之和為eq\f(2＋6,2)×4＋eq\f(4＋6,2)×3＋eq\f(2＋4,2)×5＝46，故選C.5．(2024·遼寧沈陽東北育才學(xué)校五模)將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．π B．2πC．3π D．4π解析：選B.將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，設(shè)圓錐的底面圓半徑為R，則有2πR＝3×eq\f(2π,3)，所以R＝1.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，圓錐的高為h，內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，因?yàn)閳A錐的母線長為3，所以h＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，所以有eq\f(r,h－r)＝eq\f(R,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π.故選B.6．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為．解析：設(shè)新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).答案：eq\r(7)7．(2024·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是．解析：由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，記為四棱錐P-ABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2eq\r(2)，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個直角三角形的面積和，即S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋\f(1,2)×2×2\r(2)))＝4＋4eq\r(2).答案：4＋4eq\r(2)8．(2024·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一))已知一全部棱長都是eq\r(2)的三棱錐，則該三棱錐的體積為．解析：記全部棱長都是eq\r(2)的三棱錐為P-ABC，如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，作PO⊥AD于點(diǎn)O，則PO⊥平面ABC，且OP＝eq\f(\r(6),3)×eq\r(2)＝eq\f(2\r(3),3)，故三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·OP＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面積＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.10.(應(yīng)用型)現(xiàn)須要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m.因?yàn)锳1B1＝AB＝6m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故倉庫的容積是312m3.[綜合題組練]1．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)π D．eq\r(6)π解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長為eq\r(2)，所以該正方體的體對角線長為eq\r(6)，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),2)，所以球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\r(6)π，故選D.2．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)移動時，下列結(jié)論不正確的是()A．AE∥平面C1BDB．四面體ACEF的體積不為定值C．三棱錐A-BEF的體積為定值D．四面體ACDF的體積為定值解析：選B.對于A，如圖1，AB1∥DC1，易證AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE?平面AB1D1，所以AE∥平